高考數(shù)學(xué)第一輪基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)教案-第十二編概率與統(tǒng)計(jì)

第十二編概率與統(tǒng)計(jì)

§12.1隨機(jī)事件的概率

----—自主學(xué)習(xí)一--------

Q基礎(chǔ)自測(cè)

①某事件發(fā)生的頻率為P(A

②不可能事件的概率為0,必然事件的概率為1

③小概率事件就是不可能發(fā)生的事件，大概率事件就是必然發(fā)生的事件

④某事件發(fā)生的概率是隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化的

答案①③④

2.給出下列三個(gè)命題，其中正確命題有個(gè).

①有一大批產(chǎn)品，已知次品率為10%,從中任取100件，必有10件是次品；②做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)

果3次出現(xiàn)正面，因此正面出現(xiàn)的概率是/；③隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率.

答案0

3.已知某臺(tái)紡紗機(jī)在1小時(shí)內(nèi)發(fā)生0次、1次、2次斷頭的概率分別是0.8,0.12,0.05,則這臺(tái)紡紗機(jī)在

1小時(shí)內(nèi)斷頭不超過(guò)兩次的概率和斷頭超過(guò)兩次的概率分別為，.

答案

4.甲、乙兩人下棋，兩人和棋的概率是工，乙獲勝的概率是2，則乙不輸?shù)母怕适?/p>

23--------

答案I

6

5.拋擲一粒骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A為出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，事件B為出現(xiàn)2點(diǎn)，已知P(A)=-,P(B)

2

=-,則出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)的概率之和為_(kāi)________.

6

答案-

3

一?—典例剖析—一?

例1盒中僅有4只白球5只黑球，從中任意取出一只球.

(1)“取出的球是黃球”是什么事件？它的概率是多少？

(2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？

(3)”取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？

解(1)“取出的球是黃球”在題設(shè)條件下根本不可能發(fā)生，因此它是不可能事件，其概率為0.

(2)“取出的球是白球”是隨機(jī)事件，它的概率是

9

(3)“取出的球是白球或黑球”在題設(shè)條件下必然要發(fā)生，因此它是必然事件，它的概率是1.

例2某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下進(jìn)行練習(xí)，結(jié)果如下表所示：

射擊次數(shù)n102050100200500

擊中10環(huán)次數(shù)m8194493178453

擊中10環(huán)頻率%

n

(1)計(jì)算表中擊中10環(huán)的各個(gè)頻率；

(2)這位射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，擊中10環(huán)的概率為多少？

解(1)擊中10環(huán)的頻率依次為0.8,0.95,0.88,0.93,0.89,0.906.

(2)這位射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，擊中10環(huán)的概率約是0.9.

例3(14分)國(guó)家射擊隊(duì)的某隊(duì)員射擊一次，命中7?10環(huán)的概率如下表所示：

命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)

概率

求該射擊隊(duì)員射擊一次

(1)射中9環(huán)或10環(huán)的概率；

(2)至少命中8環(huán)的概率；

(3)命中不足8環(huán)的概率.

解記事件“射擊一次，命中k環(huán)”為A-(kdN,kWIO),則事件4彼此互斥.2分

(1)記“射擊一次，射中9環(huán)或10環(huán)”為事件A,那么當(dāng)A,,A1。之一發(fā)生時(shí)，事件A發(fā)生，由互斥事

件的加法公式得

P(A)=P(A9)+P(A］。)=0.32+0.28=0.60.5分

(2)設(shè)“射擊一次，至少命中8環(huán)”的事件為B,那么當(dāng)A”A”A?,之一發(fā)生時(shí)，事件B

P(B)=P(As)+P(A9)+P(Alo)

=0.18+0.28+0.32=0.78.10

(3)由于事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”是事件B：“射擊一次，至少命中8環(huán)”的對(duì)立事件：即豆表

示事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式得

P(B)=1P(B)=10.78=0.22.14

----—知能遷移一

1.在12件瓷器中，有10件一級(jí)品，2件二級(jí)品，從中任取3件.

(1)“3件都是二級(jí)品"是什么事件？

(2)“3件都是一級(jí)品”是什么事件？

(3)“至少有一件是一級(jí)品”是什么事件？

解(1)因?yàn)?2件瓷器中，只有2件二級(jí)品，取出3件都是二級(jí)品是不可能發(fā)生的，故是不可能事件.

