高三數(shù)學一輪復習題型與戰(zhàn)法精準訓練(新高考專用)8.5.2直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(針對練習)(原卷版+解析)

第八章平面解析幾何8.5.2直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（針對練習）針對練習針對練習一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1．直線y＝x＋1與橢圓x2＋＝1的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定2．直線與橢圓有兩個公共點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．過且與雙曲線有且只有一個公共點的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條4．若直線與雙曲線相交，則的取值范圍是A． B． C． D．5．直線與拋物線的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定針對練習二圓錐曲線中的弦長、焦點弦問題6．直線與橢圓相交于兩點,則等于(

)A． B． C． D．7．直線交橢圓于兩點，若，則的值為（

）A． B． C． D．8．直線x＋y＝1與雙曲線4x2－y2＝1相交所得弦長為（

）A． B． C． D．9．已知雙曲線的左右焦點分別是、，過的直線與雙曲線相交于、兩點，則滿足的直線有A．條 B．條 C．條 D．條10．已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線分別交于兩點，則（

）A．1 B．3 C．6 D．8針對練習三圓錐曲線的中點弦問題11．已知橢圓，則以點為中點的弦所在的直線方程為（）A．B．C． D．12．已知雙曲線與斜率為1的直線交于A，B兩點，若線段AB的中點為，則C的離心率（

）A． B． C． D．13．已知雙曲線方程為，過點作直線與該雙曲線交于，兩點，若點恰好為中點，則直線的方程為（

）A． B． C． D．14．已知雙曲線C的中心在坐標原點，其中一個焦點為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，且AB的中點為，則C的離心率為(

)A． B． C． D．15．已知拋物線C：，直線l與C交于A，B兩點，若弦的中點為，則直線l的斜率為（

）A． B．3 C． D．－3針對練習四圓錐曲線中的向量問題16．已知為橢圓的右焦點，為橢圓上兩個動點，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．17．已知橢圓上，過F1的直線l與橢圓E交于A、B兩點（點A位于x軸上方），若，則直線l的斜率k的值為（

）A． B． C． D．18．直線經(jīng)過橢圓的左焦點，交橢圓于、兩點，交軸于點，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．19．經(jīng)過雙曲線的右焦點作傾斜角為45°的直線，交雙曲線于，兩點，設為坐標原點，則等于（

