高考（文科）數(shù)學(xué)公式大全及基礎(chǔ)知識檢查

高考數(shù)學(xué)（文科）公式大全及重要基礎(chǔ)知識記憶檢查

目錄

第一章集合與常用邏輯用語.....................................2

第二章函數(shù).....................................................3

第三章倒數(shù)及其應(yīng)用............................................7

第四章三角函數(shù).................................................8

第五章平面向量.................................................12

第六章數(shù)列.....................................................13

第七章不等式...................................................15

第八章立體幾何.................................................17

第九章平面解析幾何............................................19

第十章概率、統(tǒng)計及統(tǒng)計案例............................24

第十一章算法初步及框圖.......................................25

第十二章推理與證明............................................26

第十三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入..............................26

第十四章幾何證明選講..........................................26

第十五章坐標(biāo)系和參數(shù)方程.....................................27

第十六章不等式選講............................................27

第一章集合與常用邏輯用語

1.集合的基本運算

AnB=(*zGA,且zGB}；AUB=ElzeA,或xGB}；CuA={z|_reU,且zCA}

3.識記重要結(jié)論：A8=AoA=8;AB=AoA=B；

Q（A8）=QAG/；Q（AB）=gAQ6

4.對常用集合的元素的認(rèn)識

①A=｛Nx2+3x—4=0｝中的元素是方程f+3x—4=0的解，A即方程的解集；

②5=｛目/+》—64o｝中的元素是不等式V+x—6<0的解，8即不等式的解集；

③C=｛Vy=x2+2x—i,o〈xw5｝中的元素是函數(shù)y=x?+2無一1,04x45的函數(shù)值，C即函數(shù)的值域;

2

?r）=^|y=log2（x+2x-l）｝中的元素是函數(shù)y=log2（x2+2x—l）的定義域，Z）即函數(shù)的定義域；

⑤加=｛（x,y）|y=2x—3｝中的元素可看成是關(guān)于x,y的方程的解集，也可看成以方程y=2x—3的解為坐

標(biāo)的點，M為點的集合，是一條直線。

5.集合｛%,%,,可｝的子集個數(shù)共有2"個；真子集有2"-1個；非空子集有2"-1個；非空的真子集

有2"-2個.

6.方程/（幻=0在（占，％2）上有且只有一個實根，與/（占）/（%2）<0不等價，前者是后者的一個必要而不

是充分條件.

特別地，方程以2+以+。=0（〃/0）有且只有一個實根在（匕,&2）內(nèi)，等價于/（匕）/（左2）<0,或

、八口，bk、+hf二/1、八口匕+“2b.

/（K）=。且后]<~~r~<—~--，或f（鼠）=。且—-—<-T-<k??

2a222a

7.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問題：

二次函數(shù)/（X）=/+法+c（aH0）在閉區(qū)間[p,司上的最值只能在X=-不；處及區(qū)間的兩端點處取得，

具體如下：

（1）當(dāng)a>0時，

二次函數(shù)在閉區(qū)間

①若x=----w[p,q],則有上必有最值，求最值

2a

b問題用“兩看法”：

/（?min=/（一五）"（X）max=max｛/（p）,/（q）｝;一看開口方向；二看

對稱軸與所給區(qū)間

②若x=----e[p,q]，則有的相對位置關(guān)系。

2a

/（x）ex=max｛/（p）J（q）｝，f（x）^n=min｛/（p）,/（4）｝.

⑵當(dāng)a<0時，

。

①若X

--G[p,q]，則有=min｛/（/?）,,/■（<7））,

一

28a

②若

x=--

任[p,q\,則有/(x)1rax=max{/(/?),/(<?)},/(x)111bl=min{/(〃),/&)}.

