新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點4-2 奔馳定理及三角“四心”向量式（5題型+滿分技巧+限時檢測）（原卷版）

重難點4-2奔馳定理及三角形“四心”向量式平面向量是高考的必考考點，它可以和函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、幾何等知識相結(jié)合考查。平面向量的“奔馳定理”，對于解決平面幾何問題，尤其是解決與三角形面積和“四心”相關(guān)的問題，更加有效快捷，有著決定性的基石作用。常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等?！绢}型1三角形“重心”及應(yīng)用】滿分技巧常見重心向量式：設(shè)O是?ABC的重心，P為平面內(nèi)任意一點（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）若SKIPIF1<0QUOTEAP=λAB+AC或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則P一定經(jīng)過三角形的重心（4）若SKIPIF1<0或QUOTEOP=OA+λABABsinB+ACACsinCSKIPIF1<0，λ∈[0,+∞)，則P一定經(jīng)過三角形的重心【例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0是平面上一定點，SKIPIF1<0是平面上不共線的三個點，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的軌跡一定通過SKIPIF1<0的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【變式1-1】（2022·湖南長沙·高三?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是不在同一直線上的三個點，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內(nèi)一動點，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的軌跡一定過SKIPIF1<0的（）A．外心B．重心C．垂心D．內(nèi)心【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．重心B．內(nèi)心C．垂心D．外心【變式1-3】（2023·安徽安慶·高三懷寧縣新安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0是三角形SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一定點，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0點軌跡一定通過三角形SKIPIF1<0的（）A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心【變式1-4】（2023·河北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【題型2三角形“內(nèi)心”及應(yīng)用】滿分技巧常見內(nèi)心向量式：P是?ABC的內(nèi)心，（1）ABPC+BC其中a，b，c分別是?ABC的三邊BC、AC、AB的長，（2）AP=λABAB+AC【例2】（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點D，E分別在線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且D為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0經(jīng)過SKIPIF1<0的（）.A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心【變式2-1】（2023·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面上的一點，SKIPIF1<0的三邊為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【變式2-2】（2022·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知O是平面上的一個定點，A?B?C是平面上不共線的三點，動點P滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則點P的軌跡一定經(jīng)過SKIPIF1<0的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【變式2-3】（2023·湖北·模擬預(yù)測）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)心，則SKIPIF1<0．【變式2-4】（2022·遼寧沈陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是其內(nèi)心，內(nèi)角SKIPIF1<0所對的邊分別SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【題型3三角形“外心”及應(yīng)用】滿分技巧常用外心向量式：O是?ABC的外心，（1）QUOTEOA=OB=OC?OA2=OB（2）OA（3）動點P滿足OP=OB+則動點P的軌跡一定通過?ABC的外心.（4）若OA+OB?AB=OB【例3】（2023·四川成都·高三四川省成都列五中學(xué)?？计谥校┰赟KIPIF1<0中，動點P滿足SKIPIF1<0，則P點軌跡一定通過SKIPIF1<0的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【變式3-1】（2023·廣東佛山·佛山一中?？家荒＃┰赟KIPIF1<0中，設(shè)SKIPIF1<0，那么動點SKIPIF1<0的軌跡必通過SKIPIF1<0的（）A．垂心B．內(nèi)心C．重心D．外心【變式3-2】（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點O為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點，在SKIPIF1<0中，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點O為該三角形的（）A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心【變式3-3】（2023·江蘇·高三統(tǒng)考期末）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的高且SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的軌跡一定過SKIPIF1<0的（）A．外心B．內(nèi)心C．垂心D．重心【變式3-4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的內(nèi)心、外心、重心、垂心之一，且滿足SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0一定是SKIPIF1<0的（）A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心【題型4三角形“垂心”及應(yīng)用】滿分技巧常見垂心向量式：O是?ABC的垂心，則有以下結(jié)論：（1）OA（2）OA（3）動點P滿足QUOTEOP=OA+λABABcosB+ACACcosCSKIPIF1<0，λ∈0,+∞，則動點P（4）奔馳定理推論：S?BOC:S?COA:【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．重心B．內(nèi)心C．垂心D．外心【變式4-1】（2022·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面上一點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【變式4-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點，且SKIPIF1<0則點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【變式4-3】（2023·上海·高三行知中學(xué)?？计谥校┰谒拿骟wSKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0不是等邊三角形，且點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的投影SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0內(nèi)，則點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【變式4-4】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)H是SKIPIF1<0的垂心，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【題型5奔馳定理及應(yīng)用】滿分技巧奔馳定理及其推論1、奔馳定理：O是內(nèi)的一點，且SKIPIF1<0QUOTEx?OA+y?OB+z?OC=0，則SKIPIF1<02、奔馳定理推論：QUOTEx?OA+y?OB+z?OC=0SKIPIF1<0，則=1\*GB3①SKIPIF1<0=2\*GB3②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0QUOTES?AOBS?ABC=zx+y+z.由于這個定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”．3、對于三角形面積比例問題，常規(guī)的作法一般是通過向量線性運算轉(zhuǎn)化出三角形之間的關(guān)系。但如果向量關(guān)系符合奔馳定理的形式，在選擇填空題當(dāng)中可以迅速的地得出正確答案。