(2)“3件都是一級(jí)品”在題設(shè)條件下是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的，故是隨機(jī)事件.

(3)“至少有一件是一級(jí)品”是必然事件，因?yàn)?2件瓷器中只有2件二級(jí)品，取三件必有一級(jí)品.

2.某企業(yè)生產(chǎn)的乒乓球被08年北京奧委會(huì)指定為乒乓球比賽專用球.日前有關(guān)部門對(duì)某批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣

檢測(cè)，檢查結(jié)果如下表所示:

抽取球數(shù)n5010020050010002000

優(yōu)等品數(shù)m45921944709541902

優(yōu)等品頻率%

n

(1)計(jì)算表中乒乓球優(yōu)等品的頻率；

(2)從這批乒乓球產(chǎn)品中任取一個(gè)，質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率是多少？(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后三位)

解(1)依據(jù)公式p=㈣，可以計(jì)算出表中乒乓球優(yōu)等品的頻率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,

n

0.954,0.951.

(2)由(1)知，抽取的球數(shù)n不同，計(jì)算得到的頻率值雖然不同，但隨著抽取球數(shù)的增多，卻都在常

數(shù)0.950的附近擺動(dòng)，所以抽取一個(gè)乒乓球檢測(cè)時(shí)，質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率為0.950.

3.玻璃球盒中裝有各色球12只，其中5紅、4黑、2白、1綠，從中取1球，求：(1)紅或黑的概率；

(2)紅或黑或白的概率.

解方法一記事件AK從12只球中任取1球得紅球；

A2：從12只球中任取1球得黑球；

A3：從12只球中任取1球得白球；

A4：從12只球中任取1球得綠球，則

5421

(Al,P(A2)二3，P(A3),P(A4)=—

121212

根據(jù)題意，A］、A2>A3、A4彼此互斥,

由互斥事件概率加法公式得

(1)取出紅球或黑球的概率為

543

P(A,+A)=P(A】)+P(A)

2212124

(2)取出紅或黑或白球的概率為

P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)

12121212,

方法二(1)取出紅球或黑球的對(duì)立事件為取出白球或綠球，即A]+A2的對(duì)立事件為A3+A4,

???取出紅球或黑球的概率為

P(AI+A2)=1P(A3+A4)=1P(A3)P(A4)

二1]—2—1=9—=3一

1212124,

(2)Ai+Az+As的對(duì)立事件為A*

P(A1+A2+A3)=1P(A<)=1—=—.

1212

活頁(yè)作業(yè)一

一、填空題

L在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4,5的五個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同.現(xiàn)從中

隨機(jī)取出2個(gè)小球，則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是.

答案I

2.某入伍新兵的打靶練習(xí)中，連續(xù)射擊2次，則事件“至少有1次中靶”的互斥事件是(寫

出一個(gè)即可).

答案2次都不中靶

3.甲：A］、A?是互斥事件；乙：A、4是對(duì)立事件，那么甲是乙的條件.

答案必要不充分

4.將一顆質(zhì)地均勻的骰子(它是一種各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6的正方體玩具)先后拋擲3次,

至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率是.

5.一個(gè)口袋內(nèi)裝有一些大小和形狀都相同的白球、黑球和紅球，從中摸出一個(gè)球，摸出紅球的概率是0.3,

摸出白球的概率是0.5,則摸出黑球的概率是.

答案

6.在第3、6、16路公共汽車的一個(gè)?？空?假定這個(gè)車站只能?？恳惠v公共汽車)，有一位乘客需在5分

鐘之內(nèi)乘上公共汽車趕到廠里，他可乘3路或6路公共汽車到廠里，已知3路車、6路車在5分鐘之內(nèi)

到此車站的概率分別為0.20和0.60,則該乘客在5分鐘內(nèi)能乘上所需要的車的概率為.

答案

7.中國(guó)乒乓球隊(duì)甲、乙兩名隊(duì)員參加奧運(yùn)會(huì)乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率為T，乙?jiàn)Z得冠軍的

概率為工，那么中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為

4

答案—

28

8.甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率是40%,甲不輸?shù)母怕适?0%,則甲、乙二人下成和棋的概率為.

答案50%

二、解答題

9.某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21、0.23、0.25、0.28,計(jì)算

這個(gè)射手在一次射擊中：

(1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率；

(2)不夠7環(huán)的概率.

