專題01 兩個計數(shù)原理

專題1兩個計數(shù)原理類型一、加法原理【例1】高二年級一班有女生18人，男生38人，從中選取一名學(xué)生作代表，參加學(xué)校組織的調(diào)查團(tuán)，問選取代表的方法有幾種.【例2】若a、b是正整數(shù)，且a+b≤6，則以(a，b)為坐標(biāo)的點共有多少個？【例3】用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為()【例4】用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為()類型二、乘法原理【例6】公園有4個門，從一個門進(jìn)，一個門出，共有種不同的走法.【例7】將3個不同的小球放入4個盒子中，則不同放法種數(shù)有.【例8】如果在一周內(nèi)（周一至周日）安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余兩所學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法共有種.【例9】高二年級一班有女生18人，男生38人，從中選取一名男生和一名女生作代表，參加學(xué)校組織的調(diào)查團(tuán)，問選取代表的方法有幾種.【例10】六名同學(xué)報名參加三項體育比賽，每人限報一項，共有多少種不同的報名結(jié)果？【例11】六名同學(xué)參加三項比賽，三個項目比賽冠軍的不同結(jié)果有多少種？【例12】用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是（用數(shù)字作答）.A．43【例14】若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為y=-x2，值域為{-1，-9}的“同族函數(shù)”共有()【例15】某銀行儲蓄卡的密碼是一個4位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位和個位上的數(shù)字（如2816）的方法設(shè)計密碼，當(dāng)積為一位數(shù)時，十位上數(shù)字選0，并且千位、百位上都能取0．這樣設(shè)計出來的密碼共有()數(shù)之和不等于1，則取出這樣的子集的個數(shù)為()【例17】若x、y是整數(shù)，且x≤6，x≤6，則以(x，y)為坐標(biāo)的不同的點共有多少個？⑴可以組成 個數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù).⑵可以組成 個數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù).【例19】六名同學(xué)報名參加三項體育比賽，共有多少種不同的報名結(jié)果？【例20】將3名教師分配到2所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少一名教師，則不同的分配方案共有種.類型三、基本計數(shù)原理的綜合應(yīng)用【例21】用0，3，4，5，6排成無重復(fù)字的五位數(shù)，要求偶數(shù)字相鄰，奇數(shù)字也相鄰，則這樣的五位數(shù)的個數(shù)是用數(shù)字作答）【例22】若自然數(shù)n使得作豎式加法n+(n+1)+(n+2)均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象．則稱n為“可連數(shù)”．例如：32是“可連數(shù)”，因32+33+34不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；23不是“可連數(shù)”，因23+24+25產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象．那么，小于1000的“可連數(shù)”的個數(shù)為()A．27B．36【例23】由正方體的8個頂點可確定多少個不同的平面？【例24】分母是385的最簡真分?jǐn)?shù)一共有多少個？并求它們的和.【例25】用0，1，2，3，4，5這6個數(shù)字，可以組成個大于3000，小于5421的數(shù)字不重復(fù)的四位數(shù).“創(chuàng)創(chuàng)創(chuàng)9999”共10000個號碼．公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶有數(shù)字“4”或“7”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為()【例27】同室4人各寫1張賀年卡，先集中起來，然后每人從中各拿1張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式有()【例28】某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為()【例29】某班學(xué)生參加植樹節(jié)活動，苗圃中有甲、乙、丙3種不同的樹苗，從中取出5棵分別種植在排成一排的5個樹坑內(nèi)，同種樹苗不能相鄰，且第一個樹坑和第5個樹坑只能種甲種樹苗的種法共()A．15種B．12種C．9種D．6種【例30】用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為()【例31】足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分，那么一個隊打14場共得19分的情況有()專題1兩個計數(shù)原理類型一、加法原理【例1】高二年級一班有女生18人，男生38人，從中選取一名學(xué)生作代表，參加學(xué)校組織的調(diào)查團(tuán)，問選取代表的方法有幾種.【解析】18+38=56.【例2】若a、b是正整數(shù)，且a+b≤6，則以(a，b)為坐標(biāo)的點共有多少個？