黑龍江省哈爾濱市2023-2024學年高二數(shù)學上學期期末考試

Page3數(shù)學試題一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．從1,2,3,4,5這5個數(shù)中任取2個，則這2個數(shù)字之積大于5的概率為（

）A． B． C． D．2．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列前項和為，且成等差數(shù)列，若，則（

）A．15 B． C．或15 D．或3．進入8月份后，我市持續(xù)高溫，氣象局一般會提前發(fā)布高溫橙色預警信號（高溫橙色預警標準為24小時內最高氣溫將升至37攝氏度以上），在今后的3天中，每一天最高氣溫在37攝氏度以上的概率是.用計算機生成了20組隨機數(shù)，結果如下:116

785

812

730

134

452

125

689

024

169

334

217

109

361

908

284

044

147

318

027若用0，1，2，3，4，5表示高溫橙色預警，用6，7，8，9表示非高溫橙色預警，則今后的3天中恰有2天發(fā)布高溫橙色預警信號的概率估計是（

）A． B． C． D．4．一組數(shù)據(jù)的均值為，第25百分位數(shù)為，方差為，則（

）A．B．C．數(shù)據(jù)的均值為D．數(shù)據(jù)的方差為5．雙曲線：的漸近線與圓相切，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．46．已知等差數(shù)列的前項和為，，，則使得不等式成立的最大的的值為（

）A． B． C． D．7．已知點是拋物線上的一點，若以拋物線的焦點為圓心，以為半徑的圓交拋物線的準線于兩點，，當?shù)拿娣e為時，的值為（

）A．2 B． C．4 D．8．已知數(shù)列滿足，，且，若，數(shù)列的前項和為，則（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．已知雙曲線：的實軸長是虛軸長的3倍，則下列關于雙曲線的說法正確的是（

）A．實軸長為6B．虛軸長為2C．焦距為 D．離心率為10．下列說法正確的是（

）A．“”是“直線與直線互相平行”的充要條件B．已知點，，直線過且與線段相交，則其傾斜角的范圍是C．圓：與：恰有四條公切線，則D．圓上有且僅有2個點到直線：的距離等于11．記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知,則（

）A．B．C． D．數(shù)列是等差數(shù)列12．雙曲線的左、右焦點分別為，與有公共焦點的橢圓在第一象限的交點為，雙曲線和橢圓的離心率分別為的內切圓的圓心為，的面積分別是,過作直線的垂線，垂足為，則（

