新人教A版必修一 集合 復習 學案

集合與函數概念

學習目標1.構建知識網絡，理解其內在聯系；2。盤點重要技能，提煉操作要點；3.體會數學

思想，培養(yǎng)嚴謹靈活的思維能力.

要點歸納主干梳理點點落實

［知識網絡］

~?確定性?

_?概念?~?元素特性?--------1互并性?

―?無序性?

----------T列舉法

——表示方法T=I

----------T描述法|

集合

集

合

與

函

數

概

念

函數

.__________.——|單調性與最大（?。┲祙

_基本性質卜一.-------------

二---------I奇偶性I

q映射-I概念

［知識梳理］

1.本章基本技能梳理

本章用到以下技能：

（1）運算技能主要表現在求并交補集，求函數表達式、定義域、值域、最值、單調性和奇偶

性的證明和應用中大量的方程、不等式運算,以及式子的變形等.

（2）圖形處理技能包括識圖能力和作圖能力.識圖主要體現在給出Venn圖，數軸，函數圖象，

要能從中讀出相關信息；作圖能力體現在給出集合間的關系或運算，能用Venn圖或數軸表

示，給出函數解析式或性質，能畫出相應圖象.

(3)推理技能主要體現在給出子集、并集、交集、補集、函數、定義域、值域、最值、單調

性、奇偶性的定義，依據這些定義去證明或判斷具體的集合和函數問題.

課本還先給出大量具體例子讓同學們歸納出一般概念和結論，這叫歸納推理;還有一些類比：

如由增函數到減函數，由奇函數到偶函數，由具體函數到抽象函數等.

(4)數據處理表現在使用表格、圖象、Venn圖來收集整理數據，這樣可以更直觀，更便于

發(fā)現數據的內在規(guī)律.

(5)數學交流體現在使用了大量的文字、符號、圖形語言，用以刻畫集合的關系運算及函數

表示和性質，往往還需要在三種語言間靈活轉換，有意識地培養(yǎng)靈活選擇語言，清晰直觀而

又嚴謹地表達自己的想法，聽懂別人的想法，從而進行交流與合作.

(6)運用信息技術的技能主要表現在應用網絡資源拓展知識，了解數學史及發(fā)展前沿，以及

應用計算機強大的計算能力描點作圖探究新知等方面.

2.數學四大思想：函數與方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合思想，本章用到以下思

想方法：

(1)函數與方程思想體現在函數解析式部分，將實際問題中的條件轉化為數學模型，再通過

研究函數性質解決諸如最大、最優(yōu)等問題.

(2)轉化與化歸主要體現在集合部分符號語言、文字語言、圖形語言的轉化，函數中求定

義域大多轉化成解不等式,求值域大多可以化歸為求二次函數等基本函數的值域.

(3)分類討論主要體現在集合中對空集和區(qū)間端點的討論，函數中主要是欲去絕對值而正

負不定，含參數的函數式的各種性質的探討.

(4)數形結合主要體現在用數軸求并交補集，借助函數圖象研究函數性質.

題型探究重點難點個個擊破

類型一集合的綜合運算

例1已知集合4={xI0<xW2},B={xI

(1)若((RA)UB=R,求〃的取值范圍；

(2)是否存在a使([RA)03=11且4門8=0?

解(1)：A={x|0WxW2},

，[R4={xIx<0或x>2].

V(CRA)U8=R.

B

a02a+3

，錯誤！.?.一iWaWO。

(2)由(1)知([RA)U8=R時，

-iWaWO,而a+3￡[2,3],

.?.AUB,這與4nB=。矛盾.

即這樣的〃不存在.

反思與感悟借助數軸表達集合間的關系可以更直觀，但操作時要規(guī)范，如區(qū)間端點的順序、

虛實不能標反.

跟蹤訓練1已知全集1/={x|xW4},集合A={x[—2<xV3},集合B={x\—3<xW3},

求[4，ACiB,[u(AC8),([yA)08.

