概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)大綱

一、概率論的基本概念

內(nèi)容隨機(jī)事件與樣本空間事件的關(guān)系與運(yùn)算完備事件組概率的概念和基本性質(zhì)

古典型概率幾何型概率條件概率概率的基本公式事件的獨(dú)立性獨(dú)立重復(fù)試

驗(yàn)

考點(diǎn)1.掌握事件的關(guān)系及運(yùn)算.2.理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質(zhì)，

會(huì)計(jì)算古典型概率，掌握概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式以及貝葉

斯(Bayes)公式等.3.理解事件的獨(dú)立性的概念，掌握用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算.二、

隨機(jī)變量及其分布

內(nèi)容隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念及其性質(zhì)離散型隨機(jī)變量的概率分布

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度常見隨機(jī)變量的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布

考點(diǎn)1.理解隨機(jī)變量的概念，理解分布函數(shù)尸。)=?乂<幻(一8<%<8)的概念及

性質(zhì)，掌握與隨機(jī)變量相聯(lián)系的事件的概率計(jì)算方法.

2.理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念及性質(zhì)，掌握0—1分布、二項(xiàng)分布

B(〃,p)、泊松(Poisson分布.3.理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念及性質(zhì)，

掌握均勻分布U(a,b)、正態(tài)分布Ng。？、指數(shù)分布，其中參數(shù)為

2(/1>0)(注：此時(shí)/=1/仍的指數(shù)分布E(2)的概率密度為

4.掌握離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律求法，掌握連續(xù)型值機(jī)變量函數(shù)的概率密度求法

(分布函數(shù)法和單調(diào)函數(shù)下的公式法).三、多維隨機(jī)變量及其分布

內(nèi)容多維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)二維離散型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布、條

件分布二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、邊緣概率密度、條件概率密度隨機(jī)變量的

獨(dú)立性和不相關(guān)性常見二維隨機(jī)變量的分布兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

考點(diǎn)1.理解二維離散型隨機(jī)變量的概率分布和二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度及

其性質(zhì)，掌握二維隨機(jī)變量的邊緣分布(離散型下邊緣分布律、連續(xù)型下邊緣密度的計(jì)

算).

2.理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性的概念，掌握隨機(jī)變量相互獨(dú)立的判別

方法，理解隨機(jī)變量的不相關(guān)性與獨(dú)立性的關(guān)系.3.掌握與二維隨機(jī)變量相聯(lián)系的事件

的概率計(jì)算方法.

4.掌握由兩個(gè)離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律求其函數(shù)的分布律方法，會(huì)根據(jù)兩

個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度求其函數(shù)的概率密度.5.會(huì)計(jì)算二維隨機(jī)變量分量的

條件分布.

四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征

內(nèi)容隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（均值）方差及其性質(zhì)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望協(xié)方差、

相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì)

考點(diǎn)1理解隨機(jī)變量數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)）的概

念，會(huì)運(yùn)用數(shù)字特征的基本性質(zhì)，并掌握常用分布的期望、方差.2.掌握隨機(jī)變量及

其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望求法.

3.利用協(xié)方差或相關(guān)系數(shù)判別隨機(jī)變量是否不相關(guān).

五、大數(shù)定律及中心極限定理

考點(diǎn)1.掌握切比雪夫不等式的表達(dá).2.了解大數(shù)定律和中心極限定理內(nèi)容.

六樣本及抽樣分布

內(nèi)容總體個(gè)體簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本統(tǒng)計(jì)量樣本均值樣本方差和樣本矩片2分布

，分布分位點(diǎn)正態(tài)總體的常用抽樣分布

考點(diǎn)L了解總體、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量、樣本均值、樣本方差及樣本矩的概念,

其中樣本方差定義為S?=62（XL，）。

2.了解產(chǎn)生/變量、f變量的典型模式；了解標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、力2分布、t分

布的上側(cè)a分位點(diǎn).

3.掌握單個(gè)正態(tài)總體的樣本均值、樣本方差的抽樣分布（定理1-3），了解兩個(gè)

正態(tài)總體均值差和方差比的抽樣分布（定理4）.

七、參數(shù)估計(jì)

內(nèi)容點(diǎn)估計(jì)的概念估計(jì)量與估計(jì)值矩估計(jì)法最大似然估計(jì)法區(qū)間估計(jì)

考點(diǎn)1.了解參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、估計(jì)量與估計(jì)值的概念.2.掌握矩估計(jì)法和最大

似然估計(jì)法.

3.掌握估計(jì)量的無偏性和有效的概念并會(huì)做出判斷.