7

2a力

&??A

<7>"N[/(x)L；a<f(x)<^a<——

9.由不等導(dǎo)相等的有效方法：若aNb且aWb,則。=從

10.真值表夷1

Pq非PP或qP且q

11.常見結(jié)論的真真假真真否定形式同真為真

真假假真表里同假為假

原由蹌?wù)嬲娣促徏僭Y(jié)論真假相對

年小右一小-

是假假真不颼假rn

都是不都是至多有一個至少有兩個

大于不大于至少有〃個至多有（〃—1）個

小于不小于至多有〃個至少有（〃+1）個

對所有X,成立存在某X,不成立p或q—P且r

對任何X,不成立存在某X,成立p且qr7或r

12.四種命題的相互關(guān)系

如右圖所示

一個命題

13.充要條件一種形式

（1）若〃=夕，則說p是q的充分條件，同時q是〃的必要條件

兩種方法

（2）充要條件：若pnq,且q=p,則p是q的充要條件.

另外：如果條件最終都可化為數(shù)字范圍，則可轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系來刻畫，二者邏輯關(guān)系一目了然。

設(shè)4=何〃（必，8={x|q（x）},①若A至8,則p是q的充分不必要條件；②若3g1,則q是夕的必要

不充分條件；③若A=左，則〃是q的充要條件。/

第二章函數(shù)

14.函數(shù)的單調(diào)性

（1）設(shè)玉e\a,b],xl/那么

（百一w）"a）-/（w）]>0="%）一/8）〉0o/（x）在上是增函數(shù);

(王一9)[/(石)—/(巧)]<0O/冤二」也).<0O/(X)在[a,H上是減函數(shù).

JCj.X->

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果/'(x)>0,則/(x)為增函數(shù)；如果/'(幻<0,則/(幻為

減函數(shù).

⑶單調(diào)性性質(zhì)：

①增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；②減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；③增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)；④減函數(shù)-增函數(shù)=減函

數(shù)；

注：上述結(jié)果中的函數(shù)的定義域一般情況下是要變的，是等號左邊兩個函數(shù)定義域的交集。

15.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：

⑴如果函數(shù)/(X)和g(x)都是減函數(shù)(增函數(shù))，則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)/(x)+g(x)也是減函數(shù)(增函

數(shù))；

⑵對于復(fù)合函麴=/[g(x)]的單調(diào)性，必須考愚=/(〃)與_____________

U=g(x)的單調(diào)性，從而得眇=/[g(X)的單調(diào)性。小結(jié)：同增異

減。研究函數(shù)

y=/(")〃=&(力y=f[g(x)]的單調(diào)性，定

義域優(yōu)先考

增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)

慮，且復(fù)合函

增函數(shù)減函數(shù)

減函數(shù)數(shù)的單調(diào)區(qū)間

減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)是它的定義域

減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)的某個子區(qū)

間。

16.函數(shù)的奇偶性(注：奇偶函數(shù)大前提：定義域必須關(guān)于原點對稱)

⑴若/(x)是偶函數(shù)，則/(X)=/(—%)=/(兇)；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；偶函數(shù)在x>0和x<0上

具有相反的單調(diào)區(qū)間。

⑵定義域含零的奇函數(shù)必過原點(可用于求參數(shù))；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；奇函數(shù)在x>0和x<0上具

有相同的單調(diào)區(qū)間。

/(力士/(—力=?；蛘過i=±i(/a)H0)

⑶判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價形式:

(4)奇偶函數(shù)的圖象特征：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)

的圖象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函

數(shù).

n1

⑸多項式函數(shù)P(x)=anx+a^x'-'++a0的奇偶性

多項式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)。尸(幻的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.

多項式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)oP(x)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.

17.函數(shù)y=f(x)的圖象的對稱性：函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱

<=>/(a+x)=/(?-x)<=>/(2a-%)=/(%).

18.兩個函數(shù)圖象的對稱性

(1)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于直線x=0(即>-軸)對稱.

(2)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=-/(x)的圖象關(guān)于直線y=0(即1軸)對稱.

(3)指數(shù)函數(shù)y="和了=10g((x的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

19.若將函數(shù)y=/(x)的圖象右移a、上移b個單位，得到函數(shù)y=/(x—a)+。的圖象；若將曲線

/(%,y)=0的圖象右移“、上移人個單位，得到曲線)=0的圖象.

20.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關(guān)系(指數(shù)函數(shù)y=a"和對數(shù)函數(shù)

y=log“x(">0,aWl))：f(a)=b=『(b)=a.