解(1)設(shè)“射中10環(huán)”為事件A,“射中9環(huán)”為事件B,由于A,B互斥，貝I」

P(A+B)=P(A)+P(B)=0.21+0.23=0.44.

(2)設(shè)“少于7環(huán)”為事件C,則

P(C)=1P(C)

=1(0.21+0.23+0.25+0.28)=0.03.

10.某醫(yī)院一天派出醫(yī)生下鄉(xiāng)醫(yī)療，派出醫(yī)生人數(shù)及其概率如下：

醫(yī)生人數(shù)012345人及以上

概率

求：(1)派出醫(yī)生至多2人的概率；

(2)派出醫(yī)生至少2人的概率.

解記事件A：“不派出醫(yī)生”，

事件B：“派出1名醫(yī)生”，

事件C：“派出2名醫(yī)生”，

事件D：“派出3名醫(yī)生”,

事件E：“派出4名醫(yī)生”，

事件F：“派出不少于5名醫(yī)生”.

???事件A,B,C,D,E,F彼此互斥，

且P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,

P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04.

(1)“派出醫(yī)生至多2人”的概率為

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)

=0.1+0.16+0.3=0.56.

(2)“派出醫(yī)生至少2人”的概率為

P(C+D+E+F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)

=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.

或IP(A+B)=10.10.16=0.74.

n.拋擲一個(gè)均勻的正方體玩具(各面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6),事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇

數(shù)”，事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過(guò)3"，求P(A+B).

解方法一因?yàn)锳+B的意義是事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，所以一次試驗(yàn)中只要出現(xiàn)1、2、3、5四個(gè)可

4?

能結(jié)果之一時(shí)，A+B就發(fā)生，而一次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果為6個(gè)，所以P(A+B)=y=~.

63

方法二記事件C為“朝上一面的數(shù)為2”，

則A+B=A+C,且A與C互斥.

又因?yàn)镻(C)=-,P(A)=-,

62

所以P(A+B)=P(A+C)=P(A)+P(C)

-_1+,_1__2

263.

方法三記事件D為“朝上一面的數(shù)為4或6”,則事件D發(fā)生時(shí)，事件A和事件B都不發(fā)生,即事件A+BA+B

發(fā)生即事件A發(fā)生或事件B發(fā)生時(shí)，事件D不發(fā)生，所以事件A+B與事件D為對(duì)立事件.

71

因?yàn)镻(D)二一二一,

63

19

所以P(A+B)=IP(D)=1-=-.

33

12.袋中有12個(gè)小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率為工，得到黑球

4

或黃球的概率是工，得到黃球或綠球的概率是工，試求得到黑球、黃球、綠球的概率各是多少？

122

解分別記得到紅球、黑球、黃球、綠球?yàn)槭录嗀、B、C、D.由于A、B、C、D為互斥事件，根據(jù)已知得

到

1八、1

一+尸(3)+尸(。)+尸(。)=1P(B)=:

44

P(3)+P(C)=(解得?p(c)=：

o

P(C)+P(D)=<P(0=:

23

...得到黑球、黃球、綠球的概率各是工，

463

§12.2古典概型

自主學(xué)習(xí)

Q基礎(chǔ)自測(cè)

L從甲、乙、丙三人中任選兩名代表，甲被選中的概率為.

答案-

3

2.擲一枚骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，則擲出奇數(shù)點(diǎn)的概率為.

答案-

2

3.袋中有2個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任意摸出2個(gè)，則至少摸出1個(gè)黑球的概率是.

答案

I6

4.一袋中裝有大小相同，編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8的八個(gè)球，從中有放回地每次取一個(gè)球，共取2

次，則取得兩個(gè)球的編號(hào)之和不小于15的概率為.

答案—

64

5.擲一枚均勻的硬幣兩次，事件M：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件N：“至少一次正面朝上”.

貝IJP(M)=,P(N)=.

答案工

2a4

--典例剖析—

例1有兩顆正四面體的玩具，其四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,下面做投擲這兩顆正四面體玩

具的試驗(yàn)：用(x,y)表示結(jié)果，其中x表示第1顆正四面體玩具出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示第2顆正四面體

玩具出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).試寫出：

(1)試驗(yàn)的基本事件；

(2)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于3”；

(3)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”.