4.掌握單個(gè)正態(tài)總體均值和方差的雙側(cè)置信區(qū)間求法.

5.了解單個(gè)正態(tài)總體均值和方差的單側(cè)置信區(qū)間求法，了解兩個(gè)正態(tài)總體

均值差、方差比的置信區(qū)間求法.

八、假設(shè)檢驗(yàn)

內(nèi)容原假設(shè)備擇假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量否定域檢驗(yàn)水平顯著性兩類錯(cuò)誤

考點(diǎn)1.了解假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤.

2.掌握單個(gè)正態(tài)總體方差已知和未知兩種情況下關(guān)于均值的雙邊檢驗(yàn)，了

解對(duì)應(yīng)問題的單邊檢驗(yàn).3.掌握單個(gè)正態(tài)總體方差的雙邊檢驗(yàn)，了解該問題的

單邊檢驗(yàn).

4.了解兩個(gè)正態(tài)總體均值差和方差比的假設(shè)檢驗(yàn).

5.知道假設(shè)檢驗(yàn)和參數(shù)區(qū)間估計(jì)的對(duì)偶關(guān)系.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)

第一章隨機(jī)事件及其概率

一、隨機(jī)事件及其運(yùn)算

1.樣本空間、隨機(jī)事件

①樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果，用3表示；②樣本空間：樣本點(diǎn)的全集，用C

表示；

注：樣本空間不唯一.③隨機(jī)事件：樣本點(diǎn)的某個(gè)集合或樣本空間的某個(gè)子集，用A,B,C「―

表示；

④必然事件就等于樣本空間；不可能事件（0）是不包含任何樣本點(diǎn)的空集；

⑤基本事件就是僅包含單個(gè)樣本點(diǎn)的子集。

2.事件的四種關(guān)系

①包含關(guān)系：AuB,事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生；

②等價(jià)關(guān)系：A=B,事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生，且事件B發(fā)生必有事件A發(fā)生;

③互不相容（互斥）：AB=0,事件A與事件B一定不會(huì)同時(shí)發(fā)生。

④互逆關(guān)系（對(duì)立）：A,事件彳發(fā)生事件A必不發(fā)生，反之也成立；互逆滿足

AuA=Q

<_

AA=0

注：互不相容和對(duì)立的關(guān)系（對(duì)立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是

對(duì)立事件。）

3.事件的三大運(yùn)算

①事件的并：AuB,事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生。若A8=0,則ASHM?;

②事件的交：AcB或48,事件A與事件B都發(fā)生；

③事件的差：A-B,事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生。4.事件的運(yùn)算規(guī)律①交換律：

AUB=B<JA,AB=BA②結(jié)合律：

(AU8)UC=A58UC),(AC8)CC=AC(8CC)

③分配律：AU(3CC)=(ADB)C(ADC),AC(8DC)=(ACB)U(ACC)

nn_

--------__4=4,

④德摩根(DeMorgan)定律對(duì)于門個(gè)事件，有J；=，

4=A-

i=li=l

二、隨機(jī)事件的概率定義和性質(zhì)

1.公理化定義：設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為。，對(duì)于任一隨機(jī)事件A(AuC),

都有確定的實(shí)值P(A),滿足下列性質(zhì)：⑴非負(fù)性：P(A)>0;(2)規(guī)范性：P(Q)=1;

kk

⑶有限可加性(概率加法公式)：對(duì)于A個(gè)互不相容事件A，4…，4,有p(2a)=2p(a)?

i=li=\

則稱P(A)為隨機(jī)事件A的概率.

2.概率的性質(zhì)①P(Q)=1,P(0)=O②P(A)=1-P(A)③若AuB,則

P(A)<P(9P+B4)PD④尸(ADB)=P(A)+P(3)—P(AB)

P(ADBDC)=P(A)+P(8)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

注：性質(zhì)的逆命題不一定成立的.如若尸(A)〈尸(3),則Au8。(x)若尸(A)=(),

則A=。。(x)

三、古典概型的概率計(jì)算古典概型：若隨機(jī)試驗(yàn)滿足兩個(gè)條件：

①只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，②每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的概率相同，則稱該概率模型為古典概型,

k

P(A)o

n

典型例題：設(shè)一批產(chǎn)品共N件，其中有〃件次品，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取“件樣品，

則

⑴在放回抽樣的方式下，取出的“件樣品中恰好有m件次品（不妨設(shè)事件4）的概率

為明）=里滓空.

（2）在不放回抽樣的方式下，取出的“件樣品中恰好有切件次品（不妨設(shè)事件4）的概

率為

CA

p（AnM-C1??

