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文檔簡介

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.關于的不等式的解集是,則關于的不等式的解集是()A. B.C. D.2.已知a,b∈R,,則()A.b=3a B.b=6a C.b=9a D.b=12a3.點為棱長是2的正方體的內切球球面上的動點,點為的中點,若滿足,則動點的軌跡的長度為()A. B. C. D.4.在平面直角坐標系中,銳角頂點在坐標原點,始邊為x軸正半軸,終邊與單位圓交于點,則()A. B. C. D.5.過拋物線的焦點的直線交該拋物線于,兩點,為坐標原點.若,則直線的斜率為()A. B. C. D.6.已知函數(shù)在上有兩個零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.7.若將函數(shù)的圖象上各點橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)得到函數(shù)的圖象,則下列說法正確的是()A.函數(shù)在上單調遞增 B.函數(shù)的周期是C.函數(shù)的圖象關于點對稱 D.函數(shù)在上最大值是18.已知非零向量滿足,,且與的夾角為,則()A.6 B. C. D.39.設數(shù)列是等差數(shù)列,,.則這個數(shù)列的前7項和等于()A.12 B.21 C.24 D.3610.己知集合,,則()A. B. C. D.11.已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC的面積是()A. B.2C. D.12.復數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復平面內對應的點在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.有以下四個命題:①在中,的充要條件是;②函數(shù)在區(qū)間上存在零點的充要條件是;③對于函數(shù),若,則必不是奇函數(shù);④函數(shù)與的圖象關于直線對稱.其中正確命題的序號為______.14.現(xiàn)有5人要排成一排照相,其中甲與乙兩人不相鄰,且甲不站在兩端,則不同的排法有____種.(用數(shù)字作答)15.已知為偶函數(shù),當時,,則__________.16.某校高二(4)班統(tǒng)計全班同學中午在食堂用餐時間,有7人用時為6分鐘,有14人用時7分鐘,有15人用時為8分鐘,還有4人用時為10分鐘,則高二(4)班全體同學用餐平均用時為____分鐘.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),設為的導數(shù),.(1)求,;(2)猜想的表達式,并證明你的結論.18.(12分)已知曲線C的極坐標方程是.以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程是:(是參數(shù)).(1)若直線l與曲線C相交于A、B兩點,且,試求實數(shù)m值.(2)設為曲線上任意一點,求的取值范圍.19.(12分)已知橢圓的右頂點為,為上頂點,點為橢圓上一動點.(1)若,求直線與軸的交點坐標;(2)設為橢圓的右焦點,過點與軸垂直的直線為,的中點為,過點作直線的垂線,垂足為,求證:直線與直線的交點在橢圓上.20.(12分)的內角的對邊分別為,已知.(1)求的大?。唬?)若,求面積的最大值.21.(12分)已知的內角,,的對邊分別為,,,且.(1)求;(2)若的面積為,,求的周長.22.(10分)在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為.(1)求直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程;(2)直線l與圓C交于A,B兩點,點P(2,1),求|PA|?|PB|的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由的解集,可知及,進而可求出方程的解,從而可求出的解集.【詳解】由的解集為,可知且,令,解得,,因為,所以的解集為,故選:A.【點睛】本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集,考查學生的計算求解能力與推理能力,屬于基礎題.2、C【解析】

兩復數(shù)相等,實部與虛部對應相等.【詳解】由,得,即a,b=1.∴b=9a.故選:C.【點睛】本題考查復數(shù)的概念,屬于基礎題.3、C【解析】

設的中點為,利用正方形和正方體的性質,結合線面垂直的判定定理可以證明出平面,這樣可以確定動點的軌跡,最后求出動點的軌跡的長度.【詳解】設的中點為,連接,因此有,而,而平面,,因此有平面,所以動點的軌跡平面與正方體的內切球的交線.正方體的棱長為2,所以內切球的半徑為,建立如下圖所示的以為坐標原點的空間直角坐標系:因此有,設平面的法向量為,所以有,因此到平面的距離為:,所以截面圓的半徑為:,因此動點的軌跡的長度為.故選:C【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理的應用,考查了立體幾何中軌跡問題,考查了球截面的性質,考查了空間想象能力和數(shù)學運算能力.4、A【解析】

