考研數(shù)學(xué)三（線性代數(shù)）模擬試卷6（共240題）

考研數(shù)學(xué)三（線性代數(shù)）模擬試卷6（共9套）（共240題）考研數(shù)學(xué)三（線性代數(shù)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、若α1，α2，α3線性相關(guān)，α2，α3，α4線性無(wú)關(guān)，則()．A、α1可由α2，α3線性表示B、α4可由α1，α2，α3線性表示C、α4可由α1，α3線性表示D、α4可由α1，α2線性表示標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣?，α3，α4線性無(wú)關(guān)，所以α2，α3線性無(wú)關(guān)，又因?yàn)棣?，α2，α3線性相關(guān)，所以α1可由α2，α3線性表示，選(A)．2、設(shè)向量組α1，α2，α3，α4線性無(wú)關(guān)，則向量組()．A、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1線性無(wú)關(guān)B、α1一α2，α2一α3，α3一α4，α4一α1線性無(wú)關(guān)C、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4一α1線性無(wú)關(guān)D、α1+α2，α2+α3，α3一α4，α4一α1線性無(wú)關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)橐?α1+α2)+(α2+α3)一(α3+α4)+(α4+α1)=0，所以α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1線性相關(guān)；因?yàn)?α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α4)+(α4一α1)=0，所以α1—α2，α2一α3，α3一α4，α4一α1線性相關(guān)；因?yàn)?α1+α2)一(α2+α3)+(α3一α4)+(α4一α1)=0，所以α1+α2，α2+α3，α3一α4，α4一α1線性相關(guān)，容易通過(guò)證明向量組線性無(wú)關(guān)的定義法得α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4一α1線性無(wú)關(guān)，選(C)．3、向量組α1，α2，…，αm線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是()．A、向量組α1，α2，…，αm，β線性無(wú)關(guān)B、存在一組不全為零的常數(shù)k1，k2，…，km，使得k1α1+k2α2+…+kmαm≠0C、向量組α1，α2，…，αm的維數(shù)大于其個(gè)數(shù)D、向量組α1，α2，…，αm的任意一個(gè)部分向量組線性無(wú)關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：(A)不對(duì)，因?yàn)棣?，α2，…，αm，β線性無(wú)關(guān)可以保證α1，α2，…，αm線性無(wú)關(guān)，但α1，α2，…，αm線性無(wú)關(guān)不能保證α1，α2，…，αm，β線性無(wú)關(guān)；(B)不對(duì)，因?yàn)棣?，α2，…，αm線性無(wú)關(guān)可以保證對(duì)任意一組非零常數(shù)k1，k2，…，km，有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0，但存在一組不全為零的常數(shù)k1，k2，…，km使得k1α1+k2α2+…+kmαm≠0不能保證α1，α2，…，αm線性無(wú)關(guān)；(C)不對(duì)，向量組α1，α2，…，αm線性無(wú)關(guān)不能得到其維數(shù)大于其個(gè)數(shù)，如α2=線性無(wú)關(guān)，但其維數(shù)等于其個(gè)數(shù)，選(D)．4、設(shè)向量組α1，α2，…，αm線性無(wú)關(guān)，β1可由α1，α2，…，αm線性表示，但β2不可由α1，α2，…，αm線性表示，則()．A、α1，α2，…，αm-1，β1線性相關(guān)B、α1，α2，…，αm-1，β1，β2線性相關(guān)C、α1，α2，…，αm，β1+β2線性相關(guān)D、α1，α2，…，αm，β1+β2線性無(wú)關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：(A)不對(duì)，因?yàn)棣?可由向量組α1，α2，…，αm線性表示，但不一定能被α1，α2，…，αm-1線性表示，所以α1，α2，…，αm-1，β1不一定線性相關(guān)；(B)不對(duì)，因?yàn)棣?，α2，…，αm-1，β1不一定線性相關(guān)，β2不一定可由α1，α2，…，αm-1，β1線性表示，所以α1，α2，…，αm-1，β1，β2不一定線性相關(guān)；(C)不對(duì)，因?yàn)棣?不可由α1，α2，…，αm線性表示，而β1可由α1，α2，…，αm線性表示，所以β1+β2不可由α1，α2，…，αm線性表示，于是α1，α2，…，αm，β1+β2線性無(wú)關(guān)，選(D)．5、設(shè)n維列向量組α1，α2，…，αm(m1，β2，…，βm線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是()．A、向量組α1，α2，…，αm可由向量組β1，β2，…，βm線性表示B、向量組β1，β2，…，βm可由向量組α1，α2，…，αm線性表示C、向量組α1，α2，…，αm與向量組β1，β2，…，βm等價(jià)D、矩陣A=(α1，α2，…，αm)與矩陣B=(β1，β2，…，βm)等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣?，α2，…，αm線性無(wú)關(guān)，所以向量組α1，α2，…，αm的秩為m，向量組β1，β2，…，βm線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是其秩為m，所以選(D)．6、設(shè)α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)，β1可由α1，α2，α3線性表示，β2不可由α1，α2，α3線性表示，對(duì)任意的常數(shù)k有()．A、α1，α2，α3，kβ1+β2線性無(wú)關(guān)B、α1，α2，α3，kβ1+β2線性相關(guān)C、α1，α2，α3，β1+kβ2線性無(wú)關(guān)D、α1，α2，α3，β1+kβ2線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣?可由α1，α2，α3線性表示，β2不可由α1，α2，α3線性表示，所以kβ1+β2一定不可以由向量組α1，α2，α3線性表示，所以α1，α2，α3，kβ1+β2線性無(wú)關(guān)，選(A)．7、設(shè)n階矩陣A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，…，γn)，記向量組(I)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βn；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，若向量組(Ⅲ)線性相關(guān)，則()．A、(I)，(Ⅱ)都線性相關(guān)B、(I)線性相關(guān)C、(Ⅱ)線性相關(guān)D、(I)，(Ⅱ)至少有一個(gè)線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若α1，α2，…，αn線性無(wú)關(guān)，β1，β2，…，βn線性無(wú)關(guān)，則r(A)=n，r(B)=n，于是r(AB)=n．因?yàn)棣?，γ2，…，γn線性相關(guān)，所以r(AB)=r(γ1，γ2，…，γn)1，α2，…，αn與β1，β2，…，βn至少有一個(gè)線性相關(guān)，選(D)．8、設(shè)向量組(I)：α1，α2，…，αs的秩為r1，向量組(Ⅱ)：β1，β2，…，βs的秩為r2，且向量組(Ⅱ)可由向量組(I)線性表示，則()．A、α1+β1，α2+β2，…，αs+βs的秩為r1+r2B、向量組α1一β1，α2一β2，…，αs一βs的秩為r1一r2C、向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩為r1+r2D、向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩為r1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)橄蛄拷Mβ1，β2，…，βs可由向量組α1，α2，…，αs線性表示，所以向量組α1，α2，…，αs，與向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs等價(jià)，選(D)．9、向量組α1，α2，…，αs線性無(wú)關(guān)的充要條件是()．A、α1，α2，…，αs都不是零向量B、α1，α2，…，αs中任意兩個(gè)向量不成比例C、α1，α2，…，αs中任一向量都不可由其余向量線性表示D、α1，α2，…，αs中有一個(gè)部分向量組線性無(wú)關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：若向量組α1，α2，…，αs線性無(wú)關(guān)，則其中任一向量都不可由其余向量線性表示，反之，若α1，α2，…，αs中任一向量都不可由其余向量線性表示，則α1，α2，…，αs一定線性無(wú)關(guān)，因?yàn)槿籀?，α2，…，αs線性相關(guān)，則其中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示，選(C)．10、設(shè)A為n階矩陣，且|A|=0，則A()．A、必有一列元素全為零B、必有兩行元素對(duì)應(yīng)成比例C、必有一列是其余列向量的線性組合D、任一列都是其余列向量的線性組合標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閨A|=0，所以r(A)＜n，從而A的n個(gè)列向量線性相關(guān)，于是其列向量中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示，選(C)．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)11、設(shè)線性相關(guān)，則a=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：α1，α2，α3線性相關(guān)的充分必要條件是從而知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)向量組α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)，且α1+aα2+4α3，2α1+α2一α3，α2+α3線性相關(guān)，則α=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(α1+aα2+4α3，2α1+α2一α3，α2+α3)=(α1，α2，α3)因?yàn)棣?，α2，α3線性無(wú)關(guān)，而α1+aα2+4α3，2α1+α2一α3，α2+α3線性相關(guān)，所以即解得a=5．