）A． B．1 C．2 D．20．已知雙曲線：的右焦點為，是虛軸的一個端點，線段與的右支交于點，若，則的漸近線的斜率為（

）A． B． C． D．針對練習五圓錐曲線中的定點、定值、定直線21．已知，是橢圓E：上的兩點．(1)求橢圓E的方程．(2)若直線l與橢圓E交于C，D兩點（C，D均不與點A重合），且以線段CD為直徑的圓過點A，問：直線l是否過定點？若過定點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．22．在平面直角坐標系中，動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，設動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)設，垂直于軸的直線與曲線相交于兩點，直線和曲線交于另一點，求證：直線過定點.23．已知橢圓，過點且與軸平行的直線與橢圓恰有一個公共點，過點且與軸平行的直線被橢圓截得的線段長為.(1)求橢圓的標準方程；(2)設過點的動直線與橢圓交于兩點，為軸上的一點，設直線和的斜率分別為和，若為定值，求點的坐標.24．已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，(1)求圓心的軌跡方程(2)若過點且斜率的直線與交與兩點，線段的垂直平分線交軸與點，證明的值是定值.25．如圖，已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，動點P滿足PAB的垂心為原點O.當直線l的傾斜角為30°時，.(1)求拋物線C的標準方程；(2)求證：點P在定直線上.針對練習六圓錐曲線中的最值、范圍26．已知橢圓經(jīng)過點，其右焦點為.(1)求橢圓的離心率；(2)若點在橢圓上，右頂點為，且滿足直線與的斜率之積為.求面積的最大值.27．已知橢圓過點，且離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)若不過點P的直線l與橢圓C交于A、B兩點，且原點O到直線l的距離為1，求的取值范圍．28．已知F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），點P滿足|PF1|﹣|PF2|=2，記點P的軌跡為E．（1）求軌跡E的方程；（2）若直線l過點F2且與軌跡E交于P、Q兩點．（i）無論直線l繞點F2怎樣轉(zhuǎn)動，在x軸上總存在定點M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求實數(shù)m的值．（ii）在（i）的條件下，求△MPQ面積的最小值．29．已知雙曲線的離心率為2，焦點到漸近線的距離為，點的坐標為，過的直線與雙曲線交于不同兩點、.(1)求雙曲線的方程；(2)求的取值范圍（為坐標原點）.30．已知拋物線的焦點到準線的距離為2，直線交拋物線于，兩點.（1）求拋物線的標準方程；（2）過點，分別作拋物線的切線，，點為直線，的交點.（i）求證：點在一條定直線上；（ii）求面積的取值范圍.第八章平面解析幾何8.5.2直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（針對練習）針對練習針對練習一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1．直線y＝x＋1與橢圓x2＋＝1的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】C【詳解】解析聯(lián)立消去y，得3x2＋2x－1＝0，因為Δ＝22＋12＝16＞0，所以直線與橢圓相交.2．直線與橢圓有兩個公共點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】聯(lián)立直線和橢圓方程得得或，又因為，綜合即得解.【詳解】聯(lián)立直線和橢圓方程得，所以所以，所以或，因為所以且.故選：C【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.3．過且與雙曲線有且只有一個公共點的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【分析】設出直線的方程，與雙曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合方程解的情況進行求解.【詳解】當斜率不存在時，過的直線與雙曲線沒有公共點；當斜率存在時，設直線為，聯(lián)立，得①.當，即時，①式只有一個解；當時，則，解得；綜上可知過且與雙曲線有且只有一個公共點的直線有4條.故選：D.4．若直線與雙曲線相交，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【分析】聯(lián)立直線和雙曲線的方程得到，即得的取值范圍.【詳解】聯(lián)立直線和雙曲線的方程得當，即時，直線和雙曲線的漸近線重合，所以直線與雙曲線沒有公共點.當，即時，，解之得.故選：C.【點睛】本題主要考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.5．直線與拋物線的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】A【分析】直線過定點，在拋物線內(nèi)部，即可得出結(jié)論．【詳解】直線過定點，∵，∴在拋物線內(nèi)部，∴直線與拋物線相交，故選：A．針對練習二圓錐曲線中的弦長、焦點弦問題6．直線與橢圓相交于兩點,則等于(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，解出兩點的坐標，然后利用兩點間的距離公式求得的值.【詳解】由，解得，由兩點間的距離公式得.故選C.【點睛】本小題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查直線和橢圓相交交點坐標的求法，考查直線和橢圓相交所得的弦的弦長求法，屬于基礎題.7．直線交橢圓于兩點，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】法一：由題可知，橢圓和直線都過點，設，由弦長公式得出=，求出的坐標，代入橢圓方程即可求出的值.法二：聯(lián)立直線和橢圓方程，求得，利用弦長公式得出，代入得=，即可求出的值.【詳解】解法一：由橢圓，則頂點為，而直線也過，所以為直線與橢圓的一個交點，設，則=，解得：，所以或（不合，舍去），把代入橢圓方程得：，故.故選：B.解法二：由得，所以，又，所以=，因為，所以，故.故選：B.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，以及根據(jù)弦長公式求參數(shù)值，考查運算能力.8．直線x＋y＝1與雙曲線4x2－y2＝1相交所得弦長為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】將直線方程代入雙曲線的方程，消去并整理得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式計算即可.【詳解】將直線代入得.設兩交點，則，.故選:B．【點睛】直線與二次曲線的相交弦長公式為:；與二次曲線相交所得的弦長公式為:.9．已知雙曲線的左右焦點分別是、，過的直線與雙曲線相交于、兩點，則滿足的直線有A．條 B．條 C．條 D．條【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線，過的直線垂直于軸時，，雙曲線兩個頂點的距離為，即可得出結(jié)論.【詳解】雙曲線，過的直線垂直于軸時，；雙曲線兩個頂點的距離為，滿足的直線有條，一條是通徑所在的直線，另兩條與右支相交.故選：C【點睛】本題考查了直線與雙曲線相交的弦長問題，考查了通徑的求法，屬于基礎題.10．已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線分別交于兩點，則（