解(1)這個(gè)試驗(yàn)的基本事件為:

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

1),(3,2),(3,3),(34),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).

(2)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于3”包含以下13個(gè)基本事件：

(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),

(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).

(3)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”包含以下4個(gè)基本事件:

(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).

例2甲、乙兩人參加法律知識(shí)競(jìng)答，共有10道不同的題目，其中選擇題6道，判斷題4道，甲、乙

兩人依次各抽一題.

(1)甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？

(2)甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？

解甲、乙兩人從10道題中不放回地各抽一道題，先抽的有10種抽法，后抽的有9種抽法，故所有可

能的抽法是10X9=90種，即基本事件總數(shù)是90.

(1)記“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”為事件A,下面求事件A包含的基本事件數(shù)：

甲抽選擇題有6種抽法，乙抽判斷題有4種抽法，所以事件A的基本事件數(shù)為6X4=24.

4

?QA)十福15

(2)先考慮問(wèn)題的對(duì)立面：“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題”的對(duì)立事件是“甲、乙兩人都未抽

到選擇題”，即都抽到判斷題.

記“甲、乙兩人都抽到判斷題”為事件B,“至少一人抽到選擇題”為事件C,則B含基本事件數(shù)為4X

3=12.

17?

...由古典概型概率公式，得P(B),

9015

由對(duì)立事件的性質(zhì)可得

2

P(C)=1P(B)=1二=匕13.

1515

例3(14分)同時(shí)拋擲兩枚骰子.

(1)求“點(diǎn)數(shù)之和為6”的概率；

(2)求“至少有一個(gè)5點(diǎn)或6點(diǎn)”的概率.

解同時(shí)拋擲兩枚骰子，可能的結(jié)果如下表:

123456

1(14)(1,2)(1,3)(1,6)

2(2,1)(2,2)(23^-(2,6)

3(3,1)(3^(3,5)(3,6)

4^(43)(4,4)(4,5)(4,6)

^2)

5(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

共有36個(gè)不同的結(jié)果.7分

(1)點(diǎn)數(shù)之和為6的共有5個(gè)結(jié)果，所以點(diǎn)數(shù)之和為6的概率P二工.10分

36

(2)方法一從表中可以得其中至少有一個(gè)5點(diǎn)或6點(diǎn)的結(jié)果有20個(gè)，所以至少有一個(gè)5點(diǎn)或6點(diǎn)的

概率

205-八

Pn二一二一.14分

369

方法二至少有一個(gè)5點(diǎn)或6點(diǎn)的對(duì)立事件是既沒(méi)有5點(diǎn)又沒(méi)有6點(diǎn)，如上表既沒(méi)有5點(diǎn)又沒(méi)有6點(diǎn)的

結(jié)果共有16個(gè)，則既沒(méi)有5點(diǎn)又沒(méi)有6點(diǎn)的概率P="=百，

369

所以至少有一個(gè)5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率為1±=9.14分

99

-----—知能遷移一

L某口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出2只球.

(1)共有多少個(gè)基本事件？

(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？

解(1)分別記白球?yàn)?,2,3號(hào)，黑球?yàn)?,5號(hào)，從中摸出2只球，有如下基本事件(摸到1,2號(hào)

球用(1,2)表示)：

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),

(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),

(3,5),(4,5).

因此，共有10個(gè)基本事件.

(2)如下圖所示，上述10個(gè)基本事件的可能性相同，且只有3個(gè)基本事件是摸到2只白球(記為事件

A),

3

即(1,2),(1,3),(2,3),故P(A).

10

/(1,2)(1,3加4)(1,50

A—卜§^^2,4)(2,5)

,\(3,4)(3,5)(4,5),

故共有10個(gè)基本事件，摸出2只球都是白球的概率為2.

2.(2008?山東文，18)現(xiàn)有8名奧運(yùn)會(huì)志愿者，其中志愿者A1、A2>A3通曉日語(yǔ)，B］、B2.B3通曉俄語(yǔ)，

孰、C2通曉韓語(yǔ)，從中選出通曉日語(yǔ)、俄語(yǔ)和韓語(yǔ)的志愿者各1名，組成一個(gè)小組.

(1)求A1被選中的概率；

(2)求&和C］不全被選中的概率.

