人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)教案《角的平分線(xiàn)的性質(zhì)》

《12.3角的平分線(xiàn)的性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)第一課時(shí)教材分析:本節(jié)內(nèi)容是全等三角形知識(shí)的運(yùn)用和延續(xù)．用尺規(guī)作一個(gè)角的平分線(xiàn)，其作法原理是三角形全等的“邊邊邊”判定方法和全等三角形的性質(zhì)；角的平分線(xiàn)的性質(zhì)證明，運(yùn)用了三角形全等的“角角邊”判定方法和全等三角形的性質(zhì)．角的平分線(xiàn)的性質(zhì)證明提供了使用角的平分線(xiàn)的一種重要模式——利用角平分線(xiàn)構(gòu)造兩個(gè)全等的直角三角形，進(jìn)而證明相關(guān)元素對(duì)應(yīng)相等．角的平分線(xiàn)的性質(zhì)反映了角的平分線(xiàn)的基本特征，常用來(lái)證明兩條線(xiàn)段相等．角的平分線(xiàn)的性質(zhì)的研究過(guò)程為以后學(xué)習(xí)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)提供了思路和方法．教學(xué)目標(biāo)：【知識(shí)與能力目標(biāo)】掌握利用邏輯推理的方法證明角平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定定理；掌握作已知角平分線(xiàn)的方法；了解證明幾何命題的一般步驟和格式．【過(guò)程與方法】1.在探索問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)知識(shí)間的關(guān)系，能夠進(jìn)行有條理地思考，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理．2.使學(xué)生能夠利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定定理解決相應(yīng)的問(wèn)題．【情感態(tài)度與價(jià)值觀】在探究角的平分線(xiàn)的作法及性質(zhì)的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題的興趣，獲得解決問(wèn)題的成功體驗(yàn)，增強(qiáng)解決問(wèn)題的信心．教學(xué)重難點(diǎn)：【教學(xué)重點(diǎn)】探究角平分線(xiàn)的性質(zhì)，能夠利用其解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題．【教學(xué)難點(diǎn)】角平分線(xiàn)性質(zhì)的推導(dǎo)過(guò)程．課前準(zhǔn)備：三角板、直尺、圓規(guī)(多媒體課件及幾何畫(huà)板)教學(xué)過(guò)程：?jiǎn)栴}1：在練習(xí)本上畫(huà)一個(gè)角，怎樣得到這個(gè)角的平分線(xiàn)？用量角器度量，也可用折紙的方法．[追問(wèn)1]你能評(píng)價(jià)這些方法嗎？在生產(chǎn)生活中，這些方法是否可行呢？[追問(wèn)2]下圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫(huà)一條射線(xiàn)AE，AE就是∠DAB的平分線(xiàn)．你能說(shuō)明它的道理嗎？師生探究，說(shuō)明其中的原理(利用“邊邊邊”)，進(jìn)而得到利用尺規(guī)作角平分線(xiàn)的方法．教師出示作圖過(guò)程：已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線(xiàn)．作法：(1)以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N.分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于eq\f(1,2)MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部相交于點(diǎn)C.畫(huà)射線(xiàn)OC.射線(xiàn)OC即為所求．教師提出問(wèn)題：角的平分線(xiàn)有哪些性質(zhì)呢，請(qǐng)同學(xué)們與我一同來(lái)探究一下吧！【設(shè)計(jì)意圖】1.創(chuàng)設(shè)情境，通過(guò)實(shí)踐探究角平分線(xiàn)的作法，引起學(xué)生的探究興趣，引出本節(jié)課的內(nèi)容．2．培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和運(yùn)用三角形全等的知識(shí)(SSS)解決問(wèn)題的能力．3．從試驗(yàn)抽象出幾何模型，明確幾何作圖的基本思路和方法.問(wèn)題2【探究1】如圖，將∠AOB的兩邊對(duì)折，再折個(gè)直角三角形(以第一條折痕為斜邊)，然后展開(kāi)，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得到什么結(jié)論？你能利用所學(xué)過(guò)的知識(shí)，說(shuō)明你的結(jié)論的正確性嗎？