四、條件概率及其三大公式1.條件概率：口8|4）=萼2/（川3）=與竽

P（A）P（B）

2乘法公式.尸（A8）=P（A）尸（8|A）=P（8）P（A|8）

HA4A,）=P（A）P（&IA）P（AIA&）P（A,IAAI）

4.全概率公式：若4，%，紇滿足B尸Q,B,Bj=0,i彳j,則

i=

P（4*￡pBWA）Bj（。

/=1

5.貝葉斯公式：若事件Bt,B2,，耳和A如全概率公式所述，且P（A）＞0,

則P（B,.|A）=-

之P（耳）尸⑷即

i=l

五、事件的獨(dú)立

1.定義：若P（AB）=P（A）P（8）,則稱A,B獨(dú)立.

推廣：若4,4，,A相互獨(dú)立，P（AA）=P（A）P（4）

2.在{A,8},{A耳}，{瓦5},{X,耳}四對(duì)事件中，只要有一對(duì)獨(dú)立，則其余三對(duì)也獨(dú)

立。

3.三個(gè)事件A,B,C兩兩獨(dú)立："53)=尸(A)a。)注：〃個(gè)事件的兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)

P(BC)=P(B)P(C)

P(AC)=尸(A)尸(。)

立的區(qū)別。(相互獨(dú)立一兩兩獨(dú)立，反之不成立。)4.伯努利概型：

匕(Q=C：pW"次=0,1,2,,n,q=\-p.

第二章隨機(jī)變量及其分布

一、隨機(jī)變量的定義

設(shè)樣本空間為。，變量x=x(。)為定義在。上的單值實(shí)值函數(shù)，則稱x為隨機(jī)變

量，通常用大寫英文字母，用小寫英文字母表示其取值。

二、分布函數(shù)及其性質(zhì)

三、1.定義：設(shè)隨機(jī)變量X,對(duì)于任意實(shí)數(shù)xeR,函數(shù)E(x)=P{X〈x}稱為隨

機(jī)變量X的概率分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱分布函數(shù)。注：當(dāng)?shù)?lt;出時(shí)，P(xi<X<x2)

=尸。2)-F(X|)廣⑴=Zp(x,).

Xj<X

⑴X是離散隨機(jī)變量，并有概率函數(shù)p?),i=l,2,…，則有

⑵X連續(xù)隨機(jī)變量，并有概率密度f(x),則尸(x)=p(XMX)

2.分布函數(shù)性質(zhì)：(1)Rx)是單調(diào)非減函數(shù)，即對(duì)于任意為VX2,有F(X|)VF(X2)；；

(2)0<尸(x)<I;且F(-oo)=limF(x)=0,F(+co)=limF(x)=1;

X-^-XX-HOl

(3)離散隨機(jī)變量X,尸③是右連續(xù)函數(shù)，即尸(x)=F(x+0)；

連續(xù)隨機(jī)變量X,尸⑴在(-8,+OO)上處處連續(xù)。

注：一個(gè)函數(shù)若滿足上述3個(gè)條件，則它必是某個(gè)隨機(jī)變量的分

布函數(shù)。

三、離散隨機(jī)變量及其分布

1.定義.設(shè)隨機(jī)變量X只能取得有限個(gè)數(shù)值司,金,…,x“，或可列無窮多個(gè)數(shù)值

和必，…，3,…，且尸(X=%)=Pi(i=l,2,…),則稱X為離散隨機(jī)變量,p,(Ul,2,…)為X的

概率分布，或概率函數(shù)(分布律).注：概率函數(shù)R的性質(zhì)：⑴i=l,2,…;

⑵1>=1

2.幾種常見的離散隨機(jī)變量的分布:

3.(1)超幾何分布，X?H(N,M,n),P{X=k}=Z=0,1,2,,n

⑵二項(xiàng)分布，X?B(n.,p),P(X=k)=Cp“p)K-k4=0,1,n

當(dāng)n=l時(shí)稱X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布(或0—1分布)。

若X/(i=l,2,…,n)服從同一兩點(diǎn)分布且獨(dú)立，則X=ZX,服從二項(xiàng)分布。

;=1

(3)泊松(Poisson)分布,X?尸(㈤,P{X=k}=--------(A>0),Zc=0,1,2,...

k\

四、連續(xù)隨機(jī)變量及其分布

1.定義若隨機(jī)變量X的取值范圍是某個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間/,且存在非負(fù)函數(shù)f(x),使得對(duì)于任

意區(qū)間(a,b]u/,有尸(“<乂<與=，/(外公,則稱乂為連續(xù)隨機(jī)變量；函數(shù)，㈤稱為連續(xù)

隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。注1:連續(xù)隨機(jī)變量X任取某一確定值的

玉)概率等于0,即尸(X=x())=0;

注2:P(X]<X<修)=P(X|4X4必)=「(巧4X<叼)=P(Xj<X<x2)=J/(x)dx

2.概率密度的性質(zhì)：性質(zhì)1：/(xRO；性質(zhì)2:[f(x)dx=].

