高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))9.3計數(shù)原理(精練)(原卷版+解析)

9.3計數(shù)原理【題型解讀】【題型一分類加法計數(shù)原理】1.(2023·甘肅省會寧縣第二中學(xué)高三期中）將編號1，2，3，4的小球放入編號為1，2，3的盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的號不能相同，則不同的放球方法有（）A．16種 B．12種 C．9種 D．6種2.(2023·全國高三課時練習(xí)）算盤是中國古代的一項重要發(fā)明．現(xiàn)有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字（如圖2中算盤表示整數(shù)）．如果撥動圖1算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為（）A． B． C． D．3．(2023·博興縣第三中學(xué)高三月考）若一位三位數(shù)的自然數(shù)各位數(shù)字中，有且僅有兩個數(shù)字一樣，我們就把這樣的三位數(shù)定義為“單重數(shù)”.例如：232，114等，則不超過200的“單重數(shù)”中，從小到大排列第22個“單重數(shù)”是（）A．166 B．171 C．181 D．1884．(2023·四川樂山高三期末）從甲地到乙地有3條公路可走，從乙地到丙地有2條公路可走，從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有2條水路可走.則從甲地到丙地的走法種數(shù)（）A．8 B．6 C．5 D．25.(2023·山東濟南高三期末）如圖所示，在，間有四個焊接點1，2，3，4，若焊接點脫落導(dǎo)致斷路，則電路不通．今發(fā)現(xiàn)，之間電路不通，則焊接點脫落的不同情況有（）A．9種 B．11種 C．13種 D．15種【題型二分步乘法計數(shù)原理】1.(2023·全國高三課時練習(xí)）一植物園的參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復(fù)，則不同的參觀路線共有（）A．6種 B．8種C．36種 D．48種2.(2023·湖南省長沙縣第九中學(xué)高三期末）從集合中任取兩個互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)，其中虛數(shù)有（）A．10個 B．12個 C．16個 D．20個3.(2023·陜西高三模擬）有6位同學(xué)報名參加三個數(shù)學(xué)課外活動小組，每位同學(xué)限報其中一個小組，則不同的報名方法共有（）A． B． C． D．4.(2023·浙江高三模擬）現(xiàn)有6名選手參加才藝比賽，其中男、女選手各3名，且3名男選手分別表演歌唱、舞蹈和魔術(shù)，3名女選手分別表演歌唱、舞蹈和魔術(shù)，若要求相鄰出場的選手性別不同且表演的節(jié)目不同，則不同的出場方式的種數(shù)為（）A．6 B．12 C．18 D．24【題型三數(shù)字問題】1.(2023·江西橫峰中學(xué)月考）由數(shù)字1，2，3組成的無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)的個數(shù)為（）A．15 B．12 C．10 D．52.(2023·廣東高三模擬）用0，1，2，3，4，5可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的（1）密碼箱的四位密碼；（2）比2000大的四位偶數(shù).3.(2023·青島二中高三課時練習(xí)）用0,1,2,3,4五個數(shù)字．（1）可以排成多少個三位數(shù)字的電話號碼？（2）可以排成多少個三位數(shù)？（3）可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？【題型四涂色問題】1．(2023·南寧市銀海三美學(xué)校高三月考）如圖，用五種不同的顏色分別給A，B，C，D四個區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有多少種（）A．280 B．180 C．96 D．602.(2023·湖北車城高中高三期中）現(xiàn)有5種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有（）A．150種 B．180種 C．240種 D．120種3.(2023·廣東高三期中）如圖所示的五個區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為()A．24 B．48C．72 D．964.(2023·全國高三課時練習(xí)）如圖，將一個四棱錐的每一個頂點染一種顏色，并使同一條棱上的兩端點異色，如果只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法有________種.5．(2023·浙江高三模擬）現(xiàn)用4種不同的顏色對如圖所示的正方形的6個區(qū)域進行涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂色方案有______種.6．(2023·全國高二課時練習(xí)）如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有________種．(用數(shù)字作答)【題型五幾何體問題】1.已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為()A．40 B．16C．13 D．102．(2023·濟南中學(xué)高三月考）過三棱柱任意兩個頂點的直線共15條，其中異面直線有多少對？9.3計數(shù)原理【題型解讀】【題型一分類加法計數(shù)原理】1.(2023·甘肅省會寧縣第二中學(xué)高三期中）將編號1，2，3，4的小球放入編號為1，2，3的盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的號不能相同，則不同的放球方法有（）A．16種 B．