河南省洛陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題文含解析

PAGE18-河南省洛陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題文（含解析）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）留意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)、考試科目涂寫(xiě)在答題卷上.2.考試結(jié)束，將答題卷交回.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿意，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（）A.i B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的除法法則可得，再依據(jù)共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)虛部的概念即可得解.【詳解】由題意，所以的共軛復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為1.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查了共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)虛部的概念，屬于基礎(chǔ)題.2.用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，反設(shè)正確的是()A.假設(shè)三內(nèi)角都不大于60° B.假設(shè)三內(nèi)角都大于60°C.假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60° D.假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°【答案】B【解析】【分析】“至少有一個(gè)”的否定變換為“一個(gè)都沒(méi)有”，即可求出結(jié)論.【詳解】“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，反設(shè)是假設(shè)三內(nèi)角都大于.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查反證法的概念，留意邏輯用語(yǔ)的否定，屬于基礎(chǔ)題.3.對(duì)下列三種圖像，正確的表述為（）A.它們都是流程圖 B.它們都是結(jié)構(gòu)圖C.（1）、（2）是流程圖，（3）是結(jié)構(gòu)圖 D.（1）是流程圖，（2）、（3）是結(jié)構(gòu)圖【答案】C【解析】試題分析：依據(jù)流程圖和結(jié)構(gòu)圖的定義分別推斷三種圖形是流程圖還是結(jié)構(gòu)圖．解：（1）表示的是借書(shū)和還書(shū)的流程，所以（1）是流程圖．（2）表示學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的一個(gè)流程，所以（2）是流程圖．（3）表示的是數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)的分布結(jié)構(gòu)，所以（3）是結(jié)構(gòu)圖．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查結(jié)構(gòu)圖和流程圖的識(shí)別和推斷，屬于基礎(chǔ)題型．4.有線性相關(guān)關(guān)系的變量有觀測(cè)數(shù)據(jù)，已知它們之間的線性回來(lái)方程是，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先計(jì)算，代入回來(lái)直線方程，可得，從而可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，代入回?lái)直線方程可求得，所以，故選D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)回來(lái)直線的問(wèn)題，涉及到的學(xué)問(wèn)點(diǎn)有回來(lái)直線肯定會(huì)過(guò)樣本中心點(diǎn)，利用相關(guān)公式求得結(jié)果，屬于簡(jiǎn)潔題目.5.分析法是從要證的不等式動(dòng)身，尋求使它成立的（）A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】試題分析：本題考查的分析法和綜合法的定義，依據(jù)定義分析法是從從求證的結(jié)論動(dòng)身，“由果索因”，逆向逐步找這個(gè)不等式成立須要具備的充分條件；綜合法是指從已知條件動(dòng)身，借助其性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最終達(dá)到待證結(jié)論或需求問(wèn)題，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч?，即從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．我們易得答案．解：∵分析法是逆向逐步找這個(gè)結(jié)論成立須要具備的充分條件；∴分析法是從要證的不等式動(dòng)身，尋求使它成立的充分條件故選A點(diǎn)評(píng)：分析法──通過(guò)對(duì)事物緣由或結(jié)果的周密分析，從而證明論點(diǎn)的正確性、合理性的論證方法，也稱(chēng)為因果分析，從求證的不等式動(dòng)身，“由果索因”，逆向逐步找這個(gè)不等式成立須要具備的充分條件；綜合法是指從已知條件動(dòng)身，借助其性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最終達(dá)到待證結(jié)論或需求問(wèn)題，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч保磸摹耙阎笨础翱芍?，逐步推向“未知”?.有一段演繹推理：“直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)全部直線；已知直線平面，直線∥平面，則∥”的結(jié)論明顯是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)椋ǎ〢.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤 D.非以上錯(cuò)誤【答案】A【解析】演繹推理，就是從一般性的前提動(dòng)身，通過(guò)推導(dǎo)，得出詳細(xì)陳述或個(gè)別結(jié)論的過(guò)程，演繹推理一般有三段論形式，本題中直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)全部直線是大前提，它是錯(cuò)誤的.考點(diǎn)：演繹推理.7.如圖：圖O內(nèi)切于正三角形，則，即，，從而得到結(jié)論：“正三角形的高等于它的內(nèi)切圓的半徑的3倍”；類(lèi)比該結(jié)論到正四面體，可得到結(jié)論：“正四面體的高等于它的內(nèi)切球的半徑的a倍”，則實(shí)數(shù)（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】利用等體積，即可得出結(jié)論.【詳解】解：設(shè)正四面體的高為，底面積為，內(nèi)切球的半徑為，

則，

，則.

