2016年第27“希望杯”全國數學邀請賽試卷（七年級）

2016年第27屆“希望杯”全國數學邀請賽試卷（七年級）一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分）1．（4分）下列計算正確的是A． B． C． D．2．（4分）若個人完成一項工程需要天，則個人完成這項工程需要天．A． B． C． D．3．（4分）關于多項式，有以下敘述：①該多項式是六次三項式；②該多項式是七次四項式③該多項式是七次三項式④該多項式最高次項的系數是；⑤該多項式常數項是．其中，正確的是A．①④ B．③⑤ C．②④ D．②⑤4．（4分）已知，，是正數，．若，則A． B． C． D．5．（4分）若非零自然數，的最大公約數與最小公倍數之和恰等于，的乘積，則A．1 B．1024 C．2104 D．20166．（4分）如圖所示，在的網格中，、、是三個格點，則A． B． C． D．7．（4分）當，，滿足，，，則的值是A．6 B．7 C．8 D．98．（4分）在1，2，3，，99，100這100個自然數中，不是2的倍數，不是3的倍數，且不是5的倍數的數共有個，則A．25 B．26 C．27 D．289．（4分）若定義，從左到右依次計算，則滿足的最小正整數是A．6 B．7 C．8 D．910．（4分）將25個棱長為1的正方體積木擺成一堆，則形成的幾何體的表面積最小是A．25 B．50 C．54 D．70二、填空題（共10小題，每小題4分，滿分40分）11．（4分）．12．（4分）數字和等于2016的最小自然數中含有數字9的個數是．13．（4分）有一列數，第一個數是20，第二個數是16，從第三個數開始的每個數都是前面所有數的平均數，則在這列數中，前2016個數的和等于．14．（4分）三個不等于零的有理數，，滿足，則．15．（4分）若，都是正整數，是6的倍數，且，這樣的共有組．16．（4分）關于的方程的根是，那么的值是．17．（4分）如圖，在中，，，，分別是，，，的五等分點、四等分點、三等分點，二等分點，若的面積是25，則的面積是．18．（4分）小明有10分、15分和20分三種面值的郵票共30張，面值的總和為5元，其中20分郵票比10分郵票多張．19．（4分），．如果，是質數，且，則．20．（4分）如圖，兩張的長方形紙片有一個頂點重合，重疊放置的尺寸如圖所標示，則圖中陰影部分的面積．三、B組填空題（共5小題，每小題8分，滿分40分）21．（8分）對任意的四個有理數，，，，定義運算，則的相反數是，倒數的絕對值是．22．（8分）某公園的門票是10元人，團體購票有如下優(yōu)惠：購票人數人人60人以上票價無折扣超出30人的部分，票價打八折超出60人的部分，票價打五折某校七年級兩個班到該公園秋游，其中甲班多于30人，乙班不足30人，如果以班為單位分別購票，兩個班一共應付598元．如果兩個班作為一個團體購票，一共應付545元，則甲班有人，乙班有人．23．（8分）如圖，在中，點是的中點，點在邊上，且，與交于點，則，．24．（8分）如果質數和使得，那么，．25．（8分）有同樣大小的三個立方體骰子，每個骰子的展開圖如圖1所示，如果把每個骰子點數是4的一面放在桌子上，那么其它五個可以看到的面上的數字的和是17，現在把三個骰子放在桌子上（如圖，凡是能看得到的點數之和最大是，最小是．

2016年第27屆“希望杯”全國數學邀請賽試卷（七年級）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分）1．（4分）下列計算正確的是A． B． C． D．【考點】35：合并同類項；46：同底數冪的乘法；48：同底數冪的除法【分析】根據同底數冪的乘法和除法，即可解答．【解答】解：、，故本選項錯誤；、，故本選項錯誤；、，故本選項錯誤；、正確；故選：．【點評】本題考查了同底數冪的除法，解決本題的關鍵是熟記同底數冪的除法．2．（4分）若個人完成一項工程需要天，則個人完成這項工程需要天．A． B． C． D．【考點】：列代數式（分式）【分析】設該項工程總量為1，人完成這項工程所需的天數人的工作效率．【解答】解：設該項工程總量為1，每個人的工作效率，即，則個人完成這項工程的工作效率是．故個人完成這項工程所需的天數是（天，故選：．【點評】此題考查了列代數式；解決問題的關鍵是讀懂題意，找到所求的量的等量關系．3．（4分）關于多項式，有以下敘述：①該多項式是六次三項式；②該多項式是七次四項式③該多項式是七次三項式④該多項式最高次項的系數是；⑤該多項式常數項是．其中，正確的是A．①④ B．③⑤ C．②④ D．②⑤【考點】43：多項式【分析】根據多項式的次數是多項式中次數最高的單項是的次數，多項式中單項式的個數是多項式的項，可得答案．