解(1)從8人中選出日語(yǔ)、俄語(yǔ)和韓語(yǔ)志愿者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間

。={(Ai,Bi,Ci),(Ai,Bi,C2),(Ai,B2,Ci),(Ai,B2,C2),(Ai,B3,Ci),(Ai,B3,C2),(A2,Bi,Ci),(A2,Bi,C2)>(A2,

B2,Ci),(A2,B2,C2),(A2,B3,Ci),(A2,B3,C2),(A3,Bi,Ci),(A3,Bi,C2),(A3,B2,Ci),(A3,B2,C2),(A3,B3,Ci),

(A3,B3,C。}由18個(gè)基本事件組成.由于每一個(gè)基本事件被抽取的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的發(fā)生是

等

可能的.

用M表示“A1恰被選中”這一事件，貝IJ

M={(A1,B.,CD,(A1}B］,C2),(AbB2,C.),(AbB2,C2),(AbB3,Cj,凡B3,C2)}

事件M由6個(gè)基本事件組成，因而P(M)=￡=L.

183

(2)用N表示“B】、Ci不全被選中”這一事件，則其對(duì)立事件可表示“Bi、Ci全被選中”這一事件，由

于曾={(AbBbCt),(A2,B“GI),(AsBC)},事件齊有3個(gè)基本事件組成，

所以P(方)=」=_L,由對(duì)立事件的概率公式得

186

一15

P(N)=1P(N)=1-=-.

66

3.袋中有6個(gè)球，其中4個(gè)白球，2個(gè)紅球，從袋中任意取出兩球，求下列事件的概率：

(1)A:取出的兩球都是白球；

(2)B：取出的兩球1個(gè)是白球，另1個(gè)是紅球.

解設(shè)4個(gè)白球的編號(hào)為1,2,3,4,2個(gè)紅球的編號(hào)為5,6.

從袋中的6個(gè)小球中任取兩個(gè)的方法為(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),

(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15個(gè).

(1)從袋中的6個(gè)球中任取兩個(gè)，所取的兩球全是白球的總數(shù)，即是從4個(gè)白球中任取兩個(gè)的方法總數(shù),

共有6個(gè)，即為(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).

...取出的兩個(gè)球全是白球的概率為P(A)=^=|.

(2)從袋中的6個(gè)球中任取兩個(gè)，其中1個(gè)為紅球，而另1個(gè)為白球，其取法包括(1,5),(1,6),

(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)共8個(gè).

取出的兩個(gè)球1個(gè)是白球，另1個(gè)是紅球的概率

P(B)=—.

15

———活頁(yè)作業(yè)———

一、填空題

P”第10個(gè)人摸出黑球的概率是Pm則P*P,(填或.

答案=

2.采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有n個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為3的樣本，若個(gè)體a前2次未被抽到，第3

次被抽到的概率等于個(gè)體a未被抽到的概率的工倍，則個(gè)體a被抽到的概率為

3

答案-

2

3.有一個(gè)奇數(shù)列1,3,5,7,9,現(xiàn)在進(jìn)行如下分組，第一組有1個(gè)數(shù)為1,第二組有2個(gè)數(shù)為3、5,

第三組有3個(gè)數(shù)為7、9、H,…，依此類推，則從第十組中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)恰為3的倍數(shù)的概率

為.

答案5

4.從數(shù)字1,2,3中任取兩個(gè)不同數(shù)字組成兩位數(shù)，該數(shù)大于23的概率為.

答案-

3

A={1,2},B={1,2,3),分別從集合A和B中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a和b,確定平面上的一個(gè)點(diǎn)P(a,b),記“點(diǎn)

P(a,b)落在直線x+y=n上”為事件C?(2WnW5,ndN),若事件C”的概率最大，則n的所有可能值

為.

答案3和4

m、n作為點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)，則點(diǎn)P在直線x+y=5下方的概率是.

答案

7.(2008?江蘇，2)一個(gè)骰子連續(xù)投2次，點(diǎn)數(shù)和為4的概率為.

答案《

8.(2008?上海文，8)在平面直角坐標(biāo)系中，從五個(gè)點(diǎn)：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1),D(0,2)、

E(2,2)中任取三個(gè)，這三點(diǎn)能構(gòu)成三角形的概率是(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示).

答案?

二、解答題

9.5張獎(jiǎng)券中有2張是中獎(jiǎng)的，首先由甲然后由乙各抽一張，求：

(1)甲中獎(jiǎng)的概率P(A)；

(2)甲、乙都中獎(jiǎng)的概率；

(3)只有乙中獎(jiǎng)的概率；

(4)乙中獎(jiǎng)的概率.

