高中數(shù)學(xué)組卷立體幾何每天一題一練

高中數(shù)學(xué)組卷【立體幾何每天一題一練】一．解答題（共30小題）1．如圖所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中點(diǎn)，O為AE的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)．以AE為折痕將△ADE向上折起，使面DAE⊥面ABCE．（1）求證：OF∥面BDE；（2）求證：AD⊥面BDE．2．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一點(diǎn)．（Ⅰ）求證：BC⊥AM；（Ⅱ）若M，N分別為CC1，AB的中點(diǎn)，求證：CN∥平面AB1M3．如圖，已知ABCD是矩形，E是以CD為直徑的半圓周上一點(diǎn)，且平面CDE⊥平面ABCD，求證：CE⊥平面ADE．（第1題圖）（第2題圖）（第3題圖）4．如圖，三棱錐V﹣ABC中，AB=AC=VB=VC=，BC=2，VA=．（1）求證：面VBC⊥面ABC；（2）求直線VC與平面ABC所成角的余弦值．5．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD（1）證明：側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC；（2）求側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角；（3）求直線AB與平面PCD的距離．6．如圖，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=2，M，N分別是棱CC1（Ⅰ）求證：平面MCN⊥平面ABB1A1（Ⅱ）求證：CN∥平面AMB1．（第4題圖）（第5題圖）（第6題圖）（第7題圖）7．如圖，四邊形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，M為PA的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：PC∥平面BDM；（Ⅱ）求證：平面BMD⊥平面PAC；（III）若PA=AC=，BD=2，求三棱錐M﹣ABD的體積．8．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中AB=AD=2，AA1=1，E為BB1（1）求證：B1D∥平面AEC；（2）求證：AC⊥B1D；（3）求三棱錐E﹣ACD的體積．9．如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M為BC的中點(diǎn)．（1）證明：AM⊥PM；（2）求三棱錐P﹣ADM的體積．10．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．已知：PA=2，AB=2，．（1）求證：CD⊥PD；（2）求異面直線AE與BC所成的角的大?。ǖ?題圖）（第9題圖）（第10題圖）（第11題圖）11．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A′．（1）求證：A′D⊥EF．（2）求三棱錐D﹣A′EF的體積．12．如圖，在三棱錐A﹣BCD中，平行于BC的平面MNPQ分別交AB、AC、CD、BD于M、N、P、Q四點(diǎn)，且MN=PQ．（1）求證：四邊形MNPQ為平行四邊形；（2）試在直線AC上找一點(diǎn)F，使得MF⊥AD．13．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)．（1）證明：PA∥平面BDE．（2）在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使PB⊥平面DEF？證明你的結(jié)論．14．如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1（1）求證：AB1⊥平面A1BD；（2）求三棱錐B﹣A1B1D的體積．（第12題圖）（第13題圖）（第14題圖）（第15題圖）15．如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，D是CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是A1（1）求證：DF∥平面ABC；（2）求證：AF⊥平面BDF．16．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AB=AA1=2，∠BAC=90°，點(diǎn)D是棱B1C（Ⅰ）求證：A1D⊥平面BB1C1C17．如圖所示，PA⊥平面ABC，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，，點(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)M在AB弧上，且OM∥AC．（1）求證：平面MOE∥平面PAC；（2）求證：BC⊥平面PAC；（3）求直線PB與平面PAC所成的角的正弦值．18．已知四棱錐P﹣ABCD如圖1所示，其三視圖如圖2所示，其中正視圖和側(cè)視圖都是直角三角形，俯視圖是矩形．（1）求此四棱錐的體積；（2）若E是PD的中點(diǎn)，求證：AE⊥平面PCD；（3）在（2）的條件下，若F是PC的中點(diǎn)，求四邊形ABFE的面積．（第16題圖）（第17題圖）（第18題圖）19．