【解答】解：多項式是七次四項式，最高次項是，所以最高次項的系數是，常數項是4，故正確的是②④．故選：．【點評】本題考查了多項式，明確多項式的項，次數是解答此題的關鍵．4．（4分）已知，，是正數，．若，則A． B． C． D．【考點】：解三元一次方程組【分析】由已知得出，，得出，即可得出結果．【解答】解：，，是正數，，，，，，，故選：．【點評】本題考查了解三元一次方程組的方法；由已知條件得出，是解決問題的關鍵．5．（4分）若非零自然數，的最大公約數與最小公倍數之和恰等于，的乘積，則A．1 B．1024 C．2104 D．2016【考點】：約數與倍數【分析】此題設這兩個非零自然數，為，（其中，，都是正整數，且，互質），然后根據題意可得，再變形為，再根據是正整數進行分析論證得出答案．【解答】解：設這兩個非零自然數，為，（其中，，都是正整數，且，互質），所以，所以，，，都是正整數，且，互質，，，，．故選：．【點評】此題主要考查了學生對最大公約數與最小公倍數之和的理解和掌握．要求學生能正確運用其解答問題．此題較難，是好題．6．（4分）如圖所示，在的網格中，、、是三個格點，則A． B． C． D．【考點】：勾股定理；：勾股定理的逆定理【專題】552：三角形【分析】取格點，連接、，則、、共線．只要證明是等腰直角三角形即可解決問題；【解答】解：取格點，連接、，則、、共線．，，，是直角三角形，，，故選：．【點評】本題考查勾股定理的逆定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．7．（4分）當，，滿足，，，則的值是A．6 B．7 C．8 D．9【考點】：配方法的應用；：非負數的性質：偶次方【專題】512：整式；66：運算能力【分析】已知三個等式左右兩邊相加，利用完全平方公式及非負數的性質求出，，的值，代入原式計算即可求出值．【解答】解：，，，，即，整理得：，可得，，，解得：，，，則，故選：．【點評】此題考查了配方法的應用，以及非負數的性質，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．8．（4分）在1，2，3，，99，100這100個自然數中，不是2的倍數，不是3的倍數，且不是5的倍數的數共有個，則A．25 B．26 C．27 D．28【考點】：約數與倍數【分析】首先求出在的自然數中，2、3、5的倍數分別有多少個，然后求出2和3的公倍數、2和5的公倍數、3和5的公倍數、2、3和5的公倍數分別有多少個，再求出中既不是2的倍數又不是3的倍數也不是5的倍數共有多少個即可．【解答】解：在的自然數中，2的倍數有：（個，3的倍數有：（個，5的倍數有：（個，2和3的公倍數有：（個，2和5的公倍數有：（個，3和5的公倍數有：（個，2、3和5的公倍數有：（個，所以中既不是2的倍數又不是3的倍數也不是5的倍數共有：（個，即．故選：．【點評】此題主要考查了約數與倍數，數的整除的特征問題的應用，解答此題的關鍵是熟練掌握是2、3、5的倍數的特征．9．（4分）若定義，從左到右依次計算，則滿足的最小正整數是A．6 B．7 C．8 D．9【考點】：有理數無理數的概念與運算【分析】根據題意當，2，3，4，5，6，依次計算，直至出現第一個超過2016時，停止，此時就是最小的正整數．【解答】解：，當時，當時，，當時，，當時，，當時，，滿足的最小正整數是6，故選：．【點評】此題是有理數無理數的概念與運算，主要考查了新定義，理解新定義，并能應用，運用依次取的方法是解本題的關鍵．10．（4分）將25個棱長為1的正方體積木擺成一堆，則形成的幾何體的表面積最小是A．25 B．50 C．54 D．70【考點】：幾何體的表面積【分析】根據相同的棱長為1的正方體積木擺成一堆，拼成幾何體是正方體時其表面積最小解答．【解答】解：當小積木互相重合的面最多時表面積最小，設想27塊邊長為1的正方形積木，當拼成一個的正方體時，表面積最小，現在要去掉2塊小積木，只有在兩個角上各去掉一塊小積木，或在同一個角去掉兩塊相鄰的積木時，表面積不會增加，該幾何體表面積為54．故選：．【點評】本題考查了幾何體的表面積，知道相同的棱長為1的正方體積木擺成一堆，拼成幾何體是正方體時其表面積最小是解題的關鍵．二、填空題（共10小題，每小題4分，滿分40分）11．（4分）2016．【考點】有理數的混合運算【分析】首先計算小括號，然后計算中括號，最后進行乘法運算即可．【解答】解：原式．故答案是：2016．【點評】本題考查了有理數的混合運算，正確理解運算順序是關鍵．12．（4分）數字和等于2016的最小自然數中含有數字9的個數是224．【考點】12：有理數【分析】用2016除以9得到的商即為所求數字和等于2016的最小自然數中含有數字9的個數．【解答】解：答：數字和等于2016的最小自然數中含有數字9的個數是224．