人教高中數(shù)學(xué)A版必修一 第五章　章末整合 詳細(xì)練習(xí)題

章末整合三角函數(shù)專題一專題二專題三專題一

三角函數(shù)的圖象及其變換

專題四專題一專題二專題三

歸納總結(jié)由已知函數(shù)圖象求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式時(shí),常用的解題方法是待定系數(shù)法.由圖中的最大值或最小值確定A,由周期確定ω,由適合解析式的點(diǎn)的坐標(biāo)來確定φ,但由圖象求得的y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式一般不是唯一的,只有限定φ的取值范圍,才能得出唯一的解,否則φ的值不確定,解析式也就不唯一.專題四專題一專題二專題三(1)求f(x)的解析式;(2)將y=f(x)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),然后再將所得的圖象沿x軸向右平移

個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,寫出函數(shù)y=g(x)的解析式;專題四專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題二

三角函數(shù)的求值例2試求tan10°+4sin10°的值.分析:所求式中含有切函數(shù)和弦函數(shù),應(yīng)先將切化弦通分,然后根據(jù)角之間的關(guān)系求解.專題四專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三歸納總結(jié)三角函數(shù)的求值問題通常包括三種類型:給角求值,給值求值,給值求角.給角求值的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值,給值求值的關(guān)鍵是結(jié)合條件和結(jié)論中的角合理拆角、配角,給值求角的關(guān)鍵是確定角的范圍.專題四專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題三

三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與證明

專題四專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三例5求證:sin3α=4sinαsin(60°-α)sin(60°+α).分析:右邊較為復(fù)雜,可考慮從右邊向左邊證明.證明:右邊=4sin

α(sin

60°cos

α-cos

60°sin

α)·(sin

60°cos

α+cos

60°sin

α)=sin

α(3cos2α-sin2α)=sin

α(2cos2α+cos2α-sin2α)=2sin

αcos2α+sin

α(cos2α-sin2α)=2sin

αcos

αcos

α+sin

αcos

2α=sin

2αcos

α+cos

2αsin

α=sin(2α+α)=sin

3α=左邊.故等式成立.專題四專題一專題二專題三歸納總結(jié)用三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)、證明的常見思路和方法:(1)變角(即式子中所含角的變換):通過觀察不同三角函數(shù)式所包含的角的差異,借助于“拆湊角”(如用特殊角表示一般角、用已知角表示所求角等)、“消角”(如異角化同角,復(fù)角化單角,sin2α+cos2α=1等)來減少角的個(gè)數(shù),消除角與角之間的差異.(2)變名(即式子中不同函數(shù)之間的變換):通過觀察角的三角函數(shù)種類的差異,借助于“切割化弦”“弦切互化”等進(jìn)行函數(shù)名稱的變換.(3)變式(即式子的結(jié)構(gòu)形式的變換):通過觀察不同的三角函數(shù)結(jié)構(gòu)式的差異,借助于以下幾種途徑進(jìn)行變換:①常值代換,如“1”的代換,1=sin2θ+cos2θ=tan

45°.②變用公式,如sin

αcos

α=sin

2α,tan

A+tan

B=tan(A+B)(1-tan

Atan

B).專題四專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四專題四

三角函數(shù)性質(zhì)與變換公式的綜合應(yīng)用

專題一專題二專題三專題四答案:C專題一專題二專題三專題四分析:先將f(x)解析式中前兩項(xiàng)進(jìn)行降冪擴(kuò)角,然后利用輔助角公式,將f(x)解析式化為Asin(ωx+φ)+b的形式,最后結(jié)合條件進(jìn)行求解.專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四歸納總結(jié)1.研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的奇偶性時(shí),應(yīng)先考慮其定義域,若其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí),函數(shù)為奇函數(shù);當(dāng)φ=kπ+(k∈Z)時(shí),函數(shù)為偶函數(shù);當(dāng)φ≠(k∈Z)時(shí),函數(shù)為非奇非偶函數(shù).2.求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)(若ω<0,可先利用誘導(dǎo)公式將x前的系數(shù)ω變成正值).把ωx+φ視為一個(gè)整體,由A的符號(hào)來確定單調(diào)性.專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四習(xí)題課

三角恒等變換的應(yīng)用三角函數(shù)一二一、降冪和升冪公式1.填空一二一二答案:(1)C

(2)D一二二、輔助角公式1.填空一二答案:(1)C

(2)D探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練利用三角恒等變換研究函數(shù)的性質(zhì)例1已知函數(shù)f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x,x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;分析:先用降冪公式將函數(shù)化為一次式,再利用輔助角公式化為y=Asin(ωx+φ)的形式,最后再求周期和遞增區(qū)間以及值域.探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練利用三角恒等變換解決求值與化簡(jiǎn)問題

探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練反思感悟

1.非特殊角的求值問題,關(guān)鍵是通過利用各種三角函數(shù)公式,將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角,或者通過運(yùn)用公式,使正負(fù)項(xiàng)抵消或分子分母約分,或通過整體代入達(dá)到求值的目的.2.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn),主要是通過公式的運(yùn)用,進(jìn)行弦切互化,異名化同名,異角化同角,升冪或降冪等,達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練答案:-1探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練利用三角恒等變換解決實(shí)際問題例3如圖,某公司有一塊邊長(zhǎng)為1百米的正方形空地ABCD,現(xiàn)要在正方形空地中規(guī)劃一個(gè)三角形區(qū)域PAQ種植花草,其中P,Q分別為邊BC,CD上的動(dòng)點(diǎn),∠PAQ=,其他區(qū)域安裝健身器材,設(shè)∠BAP為θ弧度.(1)求△PAQ面積S關(guān)于θ的函數(shù)解析式S(θ);(2)求面積S的最小值.探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練反思感悟

