專題8.7空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系2

專題8.7空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系【核心素養(yǎng)】1．考查空間向量的概念及運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)．2．考查空間向量的應(yīng)用，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)．知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一平行(共線)向量與共面向量平行(共線)向量共面向量定義位置關(guān)系表示空間向量的有向線段所在的直線的位置關(guān)系：互相平行或重合平行于同一個(gè)平面的向量特征方向相同或相反特例零向量與任意向量共線充要條件對空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)使p＝xa＋yb推論對空間任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t滿足等式eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta，向量a為直線l的方向向量或在直線l上取向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b都是非零向量，〈a，b〉＝θ，①a∥b時(shí)，θ＝0或π，θ＝0時(shí)，a與b同向；θ＝π時(shí)，a與b反向．②a⊥b?θ＝eq\f(π,2)?a·b＝0．③θ為銳角時(shí)，a·b>0，但a·b>0時(shí)，θ可能為0；θ為鈍角時(shí)，a·b<0，但a·b<0時(shí)，θ可能為π．④|a·b|≤|a|·|b|，特別地，當(dāng)θ＝0時(shí)，a·b＝|a|·|b|，當(dāng)θ＝π時(shí)，a·b＝－|a|·|b|．⑤對于實(shí)數(shù)a、b、c，若ab＝ac，a≠0，則b＝c；對于向量a、b、c，若a·b＝a·c，a≠0，卻推不出b＝c，只能得出a⊥(b－c)．⑥a·b＝0eq\o(?,/)a＝0或b＝0，a＝0時(shí)，一定有a·b＝0．⑦不為零的三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成立，但對于三個(gè)向量a、b、c，(a·b)c≠a(b·c)，因?yàn)閍·b是一個(gè)實(shí)數(shù)，(a·b)c是與c共線的向量，而a(b·c)是與a共線的向量，a與c卻不一定共線．知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)三空間向量基本定理(1)如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc．(2)如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么所有空間向量組成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，這個(gè)集合可看作是由向量a、b、c生成的，我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a、b、c都叫做基向量，空間任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐標(biāo)不同，在同一基底下的坐標(biāo)相同．知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)四空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示設(shè)e1、e2、e3為有公共起點(diǎn)O的三個(gè)兩兩垂直的單位向量(我們稱它們?yōu)閱挝徽换?．以e1、e2、e3的公共起點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以e1，e2，e3的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz．對于空間任意一個(gè)向量p一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，得到向量eq\o(OP,\s\up6(→))＝p，由空間向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3．我們把x、y、z稱作向量p在單位正交基底e1、e2、e3下的坐標(biāo)，記作p＝(x，y，z)．知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)五用向量描述空間平行關(guān)系設(shè)空間兩條直線l、m的方向向量分別為a＝(a1，a2，a3)、b＝(b1，b2，b3)，兩個(gè)平面α，β的法向量分別為u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，則有如下結(jié)論：位置關(guān)系向量關(guān)系向量運(yùn)算關(guān)系坐標(biāo)關(guān)系l∥ma∥ba＝kb，k∈Ra1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3l∥αa⊥ua·u＝0a1u1＋a2u2＋a3u3＝0u∥vα∥βu∥vu＝kv，k∈Ru1＝kv1，u2＝kv2，u3＝kv3知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)六用向量證明空間中的垂直關(guān)系①設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.②設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?v∥u.③設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)七共線與垂直的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均為非零向量)．?？碱}型剖析?？碱}型剖析題型一：空間向量的運(yùn)算【典例分析】例11．（2001·全國·高考真題）在平行六面體中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）．A． B．C． D．例12.（2023秋·廣東廣州·高二廣州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在OA上，且滿足，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【方法技巧】用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形．(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中．(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．【變式訓(xùn)練】變式11.（安徽·高考真題）在四面體中，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則．（用、、表示）變式12.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐O-ABC中，點(diǎn)P，Q分別是OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D為線段PQ上一點(diǎn)，且，若記，，，則等于（）A． B．C． D．題型二：共線(共面)向量定理的應(yīng)用例21.【多選題】（2023秋·河北滄州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是空間中三個(gè)向量，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．對于空間中的任意一個(gè)向量，總存在實(shí)數(shù)，使得B．若是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底C．若，，則D．若所在直線兩兩共面，則共面例22.（2023秋·四川成都·高三成都七中?？奸_學(xué)考試）在四棱柱中，，．(1)當(dāng)時(shí)，試用表示；(2)證明：四點(diǎn)共面；【總結(jié)提升】證明三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較三點(diǎn)(P，A，B)共線空間四點(diǎn)(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))且同過點(diǎn)Peq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))對空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))對空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))對空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up7(→))對空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OM,\s\up7(→))＋yeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up7(→))【變式訓(xùn)練】變式21.（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有．①若向量、與空間任意向量都不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則；②若非零向量、、滿足，，則有；③若、、是空間向量的一組基底，且，則、、、四點(diǎn)共面；④若向量、、是空間向量的一組基底，則、、也是空間向量的一組基底．變式22.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點(diǎn)共線．題型三：空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用【典例分析】例31.【多選題】（2023·福建寧德·校考模擬預(yù)測）已知空間單位向量，，兩兩夾角均為，，，則下列說法中正確的是（