）A．1 B．3 C．6 D．8【答案】D【分析】由題意可得直線與的方程為，代入拋物線方程得，根據(jù)韋達定理與焦半徑的公式即可求出的值.【詳解】解：由題意可知，所以直線與的方程為，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，可得，設則，所以.故選：D.針對練習三圓錐曲線的中點弦問題11．已知橢圓，則以點為中點的弦所在的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】設出弦的兩個端點的坐標，代入橢圓方程，作差整理可得弦所在直線的斜率，寫出直線方程的點斜式，化為一般式得答案．【詳解】設弦的兩個端點分別為，，則，①﹣②得：，即，所以．故以點為中點的弦所在的直線方程為y，整理得：.故選：C.12．已知雙曲線與斜率為1的直線交于A，B兩點，若線段AB的中點為，則C的離心率（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】中點弦問題利用點差法處理.【詳解】法一：設，則，所以，又AB的中點為，所以，所以，由題意知，所以，即，則C的離心率.故A，B，D錯誤.故選：C.法二：直線AB過點，斜率為1，所以其方程為，即，代入并整理得，因為為線段AB的中點，所以，整理得，所以C的離心率.故A，B，D錯誤.故選：C.13．已知雙曲線方程為，過點作直線與該雙曲線交于，兩點，若點恰好為中點，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先設，，由題意得到，，兩式作差整理，結(jié)合題意，求出直線斜率，即可得出直線方程.【詳解】設，，由題意可得：，兩式作差可得：，即，又點恰好為中點，所以直線的斜率為：，因此，直線的方程為：，即.故選A【點睛】本題主要考查雙曲線中點弦所在直線方程問題，熟記雙曲線的幾何性質(zhì)與直線的斜率公式即可，屬于?？碱}型.14．已知雙曲線C的中心在坐標原點，其中一個焦點為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，且AB的中點為，則C的離心率為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】利用點差法即可．【詳解】由F、N兩點的坐標得直線l的斜率．∵雙曲線一個焦點為(-2，0)，∴c=2．設雙曲線C的方程為，則．設，，則，，．由，得，即，∴，易得，，，∴雙曲線C的離心率．故選：B．15．已知拋物線C：，直線l與C交于A，B兩點，若弦的中點為，則直線l的斜率為（