21.幾個常見抽象函數(shù)模型所對應(yīng)的具體函數(shù)模型

(1)正比例函數(shù)/(x)=依，f(x+y)=f(x)+f(y\f(l)=k.

⑵指數(shù)函數(shù)"X)=ax,f(x+y)=f(x)f(y),f(x-y)=/(x)-/(y),/(l)="0.

(3)對數(shù)函數(shù)“r)=log“x,

x

f(xy)=f(x)+=f(x)+f(y),f(a)=l(a>0,a^r).

y

⑷幕函數(shù)/(x)=x",/(盯)=/(x)/(y)，/'⑴=a.

⑸余弦函數(shù)/(x)=cosx,正弦函數(shù)g(x)=sinx,f(x-y)=/(尤)/(>)+g(x)g(y),『(0)=1.

22.對于y=x,y=x2,y-x3,y^x2,y=’的圖象，了解它們的變化情況.

23.幾個函數(shù)方程的周期(aw0)

⑴)'=/(》)對xeR時，/(x)=/(%+?),則/(x)的周期為a的周期函數(shù)

⑵/(x+?)=f(x-a)^f(x-2a)=/(x)(a>0)恒成立，則y=/(x)是周期為2a的周期函數(shù)

⑶若y=/(x)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對稱，則是周期為2國的周期函數(shù)

⑷若y=/(x)是奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對稱，則是周期為4同的周期函數(shù)

⑸丁=/(力對xeH時，/(%)+/(%+?)=0,或/(x+a)=—焉(/(x)w0),則y=/(x)的周期2時的

周期函數(shù)

24.函數(shù)圖像變換

向上(b>0)或向下(b<0)移IbI單位,y=/(x)+b圖象

向左(e>0)或向右(由<0)移I6I單佟ry=f^x+(/t)圖象

y=/(x)圖象

點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?/p>

Ay=4f(x)圖象

橫坐標(biāo)不變步

點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/3倍

縱坐標(biāo)不變>>=八卬幻圖象

25.分?jǐn)?shù)指數(shù)基

里I——四1

(1)an=\Jan,(a>O,m,neN*,且〃>1);(2)a〃=——(a>O,m,nsN",且〃>1).

u

26.根式的性質(zhì)

(1)(加)"=a;(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時，后=a；當(dāng)〃為偶數(shù)時，^a\=\a，a~0.

-a,a<0

27.有理指數(shù)幕的運算性質(zhì)

rs,+sr

(1)a-a-a(a>0,r,5G/?)；(2)(〃「)'=a\a>0,r,sGR)；

rrr

(3)(ab)=ab(a>0,b>0,rG1?).

28.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式

log“N=》ot?=N(a>0,awl,N>0)

29.對數(shù)的換底公式

logN

logflN=--—(。>0,且awl,加>0,且〃zwl,N>0).

log”,。

推論logb"--log“b(a>0,且a>1,m,”>0,且機(jī)N>0).

am

30.對數(shù)的四則運算法則：若a>0,aWl,M>0,N>0,則

M

⑴log?(MN)=log?M+log?N；⑵log?—=logaM-logaN；

n

(3)log?M=nlogaM(nwR)；

31.對數(shù)有關(guān)性質(zhì)：

⑴log,4的符號有口訣“同正異負(fù)”記憶；⑵log/=l；(3)logal=0；

⑷對數(shù)恒等式：d嗎'=N(a>0,a。1,N〉0)

(5)log/"=m-lognb；

2

⑹設(shè)函數(shù)f(x)=logm(ax+bx+c)(ar0),記△=〃—4ac.若/(x)的定義域為R,則a>0,且△<0;

若/(x)的值域為R,則a>0,且A20.對于a=0的情形，需要單獨檢驗.；

32.對數(shù)函數(shù)y=log.x(a>0,aw1)的圖像和性質(zhì)分析：

a的符號a>\0<a<l

yy，

圖像

一0

0X

定義域(O,-Foo)

值域(-oo,H-oo)

單調(diào)性在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

過定點(1,0)