[師生活動(dòng)]學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生首先獨(dú)立操作，然后觀察操作后的圖形，進(jìn)行討論，經(jīng)過(guò)討論發(fā)現(xiàn)，折痕DP和折痕PE與其他邊有著特殊的關(guān)系：(1)PD⊥OA，PE⊥OB；(2)PD＝PE.然后尋找上述結(jié)論成立的理由：(1)由折疊過(guò)程可以得到；由(2)可以利用三角形全等的條件得到，△OPD≌△OPE，進(jìn)而得到PD＝PE.教師活動(dòng)：組織學(xué)生獨(dú)立操作、思考，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行討論，鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)言，并對(duì)自己的看法作出判斷．最后引導(dǎo)學(xué)生歸納角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．【探究2】我們已經(jīng)知道角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么若一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，這個(gè)點(diǎn)是否在這個(gè)角的平分線(xiàn)上呢？談?wù)勀愕目捶ǎ鐖D，已知PD⊥OA，PE⊥OB，且PD＝PE，那么P點(diǎn)在∠AOB的平分線(xiàn)上嗎？為什么？[師生活動(dòng)]學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，自主探索，利用三角形全等解決問(wèn)題．考慮連接OP，由條件OP＝OP，PD＝PE，可以判斷Rt△OPD≌Rt△OPE，于是得到∠DOP＝∠EOP，即OP平分∠AOB.教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所得出的結(jié)論進(jìn)行推理，在推理的過(guò)程中注重學(xué)生語(yǔ)言的準(zhǔn)確性和簡(jiǎn)潔性，最后歸納：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上．[練習(xí)]練習(xí)1下列結(jié)論一定成立的是．如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，D，E分別為OA，OB上的點(diǎn)，則PD=PE．如圖，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，則PD=PE．如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，垂足為D．若PD=3，則點(diǎn)P到OB的距離為3．[練習(xí)2]如圖，△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：EB=FC．【設(shè)計(jì)意圖】1.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象概括能力及理性精神.2.通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)，動(dòng)手操作探究，獲得問(wèn)題結(jié)論，從實(shí)踐中學(xué)習(xí)知識(shí)．3．運(yùn)用三角形全等的有關(guān)知識(shí)，歸納、證明角的平分線(xiàn)的性質(zhì)與判定．通過(guò)舉例，說(shuō)明角的平分線(xiàn)的性質(zhì)在生活、生產(chǎn)中的應(yīng)用，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力.問(wèn)題3：例1要在S區(qū)建立一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路、鐵路的距離相等，且離公路與鐵路的交叉處500米．這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建于何處(比例尺為1∶20000)?[師生活動(dòng)]學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生小組合作，在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上小組交流，發(fā)現(xiàn)若到公路、鐵路的距離相等，則集貿(mào)市場(chǎng)一定在上述角的平分線(xiàn)上，于是可以用尺規(guī)作出角平分線(xiàn)，然后根據(jù)比例尺畫(huà)出集貿(mào)市場(chǎng)所在地即可．教師活動(dòng)：組織學(xué)生思考、討論、交流，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)集貿(mào)市場(chǎng)所在地應(yīng)在角平分線(xiàn)上這個(gè)結(jié)論．如圖，△ABC的角平分線(xiàn)BM，CN相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．[思路點(diǎn)撥]因?yàn)橐阎?