人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用51導(dǎo)數(shù)的概念及其意義51

人教A版(2019)選擇性必修第二冊(cè)第五章一元函數(shù)的

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義5.1.2導(dǎo)數(shù)的

概念及其幾何意義

一、單選題

1.己知函數(shù)/(幻=以11+萬在(1,1)處的切線方程過(3,5),則函數(shù),3的最小值為

()

A.1—B.1C.—D.1—

eee

2.已知曲線則曲線的切線斜率取得最小值時(shí)的直線方程為()

e+1

A.x+4y—2=0B.x—4y+2=0C.4x+2y—1=0D.4x—2y—1=0

TTJT

3.已知曲線〃x)=e，sinx在點(diǎn)處切線的傾斜角為a,則角。是()

A.銳角B.直角C.鈍角D.零度角

4.函數(shù)y=/(x)與y=g(x)的圖象如下圖，則函數(shù)y=〃x)-g(x)的圖象可能是

()

5.在曲線y=/的圖象上取一點(diǎn)(1,1)及附近一點(diǎn)(1+Ar,1+A)，)，則會(huì)為

A.Ax+—+2B.Ax:----2

AxAx

C.Ax+2D.2+Ax------

Ar

6.函數(shù)"x)=x2在區(qū)間［2,4］上的平均變化率等于()

A.2B.4C.6D.8

7.設(shè)函數(shù)〃x)=(x-a)2+(lnx2_2a。其中x>O,aeR,存在與使得/(x。)W。成

立，則實(shí)數(shù)人的最小值為

A.-B.-C.-D.1

555

8.設(shè)fM為可導(dǎo)函數(shù)，且/'(2)=；，則lim〃2-叱/(2+人)

2；i->oh

A.1B.-1C-D.--

°，22

看”一廢

9.遍巡\廠上的值為

「:1

A.0B.1C.——D.-

重挈

則lim/Q匕,(2j)的值為

10.設(shè)/(X)為可導(dǎo)函數(shù)，且/'(2)=3,()

/?->oh

A.1B.-1C-D.--

J22

11.如圖是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(X)的圖像，則下列判斷正確的是()

A.在(-2,1)上，/(X)是增函數(shù)B.在(1,3)上,f(x)是減函數(shù)

C.在(4,5)上，是增函數(shù)D.在(-3,-2)上,“X)是增函數(shù)

12.汽車行駛的路程s和時(shí)間f之間的函數(shù)圖象如圖，在時(shí)間段伍也出］

上的平均速度分別為K，%,%,則三者的大小關(guān)系為()

B.不

C.7<%<%D.

二、多選題

13.已知定義在R上的函數(shù)/(x),其導(dǎo)函數(shù)尸(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述

不正確的是()

B.函數(shù)f(x)在［a向上遞增，在但d］上遞減

C.函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為*e

D.函數(shù)/(x)的極大值為了")

三、雙空題

14.如圖是函數(shù)y=/(x)的圖象.

(1)函數(shù)/(X)在區(qū)間上的平均變化率為:

(2)函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,2］上的平均變化率為.

四、填空題

15.已知函數(shù),”》)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，/(X)=X3-2X2,曲線

y=/(x)在點(diǎn)(1J0))處的切線方程為.

16.函數(shù)y=log?x的導(dǎo)數(shù)為.

17.若尸⑴=a,則1由"+2詞-八1)=_

Ar—oAr

18.曲線〃力=機(jī)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.

兀71

19.已知函數(shù)f(x)=sinx測(cè)安/(5+—)一/(5).

刈->0AX

五、解答題

20.求函數(shù)y=Jx，+1在x=0處的導(dǎo)數(shù).

21.已知函數(shù)/。)=3犬2-"111*-3(<3€/?,4*0).

(1)當(dāng)“=2時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若對(duì)任意的都有f(x)20成立，求“的取值范圍.

22.已知函數(shù)人乃=2/+1.

(1)求函數(shù)_/U)在區(qū)間［Xo，x0+Ar］上的平均變化率；

(2)求函數(shù)人x)在區(qū)間［2,2.01］上的平均變化率：

(3)求函數(shù)J(x)在x=2處的瞬時(shí)變化率.

23.求拋物線7(x)=3/-4x—1在點(diǎn)(2,3)處的切線方程.

參考答案：

1.A

【解析】

由“X)過點(diǎn)(1,1),可求出。，進(jìn)而對(duì)/(X)求導(dǎo)，可得到“X)在(1,1)處的切線方程，再結(jié)

合切線方程過(3,5),可求出。的值，從而可得到/(X)的表達(dá)式，進(jìn)而判斷單調(diào)性，可求出

最小值.

【詳解】

：/(x)=oxlnx+6過點(diǎn)(1,1),A/(l)=olnl+Z>=l,解得力=1,

/,(x)=a(lnx+l),

.?./'(l)=a(lnl+l)=a,則/(x)在(1,1)處的切線方程為y="(x-l)+l,

：y=a(x-l)+l過(3,5),：.a=2,

/(x)=2xlnx+l,/'(x)=2(lnx+l),

令刊^x)=0得x=',在(0,j上單調(diào)遞減，在(%+oo)上單調(diào)遞增，

二的最小值為/[]=21/+1=I二.