0<xvl時，y<0；0<x<l時，y>0；

函數(shù)值的分布情況

%>1時，y>0x>l時，y<0

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

34.導(dǎo)數(shù)的定義：/（x）在/處的導(dǎo)數(shù)記作

=lim包=lim也3二3

r（x（））=

—Ax-△x

35.⑴/(x)在(。向的導(dǎo)數(shù)概念：廣(?=y'=◎=或=lim包=limJ.+以)二,⑴

dxdxAi。AxAz。Ax

⑵能根據(jù)導(dǎo)數(shù)概念求函數(shù)y=C（。為常數(shù)），y=x,y=~,y=f,y=石的導(dǎo)數(shù).

36.函數(shù)y=/(x)在點與處的導(dǎo)數(shù)的小回本治

函數(shù)y=/(x)在點/處的導(dǎo)數(shù)是曲線y=/(x)在P(x0,/(x0))處的切線的斜率r(x0),相應(yīng)的切線方

程是y-y0=f\x0)(x-x0).

37.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)C=O(C為常數(shù))；

(2)(x")=nxn~\nGQ)；

(3)(sin%)"=cosx；

(4)(cos%)'=-sinx；

(5)(lnxX=-:(log^/=-logJ；

XX

(6)(d.

38.導(dǎo)數(shù)的運算法則

法貝(J1：[“(])±u(x)[=〃，(x)±M(x)；

法則2：[w(x)v(x)]r=u\x)v{x}+〃(幻/(九)；

法則3，(加(x)i(x)Hx)(v(x)^0)

V(x)V(x)

39.判別/（X。）是極大（?。┲档姆椒?/p>

當(dāng)函數(shù)/（X）在點X。處連續(xù)時，?左正右負(fù)

!極大值

（1）如果在/附近的左側(cè)尸（x）＞0,右側(cè)r（x）＜0,則/（%）是極大值;

i左負(fù)右正

（2）如果在％附近的左側(cè)/'（幻＜0,右側(cè)（（幻＞0,則/（%）是極小值.

1極小值

I___________

第四章三角函數(shù)

40.⑴終邊相同的角的集合：｛切尸=0+2而■次eZ｝;

_（1orj、

⑵角度與弧度的換算：180=兀rad,\=——（raJ）,lrad=——；

180、，\7T）

⑶弧長與扇形的面積公式：弧長/=|同"，扇形面積S=；/r=g|a|"2.

⑷常見恒成立的三角不等式（給定范圍條件下）

①若不￡（0,工），則sinxvxvtanx；②若xe（0,工），貝！|1＜sinx+cosx＜0；

22

③|sinx|+1cosx|＞1.

41.常用三角函數(shù)不等式及相關(guān)等式的解集：

⑴不含絕對值情況：①sinx＞cosx的x集合是

,%|?+2左乃＜工＜今+2&乃，&￡z｝；

②sinx=cosx的x集合是

＜x|x=^+k冗、2￡Z卜

r、兀冗

③sinxvcosx的x集合是《x—-—+2k兀<尢<—+2k7i,kcZ\0

I441

⑵含絕對值情況：①卜inx|>|cosx|的x集合是

1?Xi—+k/r<%<—F&乃，&ez};

②|sinx|=|cos乂的工集合是

II71.3)71..}

〈xx=—+Z肛orx=——+左肛ZEZ>；

I*144J

式兀

(j(\--+k7r<x<—+k7i,kEZ卜

42.⑴對于“sina+cosa,sina-cosa,sinacosa”這三個式子，已知其中一個式子的值，可以求出其

余二式的值。

⑵三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

“奇變偶不變，符號看象限，看左邊，寫右邊”

形似角中的角a不論多大，都看作銳角；形似角在原名稱、原象限中的符號;