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F(xiàn)分別為線段AC1，A1C（1）求證：EF∥面BCC1B1；（2）求證：BE⊥平面AB1C120．如圖：四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB=AC=2PA=2，，AD∥BC，∠BAD=150°．（1）證明：PA⊥平面ABCD；（2）求VP﹣ABC．21．如圖，在四棱錐M﹣ABCD中，AB=AD．平面MAD⊥平面ABCD，∠BAD=，G、H分別是AM、AD的中點(diǎn)。求證：（1）直線GH∥平面MCD；（2）平面BGH⊥平面MAD．22．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，E是PD的中點(diǎn)，且PA=BC=AD．（1）求證：CE∥平面PAB（2）求證：CD⊥平面PAC（3）若PA=1，求三棱錐C﹣PAD的體積．（第19題圖）（第20題圖）（第21題圖）（第22題圖）23．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面PDC⊥底面ABCD，O為底面正方形ABCD的中心，M為PA的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：OM∥平面PCD；（Ⅱ）當(dāng)PD=PC=1時(shí)，證明：CP⊥平面PAD．24．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為平行四邊形，PD⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)．（1）求證：AP∥平面MBD；（2）若AD⊥PB，求證：BD⊥平面PAD．25．如圖：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°．E為BB1的中點(diǎn)，D點(diǎn)在AB上且DE=．（Ⅰ）求證：CD⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求三棱錐A1﹣CDE的體積．26．P為正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥面ABCD，AE⊥PB，求證：AE⊥PC．（第23題圖）（第24題圖）（第25題圖）（第26題圖）27．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為DD1（1）求證：AC⊥平面D1DB；（2）BD1∥平面ABC．28．如圖，三棱錐D﹣ABC中，AB，BC，BD兩兩垂直，且AB=BC=2，點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，異面直線AD與BE所成角為θ．（1）求證：AC⊥平面DBE；（2）若，求三棱錐D﹣ABC的體積．29．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是正三角形，側(cè)棱AA1⊥平面ABC，點(diǎn)D在BC上，AD⊥C1①求證：AD⊥平面BCC1B1；②求證：A1B∥平面ADC1．30．如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，DE=2AF，BE與平面ABCD所成角為45°．（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDF；（Ⅱ）求證：AC∥平面BEF；（Ⅲ）求幾何體EFABCD的體積．（第27題圖）（第28題圖）（第29題圖）（第30題圖）

高中數(shù)學(xué)組卷【立體幾何每天一題一練】參考答案與試題解析一．解答題（共30小題）1．如圖所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中點(diǎn)，O為AE的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)．以AE為折痕將△ADE向上折起，使面DAE⊥面ABCE．（1）求證：OF∥面BDE；（2）求證：AD⊥面BDE．考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．專題：證明題．分析：（1）根據(jù)O為AE的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)則OF∥BE，BE?面BDE，OF不屬于面BDE，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知OF∥面BDE；（2）根據(jù)面DAE⊥面ABCE，BE⊥AE，則BE⊥面ADE，而AD?面ADE，則BE⊥AD，AD⊥DE，且DE∩BE=E，滿足直線與平面垂直的判定定理，則AD⊥面BDE．解答：證明：（1）O為AE的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，OF∥BEBE?面BDE，OF不屬于面BDE，∴OF∥面BDE（2）面DAE⊥面ABCE，BE⊥AE∴BE⊥面ADE，AD?面ADE∴BE⊥ADAD⊥DE，且DE∩BE=E，∴AD⊥面BDE點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及直線與平面垂直的判定，線面平行常常找線線平行或面面平行進(jìn)行證明，屬于中檔題．2．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一點(diǎn)．