、求證中都沒(méi)有具體說(shuō)明哪些線(xiàn)段是距離，而證明它們相等必須標(biāo)出它們．所以這一段話(huà)要在證明中寫(xiě)出，同輔助線(xiàn)一樣處理．如果已知中寫(xiě)明點(diǎn)P到三邊的距離是哪些線(xiàn)段，那么圖中畫(huà)實(shí)線(xiàn)，在證明中就可以不寫(xiě)．[變式]△ABC的面積是24cm2，它的三條內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)到AB的距離為3cm，則△ABC的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．【設(shè)計(jì)意圖】1.利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的問(wèn)題，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)是描述現(xiàn)實(shí)世界的重要手段．2．教師注意提醒學(xué)生：在幾何里，如果證明的過(guò)程完全一樣，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略詳細(xì)證明過(guò)程.問(wèn)題4：探究交流：你能找到OP＝OP′的條件嗎？已知點(diǎn)C是∠AOB平分線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)P，P′分別在OA，OB上，如果要得到OP＝OP′，需要添加下列條件中的某一個(gè)即可．請(qǐng)寫(xiě)出所有可能的條件的序號(hào)________．①∠OCP＝∠OCP′；②∠OPC＝∠OP′C；③PC＝P′C；④PP′⊥OC；⑤CP⊥OA且CP′⊥OB.[解析]這是一道角平分線(xiàn)的性質(zhì)與三角形全等知識(shí)的綜合題，可通過(guò)是否具備全等，是否具備角平分線(xiàn)性質(zhì)中的條件來(lái)加以判斷．①如果∠OCP＝∠OCP′，又因?yàn)椤螾OC＝∠P′OC，OC＝OC，可證△POC≌△P′OC(ASA)，得到OP＝OP′；②如果∠OPC＝∠OP′C，因?yàn)椤螾OC＝∠P′OC，OC＝OC，可證△POC≌△P′OC(AAS)，得到OP＝OP′；④如果PP′⊥OC，設(shè)PP′交OC于D，因?yàn)椤螼DP＝∠ODP′，∠POC＝∠P′OC，OD＝OD，可證△POD≌△P′OD(ASA)，得到OP＝OP′；⑤如果CP⊥OA且CP′⊥OB，因?yàn)椤螾OC＝∠P′OC，所以CP＝CP′.又因?yàn)镺C＝OC，可證△POC≌△P′OC(HL)，得到OP＝OP′；③如果PC＝P′C，因?yàn)椤螾OC＝∠P′OC，OC＝OC，這樣三個(gè)條件不能證明三角形全等，當(dāng)CP不垂直于OA時(shí)，以C為圓心，CP為半徑畫(huà)弧與OP有兩個(gè)交點(diǎn)，其中的一個(gè)交點(diǎn)使△OP′C≌△OPC不成立．所以正確答案為①②④⑤.【設(shè)計(jì)意圖】1.鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)及提升綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．2．培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力及分析問(wèn)題、思考問(wèn)題的探究能力.問(wèn)題5：課堂小結(jié)：(1)學(xué)生自行小結(jié)角平分線(xiàn)性質(zhì)及其判定定理和它們的區(qū)別．(2)說(shuō)明本節(jié)例子實(shí)際上是證明三角形三條角平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)的問(wèn)題，說(shuō)明這一點(diǎn)是三角形的內(nèi)切圓的圓心(為以后學(xué)習(xí)設(shè)伏)．布置作業(yè)：布置作業(yè)：課本P51中的習(xí)題12.3.【設(shè)計(jì)意圖】課堂小結(jié)，發(fā)展?jié)撃?；布置作業(yè)，專(zhuān)題突破.問(wèn)題6知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：【設(shè)計(jì)意圖】框架圖式總結(jié)，更容易形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò).教學(xué)反思：1.本節(jié)課由于采用了動(dòng)手操作、直觀模型的觀察以及討論交流等教學(xué)方法，從而有效地增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)角以及角的平分線(xiàn)的感性認(rèn)識(shí)，提高了學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解與感悟，因而本節(jié)課的教學(xué)效果較好，學(xué)生對(duì)所學(xué)的新知識(shí)掌握較好，達(dá)到了教學(xué)的目的．不足之處：少數(shù)學(xué)生在尺規(guī)作圖上還存在問(wèn)題，需要在今后的教學(xué)與作業(yè)中進(jìn)一步地加強(qiáng)鞏固和訓(xùn)練．2.教師教學(xué)中注意：學(xué)生對(duì)定理的圖形語(yǔ)言認(rèn)識(shí)不足．