解把集合U及集合A,B分別在數軸上表示出來.

奇，"[_____.

-3-2-101234X

如圖，

[以={xIxW-2或3WxW4},AC8={x|-2<x<3},

[u(ACB)={xIxW—2或3<x<4},

(C(/A)l~lB—{xI—3<xW—2或x=3}.

類型二函數三要素在實際問題中的應用

例2某省兩相近重要城市之間人員交流頻繁，為了緩解交通壓力,特修一條專用鐵路，用一

列火車作為交通車，已知該車每次拖掛4節(jié)車廂，一天能來回16次，如果該車每次拖掛7

節(jié)車廂，則每天能來回10次.

(1)若每天來回的次數是車頭每次拖掛車廂節(jié)數的一次函數，求此一次函數的解析式和定義域;

(2)在(1)的條件下，每節(jié)車廂能載乘客110人.問這列火車每天來回多少次才能使運營人數最

多？并求出每天最多運營人數.

解(1)設每天來回y次，每次拖掛x節(jié)車廂，由題意設y=H+6(k￥0),當x=4時,y=16,當

x=7時，y=10,得到16=4化+瓦10=7上+6,解得后=-2力=24,，y=-2x+24.

依題意有錯誤！

解得定義域為{xCN|0WxW12}.

(2)設每天來回y次，每次拖掛x節(jié)車廂，由題意知，每天拖掛車廂最多時，運營人數最多，

設每天拖掛S節(jié)車廂，則S=xy=M—2x+24)=-2f+24x=—2(x—6)2+72,xG[0,12]

且XCN.所以當x=6時,Smax=72,此時y=12,則每日最多運營人數為110X72=7920(人).

故這列火車每天來回12次，才能使運營人數最多，每天最多運營人數為7920.

反思與感悟建立函數模型如本例(1)中的y=-2x+24,(2)中S=-2f+24x是借助函數研

究問題的第一步，在此過程中要善于抓住等量關系，并把等量關系中涉及的量逐步用變量表

示出來；在實際問題中，定義域不但受解析式的影響，還受實際含義約束，如本例中x不能

為負值，不能為錯誤!等.

跟蹤訓練2某糧店銷售大米，若一次購買大米不超過50kg時，單價為加元;若一次購買大米

超過50kg時，其超出部分按原價的90%計算，某人一次購買了xkg大米，其費用為y元，則y

與x的函數關系式y=o

答案錯誤！

解析當0WxW50時，當x>50時，y=50/n+(%—50)X90%-w=0.9>7ir+5/n.

類型三函數性質的綜合運用

例3函數f(x)的定義域為。={xIx#0},且滿足對于任意兩，X2^D,有段"2)=f5)

+fix2).

(1)求f(1)的值；

(2)判斷於)的奇偶性并證明你的結論；

(3)如果式4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+8)上是增函數，求x的取值范圍.

解(1)；對于任意片,X2&D,

有f(X「X2)=/3)+f(X2)，

???令X]=X2=i,得/(i)=母'(1),?*.y(1)=0o

(2?(x)為偶函數.

證明：令xi=x2=—1,有/(1)=x—i)+y(—1),

錯誤!犬1)=0.

令兩=一1,由=工有共一*)=/(—i)+yu),

?V(-%)=/(x),."(x)為偶函數.

(3)依題設有式4X4)=犬4)+/(4)=2,

由(2)知，?r)是偶函數，

：.f(x-l)<2?-/(Ix-l|)J(16).

又4x)在(0,+8)上是增函數.

.\0<|%-1|<16,解之得一15&V17且xWl.

；.尤的取值范圍是國一15a<17且xri}.

反思與感悟題目給出的條件是任意的，M,那么我們就可以根據自己的需要對XI,必任意賦值,

但關鍵是你得知道自己想要什么，即清楚自己的變形方向.

