考前必刷06 多面體（考題猜想）（解析版）

考前必刷06多面體一、選擇題1.下列說法中正確的是（

）A．直四棱柱是長方體B．圓柱的母線和它的軸可以不平行C．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形D．以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐【答案】C【分析】根據(jù)相關(guān)立體幾何圖形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A：由直四棱柱的定義可知，長方體是直四棱柱，但當(dāng)?shù)酌娌皇情L方形時，直四棱柱就不是長方體，故A錯誤；對于B：根據(jù)圓柱母線的定義可知，圓柱的母線和它的軸平行，故B錯誤；對于C：由正棱錐的定義可知，正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，故C正確；對于D：當(dāng)以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸時，會得到兩個同底的圓錐組合體，故D錯誤.故選：C.2．如圖所示的是一個五棱柱，則下列判斷錯誤的是（

）A．該幾何體的側(cè)面是平行四邊形B．該幾何體有七個面C．該幾何體恰有十二條棱D．該幾何體恰有十個頂點(diǎn)【答案】C【分析】根據(jù)棱柱的定義及性質(zhì)判斷即可.【詳解】解：根據(jù)棱柱的定義可知，該幾何體的側(cè)面是平行四邊形，故A正確；該五棱柱有七個面，十五條棱，十個頂點(diǎn)，故B、D正確，C錯誤；故選：C3．如圖四個幾何體中是棱錐的選項(xiàng)是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用棱錐的定義判斷選項(xiàng)即可．【詳解】因?yàn)橛幸粋€面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做棱錐．所以中幾何體為棱錐，故選：．4.以下關(guān)于多面體的命題種，真命題為（

）A．所有側(cè)面均為正三角形的四棱錐是正四棱錐B．所有側(cè)面均為正方形的四棱柱是正四棱柱C．所有側(cè)面均為正三角形的多面體是正四面體D．所有側(cè)面均為正方形的多面體是正方體【答案】A【分析】直接利用正棱柱和正棱錐體的定義判定A、B、C、D即可得出答案．【詳解】解：對于A：所有側(cè)面均為正三角形的四棱錐是正四棱錐，故A正確；對于B：所有側(cè)面均為正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，底面不一定為正方形，故B錯誤；對于C：所有側(cè)面均為正三角形的多面體是正四面體，也可能為正四棱錐，故C錯誤；對于D：所有側(cè)面均為正方形的多面體是直棱柱，故D錯誤．故選：A．5.在長方體中，，，，則該長方體的表面積為（

）A．204 B．200 C．196 D．192【答案】D【分析】連接，，利用勾股定理求出，再根據(jù)長方體的表面積公式計算可得.【詳解】如圖，在長方體中，連接，，因?yàn)?，，，所以，所以，所以該長方體的表面積.故選：D.6.已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面邊長為，側(cè)面的對角線長是，則這個正四棱柱的表面積為A． B． C． D．【答案】A【解析】求出側(cè)棱長，再求出側(cè)面積和兩個底面積，即可得表面積．【詳解】由題意側(cè)棱長為．所以表面積為：．故選：A.7.已知直三棱柱的體積為，則三棱錐的體積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)棱柱的幾何性質(zhì)和棱錐的體積公式把三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐，再結(jié)合棱柱的體積求三棱錐的體積即可.【詳解】.故選：D.8.中和殿是故宮外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿與保和殿之間，中和殿建筑的亮點(diǎn)是屋頂為單檐四角攢（cuán）尖頂，體現(xiàn)天圓地方的理念，其屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐．已知此正四棱錐的側(cè)棱長為，側(cè)面與底面所成的銳二面角為，這個角接近30°，若取，則下列結(jié)論正確的是（

）A．正四棱錐的底面邊長為48mB．正四棱錐的高為4mC．正四棱錐的體積為D．正四棱錐的側(cè)面積為【答案】C【分析】在如圖所示的正四棱錐中，設(shè)底面邊長為，根據(jù)側(cè)棱長和側(cè)面與底面所成的二面角可求底邊的邊長，從而可求體高、側(cè)面積以及體積，據(jù)此可判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】如圖，在正四棱錐中，為正方形的中心，，則為的中點(diǎn)，連接，則平面，，則為側(cè)面與底面所成的銳二面角，設(shè)底面邊長為．正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為，這個角接近30°，取，∴，則，，．在中，，解得，故底面邊長為，正四棱錐的高為，側(cè)面積為，體積．故選：C．9.底面邊長和高都是1的正三棱柱的表面積是（

