注冊巖土工程師基礎考試基本公式1

等數(shù)學公式

導數(shù)公式:

(arcsinx)，=/1

(tgx)r=sec2x

Vi-%2

r2

(ctgx)=-escxi

(secx)'=secx-tgx(arcCOST),

Vl-x2

(cscx)'=-cscx-ctgx1

{arctgx),

(ax)r=ax]na-1+/

(log。x)'=—(/arcc、t，gx)——17

xlna1+x

基本積分表：

Jtgxdx=-ln|cosx|+Cdx=Jsec2xdx=/gx+C

cos2x

=to|sinx|+C

dx=jcsc2xdx=-ctgx+C

Jsecxdx=ta|secx+tgj\+Csin2x

Jsecx?/g;^Zx=secx+C

JcscMx=ln|cscx-c/gx|+C

Jcscx?c，gxdx=-cscx+C

dx

^=-arctg-+C

a2+x，aa

\axdx=———I-C

dxx-aJIna

2,，2In+C

x-a1x+a\shxdx=chx+C

dx

ln^+Cchxdx=shx+C

a2-x,，2a-x

dx.X-22

=arcsin—+C=ln(x+A/X±a)+C

^a2-x2aa2

7171

22

〃〃F

ln~\sinxdx=jcosxdx-1n-2

00n

____________________2__________

+a2dx=^y[x^+a2H——ln(x+d/2+4)+。

12ra122

j三x-adx=—a-----Inx+Vx-tz+c

2

2a2.x_

jJ/_%2dx=3八2—xH----arcsin—\-C

2a

三角函數(shù)的有理式積分：

.2〃1-“2x72du

sinx=-----cosx=----------7-”火展dx------T

1+〃1+〃1+/

一些初等函數(shù):兩個重要極限:

「sinx

雙曲正弦:shx=---------lim-----二1

23X

雙曲余弦:c〃x="+e'lim(1+-r=e=2.718281828459045...

218X

雙曲正切:而;=以竺=ex

chxex-\-ex

arshx=ln(x+Vx2+1)

1+x

arthx=—in

21-x

三角函數(shù)公式:

'誘導公式：

sincostgetg

角A\

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

■和差角公式:■和3接化積公式：

??n、.a+Boc-/3

sin(6Z±0)-sinacos￡士cosasinPsincr+sinp=2sin-----cos......-

22

cos0±0=cosacos夕干sinasin0

aB.ex,—B

sindz-sin0=2cos-----sin......-

火…=產(chǎn)力22

l+tga-tg/3a+0a-B

cosa+cos尸=2coscos-------

,,ctsa-cts/3+1

ctg(a+^=g—22

ctgp±ctgaa+/7.oc-B

cosa-cos尸=2sin-------sin-------

22

?倍角公式:

sin2。=2sinacosa

cos2a=2cos2a-l=l-2sin26r=cos26r-sin2crsin3a=3sina—4sin3a

ctg2a-lcos3a=4COS3a—3cosa

ctgla=

letga/g3a=%-ga

2tga1-3次2a

tgla=

1—tg^cc

?半角公式:

.a,/l-cos<z

a./1-coscr1—cosasina

tg-=±J----------=

2V1+cosofsinez1+cosa

b_\

?正弦定理：~^=C-OP■余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC

sinAsin3sinC

7171

?反三角函數(shù)性質:arcsinx=----arccosxarctgx=----arcctgx

2

高階導數(shù)公式-----萊布尼茲(Leibniz)公式:

("V)(〃)Cf"(i)V⑶

k=0

(n)

=uv+nW+77(71-1)m(?-2)v?+…+〃(〃—1)…(〃一)+1)”(“-、(*)+uv^

2!k\

中值定理與導數(shù)應用：

拉格朗日中值定理：/3)-/(0)=/'C)(6-a)

于也)一于?

柯西中值定理:■TC)

F(b)-F(a)尸'C)

當F(x)=x時，柯西中值定理就是立格朗日中值定理c

曲率：

弧微分公式：ds=J1+y'2dx，其中y'=tga

平均曲率衣=A絲.△"：從M點到NT點，切線斜率的傾角變化量；As：MA/弧長。

△s

M點的曲率：7<r=limI—I=—=?