（Ⅰ）求證：BC⊥AM；（Ⅱ）若M，N分別為CC1，AB的中點(diǎn)，求證：CN∥平面AB1M考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)；直線與平面平行的判定．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（I）由三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，可得CC1⊥BC．由已知AC=BC=2，，利用勾股定理的逆定理知BC⊥AC．利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；（II）過N作NP∥BB1交AB1于P，連接MP，則NP∥CC1，利用三角形的中位線定理和平行四邊形的判定定理與性質(zhì)定理即可得到CN∥MP，再利用線面平行的判定定理即可證明．解答：證明：（Ⅰ）因?yàn)槿庵鵄BC﹣A1B1C1中，CC1所以CC1⊥BC．因?yàn)锳C=BC=2，，所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．又因?yàn)锳C∩CC1=C，所以BC⊥平面ACC1A1因?yàn)锳M?平面ACC1A1所以BC⊥AM．（Ⅱ）過N作NP∥BB1交AB1于P，連接MP，則NP∥CC1．因?yàn)镸，N分別為CC1，AB中點(diǎn)，所以，．因?yàn)锽B1=CC1，所以NP=CM．所以四邊形MCNP是平行四邊形．所以CN∥MP．因?yàn)镃N?平面AB1M，MP?平面AB1所以CN∥平面AB1M點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直三棱柱的性質(zhì)、線面平行于垂直的判定和性質(zhì)定理、三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理等基礎(chǔ)知識(shí)與方法，需要較強(qiáng)的推理能力和空間想象能力．3．如圖，已知ABCD是矩形，E是以CD為直徑的半圓周上一點(diǎn)，且平面CDE⊥平面ABCD，求證：CE⊥平面ADE．考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定．專題：證明題．分析：要證明CE⊥平面ADE，需要證明CE垂直于該平面內(nèi)的兩條相交直線，或者使用面面垂直的性質(zhì)，本題的條件是平面CDE⊥平面ABCD，而E是以CD為直徑的半圓周上一點(diǎn)，能夠得到CE⊥DE，由面面垂直的性質(zhì)即可證明．解答：證明：平面ABCD⊥平面CDE，ABCD為矩形，所以AD⊥平面CDE，因?yàn)辄c(diǎn)E在直徑為CD的半圓上，所以CE⊥ED，所以CE⊥平面ADE．點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的證明，證明直線垂直于平面有兩種常用方法：判定定理或者使用面面垂直的性質(zhì)定理，要根據(jù)題目中給定的條件恰當(dāng)選擇．4．如圖，三棱錐V﹣ABC中，AB=AC=VB=VC=，BC=2，VA=．（1）求證：面VBC⊥面ABC；（2）求直線VC與平面ABC所成角的余弦值．考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．分析：（1）取BC的中點(diǎn)D，連接VD、AD，說明∠VDA為二面角面VBC與面ABC的平面角，證明∠VDA=90°．即可證明面VBC⊥面ABC．（2）由（1）得VD⊥平面ABC，說明∠VCD為線VC與平面ABC所成的角，在Rt△VCD中，求出cos∠VCD，得到直線VC與平面ABC所成角的余弦值．解答：解：（1）證明：取BC的中點(diǎn)D，連接VD、AD，由已知得，△VBC為等腰三角形，BD=BC=1，∴有VD⊥BC，VD==2，同理可得AD⊥BC，AD=2，∴∠VDA為二面角面VBC與面ABC的平面角，又△VAD中，AD=VD=2，VA=2．∴∠VDA=90°．∴面VBC⊥面ABC．（2）由（1）得VD⊥平面ABC，∴CD為斜線VC在平面ABC上的射影，∠VCD為線VC與平面ABC所成的角，Rt△VCD中，VC=，CD=BC=1，∴cos∠VCD==．∴直線VC與平面ABC所成角的余弦值為．點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明方法，考查直線與平面所成角，考查空間想象能力．5．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD（1）證明：側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC；（2）求側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角；（3）求直線AB與平面PCD的距離．考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角；二面角的平面角及求法．專題：證明題．分析：（1）由已知中四棱錐P﹣ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得BC⊥側(cè)面PAB，再由面面垂直的判定定理即可得到側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC；（2）取AB中點(diǎn)E，連接PE、CE，根據(jù)（1）的結(jié)論和等腰三角形性質(zhì)，可得∠PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成角，解三角形PCE即可求出側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角；（3）取CD中點(diǎn)F，連EF、PF，可得EG⊥平面PCD，解△PEF求了EG的長(zhǎng)，即可求出直線AB與平面PCD的距離．