故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查類(lèi)比推理，考查等體積方法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，比較基礎(chǔ).8.視察下列各式，，，，，，…，則（）A.47 B.76 C.121 D.123【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題目所給等式，歸納出正確結(jié)論.【詳解】依據(jù)題目所給等式可知：，，.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查合情推理，屬于基礎(chǔ)題.9.若，（），則，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.，的大小由的取值確定【答案】A【解析】∵且，

∴，又，∴，故選C.10.閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出S為輸出（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】運(yùn)行程序，依據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖計(jì)算出輸出的結(jié)果.【詳解】運(yùn)行程序，，，，推斷是，，推斷是，……，，推斷是，，推斷否，輸出.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查依據(jù)程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.11.部分與整體以某種相像的方式呈現(xiàn)稱(chēng)為分形，一個(gè)數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)．分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝木的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一，而且還有其深刻的科學(xué)方法論意義．如圖，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915年提出的謝爾賓斯基三角形就屬于－種分形，詳細(xì)作法是取一個(gè)實(shí)心三角形，沿三角形的三邊中點(diǎn)連線，將它分成4個(gè)小三角形，去掉中間的那一個(gè)小三角形后，對(duì)其余3個(gè)小三角形重復(fù)上述過(guò)程逐次得到各個(gè)圖形．若在圖④中隨機(jī)選取－點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】依據(jù)圖①,②,③歸納得出陰影部分的面積與大三角形的面積之比,再用幾何概型的概率公式可得答案.【詳解】依題意可得:圖①中陰影部分的面積等于大三角形的面積,圖②中陰影部分的面積是大三角形面積的,圖③中陰影部分的面積是大三角形面積的,歸納可得,圖④中陰影部分的面積是大三角形面積的,所以依據(jù)幾何概型的概率公式可得在圖④中隨機(jī)選取－點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了歸納推理,考查了幾何概型的概率公式,屬于基礎(chǔ)題.12.已知復(fù)數(shù)滿（i是虛數(shù)單位），若在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡為（）A.雙曲線 B.雙曲線的一支 C.兩條射線 D.一條射線【答案】B【解析】【分析】利用兩個(gè)復(fù)數(shù)的差的肯定值表示兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，得出等式的幾何意義，結(jié)合雙曲線的定義，即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿（i是虛數(shù)單位），在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去到點(diǎn)的距離之差等于，而點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為，依據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)表示和為焦點(diǎn)的雙曲線的一支.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用，其中解答中依據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，結(jié)合雙曲線的定義求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的實(shí)力.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)復(fù)數(shù)，則___________.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)得到，再計(jì)算復(fù)數(shù)模得到答案.【詳解】，則，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，復(fù)數(shù)的模，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和轉(zhuǎn)化實(shí)力.14.我們知道：在平面內(nèi)，點(diǎn)到直線的距離公式為，通過(guò)類(lèi)比的方法，可求得在空間中，點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式類(lèi)比到空間點(diǎn)到平面的距離為，進(jìn)而可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】在平面內(nèi)，點(diǎn)到直線的距離公式為，類(lèi)比到空間中，則點(diǎn)到平面的距離為，因此，點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查類(lèi)比推理，考查點(diǎn)到平面的距離的計(jì)算，考查推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.15.設(shè)，則集合的子集個(gè)數(shù)是___________.【答案】8【解析】【分析】化簡(jiǎn)得到，計(jì)算結(jié)合復(fù)數(shù)乘方的周期性得到，得到答案.詳解】，，，，，，依據(jù)的周期性知，子集個(gè)數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，集合的子集，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和綜合應(yīng)用實(shí)力，周期性的利用是解題的關(guān)鍵.16.給出下列命題：①線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱；②用來(lái)刻畫(huà)回來(lái)效果，越大，說(shuō)明模型的擬合效果越好；③依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得出的的值越大，兩類(lèi)變量相關(guān)的可能性就越大；④在回來(lái)分析模型中，殘差平方和越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好；⑤從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè)，這樣的抽樣是分層抽樣．其中真命題的序號(hào)是_______．【答案】②③④【解析】【分析】依據(jù)“殘差”的意義?線性相關(guān)系數(shù)和相關(guān)指數(shù)的意義等統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)問(wèn)，逐項(xiàng)推斷，即可作出正確的推斷．【詳解】對(duì)①，依據(jù)線性相關(guān)系數(shù)的肯定值越接近，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱，故①錯(cuò)誤；對(duì)②，依據(jù)用相關(guān)指數(shù)刻畫(huà)回來(lái)的效果時(shí)，的值越大說(shuō)明模型的擬合效果就越好，故②正確；對(duì)③，2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得出的越大，“與有關(guān)系”可信程度越大，相關(guān)性就越大，故③正確；對(duì)④，依據(jù)比較模型的擬合效果，可以比較殘差平方和的大小，殘差平方和越小的模型，擬合效果就越好，故④正確；對(duì)⑤，新產(chǎn)品沒(méi)有明顯差異，抽取時(shí)間間隔相同，故屬于系統(tǒng)抽樣，故⑤錯(cuò)誤.綜上所述，正確的是②③④.故答案為：②③④【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是駕馭統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本概念和“殘差”的意義?線性相關(guān)系數(shù)和相關(guān)指數(shù)的意義，考查了分析實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知m為實(shí)數(shù)，設(shè)復(fù)數(shù).（1）當(dāng)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)時(shí)，求m的值；（2）當(dāng)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線的上方，求m的取值范圍.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）干脆依據(jù)復(fù)數(shù)的類(lèi)型得到方程，解得答案.（2）直線的上方的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿意，代入數(shù)據(jù)解不等式得到答案.【詳解】（1）由題意得：，解得.（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的上方的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿意，即：，解得或，∴m的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)復(fù)數(shù)的類(lèi)型和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和轉(zhuǎn)化實(shí)力.18.（1）已知，求證：；（2）若x，y都是正實(shí)數(shù)，且，用反證法證明：與中至少有一個(gè)成立.【答案】（1）證明見(jiàn)解析.（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用作差法即可證明（2）假設(shè)，，從而可得，，兩不等式相加即可找出沖突點(diǎn)，即證.【詳解】（1），∵，∴，，，從而：，∴.（2）假設(shè)，，則，，所以，所以，與條件沖突，所以假設(shè)不成立，即與中至少有一個(gè)成立.【點(diǎn)睛】本題考查了作差法證明不等式、反證法，反證法關(guān)鍵找出沖突，屬于基礎(chǔ)題.19.為了探討“教學(xué)方式”對(duì)教學(xué)質(zhì)量的影響，某中學(xué)數(shù)學(xué)老師分別用兩種不同的教學(xué)方式對(duì)入學(xué)數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個(gè)高一新班進(jìn)行教學(xué)（勤奮程度和自覺(jué)性都一樣）.以下莖葉圖為甲、乙兩班（每班均為20人）學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成果．（1）學(xué)校規(guī)定：成果不低于75分的為優(yōu)秀．請(qǐng)畫(huà)出下面的列聯(lián)表．