解(1)甲有5種抽法，即基本事件總數(shù)為5.中獎(jiǎng)的抽法只有2種，即事件“甲中獎(jiǎng)”包含的基本事

件數(shù)為2,故甲中獎(jiǎng)的概率為PL

(2)甲、乙各抽一張的事件中，甲有五種抽法，則乙有4種抽法，故所有可能的抽法共5X4=20種，甲、

乙都中獎(jiǎng)的事件中包含的基本事件只有2種，故P否二7=-1L.

2010

(3)由(2)知，甲、乙各抽一張獎(jiǎng)券，共有20種抽法，只有乙中獎(jiǎng)的事件包含“甲未中”和“乙中”

兩種情況，故共有3X2=6種基本事件，..十產(chǎn)九=2.

2010

(4)由(1)可知，總的基本事件數(shù)為5,中獎(jiǎng)的基本事件數(shù)為2,故P尸不.

10.箱中有a個(gè)正品，b個(gè)次品，從箱中隨機(jī)連續(xù)抽取3次，在以下兩種抽樣方式下：(1)每次抽樣后不放

回；(2)每次抽樣后放回.求取出的3個(gè)全是正品的概率.

解(1)若不放回抽樣3次看作有順序，則從a+b個(gè)產(chǎn)品中不放回抽樣3次共有A種方法，從a個(gè)正

品中不放回抽樣3次共有A：種方法，可以抽出3個(gè)正品的概率P=.若不放回抽樣3次看作無(wú)順序,

則從a+b個(gè)產(chǎn)品中不放回抽樣3次

共有種方法，從a個(gè)正品中不放回抽樣3次共有C1種方法，可以取出3個(gè)正品的概率P=學(xué).

Ca+b

兩種方法結(jié)果一致.(2)從a+b個(gè)產(chǎn)品中有放回的抽取3次，每次都有a+b種方法，所以共有(a+b)3

種不同的方法，而3個(gè)全是正品的

抽法共有d種，所以3個(gè)全是正品的概率

P-pV.

(<7+6)3ya+b)

11.袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取兩個(gè)球都是白球的概率為;.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸球，

甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有1人取到白球時(shí)即終止.每個(gè)球在每一次被

取出的機(jī)會(huì)是等可能的.

(1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；

(2)求取球2次終止的概率；

(3)求甲取到白球的概率.

解(1)設(shè)袋中有n個(gè)白球，從袋中任取2個(gè)球是白球的結(jié)果數(shù)是她二名.

2

從袋中任取2個(gè)球的所有可能的結(jié)果數(shù)為也=21.

2

n(n—1)

由題意知工=—?_=皿二D,

72142

An(nl)=6,解得n=3(舍去n=2).

故袋中原有3個(gè)白球.

(2)記“取球2次終止”為事件A,則P(A)

7x67

(3)記“甲取到白球”的事件為B,

“第i次取到白球“為A”i=L2,3,4,5,

因?yàn)榧紫热?，所以甲只有可能在?次，第3次和第5次取球.

所以P(B)=P(A1+A3+A5).

因此Ai,A3,A5兩兩互斥，

AP(B)=P(AD+P(A3)+P(A5)

=3+4X3X3+4X3X2X1X3

77x6x57x6x5x4x3

__3+__6+_1__2_2_

7353535,

12.(2008?海南、寧夏文，19)為了了解《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》在學(xué)生中的普及情況，調(diào)查

部門對(duì)某校6名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,6人得分情況如下：

5,6,7,8,9,10.

把這6名學(xué)生的得分看成一個(gè)總體.

(1)求該總體的平均數(shù)；

⑵用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從這6名學(xué)生中抽取2名，他們的得分組成一個(gè)樣本.求該樣本平均數(shù)與總體平均

數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5的概率.

解(1)總體平均數(shù)為1(5+6+7+8+9+10)=7.5.

6

(2)設(shè)A表示事件.

從總體中抽取2個(gè)個(gè)體全部可能的基本結(jié)果有：

(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),

(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共15個(gè)基本結(jié)果.

事件A包括的基本結(jié)果有：(5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),共有7個(gè)

基本結(jié)果.

7

所以所求的概率為P(A)=—.