180°+a2x900+asin(l80+c)=-sina

注意：總共兩套

180°-a)2x90°-a)sin(l80°-er)=sine,誘導(dǎo)公式（一套

90°+a1x90°+asin(90°+a)=cosa,是函數(shù)名不變；

另一套是函數(shù)名

90°-alx90°-asin(90°-tz)=cos。，

必須改變）；對于

cos

270°+a3x90°+asin(270°+a)=~?,余弦函數(shù)和正切

270°-a3x90°-asin(270°-?)=-cos<z,函數(shù)的誘導(dǎo)公式

360°+a4x90°+asin(360°+a)=sin2,規(guī)律記憶同正弦

函數(shù)。

360°-e4x90°-asin(360°—a)=~s^a,

-cc0x90°-?sin(—cr)=一sina,

43.（1）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin20*+cos2^=l,tan8=M吆

COS。

2121,

推論：cosa>Idn(JC—21;

l+tan2?cosa

cosa=±、---i-^,tana=±-\-----1(正負(fù)號取決于a所在的象限)

V1+tanavcosa

⑵和角與差角公式

sin(6r±/?)=sinacos(3±cosasinp；cos(6z±/?)=cosacos7sin(7sin；

/，八、tana±tanB

tan(a±/7)=---------------；

1.tanatan(3

sin(a+p)sin(a-/3)=sin2a-sin2p(正弦平方差公式);

cos(cr+J3)cos(ez-^)=cos2ez-sin20(余弦平方差公式)；

asina+bcosa=\/a2+b2sin(?+(p)(輔助角0所在象限由點(a,b)的象限決定，其中

.ba、

sin。二一j,cos0=-).

⑶二倍角公式：

sin"=sinacosa；cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin26z；

Jr八c2tana。1-tan2a.。2tana

力能公式：tan2a=-----；-；cos2a=------；-；sin2a=------；-I

；****l-tan~a1+tana1+tarra

⑷半角公式（降幕公式）:

ca1+cosa.9al-cosa2al-cosa

①cos"9—=-------；sm~—=--------；tarr—=--------

222221+cosa

八asina1-cosa

21+cosasina

44.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)y=sin（Gx+0）,xeR及函數(shù)y=COS（GX+0）,x￡R（A,3,。為常數(shù)，且A#0,3>0）的周期

co

TTTT

函數(shù)y=tan（0x+°）,x聲2%+—,ZeZ（A,3,夕為常數(shù)，且AWO,3>0）的周期T=—.

2co

45.①類正弦函數(shù)y=Asi〃（松的圖像的變換（兩種辦法殊途同歸）

縱坐標(biāo)伸長或縮短到原來的A倍縱坐標(biāo)伸長或縮短到原來的A倍

得丫=Asin（wx+。）的圖象先『周期嶇聞的充到R上。

°

②類正弦函數(shù)卜=①山“以+為+》（4>0）的參數(shù)計算：振幅A=久出鏟皿，勿=節(jié)，

8=迎蘆皿，求夕時，一般代入最高點或者最低點的坐標(biāo)后，利用已知三角函數(shù)值求角，再根據(jù)給定0的

范圍進(jìn)而分析得到尹值。

46.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cosx

y=sinxy1y=cosx/

圖像3虹

S4、./4n

-2n-3it/2.n..0r叫-2n...；y-n/20n/2y^jv/22nX

定義

R

域

值域[-1.1]

X=]+2A）,ZeZ時，>max=l

x=2br,A：GZ時，ymM=1

最值

=-

x=-工+2左萬，keZ時，ymin1x=（2k+l）乃,ZeZ時，y=-l

2min

7T.JT.

X￡|-------F2左左，---F24萬（AreZ）時，增函數(shù)xe［2hr,（2k+l）;r］（keZ）rt，減函數(shù)

單調(diào)L22一

性

XG［告4-24左，+215"eZ）時，減函數(shù)xe［（2A-l）樂2JU,］（AWZ）時,增函數(shù)

奇偶

奇函數(shù)偶函數(shù)

性

周期

最小正周期為2乃

性

對稱軸：x=^+krc.keZ對稱軸：x=k7i,keZ

對稱

性TT

對稱中心：（左肛0）keZ對稱中心：（5+左萬,0）k&Z

47.正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)

函數(shù)y=tanx

二罷"一71............/-y--157

圖像f/|2■

7

于r

定義域Xg+k7T（kGZ）

值域R

單調(diào)性“e（一仔+左萬，5+左萬）（左wz）時，增函數(shù)