故答案為：224．【點評】此題考查了有理數，在一個自然數各位上數的和一定的情況下，要想使這個數盡量小，就要使組成這個數的各位上的數字盡量大，位數盡量少，反之，要想這個數盡量大，就要使組成這個數的各位上的數字盡量小，位數盡量多．13．（4分）有一列數，第一個數是20，第二個數是16，從第三個數開始的每個數都是前面所有數的平均數，則在這列數中，前2016個數的和等于36288．【考點】19：有理數的加法；：算術平均數【分析】根據題意確定第二個數之后均為18，從而確定前2016個數的和為．【解答】解：第一個數是20，第二個數是16，從第三個數開始的每個數都是前面所有數的平均數，這列數為20，16，18，18，，前2016個數的和為，故答案為：36288．【點評】本題考查了算術平均數及有理數的加法的知識，能夠確定第三個數之后的數是解答本題的關鍵，難度不大．14．（4分）三個不等于零的有理數，，滿足，則1．【考點】有理數無理數的概念與運算【專題】計算題【分析】先得出或或，分三種情況代換，化簡即可得出結論．【解答】解：三個不等于零的有理數，，滿足，或或，或或，當時，，，，，，同理：當時或當時，則，即：則，故答案為1．【點評】此題主要考查了同底數冪的乘法，解本題的關鍵是得出或或，是一道很好的基礎題．15．（4分）若，都是正整數，是6的倍數，且，這樣的共有2組．【考點】因式分解的應用【分析】由平方差公式可知，與同為奇數或者偶數，將2016分為兩個偶數的積，分別解方程組即可．【解答】解：，，或或，或或或或或或，解得或或或或或或或或，是6的倍數，滿足條件的正整數對的有2組．故答案為：2．【點評】此題考查因式分解的實際運用，掌握平方差公式，明確兩整數之和與兩整數之積的奇偶性相同是解決問題的關鍵．16．（4分）關于的方程的根是，那么的值是2．【考點】85：一元一次方程的解【分析】根據方程的解的概念將代入方程求得的值，從而得出關于的方程，再求解即可得的值．【解答】解：根據題意，得：，解得：，關于的方程為：，解得：，故答案為：2．【點評】本題主要考查一元二次方程的解及解一元二次方程的能力，由方程的解得定義得出關于的方程，求解后得出關于的方程是關鍵．17．（4分）如圖，在中，，，，分別是，，，的五等分點、四等分點、三等分點，二等分點，若的面積是25，則的面積是5．【考點】：三角形的面積【分析】根據為的五等分點可得、由點為的四等分點可得、由為的三等分點可得、由為的二等分點可得．【解答】解：為的五等分點，，，點為的四等分點，，，為的三等分點，，，為的二等分點，，，故答案為：5．【點評】本題主要考查三角形面積的求法，熟練掌握高相等時兩三角形的面積比等于對應底的比是關鍵．18．（4分）小明有10分、15分和20分三種面值的郵票共30張，面值的總和為5元，其中20分郵票比10分郵票多10張．【考點】二元一次方程的應用【專題】應用意識；一次方程（組及應用【分析】設面值為10分郵票有張，面值為20分郵票有張，則面值為15分的郵票有張，根據三種面值的郵票總和為5元，即可得出關于，的二元一次方程，化簡后即可得出結論．【解答】解：設面值為10分郵票有張，面值為20分郵票有張，則面值為15分的郵票有張，依題意，得：，．故答案為：10．【點評】本題考查了二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程是解題的關鍵．19．（4分），．如果，是質數，且，則．【考點】：質數與合數【專題】66：運算能力【分析】根據質數與合數的性質即可求解．【解答】解：，是質數，且，，，，故答案為：．【點評】本題考查了質數與合數的性質，根據題意求出、的值是解題的關鍵．20．（4分）如圖，兩張的長方形紙片有一個頂點重合，重疊放置的尺寸如圖所標示，則圖中陰影部分的面積984．【考點】：面積及等積變換【分析】在兩個直角三角形中根據勾股定理求出，再面積之差求出陰影部分面積即可．【解答】解：如圖，連接，根據題意得，，，，，四邊形是長方形，，在中，，，在中，，，，．故答案為：984【點評】此題是面積與等積變換，主要考查了長方形的性質，勾股定理，三角形的面積，梯形的面積，求出是解本題的關鍵．三、B組填空題（共5小題，每小題8分，滿分40分）21．（8分）對任意的四個有理數，，，，定義運算，則的相反數是3，倒數的絕對值是．【考點】相反數；絕對值；倒數【分析】先根據新定義計算出該式的值，再根據相反數、倒數、絕對值計算可得．【解答】解：，它的相反數為3，其倒數的絕對值為，故答案為：3，．【點評】本題主要考查相反數、倒數、絕對值，根據新定義計算出該式的值是關鍵．22．（8分）某公園的門票是10元人，團體購票有如下優(yōu)惠：購票人數人人60人以上票價無折扣超出30人的部分，票價打八折超出60人的部分，票價打五折某校七年級兩個班到該公園秋游，其中甲班多于30人，乙班不足30人，如果以班為單位分別購票，兩個班一共應付598元．