初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽指導(dǎo)：初中幾何競(jìng)賽題的解法探究

初中兒何競(jìng)賽題的解法探究

題目

在AABC中，NC=90°,ZA=60°,AC=1,點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AB上，使

得4ADE是等腰直角三角形，NADE=90°,則BE長(zhǎng)度為()

(A)4-25/3(B)2-V3

(C)—(y/3—1)(D)A/3—1

2

一、解題關(guān)鍵要素

在aABC中，由/C=90°，/A=60°及AC=1,知

NB=30°,AB=2,BC=G，c

/DAC+NADC=90°.

又由NADE=90°及AD=DE,知----------

A4t4B,

ZDEA=ZDAE=45°,圖1

ZADC+ZBDE=90°.

.?.NDAC=NBDE=15°.

ZADC=75°.

這里，AD=DE,LDAC=NBDE及30°和75°的角，都是解題的關(guān)鍵要素，是成功

解題的入口！

二、解題思路

1.利用AD=DE及NDAC=/BDE構(gòu)造全等三角形

解法一如圖2,作EFLCB于點(diǎn)F.

VAD=DE,LDAC=NBDE,

ZACD=LDFE,c

.?.△ACD/△DFE,

AEB

圖2

，EF=CD,DF=AC=1.

設(shè)CD=x,

為△BFE中，ZB=30°,

BE=2x,BF=GX,

，AE=2—x.

VCD+DF+BF=BC,

X+1+\/3X=,解得x=2—V3,

.,.BE=4-2>/3.

解法二延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E使AF=DB,連結(jié)DF.

VAD=DE,ZDAC=ZBDE,

AAADF^ADEB,

，DF=EB,ZF=ZB.

EB

設(shè)CD=x

□△CDF中，ZF=30°,

???DF=2x,CF=V3x,

??.BD=1+GX,

VCD+BD=BC,

?**x+1+V3x=V3f解得x=2—V3,

???BE=4-2G.

2.構(gòu)造含30°的直角三角形

解法三如圖4,作DFLAB于點(diǎn)F.

在RtZSBDF中，NB=30°,

設(shè)DF=x,則BF=>AX,A3

圖4

在等腰RtZ\ADE中，

AF=DF=x.

；AF+BF=AB,

；.x+百x=2,解得x=6—1,

；.BE=AB—AE=4-26.

解法四如圖5,在AC取點(diǎn)F,連結(jié)DF,使FD=FA,

則有NFAD=NADF=15。，

AZDGC=30°.

VZACD=90°,

；.FD=2CD.

設(shè)CD=x,則FD=2x,CF=框x,

VAF+CF=AC.

2x+x=1,解得x=2一垂）.

在RtAADC中,

AD=VAC2+CD2=V6-V2,

在等腰Rt^ADE中，

AE=V2AD=2A/3-2,

.,.BE=AB-AE=4-2A/3.

3.構(gòu)造底角為75°的等腰三角形

解法五如圖6,延長(zhǎng)BC到F,使CF=CB,連結(jié)AF.

VZACB=90°,

AAC1BF,，AF=AB,

.\ZFAC=ZBAC=60o,

圖6

，NFAD=NFDA=75°,

，F(xiàn)D=FA=2.

設(shè)CD=x,則FD=6+X=2,

x—2一垂）.

.,.AD=>/AC2+CD2

.\AE=V2AD=2V3-2,

.".BE=4-2A/3.

解法六如圖7,延長(zhǎng)BC到F,連接AF,使AF=AD,

則有NF=NADC=75°.

VAC±BF,

AZFAC=LDAC=15°,

/FAD=/ABF=30°,

.?.△ADFs/XBAF,

.AF_DF

"~BF~~AF

設(shè)AD=x,CD=y,

2x

，x2=2y,①

RtZXADC中，X2=l+y2②

由①、②，得=26一2,

.\AE=72AD=2>/3-2,

，BE=4—2月.

題目

在四邊形ABCD中，BC=8,CD=12,AD=10,ZA=ZB=60°，貝AB=

圖2

題中四邊形ABCD雖是不規(guī)則四邊形，但條件/A=NB=60°很特殊.解題的關(guān)鍵

是要從60°角出發(fā)去添加輔助線，把四邊形ABCD通過(guò)補(bǔ)形或分割為常見(jiàn)的特殊四邊形

或三角形，最重要的還要找出60°角所在直角三角形，以便快速準(zhǔn)確解題.

一、把四邊形ABCD補(bǔ)形

解法一補(bǔ)為等邊三角形，

如圖2,延長(zhǎng)AD和BC,交點(diǎn)為E,作DFJ_BE于點(diǎn)F.

VZA=ZB=60°.

AZE=60°.

...△EBC是等邊三角形，

，EA=EB=AB.

；.EC=ED+2.

設(shè)DE=x,

在Rtz^DFE中，ZEDF=30°,

則FE=0.5x,DF=-x；

2

在RtADFC中，

CD2=DF2+FC2.

/.122=(0.5X+2)2+(—X)2.

2

解得x=ViTT—i,

.*.AB=AE=AD+DE=9+V141.

解法二補(bǔ)為平行四邊形.

如圖3,過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)D作BC、AB的平行線，并延長(zhǎng)BC,交點(diǎn)為E、F,作CGLFE

于點(diǎn)G.

四邊形ABEF是平行四邊形，

ZGEC=ZB=60°,

ZADF=ZBAD=60°,F-....…一小

；.AB=EF,AF=BE,\\/\

NF=/B=60°,AB

圖3

；.AF=DF=AD=10.

在RtZXCGE中，

CE=BE-BC=2,ZECG=30°,

；.EG=1,CG=5

在RtADCG中，

DG=y/DC2-CG2=Jl2?一（可

-V141

.\AB=FE=FD+DE

=FD+DG-EG

=9+7141.

解法三補(bǔ)為矩形,

如圖4,分別過(guò)點(diǎn)A、B作AB的垂線，與過(guò)點(diǎn)D所作AB的平行線交于點(diǎn)E和F,

作CHLEF于點(diǎn)H,CGLFB于點(diǎn)G.

四邊形ABFE是矩形，

ZDAE=30°,/CBG=30°,B

圖4

，BF=AE,EF=AB.

在RtADEG中,

DE=5,AE=5g；

在RtZ\BCG中，

CG=4,BG=4x/3,

;.GF=G

在矩形CGFH中，CH=FG,HF=CG；

在RtaDCH中，

DH=>JDC2-CH2=Vi4i

=ED+DH+HF

=9+714?.

二、把四邊形ABCD進(jìn)行分割

解法四分割成矩形和直角三角形.

如圖5,過(guò)點(diǎn)D和C作AB的垂線，垂足為E和F,作CGLDE于點(diǎn)G.

在RtZ\ADE中，

AE=5,DE=5A/3；

在RtZ\CBF中，

圖5

BF=4,CF=46.

在RtACDG中，

GD=DE—GE=DE—CF=46,

CG=4DC2-DG2=7141,

，AB=AE+EF+FB

=AE+CG+FB

=9+ViZT.

解法五分割成等邊三角形、平行四邊形及直角三角形.

如圖6,過(guò)點(diǎn)C作CE〃AB交AD于點(diǎn)E,CF〃AD交AB于點(diǎn)F,作DGLEC于點(diǎn)G,

...四邊形AFCE是平行四邊形，

/CFB