12種 C．9種 D．6種答案：B【解析】由題意可知，這四個小球有兩個小球放在一個盒子中，當(dāng)四個小球分組為如下情況時，放球方法有：當(dāng)1與2號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當(dāng)1與3號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；^當(dāng)1與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當(dāng)2與3號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當(dāng)2與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當(dāng)3與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；因此，不同的放球方法有12種，故選B.2.(2023·全國高三課時練習(xí)）算盤是中國古代的一項重要發(fā)明．現(xiàn)有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字（如圖2中算盤表示整數(shù)）．如果撥動圖1算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為（）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意，撥動三枚算珠，有種撥法：①個位撥動三枚，有種結(jié)果：、；②十位撥動一枚，個位撥動兩枚，有種結(jié)果：、、、；③十位撥動兩枚，個位撥動一枚，有種結(jié)果：、、、；④十位撥動三枚，有種結(jié)果：、．綜上，撥動題圖1算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為．故選：C.3．(2023·博興縣第三中學(xué)高三月考）若一位三位數(shù)的自然數(shù)各位數(shù)字中，有且僅有兩個數(shù)字一樣，我們就把這樣的三位數(shù)定義為“單重數(shù)”.例如：232，114等，則不超過200的“單重數(shù)”中，從小到大排列第22個“單重數(shù)”是（）A．166 B．171 C．181 D．188答案：B【解析】由題意可得：不超過200的數(shù)，兩個數(shù)字一樣同為0時，有100，200有2個，兩個數(shù)字一樣同為1時，有110，101，112，121，113，131，一直到191，119，共18個，兩個數(shù)字一樣同為2時，有122，有1個同理，兩個數(shù)字一樣同為3，4，5，6，7，8，9時各1個，綜上，不超過200的“單重數(shù)”共有，其中最大的是200，較小的依次為199，191，188，181，177，171，故第22個“單重數(shù)”為171，故選：B.4．(2023·四川樂山高三期末）從甲地到乙地有3條公路可走，從乙地到丙地有2條公路可走，從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有2條水路可走.則從甲地到丙地的走法種數(shù)（）A．8 B．6 C．5 D．2答案：A【解析】由題意分兩種情況討論：一是從甲地經(jīng)過乙地到丙地，因為從甲地到乙地有3條公路可走，從乙地到丙地有2條公路可走，所以從甲地到丙地的走法有種，二是從甲地不經(jīng)過乙地到丙地，因為從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有2條所以從甲地到丙地的走法有2種，故從甲地到丙地的走法共有種，故選：A5.(2023·山東濟南高三期末）如圖所示，在，間有四個焊接點1，2，3，4，若焊接點脫落導(dǎo)致斷路，則電路不通．今發(fā)現(xiàn)，之間電路不通，則焊接點脫落的不同情況有（）A．9種 B．11種 C．13種 D．15種答案：C【解析】按焊接點脫落的個數(shù)分成4類：脫落1個，有1，4，共2種；脫落2個，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6種；脫落3個，有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)，共4種；脫落4個，有(1，2，3，4)，共1種，由分類加法計數(shù)原理，焊接點脫落的情況共有種．故選：C【題型二分步乘法計數(shù)原理】1.(2023·全國高三課時練習(xí)）一植物園的參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復(fù)，則不同的參觀路線共有（）A．6種 B．8種C．36種 D．48種答案：D【解析】如圖所示，由題意知在A點可先參觀區(qū)域1，也可先參觀區(qū)域2或3，選定一個區(qū)域后可以按逆時針參觀，也可以按順時針參觀，所以第一步可以從6個路口任選一個，有6種結(jié)果，參觀完第一個區(qū)域后，選擇下一步走法，有4種結(jié)果，參觀完第二個區(qū)域，只剩下最后一個區(qū)域，有2種走法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有6×4×2＝48(種)不同的參觀路線．故選：D2.(2023·湖南省長沙縣第九中學(xué)高三期末）從集合中任取兩個互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)，其中虛數(shù)有（）A．10個 B．12個 C．16個 D．20個答案：C【解析】∵a，b互不相等且為虛數(shù)，∴所有b只能從{1，2，3，4}中選一個有4種，a從剩余的4個選一個有4種，∴根據(jù)分步計數(shù)原理知虛數(shù)有4×4＝16（個）．故選：C．3.(2023·陜西高三模擬）有6位同學(xué)報名參加三個數(shù)學(xué)課外活動小組，每位同學(xué)限報其中一個小組，則不同的報名方法共有（）A． B． C． D．答案：A【解析】由題意知本題是一個分步計數(shù)問題，第一個同學(xué)有3種報法，第二個同學(xué)有3種報法，后面的四個同學(xué)都有三種報法，根據(jù)分步計數(shù)原理知共有種結(jié)果，故選：．