跟蹤訓練3對于函數大幻=/一2Ix\.

(1)判斷其奇偶性，并指出圖象的對稱性；

(2)畫此函數的圖象，并指出單調區(qū)間和最小值.

解(1)函數的定義域為R,關于原點對稱，

J(—x)=(—x)2—2I—xI=x2—2IxI.

則_A-x)=〃)，，f(x)是偶函數.

圖象關于y軸對稱.

(2)f(x)=x2-2|xI=錯誤!

畫出圖象如圖所示，

根據圖象知，函數人x)的最小值是一1,無最大值.

單調增區(qū)間是[-1,0],[1,+8)；單調減區(qū)間是(-8,一門，[0,門.

達標檢測當堂檢測鞏固反饋

1.已知集合加={xI-3<X<1},N={-3,—2,—1,0,1},則MGN等于0

A.{—2,-1,0,1}

B.{—3,—2,—190}

C.{—2,—1,0}

D.{-3,—2,—1)

答案C

解析運用集合的運算求解.MCN={-2,-1,0},故選C.

2.已知集合「={布=錯誤！}，集合。={如，=錯誤！},則尸與Q的關系是()

A.P=QB.PQ

C.PQD.PAQ=0

答案B

解析P={xI>=錯誤！}=[—1,+°°),Q={>僅=錯誤！}=[0,+°°),所以。P.

3.設函數/(x)=錯誤!則/(-4)=,若/(松)=8,則對=.

答案18一錯誤!或4

解析|-4)=(-4)2+2=18,

由f(沏)=8,得錯誤!或錯誤！

得心=一錯誤！，或刖=4。

4.已知集合A={x[2—aWxW2+a},B={xIxWl,或x》4}.

(1)當a=3時，求AC1B；

(2)若AC8=0,求實數a的取值范圍.

解(1)當a=3時，A—{x|—1WXW5},B={xIxWl,或x24},

.,.ACIB={X|-1WXW1,或4WxW5}.

(2)①若4=0,此時2—a>2+a,

.,.a<0,滿足4門8=0。

②當a20時，A={x\2-a^x^2+a}W。,

VADB=0,，錯誤！...OWaVl.

綜上可知，實數”的取值范圍是(一8,1).

f---------■■規(guī)律與方法■■---------1

1.集合中的元素的三個特征，特別是無序性和互異性在解題時經常用到.解題后要進行檢

驗，要重視符號語言與文字語言之間的相互轉化.

2.在判斷兩個函數是否為同一函數時，要緊扣兩點:一是定義域是否相同；二是對應關系是

否相同.

3.定義域優(yōu)先原則：函數定義域是研究函數的基礎依據，對函數性質的討論，必須在定義

域上進行.

4.函數解析式的幾種常用求法：待定系數法、換元法、配湊法、消去法.

40分鐘課時作業(yè)強化訓練拓展提升

一、選擇題

1。設全集U=R,W={xIx(-2,或x>2},N={x[l<x<3},則圖中陰影部分117

所表示的集合是()

A.{x|-2&<1}B.{xI—2WxW2}

C.{xI1CW2}D.{x\x{2}

答案C

解析陰影部分所表示集合是Nn([uM),

又?.,[〃/={X|-2WA<2},

：.NQ([uM)={x|l〈xW2}.

2.下列函數中，既是偶函數，又在(0,+8)上單調遞減的函數是()

A.y—x2B.y—x*12

I

23

C.y=xD.y=x

答案A

3.定義在R上的偶函數f(x),對任意x”檢6[0,+8)(西士忿)，有錯誤!<0，則()

A./(3)</(-2)勺⑴B../(l)<X-2)<f(3)

C./(-2)</,(1)</(3)D./(3)</(1)<7(-2)