J-QO

注1:一個(gè)函數(shù)若滿足上述2個(gè)條件，則它必是某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。

注2:當(dāng)為<工2時(shí)，尸(占vX<x2)=F(x2)-F(Xj)=ff(x)dx

與

且在f(x)的連續(xù)點(diǎn)x處，有F(x)=/a).

3.幾種常見的連續(xù)隨機(jī)變量的分布

O,x<a;

a<x<bX-a

尸O)a￡xv

b-a

其它xWb.

⑴均勻分布X~U(a,b)⑵指數(shù)分布x-e(A),2>0

->=rx>0

x<0

⑶正態(tài)分布X~N3b2),(T>0

/(x)=Y

2rr,-oo<x<4-00

第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

一、期望(或均值)1.定義：EX,￡>*△，離散型

EX=47

必;，連續(xù)型

2.期望的性質(zhì)：⑴"c)=c,(c為常數(shù))

(2)E(CX)=CE(X)

(3)E(X±Y)=E(X)±E(Y)

(4)若X與Y相互獨(dú)立，貝托(XY)=E(X)E(Y),反之結(jié)論不成立.

『g5)p&,X離散型

3.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望E[g(x)]=<&=1

f/；g(x)f(x)dx,X連續(xù)型

、J-8

4.計(jì)算數(shù)學(xué)期望的方法⑴利用數(shù)學(xué)期望的定義；⑵利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)；

常見的基本方法：將一個(gè)比較復(fù)雜的隨機(jī)變量X拆成有限多個(gè)比較簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量

區(qū)之和，再利用期望性質(zhì)求得X的期望C)利用常見分布的期望；

￡仄-鳳X)]2%.，離散型

二、方差1.方差D(X)=E[X-E(X)]2=/

「lx-E(X)//(x)dx,連續(xù)型

注：D(X)=E[X-E(X)]2>0;它反映了隨機(jī)變量X取值分散的程度，如果。(㈤值越大(小)，

表示X取值越分散(集中)。

2.方差的性質(zhì)(1)D(C)=O,9為格數(shù))

(2)D(CX)=C2D(X)

(3)若X與Y才目互獨(dú)立,貝ijD(X±Y)=D(X)十D(Y)

(4)對(duì)于任意實(shí)數(shù)CW凡有E(妥C)2>0(X)當(dāng)且僅當(dāng)閾時(shí)，E(MC)2取得最

小值EXX).

(5)(切比雪夫不等式)：設(shè)X的數(shù)學(xué)期望E(X)與方差。(為存在,對(duì)于任意的正數(shù)&有

?(|*-七(王)巨￡)〈四0或P(|X-￡(X)|<￡)".2卻.

￡￡

3.計(jì)算⑴利用方差定義；(2)常用計(jì)算公式Z)(X)=E(X2)_[E(X)產(chǎn).(3)方差的性質(zhì);

⑷常見分布的方差.注：常見分布的期望與方差

1.若X?風(fēng)n,再則E(為=np,。(㈤=農(nóng).2.若X~PQ),則E(X)=Q(X)=￡

3.若X■?U(a,li),則E(X)=^^,￡>(X)=S-");4.若

212

11

X~e(A),則￡(X)=:，￡>(%)=—;

5.若X?N(",，)，則￡(X)=4,D(X)=CT2.

三、原點(diǎn)矩與中心矩(總體)X的k階原點(diǎn)矩：vJX)=E(Xk)

k

(總體)X的k階中心矩：uk(X)=E[X-E(X)]

第四章正態(tài)分布

一、正態(tài)分布的定義

1.正態(tài)分布⑴X?N(〃Q2),其概率密度為

1(X-〃)2

1v

/(X)=-,e，—8VXV+X),其分布函數(shù)為prx\=fe一一2b2dl注:

y27Vb-x/2^0-J-8

F(M=g.