）A．、、、四點(diǎn)可以共面B．C．D．例32.（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為2，且PA與AB、AD的夾角都等于60°，M是PC的中點(diǎn)，設(shè)，，.（1）試用，，表示向量；（2）求BM的長.【規(guī)律方法】空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【變式訓(xùn)練】變式31.（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在四面體中，，，，，則的值為（

）A．7 B．9 C．11 D．13變式32.【多選題】（2023秋·福建莆田·高三莆田八中校考階段練習(xí)）設(shè)、為空間中的任意兩個(gè)非零向量，下列各式中正確的有（

）A． B．C． D．題型四：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算例41.【多選題】（2021·全國·高考真題）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的周長為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面例42.（江蘇·高考真題）記動(dòng)點(diǎn)P是棱長為1的正方體的對角線上一點(diǎn)，記．當(dāng)為鈍角時(shí)，求的取值范圍．【變式訓(xùn)練】變式41.（寧夏·高考真題（理））已知向量，且，則____________．變式42.（2017·全國·高考真題）如圖，以長方體的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為________題型五：利用空間向量證明平行【典例分析】例51.【多選題】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，、分別為線段、的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列說法正確的是（

）A．對任意點(diǎn)，則有、、、四點(diǎn)共面B．存在點(diǎn)，使得、、、四點(diǎn)共面C．對任意點(diǎn)，則有平面D．存在點(diǎn)，使得平面例52.（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知為空間的9個(gè)點(diǎn)，且，，求證：（1）四點(diǎn)共面，四點(diǎn)共面；（2）；（3）.【規(guī)律方法】利用空間向量證明平行的方法1.線線平行:證明兩直線的方向向量共線2.線面平行:①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行3.面面平行:①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題【變式訓(xùn)練】變式51.已知長方體中，，，，點(diǎn)S、P在棱、上，且，，點(diǎn)R、Q分別為AB、的中點(diǎn)．求證：直線直線．變式52.（2020·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn).求證：（1）PB//平面EFG；（2）平面EFG//平面PBC.題型六：利用空間向量證明垂直【典例分析】例61.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面例62.（河南省部分地區(qū)聯(lián)考20232024學(xué)年高二上學(xué)期階段性測試（一）數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)，，，則下列向量是平面的法向量的是（

）A． B．C． D．【規(guī)律方法】利用空間向量證明垂直的方法1.線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零2.線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示3.面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎尽咀兪接?xùn)練】變式61.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．//B．C．//平面D．平面變式62．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）在空間四邊形ABCD中，已知，，求證：．題型七：空間距離、角的簡單計(jì)算【典例分析】例71.（2001·全國·高考真題）正三棱柱中，若，則與所成的角的大小為（

）A．60° B．90° C．45° D．120°例72.（2023秋·江蘇常州·高三江蘇省前黃高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為.【變式訓(xùn)練】變式71.（2023秋·福建莆田·高三校考階段練習(xí)）如圖，平行六面體的底面是矩形，，，，且，則線段的長為（

）A． B． C． D．變式72．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為．一、單選題1.（2023秋·福建莆田·高三?？奸_學(xué)考試）設(shè)，向量，，且，則（

）A． B． C．3 D．42（2022·全國·高三專題練習(xí)）正方體分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為直線的方向向量，、分別為平面、的法向量（、不重合），那么下列說法中：①；②；③；④.其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（2023秋·遼寧沈陽·高三東北育才學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知空間向量兩兩夾角均為，且兩兩夾角均為，且.若向量滿足，則的最小值是（

）A． B． C．0 D．二、多選題5．（2023秋·四川眉