串講07 旋轉(zhuǎn)體與三視圖（考點串講）（解析版）

串講07旋轉(zhuǎn)體與三視圖知識結(jié)構(gòu)要點梳理知識點一圓柱的結(jié)構(gòu)特征定義以_矩形_的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱有關(guān)概念旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的_軸_；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的_底面_；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的_側(cè)面_；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，_不垂直_于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線圖形表示法用表示它的軸的字母，即表示兩底面_圓心_的字母表示，上圖中的圓柱可記作圓柱_O′O_規(guī)定_圓柱_和_棱柱_統(tǒng)稱為柱體圓柱的性質(zhì)：(1)圓柱的兩個底面是半徑相等且互相平行的圓，平行于底面的橫截面是與底面相同的圓；(2)圓柱的母線平行且相等，都等于圓柱的高；(3)過軸的截面（軸截面）是長為圓柱的高、寬為底面的直徑的矩形．知識點二圓錐的結(jié)構(gòu)特征定義以_直角_三角形的一條_直角邊_所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐圖形有關(guān)概念如上圖所示，軸為_SO_，底面為_⊙O_，SA為母線．另外，S叫做圓錐的_頂點_，OA(或OB)叫做底面⊙O的_半徑_表示法圓錐用表示它的_軸_的字母表示，上圖中的圓錐可記作圓錐_SO_規(guī)定_棱錐_與_圓錐_統(tǒng)稱為錐體圓錐的簡單性質(zhì)：(1)圓錐有無數(shù)條母線，它們有公共點即圓錐的頂點，且長度相等．(2)平行于底面的截面都是圓，如圖①所示．(3)過軸的截面(軸截面)是全等的等腰三角形，如圖②所示．知識點三球定義以半圓的_直徑_所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)_一周_形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球有關(guān)概念半圓的_圓心_叫做球的球心；半圓的_半徑_叫做球的半徑；半圓的_直徑_叫做球的直徑圖形表示法球常用表示_球心_的字母表示，如上圖中的球記作球_O_當球截面不經(jīng)過球心時，球及球截面具有如下性質(zhì):(1)球截面圓心與球心的連線垂直于球截面；（2）設球心到截面的距離為d，球的半徑為R，截面上圓的半徑為r，則.知識點四旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積1.圓柱的表面積與體積圓柱的側(cè)面積，表面積，其中r為底面半徑，h為圓柱的高．2.圓錐的表面積和體積(1)側(cè)面展開圖：圓錐的側(cè)面展開圖是_扇形_，扇形的半徑是圓錐的_母線_，扇形的弧長等于圓錐的_底面周長_，如圖所示．(2)面積：錐體的表面積S表＝S側(cè)＋S底．特別地，圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝_πrl_，表面積S表＝_πr(l＋r)__.（3）體積=3.球的表面積和體積球的半徑為R，體積V＝__eq\f(4,3)πR3_.表面積S＝__4πR2_.知識點五三視圖分類正視圖光線從幾何體的_前_面向_后_面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的正視圖側(cè)視圖光線從幾何體的_左_面向_右_面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的側(cè)視圖俯視圖光線從幾何體的_上_面向_下_面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的俯視圖說明幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的_三視圖_，三視圖是_正_投影特征一個幾何體的側(cè)視圖和正視圖_高度_一樣，俯視圖與正視圖_長度_一樣，側(cè)視圖與俯視圖_寬度_一樣題型探究：考點一旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征例1．下列對于圓柱的各判斷中正確的是（

）A．有兩個互相平行的底面的旋轉(zhuǎn)體是圓柱B．經(jīng)過圓柱的軸的截面僅有一個C．將矩形（及其內(nèi)部）繞其一條邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的空間幾何體叫做圓柱D．一個圓柱僅有一條軸也僅有一條母線【答案】C【解析】對于A，有兩個互相平行的底面的旋轉(zhuǎn)體可能是圓臺，A錯誤；對于B，圓柱的軸截面均經(jīng)過圓柱的軸，有無數(shù)個，B錯誤；對于C，由圓柱的定義知C正確；對于D，圓柱有無數(shù)條母線，D錯誤.故選：C.例2．有下列命題：①若在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等；④底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐．其中，正確命題的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【詳解】①不一定，只有當這兩點的連線平行于軸線時才是母線；②不一定，當以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；③錯誤，棱臺的上、下底面相似且是對應邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)棱長不一定相等；④錯誤，底面是正多邊形且頂點在底面的射影為底面正多邊形的中心的棱錐是正棱錐．【變式】1．用一個平面去截一個幾何體，得到的截面是一個圓面，這個幾何體可能是（

）A．圓錐圓柱 B．圓柱球體 C．圓錐球體 D．圓柱圓錐球體【答案】D【分析】由圓錐，圓柱，球體的幾何特征判斷即可.【詳解】解：用一個平面去截一個幾何體，得到的截面是一個圓面，則這個幾何體可能是圓錐，也可能是圓柱，也可能是球體，故選：D.2．如圖，幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得的．現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】考慮截面不經(jīng)過圓柱的軸時對應的截面形狀.【詳解】當截面不過旋轉(zhuǎn)軸時﹐截面圖形如選項A所示．故選：A．考點二旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積例3.已知某圓柱的軸截面是正方形，且該圓柱的側(cè)面積是，則該圓柱的體積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】用圓柱底面圓半徑r表示出其高h，由側(cè)面積列式求出r，進而求得體積.【詳解】設該圓柱的底面圓半徑為，則其高(母線)為，而圓柱的軸截面是正方形，則，圓柱側(cè)面積為，從而，，故該圓柱的體積是．故選：A例4.已知圓錐的軸截面是一個邊長為2的等邊三角形，則該圓錐的側(cè)面積為.【答案】【分析】由軸截面得到圓錐的底面半徑和母線，利用側(cè)面積公式求出答案.【詳解】由題意得，圓錐的底面半徑為，母線長為，故圓錐的側(cè)面積為.故答案為：例5.木星的體積約是地球體積的倍，則它的表面積約是地球表面積的（

