2021-2022學(xué)年錦州市重點(diǎn)中學(xué)高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．ΔABC中，如果lgcosA=lgsinA．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形2．已知的共軛復(fù)數(shù)是，且（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，延長交右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．5．若，則的虛部是A．3 B． C． D．6．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，若點(diǎn)在角的終邊上，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若恒成立，則滿足條件的的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．38．設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則()A． B． C．1 D．29．已知，若對任意，關(guān)于x的不等式（e為自然對數(shù)的底數(shù)）至少有2個正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．10．若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．函數(shù)的周期是C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 D．函數(shù)在上最大值是111．?dāng)?shù)列滿足：，，，為其前n項(xiàng)和，則（）A．0 B．1 C．3 D．412．在邊長為1的等邊三角形中，點(diǎn)E是中點(diǎn)，點(diǎn)F是中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校開展“我身邊的榜樣”評選活動，現(xiàn)對3名候選人甲、乙、丙進(jìn)行不記名投票，投票要求詳見選票．這3名候選人的得票數(shù)（不考慮是否有效）分別為總票數(shù)的88%，75%，46%，則本次投票的有效率（有效票數(shù)與總票數(shù)的比值）最高可能為百分之________．“我身邊的榜樣”評選選票候選人符號注：1．同意畫“○”，不同意畫“×”．2．每張選票“○”的個數(shù)不超過2時才為有效票．甲乙丙14．根據(jù)如圖的算法，輸出的結(jié)果是_________.15．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______.16．已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,,若函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)為,則_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．（12分）如圖，在棱長為的正方形中，，分別為，邊上的中點(diǎn)，現(xiàn)以為折痕將點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)的位置，使得為直二面角．（1）證明：；（2）求與面所成角的正弦值．19．（12分）已知橢圓的焦距是，點(diǎn)是橢圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)（與不同），若直線的斜率之積為.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）是拋物線上兩點(diǎn)，且處的切線相互垂直，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的面積的最大值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，.（1）證明：平面平面ABCD；（2）設(shè)H在AC上，，若，求PH與平面PBC所成角的正弦值.21．（12分）改革開放40年，我國經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展，城市汽車保有量在不斷增加，人們的交通安全意識也需要不斷加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識，某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識調(diào)查.隨機(jī)抽取男女駕駛員各50人，進(jìn)行問卷測評，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定得分在80分以上為交通安全意識強(qiáng).安全意識強(qiáng)安全意識不強(qiáng)合計男性女性合計（Ⅰ）求的值，并估計該城市駕駛員交通安全意識強(qiáng)的概率；（Ⅱ）已知交通安全意識強(qiáng)的樣本中男女比例為4:1，完成2×2列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識與性別有關(guān)；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，從交通安全意識強(qiáng)的駕駛員中隨機(jī)抽取2人，求抽到的女性人數(shù)的分布列及期望.附：，其中0.0100.0050.0016.6357.87910.82822．（10分）已知x，y，z均為正數(shù)．（1）若xy＜1，證明：|x+z|?|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy?2yz?2xz的最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

化簡得lgcosA＝lgsinCsinB＝﹣lg2，即cosA=sinCsinB=12，結(jié)合0<A<π，可求A=π【詳解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2，可得lgcosA＝∵0<A<π，∴A=π3，B+C=2π3，∴sinC＝12sinB＝12sin2π3-C＝34cosC+故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，兩角差的正弦公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用基本公式，屬于基礎(chǔ)題．2．D【解析】

設(shè)，整理得到方程組，解方程組即可解決問題．【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，解得：，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，此點(diǎn)位于第四象限.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)知識，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．3．B【解析】

對分類討論，當(dāng)，函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，求出單調(diào)遞增區(qū)間，即可求解.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，的遞增區(qū)間是，所以，即.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性，熟練掌握簡單初等函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4．D【解析】

設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，，設(shè)，則，，，和中，利用勾股定理計算得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，，設(shè)，則，，，，根據(jù)對稱性知四邊形為矩形，中：，即，解得；中：，即，故，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.5．B【解析】

因?yàn)椋缘奶摬渴?故選B．6．D【解析】

由題知，又，代入計算可得.【詳解】由題知，又.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，二倍角公式的應(yīng)用求值.7．C【解析】

由不等式恒成立問題分類討論：①當(dāng)，②當(dāng)，③當(dāng)，考查方程的解的個數(shù)，綜合①②③得解．【詳解】①當(dāng)時，，滿足題意，②當(dāng)時，，，，，故不恒成立，③當(dāng)時，設(shè)，，令，得，，得，下面考查方程的解的個數(shù)，設(shè)（a），則（a）由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用可得：（a）在為減函數(shù)，在，為增函數(shù)，則（a），即有一解，又，均為增函數(shù)，所以存在1個使得成立，綜合①②③得：滿足條件的的個數(shù)是2個，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問題及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的解得個數(shù)，重點(diǎn)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬難度較大的題型.8．C【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知條件，求得的值.【詳解】由于等差數(shù)列滿足，所以，，.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.9．B【解析】

