新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點5-1 數(shù)列通項公式的求法（8題型+滿分技巧+限時檢測）（解析版）

重難點5-1數(shù)列通項公式的求法數(shù)列的通項公式求法是高考數(shù)學(xué)的必考考點，通常在選擇題、填空題與解答題第一問中考查。難度中等，但有時在同一個題目中會涉及到多種方法綜合性較強?！绢}型1觀察法求通項】滿分技巧已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項．【例1】（2023·河北張家口·高三尚義縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是這個數(shù)列的（）A．第21項B．第22項C．第23項D．第24項【答案】B【解析】由題意可得數(shù)列的通項公式為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是這個數(shù)列的第22項．故選：B．【變式1-1】（2023·內(nèi)蒙古通遼·高三?？茧A段練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一個通項公式是an=（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因為數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，而數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的每一項都是上面數(shù)列對應(yīng)項的SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0.故選：C.【變式1-2】（2023·河南·高三校聯(lián)考期中）數(shù)列SKIPIF1<0的一個通項公式為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設(shè)該數(shù)列為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.選項A，SKIPIF1<0，不滿足題意，故A錯誤；選項B，SKIPIF1<0，不滿足題意，故B錯誤；選項C，SKIPIF1<0，不滿足題意，故C錯誤；選項D，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，均滿足題意.故選：D.【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知數(shù)列的前4項為2，0，2，0，則依此歸納該數(shù)列的通項可能是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】對于A，當(dāng)n為奇數(shù)時，SKIPIF1<0，當(dāng)n為偶數(shù)時，SKIPIF1<0，故A中通項公式正確；對于B顯然正確；對于C，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，顯然不符合；對于D，當(dāng)n為奇數(shù)時，SKIPIF1<0，當(dāng)n為偶數(shù)時，SKIPIF1<0，故D中通項公式正確.故選：ABD．【變式1-4】（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《解析九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”．其最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層10個…，則第三十六層球的個數(shù)為（）A．561B．595C．630D．666【答案】D【解析】由題意，第一層SKIPIF1<0個球，第二層SKIPIF1<0個，第三層SKIPIF1<0個，第四層SKIPIF1<0個，據(jù)此規(guī)律，第三十六層有小球SKIPIF1<0個.故選：D【題型2由Sn與an關(guān)系求通項】滿分技巧若已知數(shù)列的前項和與SKIPIF1<0的關(guān)系，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項SKIPIF1<0可用公式SKIPIF1<0構(gòu)造兩式作差求解．用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即SKIPIF1<0和SKIPIF1<0合為一個表達，（要先分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一）．【例2】（2023·山東濰坊·高三?？计谥校?shù)列前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，則該數(shù)列的第4項為（）A．19B．20C．21D．22【答案】B【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0該數(shù)列的第4項SKIPIF1<0.故選：B.【變式2-1】（2023·陜西渭南·高三?？茧A段練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，兩式相減得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0中SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0不適合上式.【變式2-2】（2023·黑龍江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0是等比數(shù)列B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】依題意，因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：D．【變式2-3】（2023·四川·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項公式為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】當(dāng)SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，此時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也滿足，所以SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0.故選：B.【變式2-4】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的最大值是．【答案】SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），又SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，若SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以實數(shù)SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0.【題型3累加法求通項】滿分技巧適用于an＋1＝an＋f(n)，可變形為an＋1－an＝f(n)利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解【例3】（2023·福建·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則正整數(shù)SKIPIF1<0為（）A．13B．12C．11D．10【答案】B【解析】SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：B【變式3-1】（2023·廣東佛山·高二佛山市榮山中學(xué)?？计谥校┮阎猄KIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項公式為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，兩式相減得:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0.相乘得：SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B【變式3-2】（2023·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0也滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【變式3-3】（2023·上海普陀·統(tǒng)考一模）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0的最小值是.【答案】6【解析】由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0也滿足上式，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，由對勾函數(shù)性質(zhì)知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0遞增，因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時遞減，在SKIPIF1<0時遞增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值是6.【變式3-4】（2023·北京·高三匯文中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.則集合SKIPIF1<0中元素的個數(shù)為.【答案】24【解析】由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，令SKIPIF1<0，因為函數(shù)SKIPIF1<0的對稱軸為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，綜上可得集合SKIPIF1<0中元素的個數(shù)為SKIPIF1<0.【題型4累乘法求通項】滿分技巧適用于an＋1＝f(n)an，可變形為eq\f(an＋1,an)＝f(n)要點：利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求數(shù)列通項公式.【答案】SKIPIF1<0.【解析】數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也滿足上式，所以數(shù)列SKIPIF1<0通項公式是SKIPIF1<0.【變式4-1】（2023·山東青島·高二青島二中校考階段練習(xí)）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則滿足不等式SKIPIF1<0的最大正整數(shù)SKIPIF1<0為（）A．28B．29C．30D．