）A． B．3 C． D．－3【答案】C【分析】利用點差法計算可得；【詳解】解：設，，則，所以，整理得．因為弦的中點為，所以，即直線的斜率為．故選：C針對練習四圓錐曲線中的向量問題16．已知為橢圓的右焦點，為橢圓上兩個動點，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面垂直向量的數(shù)量積表示可得，利用平面向量的線性運算將變形為，設()，利用兩點坐標求出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值.【詳解】由題意得，由,得，則,設()，由，得，則，又，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，，所以的最小值為.故選：C.17．已知橢圓上，過F1的直線l與橢圓E交于A、B兩點（點A位于x軸上方），若，則直線l的斜率k的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設出直線方程，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)向量關(guān)系可得，代入韋達定理即可求出.【詳解】由橢圓方程可得，設直線方程為，設，聯(lián)立方程組，可得，則，，由得，則，代入上式得，，解得，則，則直線的斜率為，又點A位于x軸上方，所以斜率為.故選：C.18．直線經(jīng)過橢圓的左焦點，交橢圓于、兩點，交軸于點，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出橢圓的兩個焦點坐標以及點的坐標，由求出點的坐標，利用橢圓的定義求得的值，進而可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可知，點在直線上，即，可得，直線交軸于點，設點，，，由可得，解得，橢圓的右焦點為，則，又，，因此，該橢圓的離心率為.故選：A.【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.19．經(jīng)過雙曲線的右焦點作傾斜角為45°的直線，交雙曲線于，兩點，設為坐標原點，則等于（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【解析】先依題意寫出直線的方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達定理，結(jié)合向量的數(shù)量積運算計算即得結(jié)果.【詳解】由雙曲線的方程可知，右焦點坐標為，的直線方程可設為，設，，則，聯(lián)立可得，，，，．故選：B．20．已知雙曲線：的右焦點為，是虛軸的一個端點，線段與的右支交于點，若，則的漸近線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，根據(jù)，表示出點M的坐標，再由點M在雙曲線上，代入雙曲線方程求解.【詳解】設，因為雙曲線的右焦點為，是虛軸的一個端點，則，所以，因為，所以，解得，因為點M在雙曲線上，所以，解得，所以漸近線的斜率為，故選：D針對練習五圓錐曲線中的定點、定值、定直線21．已知，是橢圓E：上的兩點．(1)求橢圓E的方程．(2)若直線l與橢圓E交于C，D兩點（C，D均不與點A重合），且以線段CD為直徑的圓過點A，問：直線l是否過定點？若過定點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．【答案】(1)(2)定點，理由見解析.【分析】（1）將代入橢圓方程即可求出；（2）分斜率是否存在設出直線方程，利用即可求出.（1）將，代入橢圓方程可得，解得，所以橢圓方程為；（2）若直線的斜率不存在，設直線方程為，由題可得為等腰直角三角形，則可將代入橢圓，解得（舍去）或，即直線方程為；若直線的斜率存在，設方程為，設，聯(lián)立方程，可得，則，可得，①，②，由題可得，則，即，代入①②，整理可得，解得或，若，直線為，經(jīng)過點,不符合，若，直線為，經(jīng)過定點，綜上所述，直線l過定點.22．在平面直角坐標系中，動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，設動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)設，垂直于軸的直線與曲線相交于兩點，直線和曲線交于另一點，求證：直線過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）依題意由距離公式得到方程，整理即可得到動點的軌跡方程；（2）設，，，直線方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達定理，再表示直線的方程，令求出為定值，即可得解.（1）解：由題設得，即，整理得；（2）解：設，，，顯然直線斜率不為，設直線方程為，聯(lián)立，消去并整理得，由題設且，化簡得且，由韋達定理可得，，直線的方程是，令得，所以直線過定點.23．已知橢圓，過點且與軸平行的直線與橢圓恰有一個公共點，過點且與軸平行的直線被橢圓截得的線段長為.(1)求橢圓的標準方程；(2)設過點的動直線與橢圓交于兩點，為軸上的一點，設直線和的斜率分別為和，若為定值，求點的坐標.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到橢圓的下頂點為和橢圓過點求解；（2）設點坐標為，當直線斜率存在時，設其方程為，與聯(lián)立，由，結(jié)合韋達定理求解；當直線斜率不存在時驗證即可.（1）解：由題意，橢圓的下頂點為，故.由對稱性，橢圓過點，代入橢圓方程有，解得：.故橢圓的標準方程為：.（2）設點坐標為.當直線斜率存在時，設其方程為，與聯(lián)立得：.