答案A

解析由已知錯誤!<0,

得f(x)在xC［0,+8)上單調遞減，

由偶函數性質得了(3)<7(-2)</(1)，故選A。

4.函數/0)=以2+2(?-1)x+2在區(qū)間(一8,4］上為減函數，則a的取值范圍為()

A.0<aW錯誤!B.OWaW錯誤！

C.0<a<錯誤!D.a>錯誤！

答案B

解析當a#0時，函數f(x)的對稱軸為x=一錯誤!，

"-"fix')在(-8,4］上為減函數，

.?.圖象開口朝上，。>0且一錯誤！24,得0<aW錯誤！。

當a=0時/(x)=-2r+2,顯然在(一8,4］上為減函數.

5.給定映射聲(x,y)f(x+2y2x—y),在映射了下，(3,1)的原像為()

A.(1,3)B.(1,1)

C.(3,1)D.(錯誤!，錯誤！)

答案B

解析由錯誤！得錯誤！

6.已知函數f(x)是(-8,0)U(0,+8)上的奇函數，且當x<0時，函數的圖象如圖所

示，則不等式對Yx)<0的解集是()

A.(-2,-1)U(1,2)

B.(-2,-1)U(O,1)U(2,+8)

C.(-8,-2)U(-1,O)U(1,2)

D.(-00,-2)U(-l,0)U(0,1)U(2,+8)

答案D

7.函數y=/(x)對于任意x,yeR,有./(x+y)=/(x)+J(y)—11當x〉0時,/(x)>1,且/

(3)=4,則()

A.f(x)在R上是減函數，且./U)=3

B.f(x)在R上是增函數，且式1)=3

C.fix')在R上是減函數，且/(I)=2

D.f(x)在R上是增函數，且_/U)=2

答案D

解析設片氣，/(乃)-f(Xi)

=H(%2—Xl)+M]—f(X|)

=凡必一xi)+y(xi)—i—X-?i)—fix2—xi)—i.

V%2—X])0,又已知X〉0時/(x)〉1,

??f(X2—X|))1O

，/(X2)-,A-V|))0,即7(X|)(f(x2).

.V(x)在R上是增函數.

：/3)=式1+2)=/(l)+X2)-l

=yu)+ww(i)-i]-i

=3/(l)-2=4,

：.f(1)=2.

二、填空題

8.設集合A={x|l〈x<2},B={xIx<?},滿足AUB,則實數a的取值范圍是

答案{aI心2}

解析如圖，可知a22。

12ax

9.如果函數g(x)=錯誤!是奇函數，則f(x)=.

答案2r+3

解析設x<0,則一x>0,g(—x)——2x—3?

?；g(x)為奇函數,

.,./(.X)—g(x)=—g(—x)=2x+3.

10.己知定義在R上的奇函數滿足f(x)=X2+2X(X>0),若f(3一m2)牙(2機)，則實數機

的取值范圍是.

答案(一3,1)

解析因為函數/(X)=f+2x在［0,+8)上是增函數，又/(x)是R上的奇函數,所以了

G)是R上的增函數.要使/(3—病)?2m),只需3—毋〉2m,

解得一3<,"<1。

三、解答題

11.已知函數/(x)=錯誤!是定義在(一1,1)上的奇函數，且大錯誤！)=錯誤!?

(1)確定函數/U)的解析式；

⑵用定義證明:火X)在(一1,1)上是增函數；

(3)解不等式：f(r-1)+./(?)<0o

(1)解由題意，得錯誤！

即錯誤!=錯誤！

所以函數40=錯誤!.

(2)證明任取的用6(—1,1)且X|〈X2,則

(X］)=錯誤！一錯誤！

=錯誤!。

—1〈尤］<%2<1，

'.X2-X\)0,1+x錯誤！〉0,l+;v^誤!>0.

又1〈X］X2〈1,二1一西電〉0。

-V(x2)-f(Xi))0,故八必)〉於1).

.../(X)在(-1,1)上是增函數.

(3)解原不等式可化為

/(r-D