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)且α，β，γ兩兩正交，則a=__________，b=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)棣粒?，γ正交，所以解得a=一4，b=一13．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)A=(α1，α2，α3，α4)為4階方陣，且AX=0的通解為X=k(1，1，2，一3)T，則α2由α1，α3，α4表示的表達(dá)式為_(kāi)___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?1，1，2，一3)T為AX=0的解，所以α1+α2+2α3—3α4=0，故α2=一α1—2α3+3α4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)15、設(shè)向量組α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)，證明：α1+α2+α3，α1+2α2一F3α3，α1+4α2+9α3線性無(wú)關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一令k1(α1+α2+α3)+k2(α1+2α2+3α3)+k3(α1+4α2+9α3)=0，即(k1+k2+k3)α1+(k1+2k2+4k3)α2+(k1+3k2+9k3)α3=0，因?yàn)棣?，α2，α3線性無(wú)關(guān)，所以有而由克拉默法則得k1=k2=k3=0，所以α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3線性無(wú)關(guān)．方法二令A(yù)=(α1，α2，α3)，B=(α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3)，則因?yàn)榭赡妫詒(B)=r(A)=3，故α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3線性無(wú)關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)α1，…，αm，β為m+1個(gè)n維向量，β=α1+…+αm(m＞1)．證明：若α1，…，αm線性無(wú)關(guān)，則β一α1，…，β一αm線性無(wú)關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令k1(β一α1)+…+km(β一αm)=0，即k1(α2+α3+…+αm)+…+km(α1+α2+…+αm-1)=0或(k2+k3+…+km)α1+(k1+k3+…+km)α2+…+(k1+k2+…+km-1)αm=0，因?yàn)棣?，…，αm線性無(wú)關(guān)，所以因?yàn)樗詋1=…=km=0，故β一α1，…，β一αm線性無(wú)關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)α1，α2，…，αn(n≥2)線性無(wú)關(guān)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，α1+α2，α2+α3，…，αn+α1線性無(wú)關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)有x1，x2，…，xn，使x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+…+xn(αn+α1)=0，即(x1+xn)α1+(x1+x2)α2+…+(xn-1+xn)αn=0，因?yàn)棣?，α2，…，αn線性無(wú)關(guān)，所以有該方程組系數(shù)行列式Dn=1+(一1)n+1，n為奇數(shù)α1+α2，α2+α3，…，αn+α1線性無(wú)關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)α1，…，αn為n個(gè)m維向量，且m＜n．證明：α1，…，αn線性相關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一向量組α1，…，αn線性相關(guān)的充分必要條件是方程組x1α1+…+xnαn=0有非零解，因?yàn)榉匠探Mx1α1+…+xnαn=0中變量有n個(gè)，約束條件最多有m個(gè)且m1α1+…+xnαn=0一定有自由變量，即方程組有非零解，故向量組α1，…，αn線性相關(guān)．方法二令A(yù)=(α1，…，αn)，r(A)≤min(m，n)=m1，…，αn的秩不超過(guò)m，于是向量組α1，…，αn線性相關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、證明：若一個(gè)向量組中有一個(gè)部分向量組線性相關(guān)，則該向量組一定線性相關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)α1，…，αn為一個(gè)向量組，且α1，…，αr(r＜n)線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù)k1，…，kr，使得k1α1+…+krαr=0，于是k1α1+…+krαr+0αr+1+…+0αn=0，因?yàn)閗1，…，kr，0，…，0不全為零，所以α1，…，αn線性相關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、n維列向量組α1，…，αn-1線性無(wú)關(guān)，且與非零向量β正交．證明：α1，…，αn-1，β線性無(wú)關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令k0β+k1α1+…+kn-1αn-1=0，由α1，…，αn-1與非零向量β正交及(β，k0β+k1α1+…+kn-1αn-1)=0得k0(β，β)=0，因?yàn)棣聻榉橇阆蛄?，所?β，β)=|β|2＞0，于是k0=0，故k1α1+…+kn-1αn-1=0，由α1，…，αn-1線性無(wú)關(guān)得k1=…n-1=0，于是α1，…，αn-1，β線性無(wú)關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)向量組α1，…，αn為兩兩正交的非零向量組，證明：α1，…，αn線性無(wú)關(guān)，舉例說(shuō)明逆命題不成立．標(biāo)準(zhǔn)答案：令k1α1+…+knαn=0，由α1，…，αn兩兩正交及(α1，k1α1+…+knαn)=0，得k1(α1，α1)=0，而(α1，α1)=|α1|2＞0，于是k1=0，同理可證k2=…=kn=0，故α1，…，αn線性無(wú)關(guān)．令顯然α1，α2線性無(wú)關(guān)，但α1，α2不正交．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)A為n×m矩陣，B為m×n矩陣(m＞n)，且AB=E．證明：B的列向量組線性無(wú)關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先r(B)≤min{m，n)=n，由AB=E得r(AB)=n，而r(AB)≤r(B)，所以r(B)≥n，從而r(B)=n，于是B的列向量組線性無(wú)關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn線性無(wú)關(guān)，而向量組α1，α2，…，αm，γ線性相關(guān)．證明：向量y可由向量組α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn線性表示．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)橄蛄拷Mα1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn線性無(wú)關(guān)，所以向量組α1，α2，…，αm也線性無(wú)關(guān)，又向量組α1，α2，…，αm，γ線性相關(guān)，所以向量γ可由向量組α1，α2，…，αm線性表示，從而γ可由向量組α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn線性表示．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)向量組線性相關(guān)，但任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，求參數(shù)t．標(biāo)準(zhǔn)答案：向量組α1，α2，α3線性相關(guān)的充分必要條件是|α1，α2，α3|=0，而所以t=一1或者t=一5，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)向量線性無(wú)關(guān)，所以t=一5．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)α1，α2，…，αn為n個(gè)線性無(wú)關(guān)的n維向量，且與向量β正交．證明：向量β為零向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一令因?yàn)棣?，α2，…，αn與β正交，所以Aβ=0，即β為方程AX=0的解，而α1，α2，…，α2線性無(wú)關(guān)，所以r(A)=n，從而方程組AX=0只有零解，即β=0．方法二(反證法)不妨設(shè)β≠0，令k1α1+k2α2+…+knαn+k0β=0，上式兩邊左乘βT得k1βTα1+k2βTα2+…+knβTαn+k0βTβ=0因?yàn)棣?，α2，…，αn與β正交，所以k0βTβ=0，即k0|β|2=0，從而k0=0，于是k1α1+k2α2+…+knαn=0，再由α1，α2，αn線性無(wú)關(guān)，得k1=k2=…=kn=0，故α1，α2，…，αn，β線性無(wú)關(guān)，矛盾(因?yàn)楫?dāng)向量的個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)時(shí)向量組一定線性相關(guān))，所以β=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)A為n階矩陣，α1，α2，α3為n維列向量，其中α1≠0，且Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3，證明：α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由Aα1=α1得(A—E)α1=0；由Aα2=α1+α2得(A—E)α2=α1；由Aα3=α2+α3得(A—E)α3=α2，令k1α1+k2α2+k3α3=0，(1)(1)兩邊左乘A—E得k2α1+k3α2=0，(2)(2)兩邊左乘A—E得k3α1=0，因?yàn)棣?≠0，所以k=30，代入(2)，(1)得k1=0，k2=0，故α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（線性代數(shù)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、下列矩陣中，正定矩陣是A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：正定的必要條件aii＞0，可排除(A)、(D)．(B)中△2=0與順序主子式全大于0相矛盾，排除(B)．故應(yīng)選(C)．