高考數(shù)學(xué) 評(píng)估2配套訓(xùn)練 新人教A版必修2

章末質(zhì)量評(píng)估(二)(時(shí)間：100分鐘滿分：120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．設(shè)直線m與平面α相交但不垂直，則下列說(shuō)法中正確的是()．A．在平面α內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直B．過直線m有且只有一個(gè)平面與平面α垂直C．與直線m垂直的直線不可能與平面α平行D．與直線m平行的平面不可能與平面α垂直解析畫圖或在正方體模型中觀察可得．答案B2．(·聊城二中高一檢測(cè))如圖，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()．A．直線AC B．直線ABC．直線CD D．直線BC解析D∈l，l?β，∴D∈β.又C∈β，∴CD?β.同理CD?平面ABC，∴平面ABC∩平面β＝CD.答案C3．對(duì)兩條不相交的空間直線a與b，必存在平面α，使得()．A．a(chǎn)?α，b?αB．a(chǎn)?α，b∥αC．a(chǎn)⊥α，b⊥αD．a(chǎn)?α，b⊥α解析因?yàn)橐阎獌蓷l不相交的空間直線a和b，所以可以在直線a上任取一點(diǎn)A，則A?b.過A作直線c∥b，則過a，c必存在平面α且使得a?α，b∥α.答案B4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是()．A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β解析容易判斷A、B、C三個(gè)答案都是正確的，對(duì)于D，雖然AC⊥l，但AC不一定在平面α內(nèi)，故它可以與平面β相交、平行，但不一定垂直．答案D5．設(shè)直線l?平面α，過平面α外一點(diǎn)A與l，α都成30°角的直線有且只有()．A．1條B．2條C．3條D．4條解析如圖，和α成30°角的直線一定是以A為頂點(diǎn)的圓錐的母線所在直線，當(dāng)∠ABC＝∠ACB＝30°，直線AC，AB都滿足條件，故選B.答案B6．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，直線l過點(diǎn)A且垂直于平面ABC，動(dòng)點(diǎn)P∈l，當(dāng)點(diǎn)P逐漸遠(yuǎn)離點(diǎn)A時(shí)，∠PCB的大小()．A．變大B．變小C．不變D．有時(shí)變大有時(shí)變小解析由于直線l垂直于平面ABC，∴l(xiāng)⊥BC，又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面APC，∴BC⊥PC，即∠PCB為直角，與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)，選C.答案C7．(·泰安高一檢測(cè))設(shè)m、n表示不同直線，α、β表示不同平面，則下列結(jié)論中正確的是()．A．若m∥α，m∥n，則n∥αB．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，則n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，則n∥β解析A選項(xiàng)不正確，n還有可能在平面α內(nèi)，B選項(xiàng)不正確，平面α還有可能與平面β相交，C選項(xiàng)不正確，n也有可能在平面β內(nèi)，選項(xiàng)D正確．答案D8．已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABCA.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2,3)解析由題意知三棱錐A1-ABC為正四面體，設(shè)棱長(zhǎng)為a，則AB1＝eq\r(3)a，棱柱的高A1O＝eq\r(a2－AO2)＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)a))2)＝eq\f(\r(6),3)a(即點(diǎn)B1到底面ABC的距離)，故AB1與底面ABC所成角的正弦值為eq\f(A1O,AB1)＝eq\f(\r(2),3).答案C9．在四面體A-BCD中，已知棱AC的長(zhǎng)為eq\r(2)，其余各棱長(zhǎng)都為1，則二面角A-CD-B的平面角的余弦值為()．A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(2),3)解析取AC的中點(diǎn)E，CD的中點(diǎn)F，連接EF，BF，BE，∵AC＝eq\r(2)，其余各棱長(zhǎng)都為1，∴AD⊥CD.∴EF⊥CD.又∵BF⊥CD，∴∠BFE是二面角A-CD-B的平面角．∵EF＝eq\f(1,2)，BE＝eq\f(\r(2),2)，BF＝eq\f(\r(3),2)，∴EF2＋BE2＝BF2.∴∠BEF＝90°，∴cos∠BFE＝eq\f(EF,BF)＝eq\f(\r(3),3).答案C10．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與直線A1D1，EF，CDA．不存在B．有且只有兩條C．有且只有三條D．有無(wú)數(shù)條解析在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1D1與M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與CD有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N，當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與這3條異面直線都有交點(diǎn)，如下圖，故選D.答案D二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上)11．(·成都高一檢測(cè))`已知平面α，β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β.當(dāng)滿足條件________時(shí)，有m⊥β.(填所選條件的序號(hào))解析若m⊥α，α∥β，則m⊥β.故填②④.答案②④12．如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E是SA上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E滿足條件：________時(shí)，SC∥平面EBD.解析E為SA中點(diǎn)，連接AC交BD于O，連接OE，則OE∥SC，∴SC∥平面EBD.答案E為SA中點(diǎn)13．已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC邊上取點(diǎn)E，使PE⊥DE，則滿足條件的E點(diǎn)有兩個(gè)時(shí)，a的取值范圍是________．解析如圖所示，連接AE，要使PE⊥DE，由于DE⊥PA，則需DE⊥AE.