解答：證明：（1）在矩形ABCD中，BC⊥AB又∵面PAB⊥底面ABCD側(cè)面PAB∩底面ABCD=AB∴BC⊥側(cè)面PAB又∵BC?側(cè)面PBC∴側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC；解：（2）取AB中點(diǎn)E，連接PE、CE又∵△PAB是等邊三角形∴PE⊥AB又∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD∴∠PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成角在Rt△PEC中，∠PCE=45°為所求（3）在矩形ABCD中，AB∥CD∵CD?側(cè)面PCD，AB?側(cè)面PCD，∴AB∥側(cè)面PCD取CD中點(diǎn)F，連EF、PF，則EF⊥AB又∵PE⊥AB∴AB⊥平面PEF又∵AB∥CD∴CD⊥平面PEF∴平面PCD⊥平面PEF作EG⊥PF，垂足為G，則EG⊥平面PCD在Rt△PEF中，EG=為所求．點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，線面距離；（1）的關(guān)鍵是熟練掌握面面垂直的判定及性質(zhì)，（2）的關(guān)鍵是求出線面夾角的平面角，（3）是找到直線與平面的公垂線段．6．如圖，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=2，M，N分別是棱CC1（Ⅰ）求證：平面MCN⊥平面ABB1A1（Ⅱ）求證：CN∥平面AMB1．考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．專題：證明題．分析：（I）在△ABC中，由“三線合一”可證出AB⊥CN，再根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的定義，可得AA1⊥CN，從而得到CN⊥平面ABB1A1，結(jié)合面面垂直的判定定理，可證出平面MCN⊥平面ABB1A（II）取AB1中點(diǎn)G，連接GM、GN．利用三角形中位線定理，結(jié)合平行四邊形BCC1B1中，CM∥BB1且CM=BB1，從而得到四邊形CMGN是平行四邊形，所以GM∥CN，最后用線面平行的判定定理，即可證出CN∥平面AMB1．解答：解：（I）∵AA1⊥平面ABC，CN?平面ABC，∴AA1⊥CN∵△ABC中，AC=BC，N為AB的中點(diǎn)，∴AB⊥CN∵AA1、AB是平面ABB1A1∴CN⊥平面ABB1A∵CN?平面MCN，∴平面MCN⊥平面ABB1A1（Ⅱ）取AB1中點(diǎn)G，連接GM、GN∵△AB1B中，G、N分別是AB1、AB的中點(diǎn)∴GN∥BB1，且GN=BB1，又∵平行四邊形BCC1B1中，M為CC1中點(diǎn)∴CM∥BB1，且CM=BB1，∴GN∥CM且GN=CM，可得四邊形CMGN是平行四邊形∴GM∥CN∵GM?平面AMB1，CN?平面AMB1∴CN∥平面AMB1．點(diǎn)評(píng)：本題以底面為等腰三角形的直三棱柱，求證面面垂直并且證明線面平行，著重考查了線面垂直、面面垂直和判定與性質(zhì)和線面平行的判定定理等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．7．如圖，四邊形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，M為PA的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：PC∥平面BDM；（Ⅱ）求證：平面BMD⊥平面PAC；（III）若PA=AC=，BD=2，求三棱錐M﹣ABD的體積．考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定．專題：證明題；空間位置關(guān)系與距離．分析：（I）欲證PC∥平面MBD，根據(jù)線面平行的判定定理可知只需在平面QBD內(nèi)找一直線與之平行，設(shè)AC∩BD=O，連OM，易證OM∥PC；（II）欲證平面MBD⊥平面PAC，根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證BD⊥平面PAC，而易證BD⊥AC與PA⊥BD．解答：解：（Ⅰ）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OM．因?yàn)锳BCD是菱形，則O為AC中點(diǎn)．又M為PA的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥PC因?yàn)镺M在平面BDM內(nèi)，所以PC∥平面BDM．（Ⅱ）因?yàn)锳BCD是菱形，則BD⊥AC．又PA⊥平面ABCD，則PA⊥BD．所以BD⊥平面PAC．∴平面BMD⊥平面PAC．（III）∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴S△ABD=×=．∵PA⊥平面ABCD，∴MA為三棱錐M﹣ABD的高，MA=，∴三棱錐M﹣ABD的體積V==．