2、矩陣合同于A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由矩陣A的特征多項(xiàng)式知矩陣A的特征值為1，3，一2．即二次型正慣性指數(shù)p=2，負(fù)慣性指數(shù)q=1．故應(yīng)選(B)．3、設(shè)則A與BA、合同且相似．B、合同但不相似．C、不合同但相似．D、不合同也不相似．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由｜λE—A｜=λ3一3λ2，知矩陣A的特征值為3，0，0．又因A是實(shí)對(duì)稱矩陣，A必能相似對(duì)角化，所以A～B．因?yàn)锳，B有相同的特征值，從而有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)，所以A≌B．故應(yīng)選(A)．4、設(shè)A，B均為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則A與B合同的充要條件是A、A，B有相同的特征值．B、A，B有相同的秩．C、A，B有相同的行列式．D、A，B有相同的正負(fù)慣性指數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：(A)是充分條件．特征值一樣→有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)→合同．但不是必要條件．例如，特征值不同，但A≌B．(B)是必要條件．由CTAC=B，C可逆→r(A)=r(B)，但不是充分條件．例如雖r(A)=r(B)，但正負(fù)慣性指數(shù)不同．故A與曰不合同．(C)既不必要也不充分．例如行列式不同但合同，又如雖行列式相同但不合同．故應(yīng)選(D)．5、二次型xTAx正定的充要條件是A、負(fù)慣性指數(shù)為零．B、存在可逆矩陣P，使P-1AP=E．C、A的特征值全大于零．D、存在n階矩陣C，使A=CTC．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：(A)是正定的必要條件．若f(x1，x2，x3)=x12+5x32，雖q=0，但f不正定．(B)是充分條件．正定并不要求特征值全為1．雖不和單位矩陣E相似，但二次型xTAx正定．(D)中沒(méi)有矩陣C可逆的條件，也就推導(dǎo)不出A與E合同，例如，則xTAx不正定．故應(yīng)選(C)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)6、二次型f(x1，x2，x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)2的矩陣是__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：f(x1，x2，x3)=a12x12+a22x22+a32x32+2a1a2x1x2+2a1a3x1x3+2a2a3x2x3，二次型矩陣7、二次型f(x1，x2，x3)=x22+2x1x3的負(fù)慣性指數(shù)q=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：q=1知識(shí)點(diǎn)解析：令故(I)是坐標(biāo)變換，那么經(jīng)此變換二次型化為f=y22+2(y1+y3)(y1一y3)=2y12+y22一2y32．所以負(fù)慣性指數(shù)q=1．8、若二次型2x12+x22+x32+2x1x2+2tx2x3的秩為2，則t=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：r(f)=2，即r(A)=2．因｜A｜中有2階子式，由9、已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+cx32+2ax1x2+2x1x3經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形y12+2y32，則a=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣分別是在正交變換下二次型矩陣A和標(biāo)準(zhǔn)形矩陣A不僅合同，而且相似．于是由10、設(shè)三元二次型x12+x22+5x32+2tx1x2—2x1x3+4x2x3是正定二次型，則t∈__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、已知矩陣B=A+kE正定，則k的取值為_(kāi)_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：k＞0知識(shí)點(diǎn)解析：由矩陣A的特征值為3，0，0，知矩陣B的特征值為k+3，k，k．又B正定三、解答題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)12、求正交變換化二次型x12+x22+x32一4x1x2—4x2x3—4x1x3為標(biāo)準(zhǔn)形．標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型矩陣由特征多項(xiàng)式得特征值為λ1=λ2=3，λ3=一3．由(3E—A)x=0得基礎(chǔ)解系α1=(一1，1，0)T，α2=(一1，0，1)T，即λ=3的特征向量是α1，α2．由(一3E—A)x=0得基礎(chǔ)解系α3=(1，1，1)T．對(duì)α1，α2經(jīng)Schmidt正交化，有單位化，得那么，令x=Qy，其中Q=(γ1，γ2，γ3)，則有f(x1，x2，x3)=xTAx=yTAy=3y12+3y22一3y32．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、二次型f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+cx32一2x1x2—6x2x3+6x1x3的秩為2，求c及此二次型的規(guī)范形，并寫(xiě)出相應(yīng)的變換．標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型矩陣由二次型的秩為2，即矩陣A的秩r(A)=2，則有｜A｜=24(c一3)=0→c=3．用配方法求規(guī)范形和所作變換．=f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+3x32一2x1x2+6x1x3—6x2x3=3(x3+x1一x2)2一3(x1一x2)2+5x12+5x22一2x1x2=3(x1—x2+x3)2+2x12+2x22+4x1x2=3(x1一x2+x3)2+2(x1+x2)2令則f(x1，x2，x3)=y12+y22，為規(guī)范二次型．所作變換為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，若對(duì)任意的n維列向量α恒有αTAα=0，證明A=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：維向量α恒有αTAα=0，那么令α1=(1，0，0，…，0)T，有類似地，令αi=(0，0，…，0，1，0，…，0)T(第i個(gè)分量為1)，由αiTAαi=aii=0(i=1，2，…，n)．令α12=(1，1，0，…，0)T，則有故α12=0．類似可知αij=0(i，j=1，2，…，n)．所以A=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、若A是n階正定矩陣，證明A-1，A*也是正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：因A正定，所以AT=A．那么(A一1)T=(AT)一1=A一1，即A一1是實(shí)對(duì)稱矩陣．設(shè)A的特征值是λ1，λ2，…，λn，那么A一1的特征值是由A正定知λi＞0(i=1，2，…，n)．因此A一1的特征值從而A一1正定．A*=｜A｜A一1，｜A｜＞0，則A*也是實(shí)對(duì)稱矩陣，并且特征值為都大于0．從而A*正定．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)A是m×n實(shí)矩陣，r(A)=n，證明ATA是正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：由(ATA)T=AT(AT)T=ATA，知ATA是實(shí)對(duì)稱矩陣．又r(A)=n，，恒有Aα≠0．從而αT(ATA)α=(Aα)T(Aα)=‖Aα‖2＞0．故ATA正定．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)A是n階正定矩陣，證明｜A+2E｜＞2n．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)矩陣A的特征值是λ1，λ2，…，λn．因?yàn)锳正定，故特征值λi＞0(i=1，2，…，n).又A+2E的特征值是λ1+2，λ2+2，…，λn+2，所以｜A+2E｜=(λ1+2)(λ2+2)…(λn+2)＞2n．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、已知是正定矩陣，證明標(biāo)準(zhǔn)答案：令C=C1C2，則C是可逆矩陣，且CTAC=CTCTAC1C2=則A=B．由于A正定，故B正定，從而B(niǎo)的順序主子式△＞0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（線性代數(shù)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)齊次線性方程組經(jīng)高斯消元化成的階梯形矩陣是則自由變量不能取成A、x4，x5．B、x2，x3．C、x2，x4．D、x1，x3．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：自由未知量選擇的原則是：其它未知量可用它們唯一確定．如果選擇x4,x5，對(duì)應(yīng)齊次方程組寫(xiě)作顯見(jiàn)把x4，x5當(dāng)作參數(shù)時(shí)，x1，x2，x3不是唯一確定的．因此x4，x5不能唯一確定x1，x2，x3，它們不能取為自由變量．選(A)．2、設(shè)A是m×n矩陣，則下列命題正確的是A、如m＜n，則Ax=b有無(wú)窮多解．B、如Ax=0只有零解，則Ax=b有唯一解．C、如A有n階子式不為零，則Ax=0只有零解．D、Ax=b有唯一解的充要條件是r(A)=n．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：如m＜n，齊次方程組Ax=0有無(wú)窮多解，而線性方程組可以無(wú)解，兩者不要混淆，請(qǐng)舉簡(jiǎn)單反例．如Ax=0只有零解，則r(A)=n，但由r(A)=n推斷不出r(A｜b)=n，因此Ax=b可以無(wú)解．例如前者只有零解，而后者無(wú)解．故(B)不正確．關(guān)于(D)，Ax=b有唯一解r(A)=r(A｜b)=n．由于r(A)=n→r(A｜b)=n，例子同上．可見(jiàn)(D)只是必要條件，并不充分．(C)為何正確?除用排除法外，你如何證明．3、已知η1，η2,η3，η4是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則此方程組的基礎(chǔ)解系還可以是A、η1+η2，η2+η3，η3+η4，η4+η1．B、η1，η2，η3+η4，η3一η4．C、η1，η2,η3，η4的一個(gè)等價(jià)向量組．D、η1，η2,η3，η4的一個(gè)等秩的向量組．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：向量組(A)線性相關(guān)，(A)不正確．