【例5】（2022·全國·高三專題練習(xí)）點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內(nèi)一點，若SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值分別為（）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【變式5-1】（2022·安徽·蕪湖一中校聯(lián)考三模）平面上有SKIPIF1<0及其內(nèi)一點O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積分別記作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有關(guān)系式SKIPIF1<0．因圖形和奔馳車的SKIPIF1<0很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足SKIPIF1<0，則O為SKIPIF1<0的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【變式5-2】（2024·江西新余·高三統(tǒng)考期末）（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是SKIPIF1<0內(nèi)一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．以下命題正確的有（）A．若SKIPIF1<0，則M為SKIPIF1<0的重心B．若M為SKIPIF1<0的內(nèi)心，則SKIPIF1<0C．若M為SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M為SKIPIF1<0的外心，則SKIPIF1<0【變式5-3】（2023·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的標志很相似，所以形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)一點，SKIPIF1<0的三個內(nèi)角分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則以下命題正確的有（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0有可能是SKIPIF1<0的重心C．若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)心，則SKIPIF1<0為直角三角形【變式5-4】（2024·廣東廣州·執(zhí)信中學(xué)校考模擬預(yù)測）（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)一點，SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.以下命題正確的有（）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心B．若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)心，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（建議用時：60分鐘）1．（2022·云南·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0是平面內(nèi)一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面內(nèi)不共線的三點，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0一定是SKIPIF1<0的（）A．外心B．重心C．垂心D．內(nèi)心2．（2022·山西太原·高三統(tǒng)考期中）已知點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所在平面內(nèi)，滿SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0依次是SKIPIF1<0的（）A．重心，外心B．內(nèi)心，外心C．重心，內(nèi)心D．垂心，外心3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，O為△SKIPIF1<0的內(nèi)心，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考期中）已知SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點，則“SKIPIF1<0”是“點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0重心”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的軌跡一定過SKIPIF1<0的（）A．內(nèi)心B．垂心C．重心D．SKIPIF1<0邊的中點6．（2022·浙江·高三慈溪中學(xué)校聯(lián)考期中）已知SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0中點，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點，則“SKIPIF1<0”為“點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0重心”（）條件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0是平面上的一定點，SKIPIF1<0是平面上不共線的三個點，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則動點SKIPIF1<0的軌跡一定通過SKIPIF1<0的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所在的平面內(nèi)，且滿足以下條件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．垂心B．重心C．內(nèi)心D．外心9．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測）在銳角三角形ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，H為SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，O為SKIPIF1<0的外心，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．9B．8C．7D．610．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0的三個內(nèi)角分別為SKIPIF1<0為平面內(nèi)任意一點，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0則動點P的軌跡一定經(jīng)過SKIPIF1<0的（）A．重心B．垂心C．內(nèi)心D．外心11．（2022·遼寧·高三遼寧實驗中學(xué)?？计谥校?shù)學(xué)家歐拉于1765年在其著作《三角形中的幾何學(xué)》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為歐拉線.若AB=4，AC=2，則下列各式不正確的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<012．（2022·河北石家莊·石家莊二中校考模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)家歐拉于SKIPIF1<0年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設(shè)點SKIPIF1<0分別為任意SKIPIF1<0的外心?重心?垂心，則下列各式一定正確的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<013．（2022·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點P是SKIPIF1<0的重心，則下列結(jié)論正確的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<014．（2022·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）奔馳定理：已知點O是SKIPIF1<0內(nèi)的一點，若SKIPIF1<0的面積分別記為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是SKIPIF1<0的垂心，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<015．（2023·湖北荊州·高三公安縣車胤中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）點O在SKIPIF1<0所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（）A．若SKIPIF1<0，則點O是SKIPIF1<0的重心B．若SKIPIF1<0，則點O是SKIPIF1<0的內(nèi)心C．若SKIPIF1<0，則點O是SKIPIF1<0的外心D．若SKIPIF1<0，則點O是SKIPIF1<0的垂心16．（2023·江蘇南京·高三南京市第二十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）已知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在的平面內(nèi)一點，則下列命題正確的是（）A．若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0為銳角SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的軌跡經(jīng)過SKIPIF1<0的重心D．若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的軌跡經(jīng)過SKIPIF1<0的內(nèi)心17．（2023·遼寧·高三朝陽市第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）在SKIPIF1<0所在的平面上存在一點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列說法錯誤的是（）A．若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的軌跡不可能經(jīng)過SKIPIF1<0的外心B．若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的軌跡不可能經(jīng)過SKIPIF1<0