角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離是指這個(gè)點(diǎn)到角兩邊的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，而不是過(guò)此點(diǎn)與角平分線(xiàn)垂直(或僅僅相交)的直線(xiàn)與角兩邊相交所得的線(xiàn)段的長(zhǎng)度．學(xué)生往往出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線(xiàn)上，∴PD＝PE.3.通過(guò)師生互動(dòng)得到結(jié)論，教學(xué)中教師要重視知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程．第二課時(shí)教材分析:在學(xué)生學(xué)習(xí)了角平分線(xiàn)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，本節(jié)課進(jìn)一步研究角平分線(xiàn)性質(zhì)定理的逆定理——角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上．這是全等三角形知識(shí)的運(yùn)用和延續(xù)，是今后學(xué)習(xí)圓的內(nèi)心的基礎(chǔ)．教學(xué)目標(biāo)：【知識(shí)與能力目標(biāo)】探索并證明角平分線(xiàn)性質(zhì)定理的逆定理.【過(guò)程與方法】會(huì)用角平分線(xiàn)性質(zhì)定理的逆定理解決問(wèn)題．【情感態(tài)度與價(jià)值觀】培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題的興趣，增強(qiáng)解決問(wèn)題的信心，獲得解決問(wèn)題的成功體驗(yàn)．教學(xué)重難點(diǎn)：【教學(xué)重點(diǎn)】角平分線(xiàn)性質(zhì)定理的逆定理．【教學(xué)難點(diǎn)】角平分線(xiàn)的性質(zhì)的探究.課前準(zhǔn)備：多媒體教學(xué)過(guò)程：?jiǎn)栴}1：（1）交換角的平分線(xiàn)性質(zhì)中的已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論，這個(gè)新結(jié)論正確嗎？角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上．[追問(wèn)]你能證明這個(gè)結(jié)論的正確性嗎？證明略[練習(xí)]判斷題：如圖，若QM=QN，則OQ平分∠AOB；（）如圖，若QM⊥OA于M，QN⊥OB于N，則OQ是∠AOB的平分線(xiàn)；（）已知：Q到OA的距離等于2cm，且Q到OB距離等于2cm，則Q在∠AOB的平分線(xiàn)上．（）在S區(qū)建一個(gè)廣告牌P，使它到兩條公路的距離相等．a(chǎn).這個(gè)廣告牌P應(yīng)建于何處？這樣的廣告牌可建多少個(gè)？b.若這個(gè)廣告牌P離兩條公路交叉處500m（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1：20000），這個(gè)廣告牌應(yīng)建于何處？C.如圖，點(diǎn)P是△ABC的兩條角平分線(xiàn)BM，CN的交點(diǎn)，點(diǎn)P在∠BAC的平分線(xiàn)上嗎？這說(shuō)明三角形的三條角平分線(xiàn)有什么關(guān)系？證明：過(guò)點(diǎn)P作PD,PE,PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足為D，E，F(xiàn)．∵BM是△ABC的角平分線(xiàn),點(diǎn)P在BM上,∴PD=PE,同理PE=PF∴PD=PE=PF即點(diǎn)P到三邊AB,BC,CA的距離相等.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)一步一步深入探究，由易到難理解新知識(shí).問(wèn)題2如圖，要在S區(qū)建一個(gè)廣告牌P，使它到兩條公路和一條鐵路的距離都相等．這個(gè)廣告牌P應(yīng)建在何處？[變式1]如圖，△ABC的一個(gè)外角的平分線(xiàn)BM與∠BAC的平分線(xiàn)AN相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在△ABC另一個(gè)外角的平分線(xiàn)上．[變式2]如圖，P點(diǎn)是△ABC的兩個(gè)外角平分線(xiàn)BM，CN的交點(diǎn)，求證：點(diǎn)P在∠BAC的平分線(xiàn)上．[變式3]如圖，將問(wèn)題3中“S區(qū)”去掉，廣告牌P到兩條公路和一條鐵路的距離相等．這個(gè)廣告牌P應(yīng)建在何處？【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的探究，使所學(xué)的知識(shí)得到熟練的應(yīng)用；通過(guò)不斷深入的變式，使學(xué)生掌握知識(shí)的核心.問(wèn)題3：課堂小結(jié)：（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？（2）本節(jié)課