【例3】用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為()【解析】由題意知本題要分類來解，當(dāng)尾數(shù)為2、4、6、8時，個位有4種選法，因百位不能為0，所以百位有8種，十位有8種，共有8創(chuàng)84=256當(dāng)尾數(shù)為0時，百位有9種選法，十位有8種結(jié)果，根據(jù)分類計數(shù)原理知共有256+72=328故選：B.【例4】用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為()【解析】由題意知本題需要分步計數(shù)，2和4排在末位時，共有A=2種排法，其余三位數(shù)從余下的四個數(shù)中任取三個有A=4創(chuàng)32=24種排法，根據(jù)由分步計數(shù)原理得到符合題意的偶數(shù)共有2′24=48（個).故選：C.【解析】分四類：①千位數(shù)字為3,4之一時，百十個位數(shù)只要不重復(fù)即可，有2A=120個；②千位數(shù)字為5時，百位數(shù)字為0,1,2,3之一時，有AA=48個；③千位數(shù)字為5時，百位數(shù)字是4，十位數(shù)字是0,1之一時，有AA=6個；最后還有5420也滿足題意.所以，所求四位數(shù)共有120+48+6+1=175個.故答案為175.類型二、乘法原理【例6】公園有4個門，從一個門進(jìn)，一個門出，共有種不同的走法.【解析】根據(jù)題意，要求從從任一門進(jìn)，從任一門出，則進(jìn)門的方法有4種，出門的方法也有4種，則不同的走法有4′4=16種【例7】將3個不同的小球放入4個盒子中，則不同放法種數(shù)有.【解析】根據(jù)題意，依次對3個小球進(jìn)行討論：第一個小球可以放入任意一個盒子，即有4種不同的放法，同理第二個小球也有4種不同的放法，第三個小球也有4種不同的放法，即每個小球都有4種可能的放法，根據(jù)分步計數(shù)原理知共有即4創(chuàng)44=64不同的放法，故答案為：64.【例8】如果在一周內(nèi)（周一至周日）安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余兩所學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法共有種.【解析】分兩步完成，第一步先安排甲學(xué)校參觀，共六種安排方法；第二步安排另外兩所學(xué)校，共有A安排方法，故不同的安排種法有6′A=120，故答案為120.【例9】高二年級一班有女生18人，男生38人，從中選取一名男生和一名女生作代表，參加學(xué)校組織的調(diào)查團(tuán)，問選取代表的方法有幾種.【例10】六名同學(xué)報名參加三項體育比賽，每人限報一項，共有多少種不同的報名結(jié)果？【解析】每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得共有不同的報名方法36=729種.【例11】六名同學(xué)參加三項比賽，三個項目比賽冠軍的不同結(jié)果有多少種？【解析】由題意，每項比賽的冠軍都有6種可能，因為有3項體育比賽，所以冠軍獲獎?wù)吖灿?創(chuàng)66=63種可能【例12】用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是（用數(shù)字作答）.【解析】解析：可分三步來做這件事：第一步：先將3、5排列，共有A種排法；3第二步：再將4、6插空排列，插空時要滿足奇偶性不同的要求，共有2A種排法；第三步：將1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有C種排法.由分步乘法計數(shù)原理得共有A.2A.C=40（種).答案為：40A．43【解析】橢圓落在矩形內(nèi)，滿足題意必須有，m1n，所以有兩類，一類是m，n從{1，2，3，?6，7，8}任選兩個不同數(shù)字，方法有A=56令一類是m從9，10，兩個數(shù)字中選一個，n從{1，2，3，?6，7，8}中選一個所以滿足題意的橢圓個數(shù)是：56+16=72故選：B.【例14】若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為y=-x2，值域為{-1，-9}的“同族函數(shù)”共有()【解析】定義域是集合的子集，且子集中至少應(yīng)該含有-1、1中的一個和-3、3中的一個，故選：C.【例15】某銀行儲蓄卡的密碼是一個4位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位和個位上的數(shù)字（如2816）的方法設(shè)計密碼，當(dāng)積為一位數(shù)時，十位上數(shù)字選0，并且千位、百位上都能取0．這樣設(shè)計出來的密碼共有()數(shù)之和不等于1，則取出這樣的子集的個數(shù)為()【解析】從集合{-1，-2，-3，-4，0，1，2，3，4，5}中，隨機選出5個數(shù)組成子集，共有C105種取法，即可組成C105個子集，4記“這5個數(shù)中的任何兩個數(shù)之和不等于1”為事件A， A包含的結(jié)果有①只有有一組數(shù)的和為1，有C51C43C21C21C21=160種結(jié)果②有兩組數(shù)之和為1，有C52.C61=60種，則A包含的結(jié)果共有220種故答案為：220.【例17】若x、y是整數(shù)，且x≤6，x≤6，則以(x，y)為坐標(biāo)的不同的點共有多少個？【解析】整數(shù)x，y滿足x≤6，x≤6從A種選一個共有13種方法，從B選一個共有13種方法，故答案為：169.⑴可以組成個數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù).⑵可以組成個數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù).