【青松雪】【高中數(shù)學(xué)】【沖刺985拔高系列講義】【專題10】推理證明、程序框圖和復(fù)數(shù)

第第頁沖刺“985”優(yōu)等生拔高講義——專治學(xué)霸各種不服【專題10】推理證明、程序框圖和復(fù)數(shù)專題目錄【問題一】推理問題的常見求解策略【問題二】數(shù)學(xué)歸納法在證明不等式中的應(yīng)用【問題三】算法與其他問題相結(jié)合問題【問題四】復(fù)數(shù)與其他知識(shí)相結(jié)合問題（1）歸納推理的一般步驟：①通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；②從相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題．（2）歸納推理是一種重要的思維方法，但結(jié)果的正確性還需進(jìn)一步證明．一般地，考查的個(gè)體越多，歸納的結(jié)論可靠性越大．因此在進(jìn)行歸納推理時(shí)，當(dāng)規(guī)律不明顯時(shí)，要盡可能多地分析特殊情況，由此發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，從而獲得一般結(jié)論．（3）歸納推理是每年高考的?？純?nèi)容，題型多為選擇題和填空題，難度稍大，屬中高檔題．高考對(duì)歸納推理的考查常有以下三個(gè)命題角度：①數(shù)值的歸納；②代數(shù)式的歸納；=3\*GB3③圖形的歸納．【例1】某種平面分形圖如圖所示，一級(jí)分形圖是由一點(diǎn)出發(fā)的三條線段，長(zhǎng)度相等，兩兩夾角為；二級(jí)分形圖是在一級(jí)分形圖的每條線段末端出發(fā)再生成兩條長(zhǎng)度為原來的線段，且這兩條線段與原線段兩兩夾角為，，依此規(guī)律得到級(jí)分形圖，則級(jí)分形圖中共有_____________條線段．【練習(xí)1】觀察下列等式：，，，，，根據(jù)上述規(guī)律，第個(gè)等式為_____________________．在進(jìn)行類比推理時(shí)，要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象所迷惑；否則只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象甚至假象就去類比，就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤．類比推理的應(yīng)用一般為類比定義、類比性質(zhì)和類比方法．（1）類比定義：在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時(shí)，可以借助原定義來求解；（2）類比性質(zhì)：從一個(gè)特殊式子的性質(zhì)、一個(gè)特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問題，求解時(shí)要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵；（3）類比方法：有一些處理問題的方法具有類比性，我們可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中，注意知識(shí)的遷移．【例2】在中，若，則，試在立體幾何中，給出四面體性質(zhì)的猜想．【練習(xí)2】已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，（，，），則．類比等差數(shù)列的上述結(jié)論，對(duì)于等比數(shù)列（，），若，（，，），則可以得到_____________．演繹推理的模式為：應(yīng)用三段論解決問題時(shí)，應(yīng)首先明確什么是大前提，什么是小前提，如果大前提與推理形式是正確的，結(jié)論必定是正確的．如果大前提錯(cuò)誤，盡管推理形式是正確的，所得結(jié)論也是錯(cuò)誤的．【例3】數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知，（），證明：（1）數(shù)列是等比數(shù)列；（2）．【練習(xí)3】下面四個(gè)推導(dǎo)過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是（）A．大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：是無理數(shù)；結(jié)論：是無限不循環(huán)小數(shù)B．大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：是無限不循環(huán)小數(shù)；結(jié)論：是無理數(shù)C．大前提：是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；結(jié)論：是無理數(shù)D．大前提：是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：是無理數(shù)；結(jié)論：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)1、推理“①矩形是平行四邊形；②三角形不是平行四邊形；③三角形不是矩形”中的小前提是（）A．①B．②C．③D．①和②2、正弦函數(shù)是奇函數(shù)，是正弦函數(shù)，因此是奇函數(shù)，以上推理（）A．結(jié)論正確B．大前提不正確C．小前提不正確D．全不正確3、觀察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函數(shù)滿足，記為的導(dǎo)函數(shù)，則（）A．B．C．D．4、將正奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，則第21行從左向右的第5個(gè)數(shù)為（）A．809B．852C．786D．8935、已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排成一列：，，，，，，，，，，，則第60個(gè)“整數(shù)對(duì)”是（）A．B．C．D．6、如圖，一個(gè)直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時(shí)針方向滾動(dòng)，和是小圓的一條固定直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．那么，當(dāng)小圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周，點(diǎn)、在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是（）7、一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串（），其中（1、2、3、、）稱為第位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?），已知某種二元碼的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組：，其中運(yùn)算定義為：，，，，現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定等于（）A．