）．A．3 B． C． D．【答案】D【解析】表面積為.故選：D.10.三棱錐的底面為直角邊長分別是2和3的直角三角形，高為4，則該三棱錐的體積為（

）A．4 B．6 C．12 D．24【答案】A【解析】因?yàn)槿忮F的底面為直角邊長分別是2和3的直角三角形，高為4，所以該三棱錐的體積為，故選：A.二、填空題11.長方體是．（寫出所有正確選項(xiàng)的序號）①直四棱柱；②正四棱柱；③正方體；④直棱柱．【答案】①④【分析】由長方體的概念可直接做出判斷.【詳解】長方體是是底面為長方形的直四棱柱，所以長方體是直四棱柱，也屬于直棱柱.故答案為：①④.12.判斷正誤．（1）棱柱的底面互相平行．()（2）棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形．()（3）有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐．()【答案】√√×【詳解】（1）根據(jù)棱柱的定義可知正確（2）根據(jù)棱柱的定義可知正確（3）根據(jù)棱錐的定義可知，有一個面是多邊形，其余各面都是有公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體為棱錐，故錯誤13.長方體中由一個頂點(diǎn)出發(fā)的三個側(cè)面的面積分別為2?3?6，則該長方體的體積為.【答案】6【分析】由已知中從長方體一個頂點(diǎn)出發(fā)的三個面的面積分別為2、3、6，我們可以設(shè)長方體過同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，我們可以根據(jù)已知求出長方體的體積．【詳解】解：設(shè)長方體過同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，∵從長方體一個頂點(diǎn)出發(fā)的三個面的面積分別為2、3、6，∴a?b＝2，a?c＝3，b?c＝6∴（a?b?c）2＝36∴a?b?c＝6即長方體的體積為6故答案為：614.若正四棱柱的底面邊長為5，側(cè)棱長為4，則此正四棱柱的體積為．【答案】100【分析】根據(jù)棱柱體積公式直接可得.【詳解】故答案為：10015.如圖，沿正方體相鄰的三個側(cè)面的對角線截得一個體積為的三棱錐，則該正方體的棱長為．【答案】2【分析】設(shè)該正方體的棱長為，再根據(jù)棱錐的體積公式求解即可【詳解】設(shè)該正方體的棱長為，則，解得故答案為：216.若正四棱錐的底面邊長和高都是2，則其體積為.【答案】【分析】直接根據(jù)棱錐的體積公式求解即可．【詳解】解：由題意的該四棱錐的體積，故答案為：．17.已知長方體的長、寬、高分別是、、，和該長方體等體積的正方體的棱長為．【答案】【分析】根據(jù)長方體和正方體體積公式可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由題意知：長方體體積；設(shè)正方體棱長為，則，解得：.故答案為：.18.已知一個正方體的外接球的體積為，則正方體的體積為.【答案】【分析】先根據(jù)球的體積公式求半徑，然后根據(jù)正方體的體對角線即為外接球的直徑可得正方體的棱長，即可求得正方體體積.【詳解】記正方體棱長為a，外接球半徑為R，則，解得，因?yàn)檎襟w的體對角線即為外接球的直徑，所以，解得，所以，正方體的體積為.故答案為：19．已知正四棱錐的底面邊長是2，側(cè)棱長是，則該正四棱錐的全面積為．【答案】12【分析】根據(jù)正四棱錐的特點(diǎn)，可知側(cè)面是全等的等腰三角形，求出斜高可得側(cè)面積，結(jié)合底面積可得全面積.【詳解】如圖在正四棱錐S﹣ABCD中，O為底面正方形的中心，E為BC的中點(diǎn)，連接OE，SO，SE，則SO⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，所以BC⊥SO，在三角形ABC中，O，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥AB，又因?yàn)锳B⊥BC，所以BC⊥OE．又OE∩SO＝O，所以BC⊥平面SOE，因?yàn)镾E?平面SOE，所以SE⊥BC，即SE為側(cè)面SBC的斜高，三角形SBE為直角三角形，所以SE＝＝2．所以該正四棱錐的全面積S全＝SABCD+4×SSBC＝2×2+4×＝4+8＝12．故答案為12．20．2021年東京奧運(yùn)會的游泳比賽在東京水上運(yùn)動中心舉行，其中某泳池池深約3.5m，容積約為4375，若水深要求不低于1.8m，則池內(nèi)蓄水至少為（

）A．2250 B．2500 C．2750 D．2000【答案】A【解析】由題意，池底面積，則蓄水量至少為.故選：A.三、解答題21．已知棱長為5，底面為正方形，各側(cè)面均為正三角形的四棱錐．(1)求它的表面積；(2)求它的體積.【答案】(1)；(2)﹒【分析】(1)四棱錐表面積為四個側(cè)面等邊三角形面積和底面正方形面積之和；(2)連接、，AC∩BD＝，連接，則為棱錐的高，求出SO，根據(jù)棱錐體積公式即可求解．【詳解】（1）∵四棱錐的各棱長均為5，底面為正方形，各側(cè)面均為正三角形，∴它的表面積為；（2）連接、，AC∩BD＝，連接，則為棱錐的高，則，故棱錐的體積．22．如圖所示，在長方體中，求棱錐的體積與長方體的體積之比.【答案】【解析】棱錐可以看成棱錐，然后結(jié)合棱錐與棱柱的體積公式求解即可.【詳解】解：已知的長方體可以看成直四棱柱，設(shè)它的底面面積為S，高為h，則長方體的體積為.因?yàn)槔忮F可以看成棱錐，且的面積為，棱錐的高是h，所以.因此所求體積之比為.23．用斜二測畫法畫一個底而為正方形，頂點(diǎn)在底面上的射影是底面中心，底面邊長為2cm，高為2cm的棱錐.【答案】作圖見解析【分析】根據(jù)斜二測畫法畫出正四棱錐