奇偶性奇函數(shù)

周期性最小正周期為乃

k冗

對稱性對稱中心：（一,0）keZ

2

48.⑴正弦定理：

ahc

-^二一==/一二2R.（R為AA3C外接圓的半徑，也是外接圓半徑的一種算法。）.

sinAsinBsinC

<=>。=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC<^>a:h:c=sinA:sinB:sinC

abc八八.sinAsinCsinB等地

號

sinAsinBsinCsinBsinAsinC位

兩

相

a邊

C同

小abc”.-z--A

②----=-----=-----=2K=>sinA4=sin3n—,sinC=sinA—,

sinAsinBsinCba

sinB=sinC2等；

⑵余弦定理：

2,22n，.4b2+c2-a2

a--b~+c-2Z?ccosAcosA-----------;

2hc

,_??a2+c2-b~

b~2=c2+a2-2cacosB=>cosB=----------；

lac

22,2c,-?<72+b2-C2

c=a~+b"-labcosC=>cosC=----------.

lab

⑶正弦定理和余弦定理的應(yīng)用解題常與三角形內(nèi)角和定理相伴；解題時注意一種重要關(guān)系：在AA8C中，

給定角A、3的正弦或余弦值，則角。的正弦或余弦有解（即存在）<=>cosA+cosB>0

49.三角形內(nèi)角和定理：在AABC中，有A+8+C=〃=C=）一（A+B）

C7TA+Bc八八八、

o-=---------o2C=2萬一2（A+8）

222

50.面積定理

（1）S=工ah“=工b%=工ch,（hu>/%、"分別表示a、b、c邊上的高）.

222

⑵S--absinC=—￡>csinA=—casinB

222

22

⑶SMHC=2R2sinAsinB=2RsinAsinC=2RsinCsinB（其中R為AABC的外接圓的半徑）

（R為AABC外接圓的半徑，也是外接圓半徑的一種算法。）

47?

⑸SMBC=；〃?（&+0+C）（其中r為AABC的內(nèi)切圓的半徑，也能導(dǎo)出內(nèi)切圓半徑的一種算法。順便說下,

直角三角形中內(nèi)切圓的半徑「=土心二，其中。、匕為兩條直角邊，c為斜邊。）

....................2

⑹SMBC=:"〃,（〃一”）,（〃一力）?（〃一，）（其中P="+；+,，海倫公式）

⑺""麗（注意：止匕時以半標(biāo)愿卓為二個吸卓的三角形的面積公式）；設(shè)

A&，y），6（占,%），則SMOB=；%內(nèi)一zxI

第五章平面向量

51.向量的加減法的代數(shù)結(jié)構(gòu):

首首接尾尾聯(lián)

⑴A8+A8=AB：尾首接首尾聯(lián)

(2)OB-OA=AB指向被減向量

52.平面向量基本定理

如果&、ez是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)3、

3,使得a=A?+人e.（不共線的向量&、4叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.）

53.向量平行與垂直的坐標(biāo)表示：設(shè)。=(%，％),卜=(工2，%)，且人40，

則?！?(/?*0)xiy2-x2yi=0；aA.box[x2+yty2=0.

54.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)：a,b=1a||b|cos0.其幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長度|a|與b在a的

方向上的投影|b|cose的乘積.

55.平面向量的坐標(biāo)運算

⑴設(shè)a=(X1,%),b=(/,%)，則a+b=&+x2,yi+y2)；

⑵設(shè)a=a,%),b=，乂)，則a-b=-x2,yl-y2)；

(3)設(shè)A(X1,y),B(x2,y2),則A8=O3—OA=(w-X],y2-X)；

(4)設(shè)a=(x,y),)eR,貝U4a=(Zx,\y)；

⑸設(shè)a=(X]，x),b=(X2，＞2)，貝Ua,b=(X1%2+M%)-

x,x+y,y

56.兩向量的夾角公式:cos6=22(3=即y)力=。2，%))?

平面兩點間的距離公式：(XJ+(%(A(%，X),

57.4]==JX2——y)2B(x2,y2)).