Ie,eee

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，考查學(xué)生的計(jì)

算求解能力，屬于中檔題.

2.A

【解析】

【分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，再由基本不等式可得切線的斜率的最小值，可得切點(diǎn)

的坐標(biāo)，再由斜截式方程，即可得到切線方程.

【詳解】

解：尸士的導(dǎo)數(shù)為y=-7^二7，

ex+\(e*+l)

答案第1頁，共11頁

e*111

即有(ex+l)2~ex+e-x+2~24"*+2-"

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，取得等號(hào).

即有切線的斜率為％=-；，切點(diǎn)為

則切線的方程為y=-%+(,

即為x+4y-2=0.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，

正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

3.A

【解析】

【分析】

求出了‘(X),代入求得尸(§=tana=/，結(jié)合傾斜角的范圍，即可判斷a角.

【詳解】

由題設(shè)，/'(X)=e"(sinx+cosx),

尸9="區(qū)吟+小鄉(xiāng)=>,即tana=->0，而。儀0㈤,

二角a是銳角.

故選：A

4.A

【解析】

【分析】

可結(jié)合圖像先判斷兩函數(shù)的奇偶性，再結(jié)合特殊點(diǎn)進(jìn)一步判斷符合題意的圖像

【詳解】

由圖可知，“X)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，故在符合定義域的區(qū)間內(nèi)，y=〃x>g(x)為

奇函數(shù)，排除B項(xiàng)；

又x=0取不到，排除D項(xiàng)；

答案第2頁，共11頁

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，/(x)>0,g(x)<0,則y=〃X>g(X)<0,故選A項(xiàng)

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)圖像的識(shí)別，常結(jié)合奇偶性和增減性及特殊點(diǎn)進(jìn)行判斷，屬于基礎(chǔ)題

5.C

【解析】

【分析】

求得年的值，再除以心，由此求得表達(dá)式的值.

【詳解】

因?yàn)?gt;所以包=(1+&)-_1=8+2.故選C.

AxAx

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義，考查平均變化率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.C

【解析】

【分析】

根據(jù)平均變化率的定義算出答案即可.

【詳解】

16-4

函數(shù)/(x)=V在區(qū)間［2,4］上的平均變化率等于——=6

4—2

故選：c

7.C

【解析】

【詳解】

函數(shù)於何以看作動(dòng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。3,24)的距離的平方,點(diǎn)/>在曲線)，=2/〃*上,點(diǎn)。在直

線)=2x上，問題轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離的最小值，由產(chǎn)2/”x求導(dǎo)可得

2

y'=-，令y'=2解得ml,此時(shí)y=2ln1=0,則M(l,0卜所以點(diǎn)"(1,0)到直線y=2x的距離

x

2石4

=三一即為直線與曲線之間最小的距離，故/(x),,?,=』=￡.

J5

答案第3頁，共11頁

4

由于存在xo使得外o）（4則段）加〃（仇即b>-,

本題選擇C選項(xiàng).

8.B

【解析】

【詳解】

分析:先將"（2i）；〃2+/7）化簡(jiǎn)得到其等于一2/（2）,再求它的值.

詳解：因?yàn)槟?（2i）-〃2+〃）=_2比〃2叫-〃2+/0=_2門2）

h-2h

=-2、3=-1,故答案為8

點(diǎn)睛：（1）本題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義和極限的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握

水平.（2）/（%）=lim"/+^）一”與），分式的分母一定是自變量的增量（/+Ar）-%,上面

Ar->°A%

一定是函數(shù)值的增量/（玉>+"）-/（入。），如果不滿足，就要利用極限運(yùn)算化簡(jiǎn).

9.C

【解析】

【詳解】

一；?故選C.

試題分析:=lim———=lim—

12(x-2)(x-4)12%―4

考點(diǎn)：本題主要考查函數(shù)的極限.

點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，函數(shù)極限計(jì)算中，注意約去“零因子

10.C

【解析】

由導(dǎo)數(shù)的定義乃。"2二我）-〃2）=（色），求解即可得解.

—h

【詳解】

解：因?yàn)棰?］（2i）之。〃2-〃）-"2）

又/'（2）=g

所以m3髻工,

20h2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

答案第4頁，共11頁

本題考查了導(dǎo)數(shù)的定義，屬基礎(chǔ)題.

11.C

【解析】

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系判斷.

【詳解】

由圖形知在(-2,-1)上，r(x)<0,(-1,1)±,r(x)>0,在(-2,1)上“X)先減后增；在

(l,2)±r(x)>0,(2,3)上/'(x<0,先增后減；

在(4,5)上，r(x)>0,是增函數(shù)，在(—3,—2)上，r(x)<0,是減函數(shù).只有C

正確.

故選：C.

12.A

【解析】

【分析】

結(jié)合圖象，利用平均變化率的定義求解.

【詳解】

因?yàn)槎?&O4，^2=kAB<網(wǎng)=原<?，

由圖象知我3〈原C，

所以

故選：A

13.ABD

【解析】

對(duì)A,B由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可判斷了(a),f(b),/(c)的大小以及的單

調(diào)性，對(duì)C,D由極值的定義即可判斷.