η1，η2,η3，η4，η1+η2與η1，η2,η3，η4等價(jià)．但前者線性相關(guān)，故(C)不正確．等秩的向量組不一定能互相線性表出，因而可能不是方程組的解，故(D)不正確．選(B)．4、設(shè)A是5×4矩陣，A=(α1,α2,α3,α4)，若η1=(1，1，一2，1)T，η2=(0，1，0，1)T是Ax=0的基礎(chǔ)解系，則A的列向量組的極大線性無(wú)關(guān)組可以是A、α1，α3．B、α2，α4．C、α2，α3．D、α1，α2，α4．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由Aη1=0，知α1+α2—2α3+α4=0．①由Aη2=0，知α2+α4=0．②因?yàn)閚—r(A)=2，故必有r(A)=2．所以可排除(D)．由②知，α2，α4線性相關(guān)．故應(yīng)排除(B)．把②代入①得α1—2α3=0，即α1，α3線性相關(guān)，排除(A)．如果α2,α3線性相關(guān)，則r(α1,α2,α3,α4)=r(一2α3，α2，α3，一α2)=r(α2，α3)=1與r(A)=2相矛盾．所以選(C)．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)5、已知方程組有無(wú)窮多解，則a=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：a=一5知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)增廣矩陣作初等行變換，有當(dāng)a=一5時(shí)，，方程組有無(wú)窮多解．6、已知方程組總有解，則λ應(yīng)滿足__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)任意b1，b2，b3，方程組有解．而由7、四元方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系是__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(0，0，1，0)T，(一1，1，0，1)T．知識(shí)點(diǎn)解析：n一r(a)=4—2=2．取x3，x4為自由變量：令x3=1，x4=0得x2=0，x1=0；令x3=0，x4=1得x2=1，x1=一1，所以基礎(chǔ)解系是(0，0，1，0)T，(一1，1，0，1)T．8、四元方程組Ax=b的三個(gè)解是α1,α2,α3，其中α1=(1，1，1，1)T，α2+α3=(2，3，4，5)T，如r(A)=3，則方程組Ax=b的通解是__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T．知識(shí)點(diǎn)解析：由(α2+α3)一2α1=(α2一α1)+(α3一α1)=(2，3，4，5)T一2(1，1，1，1)T=(0，1，2，3)T，知(0，1，2，3)T是Ax=0的解．又秩r(A)=3，n—r(A)=1，所以Ax=b的通解是(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T．9、設(shè)A為三階非零矩陣，且AB=0，則Ax=0的通解是__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：c1(1，4，3)T+c2(一2，3，1)T，c1，c2任意知識(shí)點(diǎn)解析：由AB=0得r(a)+r(B)≤3．顯然r(B)≥2，r(A)>0，因而r(A)=1，n一r(a)=2．又AB=0說(shuō)明B的每個(gè)到向量都是AX=0的解，取它的1，3兩列作為基礎(chǔ)解系，得AX=0的通解c1(1，4，3)T+c2(一2，3，1)T，c1，c2任意．10、設(shè)A*是A的伴隨矩陣，則A*x=0的通解是__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T．知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)橹萺(a)=2，所以行列式｜A｜=0，并且r(A*)=1．那么A*A=｜A｜E=0，所以A的列向量是A*x=0的解．又因r(A*)=1，故A*x=0的通解是k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T．11、已知α1，α2，…，αt都是非齊次線性方程組Ax=b的解，如果c1α1+c2α2+…+ctαt仍是Ax=b的解，則c1+c2+…+ct=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣羒是Ax=b的解，所以，Aαi=b．若c1α1+c2α2+…+ctαt是Ax=b的解，則A(c1α1+c2α2+…+ctαt)=c1Aα1+c2Aα2+…+ctAαt=(c1+c2+…+ct)b=b．故c1+c2+…+ct=1．12、已知方程組的通解是(1，2，一1，0)T+k(一1，2，一1，1)T，則a=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：因(1，2，一1，0)T是Ax=b的解，則將其代入第2個(gè)方程可求出b=1．因(一1，2，一1，1)T是Ax=0的解，則將其代入第1個(gè)方程可求出a=3．13、已知ξ1=(一3，2，0)T，ξ2=(一1，0，一2)T是方程組的兩個(gè)解，則此方程組的通解是__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(一3，2，0)T+k(一1，1，1)T知識(shí)點(diǎn)解析：由于矩陣A中有2階子式不為0，故秩r(A)≥2．又ξ1一ξ2是Ax=0的非零解，知r(A)＜3．故必有r(A)=2．于是n一r(A)=1．所以方程組通解是：(一3，2，0)T+k(一1，1，1)T．三、解答題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)14、求齊次方程組的基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)系數(shù)矩陣作初等變換，有當(dāng)a≠1時(shí)，r(A)=3，取自由變量x4得x4=1，x3=0，x2=一6，x1=5．基礎(chǔ)解系是(5，一6，0，1)T．當(dāng)a=1時(shí)，r(A)=2．取自由變量x3，x4，則由x3=1，x4=0得x2=一2，x1=1，x3=0，x4=1得x2=一6，x1=5，知基礎(chǔ)解系是(1，一2，1，0)T，(5，一6，0，1)T．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、求線性方程組的通解，并求滿足條件x12=x22的所有解．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)增廣矩陣作初等行變換，有方程組的解：令x3=0，x4=0得x2=1，x1=2．即α=(2，1，0，0)T．導(dǎo)出組的解：令x3=1，x4=0得x2=3，x1=1．即η1=(1，3，1，0)T；令x3=0，x4=1得x2=0，x1=一1．即η2=(一1，0，0，1)T．因此方程組的通解是：(2，1，0，0)T+k1(1，3，1，0)T+k2(一1，0，0，1)T．而其中滿足x12=x22的解，即(2+k1一k2)2=(1+3k1)2．那么2+k1一k2=1+3k1或2+k1一k2=一(1+3k1)，即k2=1—2k1或k2=3+4k1．所以(1，1，0，1)T+k(3，3，1，一2)T和(一1，1，0，3)T+k(一3，3，1，4)T為滿足x12=x22的所有解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、當(dāng)a，b取何值時(shí)，方程組有唯一解，無(wú)解，有無(wú)窮多解?當(dāng)方程組有解時(shí)，求其解．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)增廣矩陣作初等行變換，有(I)當(dāng)a≠0，且b≠3時(shí)，方程組有唯一解(Ⅱ)當(dāng)a=0時(shí)，方程組均無(wú)解．(Ⅲ)當(dāng)a≠0，b=3時(shí)，方程組有無(wú)窮多解知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、已知a，b，c不全為零，證明方程組只有零解．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)橄禂?shù)行列式所以齊次方程組只有零解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)A是n階矩陣，證明方程組Ax=b對(duì)任何b都有解的充分必要條件是｜A｜≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：必要性．對(duì)矩陣A按列分塊A=(α1,α2，…，αn)，則，Ax=b有解→α1,α2，…，αn可表示任何n維向量b→α1,α2，…，αn可表示e1=(1，0，0，…，0)T，e2=(0，1，0，…，0)T，…，en=(0，0，0，…，1)T→r(α1,α2，…，αn)≥r(e1，e2，…，en)=n→r(A)=n．所以｜A｜≠0．充分性．由克萊姆法則，行列式｜A｜≠0時(shí)方程組必有唯一解，故，Ax=b總有解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、證明：與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組也是基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)Ax=0的基礎(chǔ)解系是α1,α2，…，αt．若β1β2，…，βs線性無(wú)關(guān)，β1β2，…，βs與α1,α2，…，αt等價(jià)．由于βj(j=1，2，…，s)可以由α1,α2，…，αt線性表示，而αi(i=1，…，t)是Ax=0的解，所以β1(j=1，2，…，s)是Ax=0的解．因?yàn)棣?,α2，…，αt線性無(wú)關(guān)，秩r(α1,α2，…，αt)=t，又α1,α2，…，αt，與β1β2，…，βs等價(jià)，所以r(β1β2，…，βs)=r(α1,α2，…，αt)=t．又因β1β2，…，βs線性無(wú)關(guān)，故s=t．因此β1β2，…，βt是Ax=0的基礎(chǔ)解系．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（線性代數(shù)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)對(duì)方陣A施行初等初換得到方程B，且｜A｜≠0，則【】A、必有｜B｜＝｜A｜．B、必有｜B｜≠｜A｜．C、必有｜B｜≠0．D、｜B｜＝0或｜B｜≠0依賴于所作初等變換．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、設(shè)n階方陣A、B、C滿足關(guān)系式ABC＝E，其中E為n階單位矩陣，則必有【】A、ACB＝EB、CBA＝EC、BAC＝ED、BCA＝E標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)條件A(BC)＝E，知A與BC互為逆矩陣，BCA＝E．3、則必有【】A、AP1P2＝BB、AP2P1＝BC、P1P2A＝BD、P2P1A＝B標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：注意依次對(duì)A施行下列兩種初等行變換，即得矩陣B：先將A的第1行加到第3行，再將所得矩陣的1、2兩行互換．