正態(tài)密度函數(shù)的幾何特性：⑴曲線關(guān)于X=A對(duì)稱；⑵當(dāng)x="時(shí),/(x)取得最大值-jL；

⑶當(dāng)Xf±8時(shí)，/(X)->0,以X軸為漸近線;

+8

(4)I——fe21dx=1=>f+00e2b2dx=V^rcr:

J2”J-，J-x

⑸當(dāng)固定(7,改辱的大小時(shí)，f(X)的圖形不變，只是沿量軸作平移變化.

(6)當(dāng)固定U,改變<T的大小時(shí)，/(X)對(duì)稱軸不變而形狀在曬，滯小，圖形越高越瘦；(7越大,

圖形越矮越胖.

2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

當(dāng)〃=0,<7=1時(shí)，X~N(0,l),其密度函數(shù)為

°(x)=，=e2,一8vxv+oo.且其分布函數(shù)為

J2萬

①")的性質(zhì)：⑴①(0)=!；

2

8|_X^g____⑶①(r)=l一①(x).

(2)<l>(+oo)=J-^=e2J.r=l=>Je2dx=y[17r

3,正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系

定理：若X~N(〃,/)，則y=2LN~N(0,l).定理：設(shè)X~N3b2),則

O

P(X]<X<x2)=①(土二勺-①(土二勺.

(7CT

二、正態(tài)分布的數(shù)字特征

(*-〃產(chǎn)

設(shè)X~N(4，b2),則1.期望￡?⑶=〃E(X)=2b2dx—p

匚(x-//e，貧dx=b23.標(biāo)準(zhǔn)差b(X)=b

2.方差"A)D(X)=

三、正態(tài)分布的性質(zhì)

1.線性性.設(shè)X~N(〃,b2)4iJy=a+/jX~N(a+M，》2b2方伯工。)；

2.可加性.設(shè)X~NRx，次）,y~N（〃y,bj）,且X和Y相互獨(dú)立，則

z=x+丫?N(4+qd+d)；

3.線性組合性設(shè)X,.?N（〃j，b；）,i=l,2,，且相互獨(dú)立，則

XC<X<~'(?，?〃”?，匕2).

i=\i=l

四、中心極限定理

1.獨(dú)立同分布的中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量X”X2「、X",…相互獨(dú)立，服從相同的分

布，且

2

E(Xi)=ju,D(Xi)=(T,i=\,2,---,n,-

則對(duì)于任何實(shí)數(shù)X,有之Xt-UM1(，一幺一

limP——=--------<x='=^「'efdt

XI—>00

GeV2.710-JF

定理解釋：若X”X2,…,X”滿足上述條件，當(dāng)“充分大時(shí)，有

1)Y*^^—=--------ANQ1)；(2)丫；=?「人刈叩,心);(3

-Jna

—]〃rr2

》=-ZXj~AN(〃,一)

〃首幾

2.棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理

設(shè)Yn~5(n,p),則l：mJY?-npv3=1Ve^dt定理解釋：若

2-ly/np(l-p))?Jl/rcrJ

Y~B(n,p),當(dāng)〃充分大時(shí)，有(1)—/=====~AN(O,1)；(2)

/必1-P)

Yn~AN(〃pWp))

第五章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)

一、總體個(gè)體樣本

1.總體：把研究對(duì)象的全體稱為總體(或母體).它是一個(gè)隨機(jī)變量，記X

2.個(gè)體：總體中每個(gè)研究對(duì)象稱為個(gè)體.即每一個(gè)可能的觀察值.

3.樣本：從總體X中，陋機(jī)地抽取〃個(gè)個(gè)體X1,X2,…,X“，稱為總體X的容量為〃的

樣本。

注：⑴樣本(X|,X2,…,X,)是一個(gè)n維的隨機(jī)變量；

⑵本書中提到的樣本都是指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其滿足2個(gè)特性：

①代表性：X「X2,…,X“中每一個(gè)與總體X有相同的分布.

②獨(dú)立性：X1,X2,…,X”是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.

4.樣本(X「X2,…,X“)的聯(lián)合分布設(shè)總體X的分布函數(shù)為人㈤，則樣本(X「X2,…,X“)

〃

的聯(lián)合分布函數(shù)為尸(占,*2,…，*.)=口尸小)；設(shè)總體x的概率密度函數(shù)為9則樣本

/=1

的聯(lián)合密度函數(shù)為/(xl,x2,-,x?)=n『(Xj);⑵設(shè)總體X的概率函數(shù)為

/=1

〃。),。=0,1,2「一)，則樣本的聯(lián)合概率函數(shù)為y

/八兀1?“29，Xx,"—II/八

/=1

二、統(tǒng)計(jì)量

1.定義不含總體分布中任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)g(X1,X2,….X”)稱為統(tǒng)計(jì)量，

g(X|,X2,…,X”)是g(X|,X2,…,X”)的觀測(cè)值.注：(1)統(tǒng)計(jì)量g(X1,X2,…,X。是隨機(jī)變

量；

(2)統(tǒng)計(jì)量g(X1,X2,…,X”)不含總體分布中任何未知參數(shù)；(3)統(tǒng)計(jì)量的分布

稱為抽樣分布.