4B．5C．6D．78、老師帶甲乙丙丁四名學(xué)生去參加自主招生考試，考試結(jié)束后老師向四名學(xué)生了解考試情況：四名學(xué)生回答如下：甲說：“我們四人都沒考好”；乙說：“我們四人中有人考的好”；丙說：“乙和丁至少有一人沒考好”；丁說：“我沒考好”．結(jié)果，四名學(xué)生中有兩人說對(duì)了，則四名學(xué)生中（）兩人說對(duì)了．A．甲、丙B．乙、丁C．丙、丁D．乙、丙9、已知，觀察下列各式：，，，類比得：（），則_____________．10、如圖所示是畢達(dá)哥拉斯的生長(zhǎng)程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，，如此繼續(xù)，若共得到1023個(gè)正方形，設(shè)初始正方形的邊長(zhǎng)為，則最小正方形的邊長(zhǎng)為_____________．11、在平面幾何中：的內(nèi)角平分線分所成線段的比為．把這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐中（如圖）平分二面角且與相交于，則得到類比的結(jié)論是_____________．12、已知等差數(shù)列中，有，則在等比數(shù)列中，會(huì)有類似的結(jié)論：_______________________．13、觀察下列不等式：，，，照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為_____________．13、已知命題：“若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則數(shù)列（）也是等比數(shù)列”．類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論．14、已知是內(nèi)任意一點(diǎn)，連接、、并延長(zhǎng)交對(duì)邊于、、，則，這是一道平面幾何題，其證明常采用“面積法”．．請(qǐng)運(yùn)用類比思想，對(duì)于空間中的四面體，存在什么類似的結(jié)論？并證明．新課標(biāo)中提出著重考查學(xué)生的探索和歸納能力，利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，在近幾年各地的高考和?？荚囶}中已成為一個(gè)新的熱點(diǎn)和亮點(diǎn)，并且基本上都以主觀題的方式出現(xiàn)，大多數(shù)出現(xiàn)在最后三道大題中．因此，高考中我們想要得高分就要將它當(dāng)成必須掌握的問題．在有關(guān)自然數(shù)的不等式證明問題中，常常可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行處理，這也是數(shù)學(xué)歸納法最為主要的應(yīng)用之一，其主要步驟有兩步：（1）證明當(dāng)（第一個(gè)自然數(shù)）時(shí)不等式成立；（2）假設(shè)不等式當(dāng)（）時(shí)成立，證明時(shí)不等式也成立；由（1）（2）對(duì)于的一切自然數(shù)，不等式都成立．【例1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：（，）．【練習(xí)1】證明：（）．?dāng)?shù)列可以看作一個(gè)定義域?yàn)樽匀粩?shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值．用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于數(shù)列的不等式是一種順理成章的思路和方法．在歷年的高考數(shù)列試題中大都會(huì)設(shè)置一問用數(shù)學(xué)歸納法證明某個(gè)結(jié)論或不等式問題，往往是先計(jì)算前幾項(xiàng)，再變形（可拆可補(bǔ)），進(jìn)而猜想結(jié)論，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明，此即“觀察歸納猜想證明”很常見的問題模式．【例2】各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列對(duì)一切均滿足，證明：（1）；（2）．【練習(xí)2】設(shè)數(shù)列滿足：，（1、2、3、）．證明：對(duì)一切正整數(shù)都成立．其實(shí)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，看起來很容易，但往往做起來有時(shí)會(huì)很難，其難點(diǎn)在于由成立，推證成立的過程中，不容易實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，這里可能要用到一些常見的證明方法，如作差法、作商法、分析法、綜合法、反證法、放縮法等，這也是數(shù)學(xué)歸納法的核心和關(guān)鍵所在，也是最困難的一步，往往要多種方法相結(jié)合，而最為常見的方法和技巧是與放縮法相結(jié)合．【例3】觀察下列式子：，，，（1）由此猜想一個(gè)一般性的結(jié)論；（2）請(qǐng)證明你的結(jié)論．【練習(xí)2】由下列各個(gè)不等式：，，，，你能得到一個(gè)怎樣的一般不等式？并加以證明．1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：（，）．2、在數(shù)列中，已知（），且（）．（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（）；（2）求證：（）．3、已知（其中）．（1）求及；（2）試比較與的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明過程．4、設(shè)個(gè)正數(shù)、、、滿足：（且）．（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）當(dāng)時(shí)，不等式也成立，請(qǐng)你將其推廣到（且）個(gè)正數(shù)、、、的情形，歸納出一般性的結(jié)論并用數(shù)學(xué)歸納法證明．5、設(shè)，其中為正整數(shù)．（1）求、、的值；（2）猜想滿足不等式的正整數(shù)的范圍，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．6、已知、為正整數(shù)．（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，；（2）對(duì)于，已知，求證：（1、2、3、、）；（3）求出滿足等式的所有正整數(shù)．7、已知（其中）．（1）求及；（2）試比較與的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明過程．8、設(shè)實(shí)數(shù)，整數(shù)，．（1）證明：當(dāng)且時(shí)，；（2）數(shù)列滿足，，證明：．9、設(shè)是一個(gè)自然數(shù)，是的各位數(shù)字的平方和，定義數(shù)列：是自然數(shù)，（，）．（1）求，；（2）若，求證：；（3）求證：存在，使得．10、設(shè)函數(shù)，，，其中是的導(dǎo)函數(shù)．