兩次初等行變換所對(duì)應(yīng)的初等方陣依次為P2、P1，故有B＝P1P2A．4、設(shè)A、B、A＋B、A-1＋B-1均為n階可逆陣，則(A-1＋B-1)-1【】A、A-1＋B-1B、A＋BC、A(A＋B)-1BD、(A＋B)-1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由(A-1＋B-1)[A(A＋B)-1B]＝(E＋B-1A)(A＋B)-1B＝B-1(B＋A)(A＋B)-1B＝B-1B＝E，或A(A＋B)-1B＝[B-1(A＋B)A-1]-1＝(B-1AA-1＋B-1BA-1)-1＝(B-1＋A-1)-1＝(A-1＋B-1)-1即知只有C正確．二、填空題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)5、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(a1a4－b1b4)(a2a3－b2b3)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1－χ2－y2－z2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：n!(2－n)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：a＋(－1)n+1bn知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ4知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1－a＋a2－a3＋a4－a5知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、行列式的第4行各元素的余子式之和的值為_(kāi)______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－28知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、方程f(χ)＝＝0的全部根是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1，2，3知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、方程f(χ)＝＝0的實(shí)根為_(kāi)______．標(biāo)準(zhǔn)答案：t＝6知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、方程f(χ)＝＝0的全部根是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ＝0，χ＝1．f(χ)＝5χ(χ－1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)4階矩陣A＝[α1β1β2β3]，B＝[α2β1β2β3]，其中α1，α2，β1，β2，β3均為4維列向量，且已知行列式｜A｜＝4，｜B｜＝1，則行列式｜A＋B｜＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：40知識(shí)點(diǎn)解析：(1)｜A＋B｜＝｜α1＋α22β12β22β3｜＝8(｜α1β1β2β3｜＋｜α2β1β2β3｜)＝(｜A｜＋｜B｜)＝8(4＋1)＝40．16、設(shè)矩陣A＝，I為3階單位矩陣，則(A－2I)-1＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、已知α＝(1，2，3)，β＝(1，)，矩陣A＝αTβ，n為正整數(shù)，則A*＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：An＝(αTβ)(αTβ)…(αTβ)(αTβ)＝αT(βαT)…(βαT)β＝αT3n-1β＝3n-1αTβ＝19、設(shè)3階方陣A、B滿足關(guān)系式A-1BA＝6A＋RA，其中A＝，則B＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：B＝(A-1－E)-1＝6AA-1＝6(A-1－E)-1＝三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)20、設(shè)行列式D＝不具體計(jì)算D，試?yán)眯辛惺降亩x證明D＝0．標(biāo)準(zhǔn)答案：按定義D＝，其中分別取自D的第3、第4、第5行和D的3個(gè)不同列，而D的后3行中取自3個(gè)不同列的元素中最多有2個(gè)不為零，最少有1個(gè)為零，即這3個(gè)數(shù)中至少有1個(gè)為零，因而D的展開(kāi)式中每一項(xiàng)都為零，從而知D＝0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A滿足A2＝O，證明：A＝O．標(biāo)準(zhǔn)答案：A2＝AAT＝O的(i，i)元素為：0＝＝0(i，j＝1，2，…，n)，即A＝O．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)B是元素全都為1的n階方陣(n＞1)．證明：(E－B)-1＝E－B．標(biāo)準(zhǔn)答案：其中B2＝nB，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)A、B都是n階方陣，且A2＝E，B2＝E，｜A｜＋｜B｜＝0，證明：｜A＋B｜＝0．標(biāo)準(zhǔn)答案：A2＝E，｜A｜＝±1，同理有｜B｜＝±1，又｜A｜＝｜B｜，｜A｜｜B｜＝－1．故｜A＋B｜＝｜AE＋EB｜＝｜AB2＋A2B｜＝｜A(B＋A)B｜＝｜A｜｜B＋A｜｜B｜＝－｜A＋B｜｜A＋B｜＝0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)A＝(1)求An(n＝2，3，…)；(2)若方陣B滿足A2＋AB－A＝E，求B．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)A2＝4EA2m＝(A2)m＝4mE，A2m+1＝A2mA＝4mA(m＝1，2，…)；(2)A2＝4E，B＝A-1(E＋A－A2)＝A-1＋E－A＝A＋E－A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)4階實(shí)方陣A＝(aij)4×4滿足：(1)aij＝Aij(i，j＝1，2，3，4，其中Aij是aij的代數(shù)余子式)；(2)a11≠0，求｜A｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：a＝Aij(i，j＝1，2，3，4)，AT＝A*，｜A｜＝｜AT｜＝｜A*｜｜A3｜，｜A｜＝0，1，－1，又知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、實(shí)a為實(shí)的n維非零列向量，E為n階單位矩陣，證明：矩陣A＝E－為對(duì)稱的正交矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：記正常數(shù)b＝，則A＝E－bααT，AT＝ET－b(aT)TαT＝E－bααT＝A，故A為對(duì)稱矩陣，又由αTα＝，得AAT＝AA＝(E－bααT)(E－bααT)＝E－bααT－bααT＋b2α(αTα)αT＝E，故A為正交矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)矩陣A、B滿足關(guān)系式AB＝A＋2B，其中A＝，求B．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)矩陣矩陣A滿足關(guān)系式A(E－C-1B)TCT＝E，化簡(jiǎn)此關(guān)系式并求矩陣A．標(biāo)準(zhǔn)答案：化簡(jiǎn)成A(C－B)T＝E，故A＝[(C－B)T]-1＝[(C－B)-1]T＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A*＝矩陣B滿足關(guān)系式ABA-1＝BA-1＋3E，求矩陣B．標(biāo)準(zhǔn)答案：由｜A*｜＝｜A｜n-1，有｜A｜3＝8，得｜A｜＝2．給題設(shè)方程兩端右乘A，得AB＝B＋3A，兩端左乘A*并利用A*A＝｜A｜E＝2E，得2B＝A*B＋6E，(2E－A*)B＝6E，B＝6(2E－A*)-1＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、已知矩陣且矩陣X滿足AXA＋BXB＝AXB＋BXA＋E，求矩陣X．標(biāo)準(zhǔn)答案：(A－B)X(A－B)＝EX＝(A－B)-1(A－B)-1＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（線性代數(shù)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)A為m×n階矩陣，B為n×m階矩陣，且m＞n，令r(AB)=r，則()．A、r＞mB、r=mC、r＜mD、r≥m標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：顯然AB為m階矩陣，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n＜m，所以選(C)．2、設(shè)A為四階非零矩陣，且r(A*)=1，則()．A、r(A)=1B、r(A)=2C、r(A)=3D、r(A)=4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閞(A*)=1，所以r(A)=4—1=3，選(C)．3、設(shè)A，B都是n階矩陣，其中B是非零矩陣，且AB=O，則()．A、r(B)=nB、r(B)＜nC、A2一B2=(A+B)(A—B)D、|A|=0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳B=0，所以r(A)+r(B)≤n，又因?yàn)锽是非零矩陣，所以r(B)≥1，從而r(A)＜n，于是|A|=0，選(D)．4、設(shè)A，B分別為m階和n階可逆矩陣，則的逆矩陣為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A，B都是可逆矩陣，因?yàn)樗赃x(D)．5、設(shè)則A，B的關(guān)系為()．A、B=P1P2AB、B=P2P1AC、B=P2AP1D、B=AP2P1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：P1=E12，P2=E23(2)，顯然A首先將第2列的兩倍加到第3列，再將第1及第2列對(duì)調(diào)，所以B=AE23(2)E12=AP2P1，選(D)．6、設(shè)則()．A、B=P1AP2B、B=P2AP1C、B=P2-1AP1D、B=P1-1AP2-1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：顯然因?yàn)镻1-1=P1，所以選(D)．二、填空題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)7、設(shè)A為四階矩陣，|A*|=8，則標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳為四階矩陣，且|A*|=8，所以|A*|=|A|3=8，于是|A|=2．