1〃_1

2.常用統(tǒng)計(jì)量(1)樣本矩①樣本均值X=其觀測(cè)值x=—￡xj.可用于

n

1=1

推斷：總體均值風(fēng)㈤.

②樣本方差S2=—!—V(x,.-X)2=—!—(VX2-nX2)；

〃一1JIi=l'

(n\

1

其觀測(cè)值22一位2

n-\

i=]\/=!?

可用于推斷：總體方差。(X).

③樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=6=J士“「百

④樣本在階原點(diǎn)矩匕=_1少黑夕(*=12…)其觀測(cè)值Vk

“看‘‘''ni=l

⑤樣本k階中心矩丁=：N(x,-兄=…)其觀測(cè)值""=[叁

注：比較樣本矩與總體矩,如樣本均值不和總體均值夙為;樣本方差$2與總體方差4㈤;

1〃

樣本k階原點(diǎn)矩匕=一￡*,*,(左=1,2,?一)與總體女階原點(diǎn)矩七(乂，,(%=1,2「?)；

匕/=1

樣本k階中心矩Uk=-y(X,--X)\(A:=1,2,---)與總體k階原點(diǎn)矩

n,=i

E[X-E(X)『,(4=1,2,…).

前者是隨機(jī)變量，后者是常數(shù).

⑵樣本矩的性質(zhì):設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為￡X=M，OX=b2,又,S2為樣本

均值、樣本方差，則

1°￡(%)=〃；2°D(X)=-er2；3°E(S2)=CT2.

n

3.抽樣分布：統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.

3大抽樣分布1./分布1定義設(shè)X],X2,…,X?相互獨(dú)立，且X1~N(0,l),i=l,2,…#,則

z2=X；+X；+...+X1-/也)注:若X~N(O,1),則X2~22(1)

(2)性質(zhì)(可加性)設(shè)不2和若相互獨(dú)立，且%；~%2(匕)，/~%2(左2),則

宕+必伏|+42).

x

2.1分布設(shè)X與V相互獨(dú)立，且X~N(O,1),￥~乃2(幻,則/=^=~歐).

-jY/k

注：「分布的密度圖像關(guān)于尸0對(duì)稱；當(dāng)n充分大時(shí)，t分布趨向于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1).

3.尸分布(1)定義.設(shè)X與丫相互獨(dú)立，且X~/2/),y~/2(&),則尸=仔牛~尸(占,七).

⑵性質(zhì).設(shè)X~F(片也)，則1/X~X(%，&).

四、分位點(diǎn)定義:對(duì)于總體X和給定的c(0<。<1),若存在心,使得P(X>xa)=a

則稱《為X分布的a分位點(diǎn)注：常見分布的分位點(diǎn)表示方法

(1)72(6分布的&分位點(diǎn)/“6；(2)分布的a分位點(diǎn)其性質(zhì)：

ia(Q=Ta(幻；

(3)Fa(kt,k2)，分布的a分位點(diǎn)%&,左2)，其性質(zhì)耳-a(匕，&)=-/,；

FagkJ

(4)N(0,l)分布的a分位點(diǎn)心,有P(X2%)=1—P(X<%)=1—①(%),

第六章參數(shù)估計(jì)

一、點(diǎn)估計(jì)

1.定義設(shè)(X|,X2,…,X“)為來自總體X的樣本，。為X中的未知參數(shù)，(和X2,…,x“)

為樣本值，構(gòu)造某個(gè)統(tǒng)計(jì)量員X1,X2,…,X“)作為參數(shù)。的估計(jì)，則稱"X1,X2,…,X“)為

。的點(diǎn)估計(jì)量，灰藥,工2「”,工”)為。的估計(jì)值2常用點(diǎn)估計(jì)的方法：矩估計(jì)法和最大似然

估計(jì)法.

二、矩估計(jì)法1.基本思想：用樣本矩(原點(diǎn)矩或中心矩)代替相應(yīng)的總體矩.