4.(2023·浙江高三模擬）現(xiàn)有6名選手參加才藝比賽，其中男、女選手各3名，且3名男選手分別表演歌唱、舞蹈和魔術(shù)，3名女選手分別表演歌唱、舞蹈和魔術(shù)，若要求相鄰出場的選手性別不同且表演的節(jié)目不同，則不同的出場方式的種數(shù)為（）A．6 B．12 C．18 D．24答案：B【解析】設(shè)3名男選手分別為,,,他們分別表演歌唱,舞蹈和魔術(shù),3名女選手分別為,,,她們分別表演歌唱,舞蹈和魔術(shù),若第一個出場的是,則第二個出場的只能是或,若第二個出場的是,則接下來的出場順序只能是,,,,同理,若第二個出場的是,則接下來的出場順序只能是,,,,所以若第一個出場,則不同的出場方式有2種,故不同的出場方式共有（種）,故選:B【題型三數(shù)字問題】1.(2023·江西橫峰中學(xué)月考）由數(shù)字1，2，3組成的無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)的個數(shù)為（）A．15 B．12 C．10 D．5答案：D【解析】分三類，第一類組成一位整數(shù)，偶數(shù)有2，共1個；第二類組成兩位整數(shù)，其中偶數(shù)有12和32，共2個；第三類組成三位整數(shù)，其中偶數(shù)有132和312，共2個．由分類加法計數(shù)原理知共有偶數(shù)5個．故選：D2.(2023·廣東高三模擬）用0，1，2，3，4，5可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的（1）密碼箱的四位密碼；（2）比2000大的四位偶數(shù).答案：（1）360；（2）120【解析】解：（1）分步解決.第一步：選取第一個位置上的數(shù)字，有6種選取方法；第二步：選取第二個位置上的數(shù)字，有5種選取方法；第三步：選取第三個位置上的數(shù)字，有4種選取方法；第四步：選取第四個位置上的數(shù)字，有3種選取方法.由分步乘法計數(shù)原理知，可組成無重復(fù)數(shù)字的四位密碼共有.（2）按個位是0，2，4分為三類.第一類：個位是0的有個；第二類：個位是2的有個；第三類：個位是4的有個.故由分類加法計數(shù)原理得比2000大的四位偶數(shù)有個.3.(2023·青島二中高三課時練習(xí)）用0,1,2,3,4五個數(shù)字．（1）可以排成多少個三位數(shù)字的電話號碼？（2）可以排成多少個三位數(shù)？（3）可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？答案：（1）125個；（2）100個；（3）30個.【解析】（1）三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(個)．（2）三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(個)．（3）被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法．因而有12＋18＝30(種)排法．即可以排成30個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．【題型四涂色問題】1．(2023·南寧市銀海三美學(xué)校高三月考）如圖，用五種不同的顏色分別給A，B，C，D四個區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有多少種（）A．280 B．180 C．96 D．60答案：B【解析】按區(qū)域分四步：第1步，A區(qū)域有5種顏色可選；第2步，B區(qū)域有4種顏色可選；第3步，C區(qū)域有3種顏色可選；第4步，D區(qū)域也有3種顏色可選.由分步乘法計數(shù)原理，共有5×4×3×3=180種不同的涂色方案.選選：B.2.(2023·湖北車城高中高三期中）現(xiàn)有5種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有（）A．150種 B．180種 C．240種 D．120種答案：B【解析】分步涂色，第一步對涂色有5種方法，第二步對涂色有4種方法，第三步對涂色有3種方法，第四步對涂色有3種方法，∴總的方法數(shù)為．故選：B．3.(2023·廣東高三期中）如圖所示的五個區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為()A．24 B．48C．72 D．96答案：C【解析】分兩種情況：①A，C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B，D各有1種，有4×3×2＝24種涂法．②A，C同色，先涂A有4種，E有3種，C有1種，B，D各有2種，有4×3×2×2＝48種涂色．故共有24＋48＝72種涂色方法．4.(2023·全國高三課時練習(xí)）如圖，將一個四棱錐的每一個頂點染一種顏色，并使同一條棱上的兩端點異色，如果只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法有________種.答案：72【解析】下面分兩種情況，即C，A同色與C，A不同色來討論.（1）P的著色方法有4種，A的著色方法有3種，B的著色方法有2種，C，A同色時，C的著色方法為1種，D的著色方法有2種.（2）P的著色方法有4種，A的著色方法有3種，B的著色方法有2種.C與A不同色時C的著色方法有1種，D的著色方法有1種，綜上，兩類共有4×3×2×1×2＋4×3×2×1×1＝48＋24＝72(種).5．(2023·浙江高三模擬）現(xiàn)用4種不同的顏色對如圖所示的正方形的6個區(qū)域進行涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂色方案有______種.答案：144【解析】第一步，對區(qū)域1進行涂色，有4種顏色可供選擇，即有4種不同的涂色方法；第二步，對區(qū)域2進行涂色，區(qū)域2與區(qū)域1相鄰，有3種顏色可供選擇，即有3種不同的涂色方法；第三步，對區(qū)域3進行涂色，區(qū)域3與區(qū)域1、區(qū)域2相鄰，有2種顏色可供選擇，即有2種不