根據(jù)單位圓以及角度范圍,可得,然后根據(jù)三角函數(shù)定義,可得,最后根據(jù)兩角和的正弦公式,二倍角公式,簡單計算,可得結果.【詳解】由題可知:,又為銳角所以,根據(jù)三角函數(shù)的定義:所以由所以故選:A【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及兩角和正弦公式,還考查二倍角的正弦、余弦公式,難點在于公式的計算,識記公式,簡單計算,屬基礎題.5、D【解析】

根據(jù)拋物線的定義,結合,求出的坐標,然后求出的斜率即可.【詳解】解:拋物線的焦點,準線方程為,設,則,故,此時,即.則直線的斜率.故選:D.【點睛】本題考查了拋物線的定義,直線斜率公式,屬于中檔題.6、C【解析】

對函數(shù)求導,對a分類討論,分別求得函數(shù)的單調性及極值,結合端點處的函數(shù)值進行判斷求解.【詳解】∵,.當時,,在上單調遞增,不合題意.當時,,在上單調遞減,也不合題意.當時,則時,,在上單調遞減,時,,在上單調遞增,又,所以在上有兩個零點,只需即可,解得.綜上,的取值范圍是.故選C.【點睛】本題考查了利用導數(shù)解決函數(shù)零點的問題,考查了函數(shù)的單調性及極值問題,屬于中檔題.7、A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點可得到解析式;利用整體對應的方式可判斷出在上單調遞增,正確;關于點對稱,錯誤;根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯誤;根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內值域的求解可判斷出最大值無法取得,錯誤.【詳解】將橫坐標縮短到原來的得:當時,在上單調遞增在上單調遞增,正確;的最小正周期為:不是的周期,錯誤;當時,,關于點對稱,錯誤;當時,此時沒有最大值,錯誤.本題正確選項:【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質,涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調性和對稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內的值域的求解;關鍵是能夠靈活應用整體對應的方式,通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質.8、D【解析】

利用向量的加法的平行四邊形法則,判斷四邊形的形狀,推出結果即可.【詳解】解:非零向量,滿足,可知兩個向量垂直,,且與的夾角為,說明以向量,為鄰邊,為對角線的平行四邊形是正方形,所以則.故選:.【點睛】本題考查向量的幾何意義,向量加法的平行四邊形法則的應用,考查分析問題解決問題的能力,屬于基礎題.9、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質可得,由等差數(shù)列求和公式可得結果.【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列,,所以,即,又,所以,,故故選:B【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式,性質,等差數(shù)列的和,屬于中檔題.10、C【解析】

先化簡,再求.【詳解】因為,又因為,所以,故選:C.【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運算,還考查了運算求解能力,屬于基礎題.11、A【解析】

先根據(jù)已知求出原△ABC的高為AO=,再求原△ABC的面積.【詳解】由題圖可知原△ABC的高為AO=,∴S△ABC=×BC×OA=×2×=,故答案為A【點睛】本題主要考查斜二測畫法的定義和三角形面積的計算,意在考察學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.12、B【解析】

利用復數(shù)的四則運算以及幾何意義即可求解.【詳解】解:,則復數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復平面內對應的點的坐標為:,位于第二象限.故選:B.【點睛】本題考查了復數(shù)的四則運算以及復數(shù)的幾何意義,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①【解析】

由三角形的正弦定理和邊角關系可判斷①;由零點存在定理和二次函數(shù)的圖象可判斷②;由,結合奇函數(shù)的定義,可判斷③;由函數(shù)圖象對稱的特點可判斷④.【詳解】解:①在中,,故①正確;②函數(shù)在區(qū)間上存在零點,比如在存在零點,但是,故②錯誤;③對于函數(shù),若,滿足,但可能為奇函數(shù),故③錯誤;④函數(shù)與的圖象,可令,即,即有和的圖象關于直線對稱,即對稱,故④錯誤.故答案為:①.【點睛】本題主要考查函數(shù)的零點存在定理和對稱性、奇偶性的判斷,考查判斷能力和推理能力,屬于中檔題.14、36【解析】