2.求總體X的分布中包含的m個(gè)未知參數(shù)4，％，…，%的矩估計(jì)步驟：

①求出總體矩和E(X與或￡TX-E(X)/#=1,2「?.；②用樣本矩代替總體

矩，列出矩估計(jì)方程：1寸x"-或寸<XX)*-E\Xk-l">

—7/Xj=—?7—i—入)=tL\X—Zi(.X.)\,K=1,-Z,???

ni=\ni=l

③解上述方程(或方程組)得到用，。2,的矩估計(jì)量為：

@=0(X],X2,---,Xn),i=l,2,---,m

④優(yōu)，％,…,配的矩估計(jì)值為：0：=0,(%,,x2,?-?,x?),/=1,2,-??,tn

3.矩估計(jì)法的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：直觀、簡(jiǎn)單；只須知道總體的矩,不須知道總體的分布形式.

缺點(diǎn)：沒有充分利用總體分布提供的信息；矩估計(jì)量不具有唯一

性；可能估計(jì)結(jié)果的精度比其它估計(jì)法的低

三、最大似然估計(jì)法

1.直觀想法：在試驗(yàn)中，事件A的概率RA)最大，則A出現(xiàn)的可能性就大；如果事

件A出現(xiàn)了，我們認(rèn)為事件A的概率最大.

2.定義設(shè)總體X的概率函數(shù)或密度函數(shù)為p(x,6)(或/(X,?)),其中參數(shù)。未知，

則X的樣本(X1,X2,…,X“)的聯(lián)合概率函數(shù)(或聯(lián)合密度函數(shù))〃仍=立卬巧,6)

1=1

〃0)=稱為似然函數(shù).3.求最大似然估計(jì)的步驟：(1)求似然函數(shù):X離散：

/=1

nn

。(。)="〃心，，)X連續(xù)：乙(。)=口/(如。)(2)求InL(O)和似然方程：

/=1/=1

d\nL(0)

-------=0,z=1,2,…,m

照

(3)解似然方程，得到最大似然估計(jì)值：@.(司,％2,…，/)"=12…，加

(4)最后得到最大似然估計(jì)量：0i=0i(X],X2,…,X〃),i=l,2，…,m

4.最大似然估計(jì)法是在各種參數(shù)估計(jì)方法中比較優(yōu)良的方法，但是它需要知道總體X

的分布形式.

四、估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)1.無偏性

設(shè)A=A（X],…,X?）是未知參數(shù)。的估計(jì)量，若E（0）=〃，則。=?（x，…,X"）是

。的無偏估計(jì)量，。=灰玉,?一,￡）是。的無偏估計(jì)值。

1.有效性設(shè)a=a（x”…，凡,）和“=a（x”…,x”）是未知參數(shù)。的無偏估計(jì)

量，

若。（〃）＜0（。）=，，則稱a比4有效。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)真題單選題

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題I分，共10分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括

號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或均無分。

1、將3粒黃豆隨機(jī)地放入4個(gè)杯子，則杯子中盛黃豆最多為一粒的概率為（）

2_3J_1

A、32B、8C、16D、8

2、隨機(jī)變量X和丫的夕xy=0,則下列結(jié)論不正確的是（）

A、D（X-y）=￡＞（%）+D（y）BX+a與丫一6必相互獨(dú)立

C、X與y可能服從二維均勻分布D、E（XY）=E（X）E（Y）

3、樣本X”X2,…，X"來自總體X,E（x）=〃,ax）=b”.（）

4、X,2（i“'w〃）都是〃的無偏估計(jì)8、又是〃的無偏估計(jì)

°、是/的無偏估計(jì)。、葉是標(biāo)的無偏估計(jì)

4、設(shè)X”X2,…,X”來自正態(tài)總體'（〃,"）的樣本，其中〃已知，1未知，則

下列不是統(tǒng)計(jì)量的是（）

iminX；v

Al<i<nBX-RcDX“-XI

5、在假設(shè)檢驗(yàn)中，檢驗(yàn)水平1的意義是()

“、原假設(shè)”°成立，經(jīng)檢驗(yàn)被拒絕的概率

B、原假設(shè)“。不成立，經(jīng)檢驗(yàn)被拒絕的概率

C、原假設(shè)成立，經(jīng)檢驗(yàn)不能拒絕的概率

D、原假設(shè)“。不成立，經(jīng)檢驗(yàn)不能拒絕的概率

6、設(shè)A,8為任二事件，則()

A、P(A-B)=P(A)-P(B)B、P(AB)=P(A)+P(B)

C、P(AB)=P(A)P(B)D、P(A)=P(AB)+P(A歷

7、設(shè)事件A與B互為對(duì)立事件，且P(A)>0,P(3)>0,則下列命題不成立的是

()

