選修4-4平面直角坐標(biāo)系中的平移變換與伸縮變換

平移變換與伸縮變換高中數(shù)學(xué)選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程2．設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)圖形，將F上所有點(diǎn)按照同一方向，移動(dòng)同樣長(zhǎng)度，得到圖象與F之間的關(guān)系？平移變換baaaaaaaxyO設(shè)F

是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)圖形，將F

上所有點(diǎn)按照同一方向，移動(dòng)同樣長(zhǎng)度，得到圖形，這一過(guò)程叫圖形的平移．1．向量a與平移到某位置的新向量b

的關(guān)系？aa=b

若以向量表示移動(dòng)的方向和長(zhǎng)度，也稱(chēng)為圖形F按向量平移。得∴設(shè)P（x，y）是圖象F上任一點(diǎn)，平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，且的坐標(biāo)為（h，k），則由xyOFF′平移變換點(diǎn)的平移公式理解：平移前點(diǎn)的坐標(biāo)

+平移向量的坐標(biāo)=平移后點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)P（x，y）是圖象F上任一點(diǎn)，平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′（x′，y′）平移向量為PP′=（h，k）向量表示：OP+PP′=OP′

即（x，y）+（h，k）=（x′，y′）在圖形平移過(guò)程中，每一點(diǎn)都是按照同一方向移動(dòng)同樣的長(zhǎng)度，所以我們有兩點(diǎn)思考：xyOFF′PP′其一,平移所遵循的“長(zhǎng)度”和“方向”正是向量的兩個(gè)本質(zhì)特征,因此,從向量的角度看:一個(gè)平移就是一個(gè)向量.其二,由于圖形可以看成點(diǎn)的集合,故認(rèn)識(shí)圖形的平移,就其本質(zhì)來(lái)講,就是要分析圖形上點(diǎn)的平移.另外,由于平移變換僅改變圖形的位置，不改變它的形狀和大小，故在平移變換作用下，曲線(xiàn)上任意兩點(diǎn)間的距離保持不變.知識(shí)點(diǎn)分析例題講解解：（1）由平移公式得即對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)（1，3）.（2）由平移公式得解得例1（1)把點(diǎn)A(-2,1)按a=(3,2)平移,

求對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)(x′,y′).（2）點(diǎn)M(8,-10)，按a平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（-7，4）求a;即a的坐標(biāo)（-15，14）.強(qiáng)調(diào)：1.知二求三；

2.新舊順序；

3.一個(gè)平移就是一個(gè)向量；將它們代入y=2x中得到即函數(shù)的解析式為解：設(shè)P(x,y)為l的任意一點(diǎn)，它在上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)由平移公式得xyO例2．將函數(shù)y=2x的圖象

l按a=(0,3)平移到l

′,

求l

′的函數(shù)解析式．例題講解解：在曲線(xiàn)F上任取一點(diǎn)P（x，y），設(shè)F′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′（x′，y′），則

x′=x-2，y′=y+3

∴

x=x′+2，y=y′-3將上式代入方程

y=x2，得：y′-3=(x′+2)2即：y′=(x′+2)2+3例3：已知函數(shù)y=x2圖象F,平移向量a=(-2,3)到F′的位置,求圖象F′的函數(shù)表達(dá)式.OxyF:y=x2F′a練習(xí)：（1）分別將點(diǎn)A（3，5）,B（7，0）按向量平移，求平移后各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）把函數(shù)的圖像l按平移到，求的函數(shù)解析式。

（3）將拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)怎樣的平移，可以得到。

按向量平移平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換思考：（1）怎樣由正弦曲線(xiàn)y=sinx得到曲線(xiàn)y=sin2x?xO

2y=sinxy=sin2xy問(wèn)題分析：在正弦曲線(xiàn)y=sinx上任取一點(diǎn)P(x

,y)，保持縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)x縮為原來(lái)的，就得到正弦曲線(xiàn)y=sin2x.

上述的變換實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)坐標(biāo)的壓縮變換,即：設(shè)P(x

,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，保持縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)x縮為原來(lái)，得到點(diǎn)

P′(x′,y′).坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系為：x’=xy’=y1通常把叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)壓縮變換。1坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系為：（2）怎樣由正弦曲線(xiàn)y=sinx得到曲線(xiàn)y=3sinx?寫(xiě)出其坐標(biāo)變換。問(wèn)題分析：設(shè)點(diǎn)P（x,y）經(jīng)變換得到點(diǎn)為P′