§12.3幾何概型

----—自主學(xué)習(xí)一

Q基礎(chǔ)自測(cè)

1.質(zhì)點(diǎn)在數(shù)軸上的區(qū)間［0,2］上運(yùn)動(dòng)，假定質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)在該區(qū)間各點(diǎn)處的概率相等，那么質(zhì)點(diǎn)落在區(qū)間

［0,1］上的概率為.

答案-

2

2.某人向圓內(nèi)投鏢，如果他每次都投入圓內(nèi)，那么他投中正方形區(qū)域的概率為.

答案-

71

3.某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點(diǎn)的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他候車時(shí)間不超過(guò)3分鐘的概率

是.

答案|

D是半徑為R的圓周上的一定點(diǎn)，在圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)C,連接CD得一弦，若A表示“所得弦的長(zhǎng)大于圓

內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)”，則P(A)=.

答案-

3

5.如圖所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線0T落在30°角的終邊上，任作一條射線0A,%］

則射線0A落在NyOT內(nèi)的概率為.\

答案I1

—典例剖析一----

例1有一段長(zhǎng)為10米的木棍，現(xiàn)要截成兩段，每段不小于3米的概率有多大？

解記“剪得兩段都不小于3米”為事件A,從木棍的兩端各度量出3米，這樣中間就有10-3-3=4(米).

在中間的4米長(zhǎng)的木棍處剪都能滿足條件，

10-3-3

所以P(A)二—二0.4.

W10

例2街道旁邊有一游戲：在鋪滿邊長(zhǎng)為9cm的正方形塑料板的寬廣地面上，擲一枚半徑為1cm的小圓

板，規(guī)則如下：每擲一次交5角錢，若小圓板壓在正方形的邊，可重?cái)S一次；若擲在正方形內(nèi)，須再交

5角錢可玩一次；若擲在或壓在塑料板的頂點(diǎn)上，可獲1元錢.試問(wèn)：

(1)小圓板壓在塑料板的邊上的概率是多少？

(2)小圓板壓在塑料板頂點(diǎn)上的概率是多少？

解（1）考慮圓心位置在中心相同且邊長(zhǎng)分別為7cm和9cm的正方形圍成的區(qū)域內(nèi)，所以概率為

92-72_32

8?'

（2）考慮小圓板的圓心在以塑料板頂點(diǎn)為圓心的工圓內(nèi)，因正方形有四個(gè)頂點(diǎn)，所以概率為彳==.

49281

例3（14分）在1升高產(chǎn)小麥種子中混入一粒帶麥銹病的種子，從中隨機(jī)取出10毫升，含有麥銹病

種子的概率是多少？從中隨機(jī)取出30毫升，含有麥銹病種子的概率是多少？

解1升二1000毫升，1分

記事件A：”取出10毫升種子含有這粒帶麥銹病的種子”.3分

則P（A）=TW=0,01'即取出10毫升種子含有這粒帶麥銹病的種子的概率為0.0L7分

記事件B：“取30毫升種子含有帶麥銹病的種子”.9分

則P（B）=V=0.03,即取30毫升種子含有帶麥銹病的種子的概率為0.03.14

分

例4在RtZ\ABC中，ZA=30",過(guò)直角頂點(diǎn)C作射線CM交線段AB于M,求使|AM|>|AC|的概率.

解設(shè)事件D“作射線CM,使|AM>|AC|.

在AB上取點(diǎn)C'使|AC'|=|AC|,因?yàn)椤鰽CC，是等腰三角形，

所以“ACC，=旭旦寧5。，

2A

jUA=9075=15,〃Q=90,所以，P（D）=1|=1.

例5甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì)面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過(guò)時(shí)即可離

去.求兩人能會(huì)面的概率.

解以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間，則兩人能夠會(huì)面的充要條件是ky|W15.

在如圖所示平面直角坐標(biāo)系下，（x,y）的所有可能結(jié)果是邊長(zhǎng)為60的正方形區(qū)域，而事件A“兩人能夠

會(huì)面”的可能結(jié)果由圖中的陰影部分表示.由幾何概型的概率公式得：

22

p(A)=jA=60-45=3600-2025

S602360016

7

所以，兩人能會(huì)面的概率是

16

----—知能遷移一

1.如圖所示，A、B兩盞路燈之間長(zhǎng)度是30米，由于光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈C、D,問(wèn)A

與C,B與D之間的距離都不小于10米的概率是多少？

ACDB

解記E：“A與C,B與D之間的距離都不小于10米”，把AB三等分，由于中間長(zhǎng)度為30X-=10（米），

3

2.（2008?江蘇，6）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)

域，E是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨機(jī)投一點(diǎn)，則落入E中的概率為.