58.①線段的定比分公式：

設(shè)《(Xi，y),P,(x2,y2),P(x,y)是線段《鳥的分點，X是實數(shù)，且6P=/lP￡,則

。牛+丸。鳥1

oOP=OOP=3+(IT)ORQt=--)---.--

1+41+2

OA+OB

②中點的向量形式：平面內(nèi)，設(shè)線段A3的中點為C,。為直線外任意一點，則有。。=

2

_x{+x2

“-2

設(shè)此時4(4,乂),8(々,％)，則中點C(x,y)的坐標(biāo)公式：\

2

59.三角形的重心坐標(biāo)公式：ZXABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(X[,%)、B(x2,y2),C(X3,丫3),則AABC的

重心的坐標(biāo)是G(內(nèi)+；+一,)1+]+%)

60.三角形四“心”向量形式的布事條件

設(shè)。為A43C所在平面上一點，角4,B,C所對邊長分別為a,"c,則

222

(1)。為A4BC的外心oOA=0B=OC.

(2)。為A4BC的重心O0A+OB+OC=O.

(3)。為AABC的垂心o0408=060C=0CCM.

(4)。為A4BC的內(nèi)心0aoA+bO8+cOC=0.

第六章數(shù)列

61.⑴自然數(shù)和公式：

…〃（/1+1）

①1+2+…+〃=------；

2

②F+2?+...+〃2=〃（〃+1）（2〃+1）；

6

③1+2^+???+/=_\-----L

4

⑵常見的拆項公式：

111

0-7--r=------;

+n〃+1

1if11A

（2〃-1）（2〃+1）2（2〃-12〃+1,

=￡(&-6)；⑤a，，=S，-Si(*2)，

⑶數(shù)列的通項公式與前n項的和的關(guān)系

5.,n-1

①

[sn-s,,_{,n>2

②S“=S,i+%(〃22)(注：該公式對任意數(shù)列都適用)

③5“=4+々++a?(注：該公式對任意數(shù)列都適用)

62.⑴等差數(shù)列的通項公式：

①一般式：a“=q+(〃-N")；

②推廣形式：an-am+(n-m)d；d=—~—

n-m

③前N項和形式a“=S”_S?_,(n>2)(注：該公式對任意數(shù)列都適用)其前n項和公式為:

n（at+（7?）?!（?—1）,d2,1八

=nax4-------------Cl=〃+（6Z]-萬Cl）Kl?

⑵翔iJ{4}相皴列oa?-an_}=d(d為常數(shù))

=2%=%討+a,1(心2,〃wN*)o%=助+人oAl+所

⑶常用性質(zhì)：

①若m+n=p+q,則有am+an=ap+aq；特別地：若a”是的等差中項，則有2a,“=a”+與on、

m、p成等差數(shù)列；

②等差數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長片斷和序列”（如q+%+4,%+4+%%+為+4，…）仍是等

差數(shù)列；

③｛4｝為等差數(shù)列，S“為其前11項和,則5,“,52”,一5,”,另,“一52,“，S*-％，…也成等差數(shù)列；

④則%』=()；

?〃(〃+1)

⑤1+2+3+???+n=—------

2

63.等比數(shù)列的通項公式：

n

⑴①一般形式：an=axq-'=^-q'\n&N*)；

q

②推廣形式：a“=a“L,q=二區(qū)

a

\,n

a「a“q

,q。1

③其前n項的和公式為：s“=?\-q或s“=1\~q

叫，夕=1na^q=1

⑵綱｛叫WIWIJ

04=以"0）。0.2=4_].。,m>0（〃22,〃eN+）o%=qp"T

an

（4、q*0,neN*）oS門=A?q"+B

⑶常用性質(zhì)：

①若m+n=p+q,則有am-an=ap-aq；特別地：若a,“是?！?吃的等比中項，則有=a”?%,on、

m、p成等比數(shù)列；

②等比數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長片斷和序列”（如4+4+%，4+4+%/+為+為，…）仍是

等比數(shù)列;

③｛%｝為等比數(shù)