【詳解】

解：由題圖知可,當(dāng)X€(YO,C)時(shí)，r(x)>0,

當(dāng)xw(c,e)時(shí)，f'(x)<0,當(dāng)時(shí)，f'(x)>0,

答案第5頁，共11頁

所以f(X)在(-8,C)上遞增，

在(c,e)上遞減，在(e,+<?)上遞增,

對(duì)A,/(J)>/(e),故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,函數(shù)〃力)在,,可上遞增，在也,c］上遞增，在［c/］上遞減，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,函數(shù)“X)的極值點(diǎn)為%故C正確；

對(duì)D,函數(shù)f(x)的極大值為/(c),故D錯(cuò)誤.

故選：ABD.

14.y-

24

【解析】

【分析】

利用平均變化率的定義可計(jì)算出函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［-1,1］和［0,2］上的平均變化率.

【詳解】

(1)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［-1,1］上的平均變化率為===4；

1—(—IjZZ

,x—3-14x41

(2)由函數(shù))=/(x)的圖象知，2',

x+l,l<x<3

.3

所以函數(shù)y=/(X)在區(qū)間［0,2］上的平均變化率為〃2)-〃0)廣2=3.

2-0~2~4

【點(diǎn)睛】

本題考查平均變化率的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是利用平均變化率定義進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

15.7x-y-4=0

【解析】

【分析】

先求出當(dāng)x>0時(shí)的解析式，然后再求出切線方程

【詳解】

???函數(shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù)

答案第6頁，共11頁

二當(dāng)x<0時(shí)，=

當(dāng)x>0時(shí)，-x<0,f(-x)=(-x)3-2(-^)2=-x3-2x2

則當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=x'+2x2

/(1)=1+2=3

/(X)=3X2+4X,/'⑴=7

即切線方程為y-3=7(x-l),

即7x-y-4=0

故答案為7x_y_4=0

【點(diǎn)睛】

結(jié)合函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的表達(dá)式，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在點(diǎn)處的切線方程，本

題較為基礎(chǔ)，只要掌握解題方法即可

16.—

xlnl

【解析】

【分析】

將函數(shù)換成以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)，再對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，即得答案.

【詳解】

由換底公式可知,

r,、IInx

/(x)=log2x=—

?.…焉

故答案為：

xln2

【點(diǎn)睛】

單純的對(duì)數(shù)求導(dǎo)問題，考查了學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)求導(dǎo)公式的記憶情況，為基礎(chǔ)題.小記，(lnx);L

X

17.2a

【解析】

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念將已知式配湊成定義式可得答案.

答案第7頁，共11頁

【詳解】

lim/(l+24x)-/(l)=2i,m/(l+2Ax)-/(l)=2/

Ax02Ax'7

故答案為2a.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

18.y=x.

【解析】

【詳解】

分析：先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程.

詳解：因?yàn)椤盭)=',所以f'(x)=y；M=/(O)=l

因止匕切線方程為y-o=x-o,y=乂

點(diǎn)睛：求曲線的切線要注意“過點(diǎn)P的切線”與”在點(diǎn)P處的切線''的差異，過點(diǎn)P的切線

中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切

點(diǎn).

19.0.

【解析】

【詳解】

JIJI

分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求得lim,弓+"0一〃.二/港)，求出尸(x)=cosx,代入求

20Ax

解.

jrrr

詳解：」+"-勺)

A10Ax

因?yàn)閒(x)=sinx,所以尸(x)=cosx

所以f'(9=cos^=0

點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的定義和簡(jiǎn)單的求導(dǎo)公式，屬于簡(jiǎn)單題.

20.兒。=。

【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.

答案第8頁，共11頁

【詳解】

解：Ay=7(O+AX)2+1-VO+T

(A^)2+l-l

7(Ar)2+l+l

(Ar)2_

J"+1+1，

△y_Ax

,,M^/(Ar)2+1+1(

?/I?=limi*=——=0

…37(AX)2+1+1

故答案為：y'Lo=s

21.(1)x+y-l=0；(2)答案見解析；(3)S，O)U(O,l].

【解析】

(I)當(dāng)4=2時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,/(X))

處的切線方程；

(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)/*)的單調(diào)區(qū)間；

(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值即可實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【詳解】

I12

解：(1)。=2時(shí)，f(x)=-x2-21nx--,/(1)=0,f\x)=x一一，=

22x

曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程x+y-1=()

(2)f'(x)=x——-————(x>0)

XX

①當(dāng)"0時(shí)，/0)=匚@>0恒成立，函數(shù)"X)的遞增區(qū)間為(0,+8)

X

②當(dāng)a>0時(shí)，令/(x)=0,解得戈=&或》=-布

X(o,?j(6,+oo)

f(x)-+

答案第9頁，共11頁

fix)減增

所以函數(shù)/(X)的遞增區(qū)間為(&,+8),遞減區(qū)間為(0,6)

(3)對(duì)任意的工￡［1,+8),使/(幻之。成立，只