又AA*=|A|E=2E，所以A*=2A-1，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、若矩陣B是三階非零矩陣，滿足AB=O，則t=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：由AB=0得r(A)+r(B)≤3，因?yàn)閞(B)≥1，所以r(A)≤2，又因?yàn)榫仃嘇有兩行不成比例，所以r(A)≥2，于是r(A)=2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、設(shè)則A-1=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、設(shè)則A-1=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、設(shè)則(A*)-1=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：|A|=10，因?yàn)锳*=|A|A-1，所以A*=10A-1，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)則(A一2E)-1=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)n階矩陣A滿足A2+A一3E，則(A一3E)-1=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A2+A=3E，得A2+A一3E=0，(A一3E)(A+4E)=一9E，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、標(biāo)準(zhǔn)答案：令A(yù)=(α1，α2，α3)，因?yàn)閨A|=2，所以A*A=|A|E=2E，而A*A=(A*α1，A*α2，A*α3)，所以于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)n維列向量a=(a，0，…，0，a)T，其中a<0，又A=E一ααT，且B為A的逆矩陣，則a=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：由且ααT≠O，得解得a=一1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)三階矩陣A，B滿足關(guān)系A(chǔ)-1BA=6A+BA，且則B=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A-1BA=6A+BA，得A-1B=6E+B，于是(A-1一E)B=6E，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)A是4×3階矩陣且r(A)=2，則r(AB)=_____________.標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閨B|=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)B為三階非零矩陣，且AB=O，則r(A)=____________.標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳B=O，所以r(A)+r(B)≤3，又因?yàn)锽≠O，所以r(B)≥1，從而有r(A)≤2，顯然A有兩行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、則P12009P2-1=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)镋ij-1=Eij，所以Eij2=E，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)20、設(shè)A，B滿足A*BA=2BA一8E，且求B．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A*BA=2BA一8E得AA*BA=2ABA一8A，即一2BA=2ABA一8A，整理得(A+E)B=4E，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)求B-1．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)求A-1．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)n階矩陣A滿足A2+2A—3E=O．求：23、(A+2E)-1；標(biāo)準(zhǔn)答案：由A2+2A一3E=O得A(A+2E)=3E，A·(A+2E)=E，根據(jù)逆矩陣的定義，有(A+2E)-1=A.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、(A+4E)-1．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A2+2A一3E=O得(A+4E)(A一2E)+5E=O，則(A+4E)-1=(A一2E)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)A為n階矩陣，且Ak=O，求(E—A)-1．標(biāo)準(zhǔn)答案：Ek一Ak=(E—A)(E+A+A2+…+Ak-1)，又Ek一Ak=E，所以(E～A)-1=E+A+A2+…+Ak-1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)A，B為n階矩陣，26、求P·Q；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、證明：當(dāng)P可逆時(shí)，Q也可逆．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閨P|=|A||B|，所以當(dāng)P可逆時(shí)，|A||B|≠0，而PQ=|A||B|E，即于是Q可逆且知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)A為n階可逆矩陣，A2=|A|E．證明：A=A*．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳A*=|A|E，又已知A2=|A|E，所以AA*=A2，而A可逆，故A=A*．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、設(shè)A為n階矩陣，且A2一2A一8E=O．證明：r(4E—A)+r(2E+A)=n．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A2一2A一8E=O得(4E-A)(2E+A)=O，根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)得r(4E-A)+r(2E+A)≤n．又r(4E-A)+r(2E+A)≥r[(4E-A)+(2E+A)]=r(6E)=n，所以有r(4E一A)+r(2E+A)=n．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、證明：若矩陣A可逆，則其逆矩陣必然唯一．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)存在可逆陣B，C，使得AB=AC=E，于是A(B－C)=O，故r(A)+r(B－C)≤n，因?yàn)锳可逆，所以r(A)=n，從而r(B－C)=0，B－C=O，于是B=C，即A的逆矩陣是唯一的．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、設(shè)A是m×n階矩陣，若ATA=O，證明：A=O．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閞(A)=r(ATA)，而ATA=O，所以r(A)=0，于是A=O．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（線性代數(shù)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、則必有()A、AP1P2=BB、AP2P1=BC、P1P2A=BD、P2P1A=B標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：注意依次對(duì)A施行下列兩種初等行變換，即得矩陣B：先將A的第1行加到第3行，再將所得矩陣的1、2兩行互換．兩次初等行變換所對(duì)應(yīng)的初等方陣依次為P2、P1，故有B=P1P2A．2、設(shè)n維列向量組α1，…，αm(m＜n)線性無(wú)關(guān)，則n維列向量組β1，…，βm線性無(wú)關(guān)的充分必要條件為()A、向量組α1，…，αm可由向量組β1，…，βm線性表示．B、向量組β1，…，βm可由向量組α1，…，αm線性表示．C、向量組α1，…，αm與向量組β1，…，βm等價(jià)．D、矩陣A=[α1…αm]與矩陣B=[β1…βm]等價(jià)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)A=[α1…αm]與B=[β1…βm]等價(jià)時(shí)，A與B有相同的秩．由已知條件知A的秩為m，故B的秩亦為m，即β1，…，βm線性無(wú)關(guān)；若β1，…，βm線性無(wú)關(guān)，則矩陣A與B有相同的秩m，A與B義都是n×m矩陣，故A與B有相同的秩標(biāo)準(zhǔn)形(矩陣)P，于是A與P等價(jià)，B也與P等價(jià)，由等價(jià)的性質(zhì)即知A與B等價(jià)．綜上可知D正確．3、已知Q=，P為3階非零矩陣，且滿足PQ=O，則()A、t=6時(shí)P的秩必為1．B、t=6時(shí)P的秩必為2．C、t≠6時(shí)P的秩必為1．D、t≠6時(shí)P的秩必為2．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：PQ=O說(shuō)明Q的每一列都是齊次方程組Px=0的解向量，當(dāng)t≠1時(shí)矩陣Q的秩為2，故此時(shí)有3－r(P)≥2，即r(P)≤1，又P≠O，有r(P)≥1，故當(dāng)t≠1時(shí)必有r(P)=1．4、二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22－4x32－4x1x2－2x2x3的標(biāo)準(zhǔn)形是()A、2y12－y22－3y32B、－2y12－y22－3y32C、2y12+y22D、2y12+y22+3y32標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：f即不正定(因f(0，0，1)=－4＜0)，也不負(fù)定(因f(1，0，0)=2＞0)，故B、D選項(xiàng)都不對(duì)；又f的秩=矩陣的秩=3，故C選項(xiàng)不對(duì)，只有A選項(xiàng)正確．或用配方法：f=2(x1－x2)2－x22－4x32－2x2x3=2(x1－x2)2－(x2+x3)2－3x32=2y12－y22－3y32，其中所作滿秩線性變換為故A正確．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)5、標(biāo)準(zhǔn)答案：1－x2－y2－z2．知識(shí)點(diǎn)解析：將第2列的(－x)倍、第3列的(－y)倍、第4列的(－z)倍都加到第1列，則化成了上三角行列式．6、方程f(z)==0的全部根是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=0，x=1．