∴在矩形ABCD中，∠AED＝90°，滿足條件的E點(diǎn)有兩個(gè)，∴以AD為直徑的圓與BC相割．∴圓心到直線BC的距離d＜R，即3＜eq\f(AD,2)，得a＞6.答案a＞614．如圖，圓錐SO中，AB、CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝2，P為SB的中點(diǎn)．則異面直線SA與PD所成角的正切值為________．解析連接PO，則PO∥SA，∴∠OPD即為異面直線SA與PD所成角的平面角．且△OPD為直角三角形，∠POD為直角，∴tan∠OPD＝eq\f(OD,OP)＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).答案eq\r(2)三、解答題(本大題共5小題，共54分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟)15．(10分)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(1)證明：PA∥平面EDB；(2)證明：PB⊥平面DEF.證明(1)如圖，連接AC交BD于O.連接EO.∵底面ABCD是正方形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO.而EO?平面EDB且PA?平面EDB.所以PA∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD，∴PD⊥DC，∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，∴DE⊥PC，①同理：由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC.而DE?平面PDC，∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB?平面PBC，∴DE⊥PB，又EF⊥PB且DE∩EF＝F，所以PB⊥平面EFD.16．(10分)某幾何體的三視圖如圖所示，P是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，G是PB的中點(diǎn)．(1)根據(jù)三視圖，畫出該幾何體的直觀圖；(2)在直觀圖中，①證明：PD∥平面AGC；②證明：平面PBD⊥平面AGC.(1)解(1)該幾何體的直觀圖如圖所示．(2)證明如圖所示，①連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接OG，因?yàn)镚為PB的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，所以O(shè)G∥PD.又OG?平面AGC，PD?平面AGC，所以PD∥平面AGC.②連接PO，由三視圖可知PO⊥平面ABCD，所以AO⊥PO.又AO⊥BO，所以AO⊥平面PBD.因?yàn)锳O?平面AGC，所以平面PBD⊥平面AGC.17．(10分)(·寧波高一檢測(cè))如圖所示，正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直，G是AF的中點(diǎn)．(1)求證：ED⊥AC；(2)若直線BE與平面ABCD成45°角，求異面直線GE與AC所成角的余弦值．(1)證明在矩形ADEF中，ED⊥AD，∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥AC.(2)解由(1)知：ED⊥平面ABCD，∴∠EBD是直線BE與平面ABCD所成的角，即∠EBD＝45°，設(shè)AB＝a，則DE＝BD＝eq\r(2)a，取DE中點(diǎn)M，連接AM，∵G是AF的中點(diǎn)，∴AM∥GE，∴∠MAC是異面直線GE與AC所成角或其補(bǔ)角．連接BD交AC于點(diǎn)O，連接MO.∵AM＝CM＝eq\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2)＝eq\f(\r(6),2)a，O是AC的中點(diǎn)，∴MO⊥AC，∴cos∠MAC＝eq\f(AO,AM)＝eq\f(\f(\r(2),2)a,\f(\r(6),2)a)＝eq\f(\r(3),3)，∴異面直線GE與AC所成角的余弦值為eq\f(\r(3),3).18．(12分)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1∠ACB＝90°，AA1＝BC＝2AC(1)若D為AA1中點(diǎn)，求證：平面B1CD⊥平面B1C1D(2)在AA1上是否存在一點(diǎn)D，使得二面角B1-CD-C1的大小為60°.(1)證明∵∠A1C1B1＝∠ACB∴B1C1⊥A1又由直三棱柱性質(zhì)知B1C1⊥CC1∴B1C1⊥平面ACC1A∴B1C1⊥CD由AA1＝BC＝2AC＝2，D為AA1可知DC＝DC1＝eq\r(2)，∴DC2＋DCeq\o\al(2,1)＝CCeq\o\al(2,1)＝4，即CD⊥DC1，又B1C1⊥CD∴CD⊥平面B1C1D又CD?平面B1CD，故平面B1CD⊥平面B1C1D(2)解當(dāng)AD＝eq\f(\r(2),2)AA1時(shí)二面角B1CDC1的大小為60°.假設(shè)在AA1上存在一點(diǎn)D滿足題意，由(1)可知B1C1⊥平面ACC1A如圖，在平面ACC1A1內(nèi)過C1作C1E⊥CD，交CD或延長(zhǎng)線或于E，連EB1，則EB1⊥CD，所以∠B1EC1為二面角B1－CD－C1的平面角，∴∠B1EC1＝60°，由B1C1＝2知，C1E＝eq\f(2\r(3),3)，設(shè)AD＝x，則DC＝eq\r(x2＋1)，∵△DCC1的面積為1，∴eq\f(1,2)eq\r(x2＋1)·eq\f(2\r(3),3)＝1，解得x＝eq\r(2)，即AD＝eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2)AA1，∴在AA1上存在一點(diǎn)D滿足題意．19．(12分)(·濟(jì)南高一期中測(cè)試)如右圖，在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，斜邊AB＝4，Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角BAOC是直二面角．動(dòng)點(diǎn)D在斜邊AB上．(1)求證：平面COD⊥平面AOB；(2)當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AO與CD所成角的正切值；(3)求CD與平面AOB所成角的正切值的最大值．(1)證明由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角，又∵二面角BAOC是直二面角．∴CO⊥BO.又∵AO∩BO＝O，∴CO⊥平面AOB.又CO?平面COD，∴平面COD⊥平面AOB.(2)解作DE⊥OB，垂足為E，連接CE(如右圖)，則DE∥AO.∴∠CDE是異面直線AO與CD所成的角．在Rt△OCB中，CO＝BO＝2，OE＝eq\f(1,2)BO＝1，∴CE＝eq\r(CO2＋OE2)＝eq\r(5).又DE＝eq\f(1,2)AO＝eq\r(3)，∴在Rt△CDE中，tan∠CDE＝eq\f(