6.4.3.2正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)內(nèi)容教學(xué)目的1.通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理，并推證正弦定理。會(huì)初步運(yùn)用正弦定理與三角形的角和定理解斜三角形的兩類問題。2.引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角正弦的比值之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生通過觀察，猜測，由特殊到一般歸納得出結(jié)論的能力和化未知為的解決問題的能力。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1.正弦定理的探索和證明及其根本應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：1.正弦定理的證明。

2.了解兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，解的情況不唯一。教學(xué)過程一、情境導(dǎo)入思考一下：（1）在△ABC中，若A＝30°，B＝45°，AC＝4，你還能直接運(yùn)用余弦定理求出邊BC嗎？（2）在直角三角形中，邊與角之間的關(guān)系是什么？我們看一段動(dòng)畫來了解一下邊與角之間的關(guān)系吧?。úシ艅?dòng)畫）二、定理推導(dǎo)因此我們由那視頻可以得出：sinA=ac；sinB=bc顯然，上述兩個(gè)關(guān)系式在一般三角形中不成立。觀察發(fā)現(xiàn)，它們有一個(gè)共同元素c，利用它把兩個(gè)式子聯(lián)系起來，可得：asinA=又因?yàn)閟inC=sin90°=1，所以上式可以寫成邊與它的對(duì)角的正弦的比相等的形式，即：asinA=bsin思考一下：對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？向量的數(shù)量積運(yùn)算中出現(xiàn)了角的余弦，而我們需要的是角的正弦。如何實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化?由誘導(dǎo)公式cos(π/2a)=sina可知，我們可以通過構(gòu)造角之間的互余關(guān)系，把邊與角的余弦關(guān)系轉(zhuǎn)化為正弦關(guān)系。接下來我們一起推導(dǎo)一下吧！利用向量法證明正弦定理如圖，△ABC為銳角三角形，過點(diǎn)A作與eq\o(AC,\s\up15(→))垂直的單位向量j，則j與eq\o(AB,\s\up15(→))的夾角為eq\f(π,2)－A，j與eq\o(CB,\s\up15(→))的夾角為eq\f(π,2)－C。因?yàn)閑q\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CB,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))，所以j·(eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CB,\s\up15(→)))＝j(luò)·eq\o(AB,\s\up15(→))。由分配律，得j·eq\o(AC,\s\up15(→))＋j·eq\o(CB,\s\up15(→))＝j(luò)·eq\o(AB,\s\up15(→))，即|j||eq\o(AC,\s\up15(→))|coseq\f(π,2)＋|j||eq\o(CB,\s\up15(→))|cos(eq\f(π,2)－C)＝|j||eq\o(AB,\s\up15(→))|cos(eq\f(π,2)－A)，也即asinC＝csinA，即eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)。同理，過點(diǎn)C作與eq\o(CB,\s\up15(→))垂直的單位向量m，可得eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)。因此eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).在鈍角三角形中的這個(gè)邊角關(guān)系成立嗎？【提示】成立，如圖，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，不妨設(shè)A為鈍角。過點(diǎn)A作與eq\o(AC,\s\up15(→))垂直的單位向量j,則j與eq\o(AB,\s\up15(→))的夾角為Aπ/2,j與eq\o(CB,\s\up15(→))的夾角為π/2C.仿照上述方法，同樣可得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).正弦定理：條件：在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c結(jié)論：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)文字?jǐn)⑹觯涸谝粋€(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。以上我們利用向量方法獲得了正弦定理。事實(shí)上，探索和證明這個(gè)定理的方法很多，有些方法甚至比上述方法更加簡潔。你還能想到其他方法嗎？利用三角形的高證明正弦定理當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有CD=asinB，CD=bsinA。由此，得a/sinA=b/sinB，同理可得c/sinC=b/sinB，故有a/sinA=b/sinB=c/sinC.從而這個(gè)結(jié)論在銳角三角形中成立。(2)當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，過點(diǎn)C作AB邊上的高，交AB的延長線于點(diǎn)D，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有CD=asin∠CBD=asin∠ABC，CD=bsinA。由此，可得a/sinA=b/sin∠ABC=c/sinC.由（1）（2）可知，在△ABC中，a/sinA=b/sinB=c/sinC成立。從而得到：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC我們除了以上兩種方法，還有哪些證明方法呢？1.利用三角形的面積證明正弦定理。2.利用三角形的外接圓證明正弦定理。練一練在△ABC中，若A＝30°，B＝45°，AC＝4，請(qǐng)你用正弦定理來求出邊BC的長？解：已知：A＝30°