如果兩個班作為一個團體購票，一共應付545元，則甲班有36人，乙班有人．【考點】：一元一次方程的應用【分析】設甲班有人，乙班有人，根據“①超出60人部分的費用、②乙班費用甲班費用”列方程組求解可得．【解答】解：設甲班有人，乙班有人，根據題意可得，解得：，即甲班有36人，乙班有25人，故答案為：36，25．【點評】本題主要考查二元一次方程組的應用，弄清表格中分段收費標準，根據費用確定其中蘊含的相等關系：①超出60人部分的費用、②乙班費用甲班費用是解題的關鍵．23．（8分）如圖，在中，點是的中點，點在邊上，且，與交于點，則，．【考點】：三角形中位線定理；：平行線分線段成比例【分析】過作交于，由點是的中點，得到，根據平行線等分線段定理得到，于是得到，根據三角形的中位線的性質得到，，即可得到結論．【解答】解：過作交于，點是的中點，，，，，，，，，，故答案為：；．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，本題輔助線的作法是解題的關鍵．24．（8分）如果質數和使得，那么3，．【考點】：質數與合數【分析】首先將已知分解因式，進而分情況討論得出符合題意的答案．【解答】解：，，所以有如下的方式①當，則，這時解得：，；②當，則，這時解得：，無解，③當，，這時解得：，，所以只有一組解，．故答案為：3；2．【點評】此題主要考查了質數與合數，正確把握質數的定義進而分類討論是解題關鍵．25．（8分）有同樣大小的三個立方體骰子，每個骰子的展開圖如圖1所示，如果把每個骰子點數是4的一面放在桌子上，那么其它五個可以看到的面上的數字的和是17，現在把三個骰子放在桌子上（如圖，凡是能看得到的點數之和最大是51，最小是．【考點】：簡單組合體的三視圖【分析】觀察圖形可知，1和6相對、2和5相對，3和4相對；要使能看到的紙盒面上的數字之和最大，則把第一個正方體的數字1的面與第二個正方體的數字2的面相連，把數字2的面放在下面，則第一個圖形露出的數字分別是3、4、5、6；第二個正方體的數字1面與第三個正方體的數字1的面相連，數字3的面放在下面，則第二個正方體露在外面的數字是4、5、6，第三個正方體露在外面的數字就是3、4、5、6，據此可得能看得到的點數之和最大值；要使能看到的紙盒面上的數字之和最小，則把第一個正方體的數字6的面與第二個正方體的數字5的面相連，把數字5的面放在下面，則第一個正方體露在外面的數字分別是1、2、3、4；第二個正方體的數字6的面與第三個正方體數字6的面相連，數字4的面放在下面，則第二個正方體露在外面的數字是1、2、3；第三個正方體露在外面的數字是1、2、3、4，即可得能看得到的點數之和最小值．【解答】解：根據題意，得：露在外面的數字之和最大是：，最小值是：，故答案為：51，26．【點評】本題主要考查學生的空間想象能力和推理能力，也可動手制作一個正方體，根據題意在各個面上標上數字，再確定對面上的數字，可以培養(yǎng)動手操作能力和空間想象能力．

考點卡片1．有理數1、有理數的概念：整數和分數統稱為有理數．2、有理數的分類：①按整數、分數的關系分類：有理數；②按正數、負數與0的關系分類：有理數．注意：如果一個數是小數，它是否屬于有理數，就看它是否能化成分數的形式，所有的有限小數和無限循環(huán)小數都可以化成分數的形式，因而屬于有理數，而無限不循環(huán)小數，不能化成分數形式，因而不屬于有理數．2．相反數（1）相反數的概念：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數．（2）相反數的意義：掌握相反數是成對出現的，不能單獨存在，從數軸上看，除0外，互為相反數的兩個數，它們分別在原點兩旁且到原點距離相等．（3）多重符號的化簡：與“+”個數無關，有奇數個“﹣”號結果為負，有偶數個“﹣”號，結果為正．（4）規(guī)律方法總結：求一個數的相反數的方法就是在這個數的前邊添加“﹣”，如a的相反數是﹣a，m+n的相反數是﹣（m+n），這時m+n是一個整體，在整體前面添負號時，要用小括號．3．絕對值（1）概念：數軸上某個數與原點的距離叫做這個數的絕對值．①互為相反數的兩個數絕對值相等；②絕對值等于一個正數的數有兩個，絕對值等于0的數有一個，沒有絕對值等于負數的數．③有理數的絕對值都是非負數．（2）如果用字母a表示有理數，則數a絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當a是正有理數時，a的絕對值是它本身a；②當a是負有理數時，a的絕對值是它的相反數﹣a；③當a是零時，a的絕對值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）4．