【解析】（1）根據(jù)題意，分2步分析：①、先選百位，百位可以在1、2、3、4、5中任選1個，則百位有5種方法，②、在剩下的5個數(shù)字中任選2個，安排在十位、個位，有A=20種選法，則可以組成5′20=100個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)（2）分3步進(jìn)行分析：①、先選百位，百位可以在1、2、3、4、5中任選1個，則百位有5種選法，②、再選十位，十位可以在0、1、2、3、4、5中任選1個，則十位有6種選法，③、最后分析個位，個位可以在0、1、2、3、4、5中任選1個，則個位有6種選法，則可以組成5創(chuàng)66=180個數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)；【例19】六名同學(xué)報名參加三項體育比賽，共有多少種不同的報名結(jié)果？【例20】將3名教師分配到2所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少一名教師，則不同的分配方案共有種.【解析】將3名教師分配到2所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名教師，只有一種結(jié)果1，2，首先從3個人中選2個作為一個元素，使它與其他兩個元素在一起進(jìn)行排列，共有CA=6種結(jié)果，故選：B.類型三、基本計數(shù)原理的綜合應(yīng)用【例21】用0，3，4，5，6排成無重復(fù)字的五位數(shù)，要求偶數(shù)字相鄰，奇數(shù)字也相鄰，則這樣的五位數(shù)的個數(shù)是用數(shù)字作答）【解析】按首位數(shù)字的奇偶性分兩類：一類是首位是奇數(shù)的，有：AA；另一類是首位是偶數(shù)，有：(A-A)A則這樣的五位數(shù)的個數(shù)是：AA+(A-A)A=20.故答案為：20.【例22】若自然數(shù)n使得作豎式加法n+(n+1)+(n+2)均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象．則稱n為“可連數(shù)”．例如：32是“可連數(shù)”，因32+33+34不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；23不是“可連數(shù)”，因23+24+25產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象．那么，小于1000的“可連數(shù)”的個數(shù)為()A．27B．36【解析】如果n是良數(shù)，則n的個位數(shù)字只能是0，1，2，非個位數(shù)字只能是0，1，2，3（首位不為0)，而小于1000的數(shù)至多三位，一位的良數(shù)有0，1，2，共3個二位的良數(shù)個位可取0，1，2，十位可取1，2，3，共有3′3=9個三位的良數(shù)個位可取0，1，2，十位可取0，1，2，3，百位可取1，2，3，共有3創(chuàng)43=36個.綜上，小于1000的“良數(shù)”的個數(shù)為3+9+36=48個故選：D.【例23】由正方體的8個頂點可確定多少個不同的平面？【解析】依題意，正方體的8個頂點所確定的平面有：6個表面，6個對角面，8個正三角形平面共20個.故答案為：20【例24】分母是385的最簡真分?jǐn)?shù)一共有多少個？并求它們的和.【解析】因為385=5×7×11，在1~385這385個自然數(shù)中，5的倍數(shù)有（個)，7的倍數(shù)有的倍數(shù)有而5、7、11互質(zhì)的數(shù)有385—145=240（個)．即分母為385的真分?jǐn)?shù)有240（個).如果有一個真分?jǐn)?shù)為則必還有另一個真分?jǐn)?shù)，即以385為分母的最簡真分?jǐn)?shù)是成對出現(xiàn)的，而每一對之和恰為1．故以385為分母的240最簡分?jǐn)?shù)可以分成120時，它們的和為1×120=120.【例25】用0，1，2，3，4，5這6個數(shù)字，可以組成個大于3000，小于5421的數(shù)字不重復(fù)的四位數(shù).【解析】分四類：①千位數(shù)字為3,4之一時，百十個位數(shù)只要不重復(fù)即可，有2A=120個；②千位數(shù)字為5時，百位數(shù)字為0,1,2,3之一時，有AA=48個；③千位數(shù)字為5時，百位數(shù)字是4，十位數(shù)字是0,1之一時，有AA=6個；最后還有5420也滿足題意.所以，所求四位數(shù)共有120+48+6+1=175個.故答案為175.“創(chuàng)創(chuàng)創(chuàng)9999”共10000個號碼．公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶有數(shù)字“4”或“7”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為()【解析】:10000個號碼中不含4、7的有84=4096，\“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為10000-4096=5904，故選：C.【例27】同室4人各寫1張賀年卡，先集中起來，然后每人從中各拿1張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式有()【解析】設(shè)四人分別為a、b、c、d，寫的卡片分別為A、B、C、D，由于每個人都要拿別人寫的，即不能拿自己寫的，故a有三種拿法，不妨設(shè)a拿了B，則b可以拿剩下三張中的任一張，也有三種拿法，c和d只能有一種拿法，故選：B.【例28】某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為()【解析】:由題意知將這3個節(jié)目插入節(jié)目單中，原來的節(jié)目順序不變，\三個新節(jié)目一個一個插入節(jié)目單中，原來的6個節(jié)目形成7個空，在這7個位置上插入第一個節(jié)目，共有7種結(jié)果，原來的6個和剛插入的一個，形成8個空，有8種結(jié)果，同理最后一個節(jié)目有9