f(z)=5x(x－1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、已知α=(1，2，3)，β=(1，1／2，1／3)，矩陣A=αTβ，n為正整數(shù)，則An=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：An=(αTβ)(αTβ)…(αTβ)(αTβ)=αT(βαT)…(βαT)β=αT3n－1β=3n－1αTβ8、設(shè)3階方陣A、B滿足A2B－A－B=E，其中E為3階單位矩陣，若A=，則|B|=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1／2．知識(shí)點(diǎn)解析：(A2－E)B=A+E，(A+E)(A－E)B=A+E，因A+E可逆，兩端左乘(A+E)－1，得(A－E)B=E，兩端取行列式，得|A－E||B|=1，因|A－E|=2，得|B|=1／2．9、已知向量組α1=(1，2，－1，1)，α2=(2，0，t，0)，α3=(0，－4，5，－2)的秩為2，則t=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：3．知識(shí)點(diǎn)解析：由知其秩為2t=3．三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)10、設(shè)B是元素全都為1的n階方陣(n＞1)．證明：(E－B)－1=E－B．標(biāo)準(zhǔn)答案：由(E－B)(E－)B=E－O=E(其中B2=nB)，(E－B)－1=E－B．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、設(shè)A、B都是n階方陣，且A2=E，B2=E，|A|+|B|=0，證明：|A+B|=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：A2=E，|A|=±1，同理有|B|=±1，又|A|=－|B|，|A||B|=－1．|\A+B|=|AE+EB|=|AB2+A2B|=|A(B+A)B|=|A||B+A||B|=－|A+B|，|A+B|=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、求An(n=2，3，…)；標(biāo)準(zhǔn)答案：A2=4EA2m=(A2)m=4mE，A2m+1=A2mA=4mA(m=1，2，…)；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、若方陣B滿足A2+AB－A=E，求B．標(biāo)準(zhǔn)答案：A2=4E，A－1=1／4A，B=A－1(E+A－A2)=A－1+E－A=A+E－A=E－A=1／4(4E－3A)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)4階實(shí)方陣A=(aij)4×4滿足：(1)aij=Aij(i，j=1，2，3，4，其中Aij是aij的代數(shù)余子式)；(2)a11≠0，求|A|．標(biāo)準(zhǔn)答案：aij=Aij(i，j=1，2，3，4)，AT=A*，|A|=|AT|=|A*|A3|，|A|=0，1，－1，又|A|=a1jA1j=a1j2＞0，|A|=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)矩陣矩陣X滿足關(guān)系式AX+E－A2+X，求矩陣X．標(biāo)準(zhǔn)答案：(A－E)X=A2－E，且A－E可逆X=(A－E)－1(A－E)(A+E)=A+E知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)A是n階矩陣，若存在正整數(shù)k，使線性方程組AkX=0有解向量α，且Ak－1α≠0，證明：向量組α，Aα，…，Ak－1α線性無(wú)關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)有一組數(shù)λ0，λ1，…，λk－1使λ0α+λ1Aα+…+λk－1Ak－1α=0，兩端左乘Ak－1，由于Ak－mα=0(m=0，1，2，…)，λ0Ak－1α=0，又Ak－1α≠0，λ0=0，同理可證λ1=…=λk－1=0，故α，Aα，…，Ak－1α線性無(wú)關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αr線性無(wú)關(guān)，向量組(Ⅱ)可由向量組(Ⅱ)：β1，β2，…，βs可由(Ⅰ)線性表示：βj=a1jα1+a2jα2+…+arjαr(j=1，2，…，s)．證明：向量組(Ⅱ)線性無(wú)關(guān)矩陣A=(aij)r×s的秩為s．標(biāo)準(zhǔn)答案：不妨設(shè)αi(i=1，…，r)及βj(j=1，…，s)均為n維列向量，則題設(shè)的線性表示或可寫(xiě)成矩陣形式：[β1β2…βs]=[α1α2…αr]A，或B=PA，其中B=[β1β2…βs]為n×s矩陣，P=[α1α2…αr]為n×r矩陣，且P的列線性無(wú)關(guān)．于是可證兩個(gè)齊次線性方程組Bx=0與Ax=0同解：若Bx=P(Ax)=0，因P的列線性無(wú)關(guān)，得Ax=0；若Ax=0，兩端左乘P，得PAx=Bx=0，所以Bx=0與Ax=0同解，s－r(B)=s－r(A)，r(B)=r(A)，(Ⅱ)線性無(wú)關(guān)(B)=sr(A)=s．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、已知線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：(b11，b12，…，b1，2n)T，(b21，b22，…，b2，2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn，2n)T．試寫(xiě)出線性方程組的通解，并說(shuō)明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：記方程組(Ⅰ)、(Ⅱ)的系數(shù)矩陣分別為A、B，則可以看出題給的(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系中的n個(gè)向量就是B的n個(gè)行向量的轉(zhuǎn)置向量，因此，由(Ⅰ)的已知基礎(chǔ)解系可知ABT=O轉(zhuǎn)置即得BAT=O因此可知AT的n個(gè)列向量…即A的n個(gè)行向量的轉(zhuǎn)置向量都是方程組(Ⅱ)的解向量．由于B的秩為n，故(Ⅱ)的解空間的維數(shù)為2n－n=n，所以(Ⅱ)的任何n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解就是(Ⅱ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系．已知(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系含n個(gè)向量，故2n－r(A)=n，得r(A)=n，于是A的n個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)，從而它們的轉(zhuǎn)置向量構(gòu)成(Ⅱ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系，因此(Ⅱ)的通解為yc1(a11，a12，…，a1，2n)T+c2(a21，a22，…，a2，2n)T+…+cn(an1，an2，…，an，2n)T(c1，c2，…，cn為任意常數(shù))知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、λ取何值時(shí)，方程組無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多組解?在有無(wú)窮多解時(shí)，試用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)λ≠－2且λ≠1時(shí)有唯一解；當(dāng)λ=－2時(shí)無(wú)解；當(dāng)λ=1時(shí)有無(wú)窮多組解，通解為x=(－2．0．0)T+c1(－1，1，0)T+c2(－1，0，1)T．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知線性方程組20、a，b，c滿足何種關(guān)系時(shí)，方程組僅有零解?標(biāo)準(zhǔn)答案：系數(shù)行列式|A|=(b－a)(c－a)(c－b)，故當(dāng)a，b，c兩兩不相等時(shí)，方程組僅有零解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、a，b，c滿足何種關(guān)系時(shí)，方程組有無(wú)窮多組解?并用基礎(chǔ)解系表示全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)a=b≠C時(shí)，全部解為x=k1(1，－1，0)T；當(dāng)a=c≠b時(shí)，全部解為x=k2(1，0，－1)T；當(dāng)b=c=a時(shí)，全部解為x=k3(0，1，－1)T；當(dāng)a=b=c時(shí)，全部解為x=k4(－1，1，0)T+k5(－1，0，1)T．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、已知3階矩陣A的第1行是(a，b，c)，矩陣B=(k為常數(shù))，且AB=O，求線性方程組Ax=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于AB=O，知B的每一列都是方程組Ax=0的解，因此Ax=0至少有r(B)個(gè)線性無(wú)關(guān)解，所以Ax=0的基礎(chǔ)解系至少含r(B)個(gè)向量，即3－r(A)≥r(B)，或r(A)≤3－r(B)．又由a，b，c不全為零，可知r(A)≥1．當(dāng)k≠9時(shí)，r(B)=2，有1≤r(A)≤1，于是r(A)=1；當(dāng)k=0時(shí)，r(B)=1，有1≤r(A)≤2．于是r(A)=1或r(A)=2．當(dāng)k≠9時(shí)，由AB=O可得由于η1=(1，2，3)T，η2=(3，6，k)T線性無(wú)關(guān)，故η1，η2為Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，于是Ax=0的通解為x=c1η1+c2η2，其中c1，c2為任意常數(shù)當(dāng)k=9時(shí)，分別就r(A)=2和r(A)=1討論如下：如果r(A)=2．則Ax=0的基礎(chǔ)解系由一個(gè)向量構(gòu)成．又因?yàn)锳=0，所以Ax=0的通解為x=c1(1，2，3)T，其中c1為任意常數(shù)．如果r(A)=1，則Ax=0的基礎(chǔ)解系由兩個(gè)向量構(gòu)成．又因?yàn)锳的第一行為(a，b，c)且a，b，C不全為零，所以Ax=0等價(jià)于ax1+bx2+cx3=0．不妨設(shè)a≠0，則η1=(－b，a，0)T，η2=(－c，0，a)T是Ax=0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，從而η1，η2可作為Ax=0的基礎(chǔ)解系．