As|dsJ(I+/2)3

直線：K=0;

半徑為4的圓：K=—.

a

定積分的近似計算：

b、

矩形法:J/(X)?b—a.

-----(x>+M+…+y“-i)

an

bb-aI

梯形法:J/(x)[2(Vo+%)+M+???+/-/

bi

拋物線法g/Cx)y瓦f[(y°+%)+2(為+?4+…+y,-2)+4(M+%+…++-i)]

定積分應用相關公式:

功：W=Fs

水壓力：F=p-A

引力：F=k”等,k為引力系數(shù)

r

ib

函數(shù)的平均值$=

a

]b

均方根:,

baJ

-a

多元函數(shù)微分法及應用

,du.du,du,

全微分：dz——dx+—dydu——dxH----dyH----dz

dxdydxdydz

全微分的近似計算：Nzxdz=fx(x,y)Ax+fy(x,y)Ay

多元復合函數(shù)的求導法

dz_dz。"+dzdv

z=/[w(r),v(r)]

dtdudtdvdt

dz_dzdudzdv

z=/[w(x,y),v(x,y)]

dxdudxdvdx

當"=〃(x,y),v=v(x,y)時'，

,du.duQvQv

du,——dxH----dy7dv———dxH----dy

dxdydxdy

隱函數(shù)的求導公式:

dyd2y_dFd

隱函數(shù)萬O,y)=0,

儲’1、,

dxdxdxFy5yFydx

dzFdzF

隱函數(shù)萬O,y,z)=0,xy

dxdy

dFdF

j=d(F,G)

隱函數(shù)方程組''5一dudv

y,〃,v)=0d(u,v)5GdG

dudv

du_1a(產(chǎn),G)dvd(F,G)

dxJ0(尤,v)dx3(w,x)

du1d(F,G)dv6(F,G)

dy~JS(y,v)Syd(u,y)

多元函數(shù)的極值及其求法:

期(尤0，%)=%(%，%)=0,令：/?(%，%)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C

ArM、而jA<O，（Xo，%）為極大值

[A>0,（%,%）為極小值

則:JAC-§2<0時，無極直

AC—§2=0時，不確定

重積分及其應用:

JJf(x,y^dxdy=JJf{rcos3,rs\n0}rdrdO

D'

曲面z=/(x,y)的面積A=

JJxp(x,y)dcyJJyp(x,y)dcr

平面薄片的重心：元="=嗎----------D

MJJQ(x,y}dcrMJJp(x,y)do

D

平面薄片的轉動慣量：對于x軸/%=JJy2mx,y）db,對于y軸/y=￡|\20（羽y）db

DD

平面薄片（位于roy平面）對z軸上質點M（0,0,a）,（“>0）的引力：F={Fx,Fy,F:},其中:

=/JJP(x,y)xdb產(chǎn)%JJ_p{x,y)xdcy

FFy=川…)皿:

D22222222D2222

{x+y+a)D(x+y+?)(x+y+a)

常數(shù)項級數(shù)：

等匕匕數(shù)歹U：l+q+q2+?..+q"T=1^

1一4

等差數(shù)歹也+2+3+…+〃=（"+D"

2

調(diào)和級數(shù)工+1+LH---■是發(fā)散的

23n

級數(shù)審斂法：

1、正項級數(shù)的審斂法----根植審斂法（柯西組別法）：

夕vl時，級數(shù)收斂

設：夕=lim收7，貝小夕>1時，級數(shù)發(fā)散

n—>oo

夕=1時，不確定

2、比值審斂法：

|><1時，級數(shù)收斂

設：夕=lim耍，貝I]夕>1時，級數(shù)發(fā)散

n—>coTJ

"[0=1時，不確定

3、定義法：

sn=ui+u2-\------s“存在，則收斂；否則端U

n—>oo

父錯級數(shù)4—4+比3—"4+…（或—"1+“2—沈3+…，孫>0）的申斂法來布尼茲定理:

U”>“7

如果交錯級數(shù)滿局嬴那么級數(shù)收斂且其和泅其余項廊絕對地|《3

、〃—>00n

絕對收斂與條件收斂：

2T-----卜T--9其中〃〃為任意實數(shù)；

MMM

(2)|1|+|2|+|3|+---+\unIH■…

如果(2)收斂，則⑴肯定收斂，且稱為絕對攵斂級數(shù);