31【答案】B【解析】依題意，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也符合，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是單調(diào)遞增數(shù)列，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：B【變式4-2】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．2023B．2024C．4045D．4047【答案】C【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：C.【變式4-3】（2023·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知正項數(shù)列SKIPIF1<0的前n項積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則使得SKIPIF1<0的最小正整數(shù)n的值為（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】由題，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相除可得SKIPIF1<0，上式兩邊取對數(shù)，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以滿足題意的最小正整數(shù)SKIPIF1<0的值為6.故選：C.【變式4-4】（2023·河南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）數(shù)列SKIPIF1<0的首項為2，等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為．【答案】2【解析】設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0，利用等比數(shù)列定義可知SKIPIF1<0所以可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由累乘可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0.【題型5構(gòu)造法求通項】滿分技巧1、形如SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0均為常數(shù)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）型設(shè)SKIPIF1<0，展開移項整理得SKIPIF1<0，與題設(shè)SKIPIF1<0比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0構(gòu)成以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列．2、形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0型（1）當(dāng)SKIPIF1<0為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：設(shè)SKIPIF1<0，通過待定系數(shù)法確定SKIPIF1<0的值，轉(zhuǎn)化成以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列SKIPIF1<0；（2）當(dāng)SKIPIF1<0為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：法一：設(shè)SKIPIF1<0，通過待定系數(shù)法確定SKIPIF1<0的值，轉(zhuǎn)化成以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列SKIPIF1<0，再利用等比數(shù)列的通項公式求出SKIPIF1<0的通項整理可得SKIPIF1<0法二：當(dāng)SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0時，由遞推式得：SKIPIF1<0—①，SKIPIF1<0，兩邊同時乘以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0—②，由①②兩式相減得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，構(gòu)造等比數(shù)列。法三：遞推公式為SKIPIF1<0（其中p，q均為常數(shù)）或SKIPIF1<0（其中p，q，r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，引入輔助數(shù)列SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），得：SKIPIF1<0?！纠?】（2023·江蘇淮安·盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故選：A【變式5-1】（2023·寧夏石嘴山·高三平羅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以數(shù)列SKIPIF1<0是一個以2為首項，以4為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0.故選：C【變式5-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）（多選）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，則下列判斷正確的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】由SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公比為2的等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，所以選項A錯誤，選項B、D正確.因為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0正確．故選：BCD．【變式5-3】（2023·山西太原·高三統(tǒng)考期中）（多選）已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0是遞增數(shù)列C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】BD【解析】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0表示首項為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以A不正確；由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，所以B正確；由SKIPIF1<0，所以C錯誤；由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以D正確.故選：BD.【變式5-4】（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0（1）試求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由題意SKIPIF1<0，兩邊同時除以SKIPIF1<0，將其變形為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由等差數(shù)列的定義可知SKIPIF1<0是以首項為SKIPIF1<0、公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）由（1）可知SKIPIF1<0，顯然當(dāng)SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.而當(dāng)SKIPIF1<0時，也有SKIPIF1<0，綜上所述：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【題型6倒數(shù)法求通項】滿分技巧形如an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)(p，q，r是常數(shù))，可變形為eq\f(1,an＋1)＝eq\f(r,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(q,p)要點：①若p＝r，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，且公差為eq\f(q,p)，可用公式求通項；②若p≠r，則轉(zhuǎn)化為an＋1＝san＋t型，再利用待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列求解【例6】（2022·重慶·高三西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以首項為2，公比為2的等比數(shù)列，從而SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：C.【變式6-1】（2023·全國·高三課時練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前2017項和SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】根據(jù)題意，有SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，進而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，進而SKIPIF1<0.故選：C【變式6-2】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0各項均為正數(shù)，SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，與題意矛盾，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩邊同時取倒數(shù)，得：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故選：D.【變式6-3】（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的首項SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則n的最大值為．【答案】15【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列.可求得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0單調(diào)遞增,SKIPIF1<0.則n的最大值為15.【題型7三項遞推法求通項】滿分技巧適用于形如SKIPIF1<0型的遞推式用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列SKIPIF1<0的形式求解．