）A．I到y(tǒng)軸的距離為a B．點的軌跡是雙曲線C．若，則 D．若，則三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．某高中學生總人數(shù)為1000人，其中高三人數(shù)為300人，現(xiàn)采用按比例分配的分層抽樣方法從全校學生中抽取20人參加一項活動，則高一與高二參加活動的總人數(shù)為.14．已知動點在橢圓上，過點P作圓的切線，切點為M，則的最小值是.15．已知拋物線的焦點為，第一象限的兩點在拋物線上，且滿足，．若線段中點的縱坐標為4，則拋物線的方程為.16．已知數(shù)列{}滿足，若對任意正整數(shù)都有恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）已知數(shù)列的首項為3，且滿足.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.18．（本小題滿分12分）過點作直線與拋物線相交于兩點.(1)若直線的斜率是1，求弦的長度；(2)若，求直線的方程．19．（本小題滿分12分）已知為等差數(shù)列，是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．20．（本小題滿分12分）某學校后勤服務中心為監(jiān)控學校食堂的服務質量情況，每學期會定期進行兩次食堂服務質量抽樣調查，每次調查的具體做法是：隨機調查50名就餐的教師和學生，請他們?yōu)槭程梅召|量進行評分，師生根據(jù)自己的感受從0到100分選取一個分數(shù)打分，根據(jù)這50名師生對食堂服務質量的評分繪制頻率分布直方圖．下圖是根據(jù)本學期第二次抽樣調查師生打分結果繪制的頻率分布直方圖，其中樣本數(shù)據(jù)分組為[40，50），[50，60），…，[90，100]．(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)；(2)學校規(guī)定：師生對食堂服務質量的評分平均分不得低于75分，否則將進行內部整頓．用每組數(shù)據(jù)的中點值代替該組數(shù)據(jù)，試估計該校師生對食堂服務質量評分的平均分，并據(jù)此回答食堂是否需要進行內部整頓；(3)學校每周都會隨機抽取3名學生和校長共進午餐，每次校長都會通過這3名學生了解食堂服務質量，校長的做法是讓學生在“差評、中評、好評”中選擇一個作答，如果出現(xiàn)“差評”或者“沒有出現(xiàn)好評”，校長會立即責成后勤分管副校長親自檢查食堂服務情況．若以本次抽取的50名學生樣本頻率分布直方圖作為總體估計的依據(jù)，并假定學生評分在[40，60）之間的會給“差評”，評分在[60，80）之間的會給“中評”，評分在[80，100]之間的會給“好評”，已知本周和校長共進午餐的3名學生都會根據(jù)自己的感受獨立地作答，不會受到另外兩人的影響，試估計本周校長會責成后勤分管副校長親自檢查食堂服務質量的概率．21．（本小題滿分12分）在平面直角坐標系中，圓：，，P是圓上的一個動點，線段的垂直平分線l與直線交于點M．記點M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過點作與x軸不垂直的任意直線交曲線C于A,B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點H，求證：為定值．22．（本小題滿分12分）橢圓與雙曲線有相同的焦點，且過點.(1)求橢圓的方程；(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為A,B,設為直線上不同于點的任意一點，連接線段交橢圓于點，連接線段并延長交橢圓于點.（i）證明：點B在以為直徑的圓內；（ii）求四邊形面積的最大值．數(shù)學答案一單選題1.C2.A3.B4.D5.B6.C7.C8.D二、多選題9.AB10.BC11.ACD12.ACD三、填空題13.1414.

15.16.三、解答題17.【解】（1）由數(shù)列的首項為，且滿足，可得，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，可得，所以數(shù)列的前項和.18【解】（1）直線的方程為，由消去得，設，解得，，即，所以.（2）由于直線過且與拋物線相交于兩點，所以可設直線的方程為，由消去并化簡得，，，，由得，所以，由解得或，所以的值為，所以直線的方程為或，即或.19．【解】（1）設公差為，公比為，則，又，解得，所以，；（2），，，兩式相減得，故.20．【解】（1）由，解得.該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)在分數(shù)為[70,80]這一組，取中點值為75分，即眾數(shù)為75（2）由題中數(shù)據(jù)可得對食堂服務質量評分的平均分為因為76.2>75，所以食堂不需要內部整頓.（3）由圖可知，[40，60）、[60，80）、[80，100]這三組的頻率分別為0.1、0.5、0.4；用頻率估計概率，即差評、中評、好評的概率分別為0.1、0.5、0.4；以本次抽取的3名學生，讓學生在“差評、中評、好評”中選擇一個作答，已知學生都會根據(jù)自己的感受獨立地給出評價不會受到其它因素的影響，記3名學生分別為甲、乙、丙；設本周校長不會責成后勤分管副校長親自檢查食堂服務質量的事件記為A，則A事件即為：甲好評乙丙中評、甲乙好評丙中評、甲丙好評乙中評、乙好評甲丙中評、乙丙好評甲中評、丙好評甲乙中評、甲乙丙都好評；即.即本周校長會責成后勤分管副校長親自檢查食堂服務質量的概率為0.396.21.【解】（1）如圖所示，

連結，根據(jù)題意，，則，點的軌跡是以，為焦點的雙曲線，設雙曲線方程為，其中，，，，，故所求的方程為．（2）證明：

設直線的方程為，，，所以，則，所以中點為，當時，，此時;當時，則垂直平分線方程為，令得，即，所以，又，綜上可得為定值1．22.【解】（1）由題知，橢圓的焦點為，，故可設橢圓的方程為，將點代入可得，解得，所以橢圓得方程為.

（2）（i）易知，由橢圓對稱性可知，不妨設，；根據(jù)題意可知直線斜率均存在，且，；所以直線的方程