如果(2)發(fā)散，而⑴收斂，則稱⑴為條件收斂級數(shù)。

調(diào)和級數(shù)》:發(fā)散，而攵斂

級數(shù)》《收斂;

n

P<1時發(fā)散

2級數(shù)

P>1時收斂

寨級數(shù)：

23?/國<1時，收斂于

1+x+x+x+(1—X

\|x|>1時,發(fā)散

2

對于級數(shù)(3)%+axx+a2xH---------n%%"H—,如果它不是僅在原點I攵斂，也不是在全

/國vH時收斂

數(shù)軸上都收斂，則必徒尺，使(國>尺時發(fā)散其中R稱為收斂半徑。

、國=R時不定

p乎0日寸，R=工

求收斂半徑的方法：設im也二夕，其中%,4+1是(3)的系數(shù)，貝小0=0時，氏=+8

n—>ooa\

n\p=+8日寸,R=0

函數(shù)展開成幕級數(shù)：

函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：/(X)=/(XO)(X—XO)+U(X—XO)2+-+U32(X—XO)〃+-

2!〃！

f(n+l)/iz\

余項：Rn=L―32(%一％尸+1"(光)可以展開成泰勒級數(shù)型施要條件是.扁=0

(〃+1)!28

%=0時即為麥克勞林公式：/。)=/(0)+八0)%+/久8/+...+/28爐+...

2!n\

一些函數(shù)展開成幕級數(shù)：

“、1m(m-l)m(m-l)---(m-n+l)/1八

(1+x)1n=l+mx+--------%2+???+------------------------%n(-1<%<1)

2!n!

r3y52n-l

sinx=x------1------------b------------1—(-oo<x<+oo)

3!5!(2n-l)!

歐拉公式：

cosx=----------

ea=cosx+zsinx或《

比_-ix

smx=

2

三角級數(shù):

登a?

/(?)=4+Ansin(na)t+(pn)=」+￡(a“cos〃x+6“sinzzx)

n=l2n=i

其中，aQ=a4,an=Ansin(pn,bn=Ancos%,cot=x。

正交性1,5111%,＜：05%61112%,＜：052萬-5111””05"萬一任意兩個不同項的乘積力-凡乃]

上的積分=0。

傅立葉級數(shù)：

co

/0)=丁+，(%

cosnx+bnsinnx),周期=2兀

/n—1

[71

an=一Jf{x}cosnxdx(〃=0,1,2…)

?！?1

其中

]兀

bn=一Jf(x)sinnxdx(“=1,2,3…)

.—7C

111兀2萬2

1+要+靈+，..=----+...='(相加)

86

111萬2兀2

夢+至+初—|—???-----/\1T+:TH----=---(相減)

2412

271

f(x)=￡b“sin是奇函數(shù)

正弦級數(shù)：an=0,bn=一J/(x)sinnx6Zxn=1,2,3…

71o

2冗

"x)=[~+2a"COS依是偶函數(shù)

余弦級數(shù)：bn=0,an——Jf{x}cosnxdxn=0,1,2…

7co

周期為2/的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù):

一、向量代數(shù)

1、向量的有關概念：向量間的夾角、向量的方向角、方向余弦、向量在數(shù)軸上的投影

向量的坐標a=^ax,ay,az^=axi+ayj+azk

在相應坐標軸上的投影

模長：a=+a；+a：

方向余弦：cosa=冬=]%,cos/3==—====,

|a|收+a；+a；|a\"；+4+d

?.a_

cosy=—,r'

/T/222

|a|，/+%+%

、o（）

單位向量a={cosa.cos/?,cos/1

2、向量的運算：線性運算：力口法a+b,減法a-b,數(shù)乘2a

乘積運算：數(shù)量積、向量積

向量的數(shù)量積。b

a-b-abcos0=axbxY+ay、,by、,+abz./

幾何意義；a-b°=一。在匕上的投影

性質：(1)a-a=

=ah+ab+ab=0

AAxyvyvz7z7

微分方程的相關概念：

一階微分方程：y'=/(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

可分離變量的微分方程一階微分方程可以化句g(y)dy=/(x)dx的形式，解法：

Jg(y)/y=jV(x)dx得：G(y)=F(x)+C稱為隱式通解。

齊次方程：一階微分那可以寫成，=F(x,y)=°(x,y),即寫成I的函數(shù)，解法：

dxx

設M=),則包=M+尤也，a+包=夕?,.?.'分離變量，積分后將々弋替小

xdxdxdxx(p(u)-ux

即得齊次方程通解。

一階線性微分方程：

1、一階線性微分方程出+P(x)y=Q(x)