故Ax=0的通解為x=c1η1+c2η2，其中c1，c2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、已知向量α=(1，k，1)T是矩陣A=的逆矩陣A－1的特征向量，試求常數(shù)k的值及與α對(duì)應(yīng)的特征值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A－1α=λα，α=Aαα，亦即解之即得k=－2，λ=1；或k=1，λ=1／4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、已知矩陣A=(aij)n×n的秩為n－1，求A的伴隨矩陣A*的特征值和特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A*A=|A|E=0，知A的n－1個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量都是方程組A*x=0的解向量，即λ=0至少是A*的n－1重特征值，而上述n－1個(gè)列向量即為對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量．又由全部特征值之和等于A*的主對(duì)角線上元素之和A11+A22+…+Am，故A*的第n個(gè)特征值為Aii，由于r(A*)=1，故A*的列成比例，不妨設(shè)(A11，A12，…，A1n)T≠0，則存在常數(shù)k2，…，kn，使于是有Aii=A11+k2A12+…+knA1n，且使因此，(A11，A12，…，A1n)T為A*的對(duì)應(yīng)于特征值A(chǔ)ii的特征向量．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的秩為2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(－1，2，－3)T，都是A的屬于特征值6的特征向量．25、求A的另一特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)棣?=λ2=6是A的二重特征值，故A的屬于特征值6的線性無(wú)關(guān)的特征向量有2個(gè)，有題設(shè)可得α1，α2，α3的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為α1，α2，故α1，α2為A的屬于特征值6的線性無(wú)關(guān)的特征向量．由r(A)=2知|A|=0，所以A的另一特征值為λ3=0．設(shè)λ3=0對(duì)應(yīng)的特征向量為α=(x1，x2，x3)T，則有αiTα=0(i=1，2)，即解得此方程組的基礎(chǔ)解系為α=(－1，1，1)T，即A的屬于特征值λ3=0的特征向量為kα=k(－1，1，1)T(k為任意非零常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求矩陣A．標(biāo)準(zhǔn)答案：令矩陣P=[α1α2α3]，則有P－1AP計(jì)算可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)矩陣An×n正定，證明：存在正定陣B，使A=B2．標(biāo)準(zhǔn)答案：因A正定，故有正交陣P，使且λi＞0(i=1，2，…，n)則B正定，且使A=B2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（線性代數(shù)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)A，B，A＋B，A－1＋B－1皆為可逆矩陣，則(A－1＋B－1)－1等于()．A、A＋BB、A－1＋B－1C、A(A＋B)－1BD、(A＋B)－1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A(A＋B)－1B(A－1＋B－1)＝[(A＋B)A－1]－1(BA－1＋E)＝(BA－1＋E)－1(BA－1＋E)＝E，選(C)．2、設(shè)則m，n可取()．A、m＝3，n＝2B、m＝3，n＝5C、m＝2，n＝3D、m＝2，n＝2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：P1mAP2n＝經(jīng)過(guò)了A的第1，2兩行對(duì)調(diào)與第1，3兩列對(duì)調(diào)，P1＝＝E13，且Eij2＝E，P1mAP2n＝P1AP2，則m＝3，n＝5，選(B)．3、設(shè)A＝(α1，α2，…，αm)，其中α1，α2，…，αm是n維列向量，若對(duì)于任意不全為零的常數(shù)k1，k2，…，km，皆有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0，則()．A、m＞nB、m＝nC、存在m階可逆陣P，使得AP＝D、若AB＝O，則B＝O標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閷?duì)任意不全為零的常數(shù)k1，k2，…，km，有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0，所以向量組α1，α2，…，αm線性無(wú)關(guān)，即方程組AX＝0只有零解，故若AB＝O，則B＝O，選(D)．4、設(shè)α1，α2，…，αM與β1，β2，…，βs為兩個(gè)n維向量組，且r(α1，α2，…，αm)＝r(β1，β2，…，βs)＝r，則()．A、兩個(gè)向量組等價(jià)B、r(α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βs)＝r．C、若向量組α1，α1…，αm可由向量組β1，β2，…，βs線性表示，則兩向量組等價(jià)D、兩向量組構(gòu)成的矩陣等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：不妨設(shè)向量組α1，α2，…，αm的極大線性無(wú)關(guān)組為α1，α2，…，αr，向量組β1，β2，…，βs的極大線性無(wú)關(guān)組為β1，β2，…，βr，若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βs線性表示，則α1，α2，…，αr，也可由β1，β2，…，βαr，線性表示，若β1，β2，…，βr，不可由α1，α2，…，αr，線性表示，則β1，β2，…，βs也不可由α1，α2，…，αm線性表示，所以兩向量組秩不等，矛盾，選(C)．5、設(shè)A為m×n階矩陣，則方程組AX＝b有唯一解的充分必要條件是()．A、r(A)＝mB、r(A)＝nC、A為可逆矩陣D、r(A)＝n且b可由A的列向量組線性表示標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：方程組AX＝b有解的充分必要條件是b可由矩陣A的列向量組線性表示，在方程組AX＝b有解的情形下，其有唯一解的充分必要條件是r(A)＝n，選(D)．6、設(shè)A為n階矩陣，下列結(jié)論正確的是()．A、矩陣A的秩與矩陣A的非零特征值的個(gè)數(shù)相等B、若A～B，則矩陣A與矩陣B相似于同一對(duì)角陣C、若r(A)＝r＜n，則A經(jīng)過(guò)有限次初等行變換可化為D、若矩陣A可對(duì)角化，則A的秩與其非零特征值的個(gè)數(shù)相等標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：(A)不對(duì)，如A＝，A的兩個(gè)特征值都是0，但r(A)＝1；(B)不對(duì)，因?yàn)锳～B不一定保證A，B可以對(duì)角化；(C)不對(duì)，如A＝，A經(jīng)過(guò)有限次行變換化為，經(jīng)過(guò)行變換不能化為；因?yàn)锳可以對(duì)角化，所以存在可逆矩陣P，使得P－1AP＝，于是r(A)＝，故選(D)．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)7、設(shè)A為n階矩陣，且｜A｜＝a≠0，則｜(kA)*｜＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：kn(n－1)an－1知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?kA)*＝kn－1A*，且｜A*｜＝｜A｜n－1，所以｜(kA)*｜＝｜kn－1A*｜＝kn(n－1)｜A｜n－1＝kn(n－1)an－1．8、設(shè)A＝，B≠O為三階矩陣，且BA＝O，則r(B)＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：BA＝Or(A)＋r(B)≤3，因?yàn)閞(A)≥2，所以r(B)≤1，又因?yàn)锽≠O，所以r(B)＝1．9、設(shè)三階矩陣A的特征值為λ1＝－1，λ2＝，λ3＝其對(duì)應(yīng)的特征向量為α1，α2，α3，令P＝(2α3,－3α1，－α2)，則P－1(A－1＋2E)P＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：P－1(A－1＋2E)P－1A－1P＋2E，而P－1A－1P＝，所以P－1(A－1＋2E)P＝10、設(shè)A＝有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則a＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：由｜λE－A｜＝0得A的特征值為λ1＝－2，λ2＝λ3＝6．因?yàn)锳有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以A可以對(duì)角化，從而r(6E－A)＝1，解得a＝0．三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)11、設(shè)A＝(aij)n×m是非零矩陣，且｜A｜中每個(gè)元素aij與其代數(shù)余子式Aij相等．證明：｜A｜≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳是非零矩陣，所以A至少有一行不為零，設(shè)A的第k行是非零行，則｜A｜＝ak1Ak1＋ak2Ak2＋…＋aknAakn＝ak12＋ak22＋…＋akn2＞0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)A＝E－ααT，其中α為n維非零列向量．證明：(1)A2＝A的充分必要條件是α為單位向量；(2)當(dāng)α是單位向量時(shí)A為不可逆矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令αTα＝k，則A2＝(E－αTα)(E－ααT)＝E－2ααT＋kααT，因?yàn)棣翞榉橇阆蛄?，所以ααT≠O，于是A2＝A的充分必要條件是k＝1，而αTα＝｜α｜2，所以A2＝A的充要條件是α為單位向量．(2)當(dāng)α是單位向量時(shí)，由A2＝A得r(A)＋r(E－A)＝n，因?yàn)镋－A＝ααT≠O，所以r(E－A)≥1，于是r(A)≤n－1＜n，故A是不可逆矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)A為n階矩陣，證明：r(A*)＝，其中n≥2．標(biāo)準(zhǔn)答案：AA*＝A*A＝｜A｜E．當(dāng)r(A)＝n時(shí)，｜A｜≠0，因?yàn)椋麬*｜＝｜A｜n－1，所以｜A*｜≠0，從而r(A*)＝n；當(dāng)r(A)＝n－1時(shí)，由于A至少有一個(gè)n－1階子式不為零，所以存在一個(gè)Mij≠0，進(jìn)而Aij≠0，于是A*≠O，故r(A*)≥1，又因?yàn)椋麬｜＝0，所以AA*＝｜A｜E＝O，根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)有r(A)＋r(