先優(yōu)先考慮甲、乙兩人不相鄰的排法,在此條件下,計算甲不排在兩端的排法,最后相減即可得到結果.【詳解】由題意得5人排成一排,甲、乙兩人不相鄰,有種排法,其中甲排在兩端,有種排法,則6人排成一排,甲、乙兩人不相鄰,且甲不排在兩端,共有(種)排法.所以本題答案為36.【點睛】排列、組合問題由于其思想方法獨特,計算量龐大,對結果的檢驗困難,所以在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則,如特殊元素、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等,只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時解答組合問題時必須心思細膩、考慮周全,這樣才能做到不重不漏,正確解題.15、【解析】

由偶函數(shù)的性質直接求解即可【詳解】.故答案為【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性,對數(shù)函數(shù)的運算,考查運算求解能力16、7.5【解析】

分別求出所有人用時總和再除以總人數(shù)即可得到平均數(shù).【詳解】故答案為:7.5【點睛】此題考查求平均數(shù),關鍵在于準確計算出所有數(shù)據(jù)之和,易錯點在于概念辨析不清導致計算出錯.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、,;,證明見解析【解析】

對函數(shù)進行求導,并通過三角恒等變換進行轉化求得的表達式,對函數(shù)再進行求導并通過三角恒等變換進行轉化求得的表達式;根據(jù)中,的表達式進行歸納猜想,再利用數(shù)學歸納法證明即可.【詳解】(1),其中,[,其中,(2)猜想,下面用數(shù)學歸納法證明:①當時,成立,②假設時,猜想成立即當時,當時,猜想成立由①②對成立【點睛】本題考查導數(shù)及其應用、三角恒等變換、歸納與猜想和數(shù)學歸納法;考查學生的邏輯推理能力和運算求解能力;熟練掌握用數(shù)學歸納法進行證明的步驟是求解本題的關鍵;屬于中檔題.18、(1)或;(2).【解析】

(1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程,在直角坐標條件下求出曲線的圓心坐標和半徑,將直線的參數(shù)方程化為普通方程,由勾股定理列出等式可求的值;(2)將圓化為參數(shù)方程形式,代入由三角公式化簡可求其取值范圍.【詳解】(1)曲線C的極坐標方程是化為直角坐標方程為:直線的直角坐標方程為:圓心到直線l的距離(弦心距)圓心到直線的距離為:或(2)曲線的方程可化為,其參數(shù)方程為:為曲線上任意一點,的取值范圍是19、(1)(2)見解析【解析】

(1)直接求出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立求出點坐標,從而可得直線方程,得其與軸交點坐標;(2)設,則,求出直線和的方程,從而求得兩直線的交點坐標,證明此交點在橢圓上,即此點坐標適合橢圓方程.代入驗證即可.注意分和說明.【詳解】解:本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合,(1)由題知,,則.因為,所以,則直線的方程為,聯(lián)立,可得故.則,直線的方程為.令,得,故直線與軸的交點坐標為.(2)證明:因為,,所以.設點,則.設當時,設,則,此時直線與軸垂直,其直線方程為,直線的方程為,即.在方程中,令,得,得交點為,顯然在橢圓上.同理當時,交點也在橢圓上.當時,可設直線的方程為,即.直線的方程為,聯(lián)立方程,消去得,化簡并解得.將代入中,化簡得.所以兩直線的交點為.因為,又因為,所以,則,所以點在橢圓上.綜上所述,直線與直線的交點在橢圓上.【點睛】本題考查直線與橢圓相交問題,解題方法是解析幾何的基本方程,求出直線方程,解方程組求出交點坐標,代入曲線方程驗證點在曲線.本題考查了學生的運算求解能力.20、(1);(2).【解析】

(1)利用正弦定理將邊化角,結合誘導公式可化簡邊角關系式,求得,根據(jù)可求得結果;(2)利用余弦定理可得,利用基本不等式可求得,代入三角形面積公式可求得結果.【詳解】(1)由正弦定理得:,又,即由得:(2)由余弦定理得:又(當且僅當時取等號)即三角形面積的最大值為:【點睛】本題考查解三角形的相關知

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