甲班

乙班

合計(jì)

優(yōu)秀

不優(yōu)秀

合計(jì)

（2）推斷有多大把握認(rèn)為“成果優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”．下面臨界值表僅供參考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

參考公式：【答案】（1）表格解析；（2）有97.5％的把握認(rèn)為成果優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)．【解析】試題分析：解題思路：（1）依據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，按不同區(qū)間進(jìn)行填表即可；（2）利用公式求值，結(jié)合臨界值表進(jìn)行推斷.規(guī)律總結(jié)：以圖表給出的統(tǒng)計(jì)題目一般難度不大，主要考查頻率直方圖、莖葉圖、頻率分布表給出；利用列聯(lián)表判定兩個(gè)變量間的相關(guān)性，要正確列出或補(bǔ)充完整列聯(lián)表，利用公式求值，結(jié)合臨界值表進(jìn)行推斷.試題解析:（1）

甲班

乙班

合計(jì)

優(yōu)秀

6

14

20

不優(yōu)秀

14

6

20

合計(jì)

20

20

40

（2）=因此，我們有97.5％的把握認(rèn)為成果優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān).考點(diǎn)：1.莖葉圖；2.獨(dú)立性檢驗(yàn).20.數(shù)列中，，（1）求，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列.【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）依據(jù)，分別令，即可求解的值，猜想得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由，得到，利用等差數(shù)列的定義，即可得到證明.【詳解】（1）由題意，數(shù)列中，，，令，可得；令，可得；令，可得；所以，猜想：數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由，可得，即（常數(shù)），又由，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以為公差的是等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及利用等差數(shù)列的定義的應(yīng)用，考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.21.已知點(diǎn)是橢圓C：上的一點(diǎn)，橢圓C的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，斜率為直線l交橢圓C于B，D兩點(diǎn)，且A、B、D三點(diǎn)互不重合．（1）求橢圓C的方程；（2）若分別為直線AB，AD的斜率，求證：為定值．【答案】（1）（2）詳見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）依據(jù)橢圓的定義和幾何性質(zhì)，建立方程，即可求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線BD的方程為，代入橢圓方程，設(shè)D（x1，y1），B（x2，y2），直線AB、AD的斜率分別為：，則，由此導(dǎo)出結(jié)果.【