A、/l與3不相容B、4與3相互獨(dú)立C、/l與8不獨(dú)立D、入與百

互不相容

8、匣中4只球,其中紅，黑，白球各一只，另有一只紅黑白三色球，現(xiàn)從中任取兩只，其中

恰有一球上有紅色的概率為()A、!B、!C、J

632

2

D、-

3

9、設(shè)*~"(0,1),又常數(shù)0滿足網(wǎng)乂*}=P{乂<耳,則。等于()

A、0B、1C,-D、-1

2

4xy,0<x<l,0<y<l

io、設(shè)(x,y)的聯(lián)合概率密度為/*,>)=<,若

0,其它

/（％，y）為分布函數(shù)，則尸（。.5,2）=（）A、0B、丁C.—D、

'/416

1

IB2B3B4C5A6D7B8D9A10B

1、每張彩票中獎(jiǎng)的概率為?！?，某人購買了20張?zhí)柎a雜亂的彩票，設(shè)中獎(jiǎng)的張數(shù)為X,

則X服從（）分布。

A、0-1B、二項(xiàng)C、泊松D、指數(shù).

0x<0

、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為（）3

2XFx=k0<x<l,則E(X)=()

X>1

r+oo.13f?4f+oo

A、xdxB、3xdxC^xdx+xdxD、

J0joJoJ1

\+X3^dx

J0

3、設(shè)X?伏〃,p)且E(X)=6,D(X)=3.6,則有()

A、〃=10,/?=0.6B、〃=20,p=0.3C、”=15,p=0.4D、

”=12，P=0.5

4、由E（xy）=E（x）E（y）可斷定（）

A、X與丫相互獨(dú)立B、X與丫不獨(dú)立C、X與丫不相關(guān)D、X與

丫相關(guān)

5、設(shè)X”X2，X3，X4為總體x的樣本，則總體均值的最有效的估計(jì)量為（）。

A、-X.+-X+-X+-XB、一X.H—X]H----X,H-----X.

3'6233i62132123124

1117

X+X

---一

362934D、

1841424344

6、設(shè)隨機(jī)事件A與B互不相容，且P（A）>P（8）>0,則（）。

A.P(A)=1—P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(Au8)=1D.

P(AB)=1

7、將兩封信隨機(jī)地投入四個(gè)郵筒中，則未向前面兩個(gè)郵筒投信的概率為()。

22C'2!2!

A.——B.-T-C.——D.一

42C：P：4!

8、已知隨機(jī)變量X的概率密度為fx(x)，令y=—2X,則丫的概率密度力(y)為()。

A.2以(一2)，)B./x(-y)C.D.

9、設(shè)隨機(jī)變量X~/(x),滿足/(x)=/(—X),尸(幻是》的分布函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a有

()o

A.F(-a)=1-￡(/{x}dxB.尸(一。)=g-，/(x)公C.F(-d)=F(a)D.

F(-a)=2F(a)-l

10、設(shè)①(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),

；囂：發(fā)生’二…且…8,X,為…,Xv互獨(dú)立。令

X,=

100

y=Zx,.,則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)F(y)近似于(B)oA①(y)

/=1

B.①C.①(16y+80)D.①(4y+80)

IB2B3C4C5D6D7A8D9B10D

1、設(shè)A,8為隨機(jī)事件，P(B)>0,P(A|6)=1,則必有()。

A.P(AuB)=P(A)B.An8C.P(A)=P(B)D,P(AB)=P(A)

2、某人連續(xù)向一目標(biāo)射擊，每次命中目標(biāo)的概率為3/4,他連續(xù)射擊直到命中為止，則射擊

次數(shù)為3的概率是()。

aRi1a1

A.(-)3B.(-)2X-C.(l)2x-D.d(-)2

4444444

3、設(shè)X2是來自總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則最有效的無偏估計(jì)是()o

111?13

A.//=-X1+—X,B.+—X2C.p——Xt+—X,D.

23

〃=_X1+-X,

5152

4、設(shè)①（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),

11,事件A發(fā)生;”12,…，100,且P（A）=OL乂，X2,…，X儂相互獨(dú)立。

［（）,否則。

100

令丫=工*,，則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)/（>）近似于（）。

i=\

V—10

A.①（y）B,①（^y—）C.①（3y+10）D.①（9y+10）

5、設(shè)（X”X2,…,X〃）為總體N（l,22）的一個(gè)樣本，又為樣本均值，則下列結(jié)論中正確的

是（）。

A.------r=~f（〃）；B.-1）2~/（〃，1）；C.—j=~i=~N（0,1）;D.

2/Vrt4M