）A．60倍 B．倍 C．120倍 D．倍【答案】C【分析】根據(jù)球的體積公式之比可得，結(jié)合球的表面積公式化簡計算即可求解.【詳解】由題意知，木星的體積約是地球體積的倍，，所以，所以，即木星的表面積約是地球表面積的倍.故選：C.【變式】1．一個圓柱的軸截面是一個面積為16的正方形，則該圓柱的體積是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，求得圓柱的底面直徑和高，代入公式，即可求得答案.【詳解】因為軸截面的面積為16，所以圓柱的底面直徑和高均為4，所以圓柱的體積.故選：C2．已知球的半徑是3，則該球的體積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)球的體積公式計算可得.【詳解】因為球的半徑，所以球的體積.故選：D3.已知一個正方體的外接球的體積為，則正方體的體積為.【答案】【分析】先根據(jù)球的體積公式求半徑，然后根據(jù)正方體的體對角線即為外接球的直徑可得正方體的棱長，即可求得正方體體積.【詳解】記正方體棱長為a，外接球半徑為R，則，解得，因為正方體的體對角線即為外接球的直徑，所以，解得，所以，正方體的體積為.故答案為：考點三簡單幾何體的三視圖例6．如圖所示幾何體的俯視圖和側(cè)視圖都正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)側(cè)視圖，沒有實對角線，俯視圖實對角線的方向，排除錯誤選項，得到答案.【詳解】側(cè)視時，看到一個矩形且不能有實對角線，故A，D排除，而俯視時，有半個平面是沒有的，所以有一條實對角線，且其對角線位置從左下角畫到右上角，故B排除.故選：C.例7.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體是（

）A．圓錐 B．圓柱 C．正三棱柱 D．正三棱錐【答案】B【分析】利用三視圖的特點分析即可.【詳解】因為主視圖與左視圖是相同的矩形，且俯視圖是圓形，故該幾何體是圓柱.故選：B【變式探究】1．正三棱柱，如圖所示，以四邊形的前面為正前方畫出的三視圖正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三視圖的知識確定正確答案.【詳解】由于四邊形的前面為正前方，所以主視圖為矩形，左視圖為三角形，俯視圖是中間有一條橫線的矩形，所以A選項正確.故選：A2.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通過三視圖判斷幾何體的圖形形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求出幾何體的體積即可.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是底面半徑為3，母線長為5的圓錐，則高為4，故該幾何體體積為.故選:A.素養(yǎng)作業(yè)1.給出下列四個命題：①底面是正多邊形的棱柱是正棱柱；②四棱柱、四棱臺、五棱錐都是六面體；③所有棱長相等的棱柱一定是直棱柱；④直角三角形繞其一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐．其中正確的命題個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征，幾何體的定義，逐項判斷選項的正誤即可．【詳解】解：①底面是正多邊形，側(cè)棱與底面垂直的棱柱是正棱柱；所以①不正確；②四棱柱、四棱臺、五棱錐都是六面體；滿足多面體的定義，所以②正確；③所有棱長相等的棱柱一定是直棱柱；不滿足直棱柱的定義，所以③不正確；④直角三角形繞直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐．所以④不正確；故選：B．2.一個幾何體的三視圖均為圓，則該幾何體可以是（

）A．正方體 B．球體 C．三棱柱 D．圓柱【答案】B【分析】由球體的平行投影性質(zhì)即可確定幾何體.【詳解】由球體的性質(zhì)：從三個方位作平行投影，其投影形狀均為圓，而對于柱體、錐體沒有該性質(zhì).故選：B3.兩個球表面積的比為，則體積的比為（

）A． B．C． D．不確定【答案】C【分析】由表面積的比得到半徑之比，再得到體積之比.【詳解】設兩球的半徑分別為，，表面積之比，，體積之比.故選：C.4.已知球的半徑是2，則該球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用球的表面積公式計算即可.【詳解】，故選：D.5．如圖所示，該幾何體從正面看所得到的平面圖形是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直觀圖通過直觀形象可得.【詳解】由直觀圖可知，從正面觀察可看到第一層有3個正方形，第二層有2個正方形，所以A正確.故選：A6．如圖，在一密閉的圓柱形玻璃杯中裝一半的水，水平放置時，水面的形狀是（

）A．圓 B．長方形 C．橢圓 D．平行四邊形【答案】B【分析】根據(jù)三視圖以及圓柱的性質(zhì)，可得答案.【詳解】水平放置的圓柱的俯視圖是長方形，所以水面的形狀是長方形.故選：B.7.將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)側(cè)視圖(左視圖)的定義，從幾何體的左側(cè)平視觀察幾何體，得到左視圖，注意被遮擋的線段要畫成虛線.【詳解】將幾何體各頂點字母標記如圖，從左側(cè)觀察，得到如圖所示的側(cè)視圖，其中，對角線被幾何體左側(cè)面遮擋，應當為虛線，故選：C.8．如圖放置的圓柱，它的俯視圖是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)俯視圖的定義，結(jié)合選項可得答案.【詳解】俯視圖為由上向下觀察的平面圖形，