(x′,y′)x′=xy′=3y2通常把叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)伸長(zhǎng)變換。2在正弦曲線(xiàn)上任取一點(diǎn)P（x,y），保持橫坐標(biāo)x不變，將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍，就得到曲線(xiàn)y=3sinx。問(wèn)題分析：（3）怎樣由正弦曲線(xiàn)y=sinx得到曲線(xiàn)y=3sin2x?寫(xiě)出其坐標(biāo)變換。問(wèn)題分析：在正弦曲線(xiàn)y=sinx上任取一點(diǎn)P(x,y)，保持縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)x縮為原來(lái)的，在此基礎(chǔ)上，將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，就得到正弦曲線(xiàn)y=3sin2x.設(shè)點(diǎn)P（x,y）經(jīng)變換得到點(diǎn)為P′

(x′,y′)x′=xy′=3y3通常把叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)伸縮變換。3定義：設(shè)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，在變換的作用下，點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)P’(x’,y’).稱(chēng)為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換。4注（1）（2）把圖形看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換得到；（3）在伸縮變換下，平面直角坐標(biāo)系不變，在同一直角坐標(biāo)系下進(jìn)行伸縮變換。1.在直角坐標(biāo)系中，求下列方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過(guò)伸縮變換x’=xy’=3y后的圖形。（1）2x+3y=0;

(2)x2+y2=1練習(xí)：2.在同一直角坐標(biāo)系下，求滿(mǎn)足下列圖形的伸縮變換：曲線(xiàn)4x2+9y2=36變?yōu)榍€(xiàn)x’2+y’2=13.在同一直角坐標(biāo)系下，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，曲線(xiàn)C變?yōu)閤’2－9y’2=1，求曲線(xiàn)C的方程并畫(huà)出圖形。x’=3xy’=y思考：在伸縮變換

下，橢圓是否可以變成圓？拋物線(xiàn)，雙曲線(xiàn)變成什么曲線(xiàn)？補(bǔ)充練習(xí)：1求下列點(diǎn)經(jīng)過(guò)伸縮變換后的點(diǎn)的坐標(biāo)：①（1，2）；②（-2，-1）.2曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)伸縮變換后的曲線(xiàn)方程是則曲線(xiàn)C的方程是

.3將點(diǎn)（2，3）變成點(diǎn)（3，2）的伸縮變換是（）4曲線(xiàn)變成曲線(xiàn)的伸縮變換是

.5在伸縮變換與伸縮變換的作用下，單位圓分別變成什么圖形？

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在同一直角坐標(biāo)系下，求滿(mǎn)足下列圖形的伸縮變換：曲線(xiàn)4x2+9y2=36變?yōu)榍€(xiàn)x’2+y’2=1

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在同一直角坐標(biāo)系下，經(jīng)過(guò)伸縮變換后,曲線(xiàn)C變?yōu)閤’2－9y’2=1,求曲線(xiàn)C的方程,并畫(huà)出圖形。課后練習(xí)1.將Y=sinX圖象沿x軸均勻壓縮為y=sin3x,則坐標(biāo)變換公式是()答案:A2.將曲線(xiàn)F(x,y)=0上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,得到的曲線(xiàn)方程為()答案:A3.將曲線(xiàn)C按伸縮變換公式變換得到曲線(xiàn)方程為x′2+y′2=1,則曲線(xiàn)方程為()C.4x2+9y2=36D.4x2+9y2=1答案:D4.在平面直角坐標(biāo)系中,方程3x-2y+1=0所對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)伸縮變換后的直線(xiàn)方程為()A.3x-4y+1=0B.3x+y-1=0C.9x-y+1=0D.x-4y+1=0答案:C5.在同一坐標(biāo)中,將曲線(xiàn)y=2sin3x變?yōu)榍€(xiàn)y=sinx的伸縮變換是()答案:B6.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),y=tanx經(jīng)過(guò)怎樣的伸縮變換可得到y(tǒng)=3tan2x()答案:B7.將對(duì)數(shù)曲線(xiàn)y=log3x的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到的曲線(xiàn)方程為_(kāi)_______.8.已知平面上三點(diǎn)A(2,0)?B(0,3)?C(0,0),經(jīng)過(guò)伸縮變換后變?yōu)锳′、B′、C′.則△A′B′C′的面積為_(kāi)_______.12解析:經(jīng)過(guò)伸縮變換A(2,0)→A′(4,0),B(0,3)→B′(0,6),C(0,0)→C′(0,0),∴△A′B′C′面積為9.對(duì)曲線(xiàn)向y軸進(jìn)行伸縮變換,伸縮系數(shù)為

,所得的曲線(xiàn)方程為_(kāi)_______.10.設(shè)M1是A1(x1,y1)與B1(x2,y2)的中點(diǎn),經(jīng)過(guò)伸縮變換后,它們分別為M2,A2,B2,求證:M2是A2B2的中點(diǎn).11.圓C:x2+y2=4向著x軸均勻壓縮,伸縮系數(shù)為.(1)求壓縮后的曲線(xiàn)方程;(2)過(guò)圓C上一點(diǎn)