自動(dòng)控制理論4復(fù)域根軌跡法2

6、根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)

分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)：1設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)特征方程2根軌跡在s平面上相遇，表明系統(tǒng)有相同的根。即根軌跡上的分離點(diǎn)(或會(huì)合點(diǎn))與特征方程式的重根相對應(yīng)。若為二重根，必同時(shí)滿足和。因此求得：消去，可得到：

以上分析沒有考慮(且為實(shí)數(shù))的約束條件，所以只有滿足的這些解，才是真正的分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。3例:設(shè)系統(tǒng)試求該系統(tǒng)根軌跡在實(shí)軸上的會(huì)合點(diǎn)。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：求得：代入特征方程1+G(s)H(s)=0檢驗(yàn)：s1代入，求得：K1＜0，故舍去；s2代入，求得K1＞0。所以s2會(huì)合點(diǎn)。(舍去)

4另外兩種表達(dá)形式：(1)因?yàn)榱?即得到5仍以上例說明:因?yàn)榱钋蟮?舍去)

6(2)

因?yàn)榧雌渲屑此?/p>

-7仍以上例說明:因?yàn)橄シ帜附馍鲜降玫? 經(jīng)檢驗(yàn)，s2是根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)。

對于采用上述三種方法，所得結(jié)果完全一致。由于后面兩種方法都是從第一種方法派生出來的，所以求得的結(jié)果一定要檢驗(yàn)，舍去K＜0所對應(yīng)的值。

（舍去）8復(fù)雜情況用試探法。在-2

-3之間存在一個(gè)分離點(diǎn)。所以分離點(diǎn)的位置為97、根軌跡的出射角與入射角出射角(或入射角)是指根軌跡離開復(fù)數(shù)極點(diǎn)(或終止復(fù)零點(diǎn))處切線的傾角。10若根軌跡的一個(gè)分支離開復(fù)極點(diǎn)的出射角為，則（各零點(diǎn)到的向量幅角之和）

（其它各極點(diǎn)到的向量幅角之和）

若根軌跡的一個(gè)分支終止于復(fù)零點(diǎn)的入射角為，則

(各極點(diǎn)到的向量幅角之和)

(其它各零點(diǎn)到的向量幅角之和)

11出射角:

128.根軌跡與虛軸交點(diǎn)

根軌跡與虛軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為滿足特征方程的值。工作在此點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。介紹二種常用的求交點(diǎn)的方法。(1)

利用特征方程求取。用替代s，令虛部、實(shí)部分別等于零，求得和對應(yīng)的K1。(2)利用勞斯陣列求取。將勞斯陣列中s2行系數(shù)構(gòu)造的輔助方程求得。若根軌跡與虛軸的交點(diǎn)多于兩個(gè)，則應(yīng)取勞斯陣列中大于2的偶次方行的系數(shù)構(gòu)造的輔助方程求得。13９.根之和與根之積閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和1410.根軌跡上K0值的計(jì)算根軌跡上任一點(diǎn)S1處的K0可由幅值條件來確定。即

15繪制根軌跡圖的規(guī)則序內(nèi)容規(guī)則1起點(diǎn)終點(diǎn)起始于開環(huán)的極點(diǎn)，終止于開環(huán)傳的零點(diǎn)（包括無限零點(diǎn)）2分支數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)（n

m）3對稱性關(guān)于實(shí)軸對稱4漸近線相交于實(shí)軸上的一點(diǎn)：坐標(biāo)為：傾角為：5實(shí)軸上分布實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上某一區(qū)間內(nèi)存在根軌跡，則其右邊開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)數(shù)之和必為奇數(shù)16繪制根軌跡圖的規(guī)則序內(nèi)容規(guī)則6分離（會(huì)合）點(diǎn)實(shí)軸上的分離（會(huì)合）點(diǎn)7出射角入射角復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的出射角：復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的入射角：8虛軸交點(diǎn)（1）滿足特征方程的值；（2）由勞斯陣列求得及K0的值；9K1計(jì)算根軌跡上任一點(diǎn)處的K1：17