倒數（1）倒數：乘積是1的兩數互為倒數．一般地，a?＝1（a≠0），就說a（a≠0）的倒數是．（2）方法指引：①倒數是除法運算與乘法運算轉化的“橋梁”和“渡船”．正像減法轉化為加法及相反數一樣，非常重要．倒數是伴隨著除法運算而產生的．②正數的倒數是正數，負數的倒數是負數，而0沒有倒數，這與相反數不同．【規(guī)律方法】求相反數、倒數的方法求一個數的相反數求一個數的相反數時，只需在這個數前面加上“﹣”即可求一個數的倒數求一個整數的倒數，就是寫成這個整數分之一求一個分數的倒數，就是調換分子和分母的位置注意：0沒有倒數．5．有理數的加法（1）有理數加法法則：①同號相加，取相同符號，并把絕對值相加．②絕對值不等的異號加減，取絕對值較大的加數符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數的兩個數相加得0．③一個數同0相加，仍得這個數．（在進行有理數加法運算時，首先判斷兩個加數的符號：是同號還是異號，是否有0．從而確定用那一條法則．在應用過程中，要牢記“先符號，后絕對值”．）（2）相關運算律交換律：a+b＝b+a；結合律（a+b）+c＝a+（b+c）．6．非負數的性質：偶次方偶次方具有非負性．任意一個數的偶次方都是非負數，當幾個數或式的偶次方相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0．7．有理數的混合運算（1）有理數混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算．（2）進行有理數的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．【規(guī)律方法】有理數混合運算的四種運算技巧1．轉化法：一是將除法轉化為乘法，二是將乘方轉化為乘法，三是在乘除混合運算中，通常將小數轉化為分數進行約分計算．2．湊整法：在加減混合運算中，通常將和為零的兩個數，分母相同的兩個數，和為整數的兩個數，乘積為整數的兩個數分別結合為一組求解．3．分拆法：先將帶分數分拆成一個整數與一個真分數的和的形式，然后進行計算．4．巧用運算律：在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律往往使計算更簡便．8．合并同類項（1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項．（2）合并同類項的法則：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變．（3）合并同類項時要注意以下三點：①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準確地掌握判斷同類項的兩條標準：帶有相同系數的代數項；字母和字母指數；②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經過合并同類項，式的項數會減少，達到化簡多項式的目的；③“合并”是指同類項的系數的相加，并把得到的結果作為新的系數，要保持同類項的字母和字母的指數不變．9．多項式（1）幾個單項式的和叫做多項式，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數項．多項式中次數最高的項的次數叫做多項式的次數．（2）多項式的組成元素的單項式，即多項式的每一項都是一個單項式，單項式的個數就是多項式的項數，如果一個多項式含有a個單項式，次數是b，那么這個多項式就叫b次a項式．10．同底數冪的乘法（1）同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加．am?an＝am+n（m，n是正整數）（2）推廣：am?an?ap＝am+n+p（m，n，p都是正整數）在應用同底數冪的乘法法則時，應注意：①底數必須相同，如23與25，（a2b2）3與（a2b2）4，（x﹣y）2與（x﹣y）3等；②a可以是單項式，也可以是多項式；③按照運算性質，只有相乘時才是底數不變，指數相加．（3）概括整合：同底數冪的乘法，是學習整式乘除運算的基礎，是學好整式運算的關鍵．在運用時要抓住“同底數”這一關鍵點，同時注意，有的底數可能并不相同，這時可以適當變形為同底數冪．11．同底數冪的除法同底數冪的除法法則：底數不變，指數相減．am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整數，m＞n）①底數a≠0，因為0不能做除數；②單獨的一個字母，其指數是1，而不是0；③應用同底數冪除法的法則時，底數a可是單項式，也可以是多項式，但必須明確底數是什么，指數是什么．