當。(x)=0時,為齊次方程，y=Ce中⑴心

當Q(x)wO時，為非齊次方程，y=(jQ(x)e，P"M公+。)「＞"沖

2、貝努力方程4+P(x)y=Q(x)y",(〃wO,l)

全微分方程:

如果尸(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函數(shù)的全彳粉方程，即：

du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,其中：k=P(x,y),—=Q(x,y)

oxdy

：.M(X,y)=。應該是該全微分方程的通解。

二階微分方程：

d2y+/(x)三0時為齊次

+Q(x)y=/(。

dx1/(X)HO時為非齊次

二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法:

(*)/+py'+qy=Q,其中p應為常數(shù);

求解步驟：

1、寫出特征方程0?2+pr+q=O,其中產(chǎn)，廠的系數(shù)及常數(shù)項恰好是*)式中y”,y，,y的系數(shù);

2、求出(A)式的兩個根

3、根據(jù)大馬的不同情況，按下表寫出(*)式的通解:

(*)式的通解

?G的形式

兩個不相等實根(/-4q〉0)rxx

y=c1e'+c2e^

兩個相等實根(p2-44=0)r,x

y=(q+c2x)e

ax

一對共軌復根(/—44<0)y=e(qcos/?￥+c2sin/3x)

rx-a-vip,r2-a-ip

a=上,小4—

22

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

y"+py'+qy=f(x),為常數(shù)

/(x)=/9(x)型，X為常數(shù)；

/(X)=/'[8(％)＜：05m+月,(%)5111@；]型

二、空間解析幾何

(一)空間直角坐標系(三個坐標軸的選取符合右手系)

空間兩點距離公式|PQ=—%)2+(%—%)2+(Z2—Z])2

(二)空間平面、直線方程

1、空間平面方程

a、點法式A(x-x0)+B(_y-jo)+C(z-zo)=O

b、一般式Ax+By+Cz+D=0

c、截距式-+-+-=1

abc

IAx。+jByn+Czn+L)\

d、點到平面的距離d=J~°,0o/

^A2+B2+C2

2、空間直線方程

A[%+Gz+D]—0

a、一般式

A2%+82,+C?z+D?—0

b、點向式（對稱式）上&=匕包=三=1（分母為0,相應的分子也理解為0）

Imn

c>參數(shù)式<丁=%+機%

z=zQ-\-kt

3、空間線、面間的關系

a、兩平面間的夾角：兩平面的法向量多n2的夾角。（通常取銳角）

――

oa-Q

兩平面位置關系：%1//72O,1〃"2旦=

oA2B2C2

n

%]_L萬？o]~L“2oW+BB+C；C2=0

平面小與12斜交，

b、兩直線間的夾角：兩直線的方向向量的夾角。（取銳角）

兩直線位置關系：L\HL?u>%//a2u>—=——=

-n~,

T->

nn

L]I1^2<>Q]_L〃2O1/2+mim2+i2-0

b、平面與直線間的夾角

線面夾角：當直線與平面不垂直時,直線與它在平面上的投影直線之間的夾角0（取銳

7TTT

角）稱為直線與平面的夾角。當直線與平面垂直時，（p=—（w=——0）

22

線面位置關系：lA+mB+nC=0

「Imn

LT7ra11n—=—二—

ABC

f(x)=—+^(ancos-^^+bnsin-^^),周期=2/

2n=lII

a”(〃=0,1,2…)

其中＜

5=1,2,3…)

物理學

熱學

M2——3-iMi

1、PV=—RT；P=nkT；P=-no)；a)=-kT；e=-kT；※八一上RT

〃322〃2

2、麥氏分布：f(v)=」竺，表示單位速度間隔的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。

「Ndv

3、平均碰撞次數(shù)之=及32加；平均自由程7t=1

J2成2〃

VP

4、等溫過程PV=C；等壓過程工=c；等容過程上=。；絕熱過程比等溫線陡。

TT

※總功A=jpdV；※等溫過程AT==