（1）令，，，猜測(cè)的表達(dá)式并給予證明；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，比較與的大小，并說明理由．算法是高考每年必考內(nèi)容，多以客觀題形式出現(xiàn)，難度為中等或中等以下，考查方式多為程序框圖，按題型劃分主要有求結(jié)果、填補(bǔ)過程、求輸入?yún)⒘咳?，并且此類問題常和其他知識(shí)交匯，其中與函數(shù)、三角、不等式、數(shù)列、概率與統(tǒng)計(jì)的交匯是高考熱點(diǎn)．【例1】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的屬于（）A．B．C．D．【練習(xí)1】關(guān)于函數(shù)的程序框圖如圖，現(xiàn)輸入?yún)^(qū)間，則輸出的區(qū)間是____________．【例2】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的取值范圍是（）A．B．C．D．【練習(xí)2】運(yùn)行如圖所示的流程圖，則輸出的結(jié)果是（）A．B．C．D．【例3】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的、，那么輸出的的最大值為（）A．0B．1C．2D．3【練習(xí)3】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的的值為1，則輸出的的值為____________．【例4】閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的值是（）A．9B．10C．11D．12【練習(xí)4】閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入的值為9，則輸出的值為____________．【例5】下圖是計(jì)算某年級(jí)500名學(xué)生期末考試（滿分為100分）及格率的程序框圖，則圖中空白框內(nèi)應(yīng)填入（）A．B．C．D．1、執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為（）A．2B．3C．4D．52、閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果是（）A．20B．21C．200D．2103、執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是（）A．B．C．D．4、執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出，則輸入角（）A．B．C．D．5、閱讀程序框圖，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，那么輸入的實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．6、某班有24名男生和26名女生，數(shù)據(jù)、、、是該班50名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平模擬考試中的成績(jī)（成績(jī)不為0），如圖所示的程序用來同時(shí)統(tǒng)計(jì)全班成績(jī)的平均數(shù)為，男生平均分為，女生平均分為，為了便于區(qū)別性別，輸入時(shí)，男生的成績(jī)用正數(shù)，女生的成績(jī)用其成績(jī)的相反數(shù)，那么在圖中空白的判斷框和處理框中，應(yīng)分別填入下列四個(gè)選項(xiàng)中的（）A．，B．，C．，D．，7、已知實(shí)數(shù)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于103的概率為（）A．B．C．D．8、如圖所示，算法框圖輸出的所有實(shí)數(shù)對(duì)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在函數(shù)（）A．的圖象上B．的圖象上C．的圖象上D．的圖象上9、設(shè)是一個(gè)各位數(shù)字都不是0且沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，將組成的3個(gè)數(shù)字按從小到大排成的三位數(shù)記為，按從大到小排成的三位數(shù)記為（例如，則，）．閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，任意輸入一個(gè)，輸出的結(jié)果____________．10、已知數(shù)列中，，，若利用如圖所示的程序框圖進(jìn)行運(yùn)算，則輸出的值為____________．復(fù)數(shù)在高考數(shù)學(xué)中所占的比重較小且難度不很大，一般以選擇題或填空題的形式進(jìn)行考查，但作為一個(gè)必考的知識(shí)點(diǎn)，它的考查方式卻十分靈活，具有常考常新，活而不難的特點(diǎn)．由于復(fù)數(shù)具有代數(shù)和三角兩種形式，它又與復(fù)平面的點(diǎn)之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，從而成為數(shù)形結(jié)合的重要橋梁，故而它常與其他知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合，比如與簡(jiǎn)易邏輯、與方程、與函數(shù)、與三角、與平面向量、與解析幾何等等，下面通過幾例說明復(fù)數(shù)與其他知識(shí)相結(jié)合的運(yùn)用，以供大家參考．【例1】設(shè)，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【練習(xí)1】若集合（是虛數(shù)單位），，則（）A．B．C．D．【例2】已知（為虛數(shù)單位）是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，則___________．【練習(xí)2】若（為虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程（、）的一個(gè)根，則的值為___________．【例3】復(fù)數(shù)滿足方程，那么復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程為___________．【練習(xí)3】若，且，則的最小值為___________．【例4】在復(fù)平面內(nèi)，記復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，若向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為___________．【練習(xí)4】復(fù)平面內(nèi)有、、三點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是___________．1、已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，且（其中是虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．2、歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)