例1:

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試畫根軌跡。解：起點(diǎn)：0，-4，-6

終點(diǎn)：3個(gè)無限零點(diǎn)（1）漸近線的夾角：漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：（2）分離點(diǎn)：

即 （舍去）18（3）與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0令代入，求得實(shí)部方程:

虛部方程： 解得：

(舍去)1920例2系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制根軌跡圖解：開環(huán)極點(diǎn)：0、-3、-1+j、-1-j

開環(huán)零點(diǎn)：4個(gè)無限零點(diǎn)(1)漸近線：應(yīng)有n-m=4-0=4條漸近線。漸近線的傾角：漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：

(2)實(shí)軸上的根軌跡：0

-321(3)分離點(diǎn)：利用試探法求得(4)極點(diǎn)-p3的出射角：不難求得極點(diǎn)-p1、-p2、-p4到-p3的幅角分別、、.所以同理不難求得極點(diǎn)-p4處的出射角：(5)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：

方法一：由特征方程求：特征方程：22實(shí)部方程： 虛部方程： 解得：方法二：由勞斯陣列求：列出勞斯陣列令s1行首項(xiàng)為零，即求K1=8.16得，再根據(jù)行s2系數(shù)得到輔助方程

(舍去)2324P118例3已知一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試證明該系統(tǒng)根軌跡的復(fù)數(shù)部分為一圓，分析K對系統(tǒng)性能的影響，并求系統(tǒng)最小阻尼比所對應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)。證明：根據(jù)相角條件：令：25即：等式兩端取正切：26無論K>0取何值，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)均位于s平面的做左側(cè)，系統(tǒng)穩(wěn)定。27習(xí)題４-２４-３４-４（１）（２）284.3控制系統(tǒng)性能的復(fù)域分析

——根軌跡法29

例1:

設(shè)一單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試畫根軌跡。解：起點(diǎn)：0，-4，-6

終點(diǎn)：3個(gè)無限零點(diǎn)（1）漸近線的夾角：漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：（2）分離點(diǎn)：

即 （舍去）30（3）與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0令代入，求得實(shí)部方程:

虛部方程： 解得：

(舍去)3132根軌跡分析：1．穩(wěn)定性分析：當(dāng)K1=240時(shí)，有一對虛根，處于臨界穩(wěn)定，輸出等幅振蕩。當(dāng)K1>240時(shí)，根軌跡曲線進(jìn)入S右半平面，系統(tǒng)有一對正實(shí)部的共軛復(fù)根，因此系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)K1<240時(shí)，系統(tǒng)根的實(shí)數(shù)部分均為負(fù)值，即根都分布在S左半平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2．穩(wěn)態(tài)性能分析：系統(tǒng)的開環(huán)根跡增益K1與開環(huán)放大系數(shù)成正比，因此對穩(wěn)定的系統(tǒng)來說，K1越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小，穩(wěn)態(tài)性能也越好，但K1最終不能大于240，否則，系統(tǒng)將出現(xiàn)不穩(wěn)定狀態(tài)。333．動(dòng)態(tài)性能分析：

當(dāng)0<K1≤17時(shí)，該系統(tǒng)的根為負(fù)實(shí)數(shù)，此時(shí)可看成三個(gè)慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，系統(tǒng)輸出具有非周期特性。

當(dāng)17<K1<240時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)根軌跡分支進(jìn)入復(fù)平面，產(chǎn)生一對共軛復(fù)根，使系統(tǒng)的階躍響應(yīng)帶有振蕩的特性。隨著K1增大，復(fù)根越靠近虛軸，輸出振蕩越厲害。

341.

求K1=15時(shí)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)；解：利用幅值條件，用試探法當(dāng)s=-1.5,K1=16.875當(dāng)s=-1.4,K1=16.744