利用三角變換解決生活中的實(shí)際問題時(shí),首先要認(rèn)真分析,善于設(shè)參,找出關(guān)系,建立數(shù)學(xué)模型,將難以入手的實(shí)際問題化為較容易的數(shù)學(xué)問題,并且要注意參數(shù)的取值范圍.探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練延伸探究

本例中,條件不變,試證明:△PCQ的周長(zhǎng)為2百米.探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【審題策略】

先利用三角恒等變換將函數(shù)f(x)的解析式化成f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,然后確定其性質(zhì).探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練【答題模板】第1步:利用三角恒等變換將函數(shù)f(x)的解析式化成f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式;↓第2步:求f(x)的最小正周期和最大值;↓失誤警示通過閱卷統(tǒng)計(jì)分析,造成失分的原因如下:(1)利用三角恒等變換將函數(shù)f(x)的解析式化成f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式時(shí)出錯(cuò);(2)將f(x)的最小正周期和最大值求錯(cuò);(3)討論f(x)的單調(diào)性時(shí)因忽視x的取值范圍致錯(cuò).探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練答案:ACD探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練答案:B探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練4.如圖所示,半徑為R的直角扇形(圓心角為90°)OMN內(nèi)有一內(nèi)接矩形OABC,則內(nèi)接矩形OABC的最大面積為

.

解析:如圖所示,連接OB,設(shè)∠BOA=α,則OA=Rcos

α,OC=Rsin

α,探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三規(guī)范解答隨堂演練習(xí)題課

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)及其應(yīng)用三角函數(shù)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)1.對(duì)于正弦函數(shù)y=sinx,我們研究過其定義域、值域、周期性、奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)區(qū)間等,那么對(duì)于形如y=Asin(ωx+φ)的函數(shù),例如:函數(shù),其定義域、值域、周期性、奇偶性、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、單調(diào)區(qū)間如何求解呢?提示:以正弦函數(shù)的性質(zhì)為基礎(chǔ),充分利用整體代換方法研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的各種性質(zhì).2.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0)的性質(zhì)

答案:(1)D

(2)C

(3)A探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練三角函數(shù)圖象變換的應(yīng)用

答案:B探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練圖象的綜合應(yīng)用

分析:本題提供的圖象蘊(yùn)含著豐富的信息,關(guān)鍵是如何利用這些信息.可以通過求函數(shù)解析式來解,也可以尋找解決問題的新途徑,充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)來求解.探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練反思感悟

由圖象確定解析式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)+k的一般步驟第一步:定A,k,借助函數(shù)圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)確定參數(shù)A,k的值.第二步:定周期,借助函數(shù)圖象及五點(diǎn)作圖法中的“五點(diǎn)”確定函數(shù)的周期.第三步:定ω,根據(jù)周期公式確定參數(shù)ω的值.第四步:定φ,利用函數(shù)圖象及五點(diǎn)作圖法中的“五點(diǎn)”,建立關(guān)于φ的方程,求之即得φ的值.探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練答案:0探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練由y=Asin(ωx+φ)的圖象確定其解析式(或參數(shù)值)分析可以根據(jù)圖象逐一確定解析式中的參數(shù)值,從而得出解析式;也可根據(jù)圖象經(jīng)過的幾個(gè)特殊點(diǎn)的坐標(biāo),代入解析式利用待定系數(shù)法求解;還可以根據(jù)圖象變換求得解析式.探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練反思感悟

給出y=Asin(ωx+φ)的圖象的一部分,確定A,ω,φ的方法(1)逐一定參法:先通過圖象確定A和ω,再選取“第一零點(diǎn)”(即“五點(diǎn)法”作圖中的第一個(gè)點(diǎn))的數(shù)據(jù)代入“ωx+φ=0”(要注意正確判斷哪一點(diǎn)是“第一零點(diǎn)”),求得φ的值.(2)待定系數(shù)法:通過若干特殊點(diǎn)代入函數(shù)式,可以求得相關(guān)待定系數(shù)A,ω,φ.但需要注意的是,要認(rèn)清所選擇的點(diǎn)屬于五個(gè)點(diǎn)中的哪一點(diǎn),并能正確代入解析式.(3)圖象變換法:運(yùn)用逆向思維的方法,先確定函數(shù)的基本解析式y(tǒng)=Asin

ωx,再根據(jù)圖象平移規(guī)律確定相關(guān)的參數(shù).探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練答案:D探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練函數(shù)y=Asin(ωx+φ)性質(zhì)的綜合應(yīng)用分析:(1)根據(jù)周期公式T=求解;(2)先根據(jù)x的取值范圍求出2x-φ的范圍,再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性確定sin(2x-φ)的取值范圍,從而得到f(x)的值域即可得到函數(shù)的最值.探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練反思感悟

研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)性質(zhì)的基本策略:(1)首先將所給函數(shù)的解析式轉(zhuǎn)化為y=Asin(ωx+φ)的形式;(2)熟記正弦函數(shù)y=sin

x的圖象與基本性質(zhì);(3)充分利用整體代換思想解決問題;(4)熟記有關(guān)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性的重要結(jié)論.探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)及應(yīng)用典例

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),f(x)圖象的一條對(duì)稱軸是直線x=.(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間;(2)畫出函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,π]上的圖象.探究一探究二探究三探究四規(guī)范解答隨堂演練探究一探究二探究三探究四