12．因式分解的應用1、利用因式分解解決求值問題．2、利用因式分解解決證明問題．3、利用因式分解簡化計算問題．【規(guī)律方法】因式分解在求代數式值中的應用1．因式分解是研究代數式的基礎，通過因式分解將多項式合理變形，是求代數式值的常用解題方法，具體做法是：根據題目的特點，先通過因式分解將式子變形，然后再進行整體代入．2．用因式分解的方法將式子變形時，根據已知條件，變形的可以是整個代數式，也可以是其中的一部分．13．列代數式（分式）（1）定義：把問題中與數量有關的詞語，用含有數字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數式．（2）列代數式五點注意：①仔細辨別詞義．②分清數量關系．③注意運算順序．④規(guī)范書寫格式．⑤正確進行代換．注意代數式的正確書寫：出現除號的時候，用分數線代替．14．一元一次方程的解定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等．15．一元一次方程的應用（一）一元一次方程解應用題的類型有：（1）探索規(guī)律型問題；（2）數字問題；（3）銷售問題（利潤＝售價﹣進價，利潤率＝×100%）；（4）工程問題（①工作量＝人均效率×人數×時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和＝工作總量）；（5）行程問題（路程＝速度×時間）；（6）等值變換問題；（7）和，差，倍，分問題；（8）分配問題；（9）比賽積分問題；（10）水流航行問題（順水速度＝靜水速度+水流速度；逆水速度＝靜水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設要求的未知量或間接設一關鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關的量，找出之間的相等關系列方程、求解、作答，即設、列、解、答．列一元一次方程解應用題的五個步驟1．審：仔細審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關系．2．設：設未知數（x），根據實際情況，可設直接未知數（問什么設什么），也可設間接未知數．3．列：根據等量關系列出方程．4．解：解方程，求得未知數的值．5．答：檢驗未知數的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句．16．二元一次方程的應用二元一次方程的應用（1）找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關系．（2）找出題中的兩個關鍵的未知量，并用字母表示出來．（3）挖掘題目中的關系，找出等量關系，列出二元一次方程．（4）根據未知數的實際意義求其整數解．17．解三元一次方程組（1）三元一次方程組的定義：方程組含有三個未知數，每個方程中含未知數的項的次數都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組．（2）解三元一次方程組的一般步驟：①首先利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數，得到關于另外兩個未知數的二元一次方程組．②然后解這個二元一次方程組，求出這兩個未知數的值．③再把求得的兩個未知數的值代入原方程組中的一個系數比較簡單的方程，得到一個關于第三個未知數的一元一次方程．④解這個一元一次方程，求出第三個未知數的值．⑤最后將求得的三個未知數的值用“{”合寫在一起即可．18．配方法的應用1、用配方法解一元二次方程．配方法的理論依據是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2配方法的關鍵是：先將一元二次方程的二次項系數化為1，然后在方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方．2、利用配方法求二次三項式是一個完全平方式時所含字母系數的值．關鍵是：二次三項式是完全平方式，則常數項是一次項系數一半的平方．3、配方法的綜合應用．19．幾何體的表面積（1）幾何體的表面積＝側面積+底面積（上、下底的面積和）（2）常見的幾種幾何體的表面積的計算公式①圓柱體表面積：2πR2+2πRh（R為圓柱體上下底圓半徑，h為圓柱體高）②圓錐體表面積：πr2+nπ（h2+r2）360（r為圓錐體低圓半徑，h為其高，n為圓錐側面展開圖中扇形的圓心角）③長方體表面積：2（ab+ah+b