構(gòu)造函數(shù)（），求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增,則,問題轉(zhuǎn)化為,即至少有2個正整數(shù)解,構(gòu)造函數(shù),,通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,由可知，要使得至少有2個正整數(shù)解,只需即可,代入可求得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)（），則（），所以在上單調(diào)遞增，所以，故問題轉(zhuǎn)化為至少存在兩個正整數(shù)x，使得成立，設(shè)，，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞增.，整理得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,考查不等式成立問題中求解參數(shù)問題,考查學(xué)生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.10．A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點(diǎn)可得到解析式；利用整體對應(yīng)的方式可判斷出在上單調(diào)遞增，正確；關(guān)于點(diǎn)對稱，錯誤；根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯誤；根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無法取得，錯誤.【詳解】將橫坐標(biāo)縮短到原來的得：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增，正確；的最小正周期為：不是的周期，錯誤；當(dāng)時，，關(guān)于點(diǎn)對稱，錯誤；當(dāng)時，此時沒有最大值，錯誤.本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解；關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對應(yīng)的方式，通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).11．D【解析】

用去換中的n，得，相加即可找到數(shù)列的周期，再利用計算.【詳解】由已知，①，所以②，①+②，得，從而，數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，且前6項(xiàng)分別為1，2，1，-1，-2，-1，所以，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查周期數(shù)列的應(yīng)用，在求時，先算出一個周期的和即，再將表示成即可，本題是一道中檔題.12．C【解析】

根據(jù)平面向量基本定理，用來表示，然后利用數(shù)量積公式，簡單計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：點(diǎn)E是中點(diǎn)，點(diǎn)F是中點(diǎn)，所以又所以則故選：C【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理以及數(shù)量積公式，掌握公式，細(xì)心觀察，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．91【解析】

設(shè)共有選票張，且票對應(yīng)張數(shù)為，由此可構(gòu)造不等式組化簡得到，由投票有效率越高越小，可知，由此計算可得投票有效率.【詳解】不妨設(shè)共有選票張，投票的有，票的有，票的有，則由題意可得：，化簡得：，即，投票有效率越高，越小，則，，故本次投票的有效率（有效票數(shù)與總票數(shù)的比值）最高可能為．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知條件構(gòu)造出變量所滿足的關(guān)系式.14．55【解析】

根據(jù)該For語句的功能，可得，可得結(jié)果【詳解】根據(jù)該For語句的功能，可得則故答案為：55【點(diǎn)睛】本題考查For語句的功能，屬基礎(chǔ)題.15．160【解析】

先求的展開式中通項(xiàng)，令的指數(shù)為3即可求解結(jié)論.【詳解】解：因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為：；令，可得；的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：.故答案為：160.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題．16．4038.【解析】

由函數(shù)圖象的對稱性得：函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，則，,即，得解．【詳解】由知：得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱則函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱則故，即本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象的對稱性來求值的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的對稱中心，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）【解析】

（1）因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，由可得，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，解得（舍去）或，所以，所以．?）由（1）知，，所以，所以．18．（1）證明見詳解；（2）【解析】

（1）在折疊前的正方形ABCD中，作出對角線AC，BD，由正方形性質(zhì)知，又//，則于點(diǎn)H，則由直二面角可知面，故.又，則面，故命題得證；（2）作出線面角，在直角三角形中求解該角的正弦值.【詳解】解：（1）證明：在正方形中，連結(jié)交于．因?yàn)?/，故可得，即又旋轉(zhuǎn)不改變上述垂直關(guān)系，且平面,面，又面，所以（2）因?yàn)闉橹倍娼?，故平面平?又其交線為,且平面,故可得底面，連結(jié)，則即為與面所成角，連結(jié)交于，在中，，在中，．所以與面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的證明與性質(zhì)，利用定義求線面角，屬于中檔題.19．（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),表達(dá)出直線的斜率之積,再根據(jù)三點(diǎn)均在橢圓上,根據(jù)橢圓的方程代入斜率之積的表達(dá)式列式求解即可.（Ⅱ）設(shè)直線的方程為,根據(jù)直線的斜率之積為可得,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,表達(dá)出面積公式,再換元利用基本不等式求解即可.【詳解】（Ⅰ）設(shè),,則,又,,故,即,故,又,故.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（Ⅱ）設(shè)直線的方程為,,由,故,又,故,因?yàn)樘幍那芯€相互垂直故.故直線的方程為.聯(lián)立故.故,代入韋達(dá)定理有設(shè),則.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)橢圓上的點(diǎn)坐標(biāo)滿足的關(guān)系式求解橢圓基本量求方程的方法,同時也考查了拋物線的切線問題以及橢圓中面積的最值問題,需要根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率,再換元利用基本不等式求解.屬于難題.20．（1）見解析；（2）【解析】

（1）記，連結(jié)，推導(dǎo)出，平面，由此能證明平面平面；（2）推導(dǎo)出，平面，連結(jié)，由題意得為的重心，，從而平面平面，進(jìn)而是與平面所成角，由此能求出與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）證明：記，連結(jié)，中，，，，，，平面，平面，平面平面．（2）中，，，，，，，，，，平面，∴，連結(jié)，由題意得為的重心，，，，平面平面平面，∴在平面的射影落在上，是與平面所成角，中，，，，．與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．21