設，則.，，，為定值，即與無關(guān)，則，此時.經(jīng)檢驗，當直線斜率不存在時也滿足，故點坐標為.24．已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，(1)求圓心的軌跡方程(2)若過點且斜率的直線與交與兩點，線段的垂直平分線交軸與點，證明的值是定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)圓C與圓A、圓B外切，得到<4，再利用雙曲線的定義求解；（2）設直線為，聯(lián)立，利用弦長公式求得，再根據(jù)線段MN的垂直平分線，得到點P的坐標求解.（1）解：因為圓C與圓A、圓B外切，設C點坐標，圓C半徑為，則，，所以<4，所以點C的軌跡是雙曲線的一支，又，，，所以其軌跡方程為；（2）設直線為，聯(lián)立，消去y得：，所以，設MN中點坐標為G，則，所以，，直線GP的方程為:，，所以，所以=1.25．如圖，已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，動點P滿足PAB的垂心為原點O.當直線l的傾斜角為30°時，.(1)求拋物線C的標準方程；(2)求證：點P在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義及韋達定理可求解；（2）根據(jù)垂心建立斜率之間的關(guān)系，從而得到直線，兩直線聯(lián)立得到點的坐標，結(jié)合韋達定理，從而可得點P在定直線上.(1)設直線l的方程為，，.由得.所以，.由拋物線定義，得.當直線l的傾斜角為30°時，，.所以，即拋物線C的標準方程為.(2)由（1），得，.因為的垂心為原點O，所以，.因為，所以.所以直線AP的方程為，即.同理可得，直線BP的方程為.聯(lián)立方程解得即.所以點P在定直線上.針對練習六圓錐曲線中的最值、范圍26．已知橢圓經(jīng)過點，其右焦點為.(1)求橢圓的離心率；(2)若點在橢圓上，右頂點為，且滿足直線與的斜率之積為.求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得，從而可求出，進而可求出離心率，（2）設，將直線方程代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再由可得或，可得直線經(jīng)過定點，然后表示出面積，求其最大值即可.（1）依題可得，，解得，所以橢圓的方程為.所以離心率.（2）易知直線與的斜率同號，所以直線不垂直于軸，故可設，由可得，，所以，，而，即，化簡可得，，化簡得，所以或，所以直線或，因為直線不經(jīng)過點，所以直線經(jīng)過定點.設定點，因為，所以，設，所以，當且僅當即時取等號，即面積的最大值為.27．已知橢圓過點，且離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)若不過點P的直線l與橢圓C交于A、B兩點，且原點O到直線l的距離為1，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)將點P的坐標代入橢圓方程得出a與b的方程，結(jié)合離心率的定義即可得出橢圓方程；(2)當直線l的斜率不存在易得；當直線l的斜率存在，設其方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)韋達定理表示出，利用點到直線的距離公式計算可得，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標表示化簡計算即可.(1)由題意知，，解得，，橢圓C的方程為；(2)若直線l的斜率不存在，不妨設其方程為，此時A、B的坐標為，則若直線l的斜率存在，設其方程為，聯(lián)立，消y整理得：因為直線與橢圓交于A、B兩點，故，解得設，，則，，原點O到直線AB的距離得，代入知恒成立．又點P不在直線l上，所以，且得因，故，綜上知，的取值范圍是28．已知F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），點P滿足|PF1|﹣|PF2|=2，記點P的軌跡為E．（1）求軌跡E的方程；（2）若直線l過點F2且與軌跡E交于P、Q兩點．（i）無論直線l繞點F2怎樣轉(zhuǎn)動，在x軸上總存在定點M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求實數(shù)m的值．（ii）在（i）的條件下，求△MPQ面積的最小值．【答案】（1）．（2）（i）當m=﹣1時，MP⊥MQ．（ii）綜上可知S△MPQ≥9，故S△MPQ的最小值為9．【詳解】試題分析：（1）利用雙曲線的定義及其標準方程即可得出；（2）當直線l的斜率存在時，設直線方程為y=k（x﹣2），P（x1，y1），Q（x2，y2），與雙曲線方程聯(lián)立消y得（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、判別式解出即可得出．（i）利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；（ii）利用點到直線的距離公式、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式即可得出．解：（1）由|PF1|﹣|PF2|=2＜|F1F2|知，點P的軌跡E是以F1、F2為焦點的雙曲線右支，由c=2，2a=2，∴b2=3，故軌跡E的方程為．（2）當直線l的斜率存在時，設直線方程為y=k（x﹣2），P（x1，y1），Q（x2，y2），與雙曲線方程聯(lián)立消y得（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3=0，∴，解得k2＞3（i）∵∵MP⊥MQ