方法為：設(shè)SKIPIF1<0，比較系數(shù)得SKIPIF1<0，可解得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，這樣就化歸為SKIPIF1<0型．【例7】（2023·四川成都·高三成都七中校考期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0以首項為SKIPIF1<0，公比為4的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，累加得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A.【變式7-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．18B．24C．30D．36【答案】A【解析】由SKIPIF1<0且數(shù)列不存在為0的項，得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，且首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故選：A．【變式7-2】（2023·廣東茂名·高三?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），SKIPIF1<0為其前SKIPIF1<0項和，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）可得SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是一個以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選B.【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求通項SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由等比數(shù)列定義知，數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，累加法可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0符合該式，故SKIPIF1<0.【變式7-4】（2023·全國·高三對口高考）數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為．【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【題型8不動點法求通項】滿分技巧（1）定義：方程SKIPIF1<0的根稱為函數(shù)SKIPIF1<0的不動點．利用函數(shù)SKIPIF1<0的不動點，可將某些遞推關(guān)系SKIPIF1<0所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項的數(shù)列，這種求數(shù)列通項的方法稱為不動點法．（2）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0已知，且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是常數(shù)），=1\*GB3①當(dāng)SKIPIF1<0時，數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列；=2\*GB3②當(dāng)SKIPIF1<0時，數(shù)列SKIPIF1<0為常數(shù)數(shù)列；=3\*GB3③當(dāng)SKIPIF1<0時，數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列；=4\*GB3④當(dāng)SKIPIF1<0時，稱SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的一階特征方程，其根SKIPIF1<0叫做特征方程的特征根，這時數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為：SKIPIF1<0；（3）形如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項SKIPIF1<0，其特征方程為SKIPIF1<0（*）．（1）若方程（*）有二異根SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則可令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是待定常數(shù)）；（2）若方程（*）有二重根SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則可令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是待定常數(shù)）．(其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0可利用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0求得)【例8】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式．【答案】SKIPIF1<0【解析】根據(jù)迭代數(shù)列SKIPIF1<0，構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0有唯一的不動點SKIPIF1<0，根據(jù)定理3可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0是以首項SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列．則對應(yīng)的通項公式為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0也滿足上式．∴SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0．【變式8-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足性質(zhì)：對于SKIPIF1<0且SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的通項公式.【答案】SKIPIF1<0【解析】依定理作特征方程SKIPIF1<0變形得SKIPIF1<0其根為SKIPIF1<0故特征方程有兩個相異的根，使用定理2的第（2）部分，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【變式8-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的遞推公式SKIPIF1<0，且首項SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式．【答案】SKIPIF1<0【解析】令SKIPIF1<0．先求出數(shù)列的不動點SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．將不動點SKIPIF1<0代入遞推公式，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，以1為公差的等差數(shù)列．∴SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【變式8-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0滿足下列關(guān)系：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式．【答案】SKIPIF1<0【解析】令函數(shù)SKIPIF1<0，解方程SKIPIF1<0求出不動點SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.【變式8-4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式．【答案】SKIPIF1<0【解析】依題SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，求出不動點SKIPIF1<0或3所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列．∴SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．（建議用時：60分鐘）1．（2023·四川內(nèi)江·?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，3，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，…，則7是這個數(shù)列的（）A．第21項B．第23項C．第25項D．第27項【答案】C【解析】因為數(shù)列的第SKIPIF1<0項為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以7是題中數(shù)列的第25項．故選：C2．（2023·天津·高三天津市咸水沽第一中學(xué)校考期中）設(shè)SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．9B．27C．81D．101【答案】B【解析】SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，作差得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,所以數(shù)列SKIPIF1<0從第二項起成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0.故選：B.3．（2023·陜西安康·安康中學(xué)?？寄M預(yù)測）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因為SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0累加可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：B．4．（2023·陜西漢中·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前9項和為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題設(shè)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：C5．（2023·天津北辰·高三統(tǒng)考期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．16D．32【答案】B【解析】∵SKIPIF1<0①，∴SKIPIF1<0②，②減去①得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0.故選：B.6．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<