答案-

16

3.如圖所示，有一杯2升的水，其中含有1個(gè)細(xì)菌，用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1升水，求小杯水中含

有這個(gè)細(xì)菌的概率.

解記“小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌”為事件A,則事件A的概率只與取出的水的體積有關(guān)，符合幾何概型

的條件.

；〃4=0.1升，〃0=2升，

，由幾何概型求概率的公式，

得P(A)=^-=—=—=0.05.

Afi220

的扇形A0B中，以圓心0為起點(diǎn)作射線0C,求使得NA0C和NB0C都不小于30°的概率.

解如圖所示，把圓弧個(gè)三等分，則NA0F=NB0E=30°,記A為“在扇形A0B內(nèi)作一射線0C,使

NA0C和NB0C都不小#如”，要使NA0C和NB0C都不小于30°,則0C就落在NE0F內(nèi)，

I的棒隨機(jī)折成3段，求3段構(gòu)成三角形的概率.

解設(shè)人="3段構(gòu)成三角形”，x,y分別表示其中兩段的長(zhǎng)度，則第3段的長(zhǎng)度為Ixy.

則試驗(yàn)的全部結(jié)果可構(gòu)成集合

。={(x,y)0<x<l,0<y<l,0<x+y<l},

要使3段構(gòu)成三角形，當(dāng)且僅當(dāng)任意兩段之和大于第3段，gPx+y>lxy=>x+y>I,x+|xy>y

=>y<—,y+lxy>x=>x<—.

22

故所求結(jié)果構(gòu)成集合

kA=Ux,y)\x+y>I-,yI<-,Ix<-

由圖可知，所求概率為

A的面積_2(2>1_1

P(A)

。的面積I24

T

活頁(yè)作業(yè)

一、填空題

1.在區(qū)間(15,25］內(nèi)的所有實(shí)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a,則這個(gè)實(shí)數(shù)滿足17<aV20的概率是

答案I

AB上任取一點(diǎn)G,用AG為半徑作圓，則圓的面積介于36萬(wàn)平方厘米到64萬(wàn)平方厘米的概率

是.

A________—

CGDB

答案|

3.當(dāng)你到一個(gè)紅綠燈路口時(shí)，紅燈的時(shí)間為30秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為45秒，那么你看到

黃燈的概率是.

答案今

4.如圖為一半徑為2的扇形（其中扇形中心角為90。）,在其內(nèi)部隨機(jī)地撒一粒黃豆，則它落在陰影部分

的概率為.

2

答案」

7T

S的AABC的邊AB上任取一點(diǎn)P,則4PBC的面積大于2的概率是________.

4

答案T

4

ABCD—ABCD內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球0,則在正方體ABCD—ABCD內(nèi)任取點(diǎn)M,點(diǎn)M在球0內(nèi)的概率是.

答案m

6

7.已知下圖所示的矩形，其長(zhǎng)為12,寬為5.在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒1000顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)

為550顆，則可以估計(jì)出陰影部分的面積約為.

答案33

8.在區(qū)間（0,1）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則事件“兩數(shù)之和小于的概率為.

答案H

二、解答題

9.射箭比賽的箭靶涂有5個(gè)彩色的分環(huán)，從外向內(nèi)白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心為金色，金色靶心叫“黃

心”，奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑是122cm,靶心直徑12.2cm,運(yùn)動(dòng)員在70米外射箭，假設(shè)都能中靶，且射

中靶面內(nèi)任一點(diǎn)是等可能的，求射中“黃心”的概率.

解記“射中黃心”為事件A,由于中靶點(diǎn)隨機(jī)的落在面積為人乃X122,cm，的大圓

4

內(nèi)，而當(dāng)中靶點(diǎn)在面積為人"x2cll)2的黃心時(shí)，事件A發(fā)生，于是事件A發(fā)生

4

的概率

1n

-71X1222

P(A)--------=0.01,

工萬(wàn)X1222

4

所以射中“黃心”的概率為0.01.

10.假設(shè)你家