點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的證明，考查了面面垂直的證明，求三棱錐的體積，考查了空間想象能力與推理論證能力．8．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中AB=AD=2，AA1=1，E為BB1（1）求證：B1D∥平面AEC；（2）求證：AC⊥B1D；（3）求三棱錐E﹣ACD的體積．考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)；直線與平面平行的判定．專題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）利用三角形的中位線性質(zhì)證明線線平行，再利用線面平行的判定，可證B1D∥平面AEC；（2）利用線面垂直的判定證明AC⊥平面BB1D，進(jìn)而可得AC⊥B1D；（3）求三棱錐E﹣ACD的體積，即求三棱錐E﹣ACB的體積，利用體積公式可得結(jié)論．解答：（1）證明：連接BD，交AC于O，連接OE，則∵E為BB1的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)∴B1D∥OE∵B1D?平面AEC，OE?平面AEC∴B1D∥平面AEC；（2）∵長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中AB=AD=2，∴AC⊥B1∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC∵BB1∩B1D=B1，∴AC⊥平面BB1D∴AC⊥B1D；（3）求三棱錐E﹣ACD的體積，即求三棱錐E﹣ACB的體積，∵AB=AD=2，AA1=1，E為BB1的中點(diǎn)∴三棱錐E﹣ACB的體積==∴三棱錐E﹣ACD的體積為．點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，線面垂直，考查三棱錐體積的計(jì)算，掌握線面平行、垂直的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．9．如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M為BC的中點(diǎn)．（1）證明：AM⊥PM；（2）求三棱錐P﹣ADM的體積．考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)．專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）取CD的中點(diǎn)E，連接PE、EM、EA．利用面面垂直性質(zhì)定理，結(jié)合△PCD為正三角形證出PE⊥平面ABCD，從而得出AM⊥PE．利用題中數(shù)據(jù)，在矩形ABCD中證出EM2+AM2=AE2，可得AM⊥EM，最后根據(jù)線面垂直判定定理證出AM⊥平面PEM，得到即可AM⊥PM；（2）算出三角形ADM的面積，結(jié)合PE=是三棱錐P﹣ADM的高線，利用錐體的體積公式即可算出三棱錐P﹣ADM的體積．解答：解：（1）取CD的中點(diǎn)E，連接PE、EM、EA．∵△PCD為正三角形，E為CD中點(diǎn)，∴PE⊥CD，∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，∴PE⊥平面ABCD∵AM?平面ABCD，∴AM⊥PE∵四邊形ABCD是矩形，∴△ADE、△ECM、△ABM均為直角三角形由勾股定理求得：EM=，AM=，AE=3∴EM2+AM2=AE2，可得AM⊥EM又∵PE、EM是平面PEM內(nèi)的相交直線，∴AM⊥平面PEM∵PM?平面PEM，∴AM⊥PM（2）∵正△PCD中，邊長(zhǎng)為2，∴PE=CD=，∵矩形ABCD中，AD=2，CD=2∴S△ADM=S矩形ABCD=×=2∵PE⊥平面ABCD，得PE是三棱錐P﹣ADM的高∴三棱錐P﹣ADM的體積V=S△ADM×PE=×2×=點(diǎn)評(píng)：本題在特殊四棱錐中求證線面垂直，并求錐體的體積．著重考查了面面垂直性質(zhì)定理、線面垂直的判定與性質(zhì)和錐體體積求法等知識(shí)，屬于中檔題．10．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．已知：PA=2，AB=2，．（1）求證：CD⊥PD；（2）求異面直線AE與BC所成的角的大小．考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)；異面直線及其所成的角．專題：證明題；空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）證明CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD；（2）取PB的中點(diǎn)F，連接AF、EF，△PBC中，利用中位線定理，得到EF∥BC，從而∠AEF或其補(bǔ)角就是異面直線BC與AE所成的角，然后可以通過計(jì)算證明出：△AEF是以F為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以∠AEF=45°．解答：（1）證明：因?yàn)镻A⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，所以PA⊥CD．又AD⊥CD，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，因?yàn)镻D?平面PAD，所以CD⊥PD．（2）解：如圖，取PB中點(diǎn)F，連結(jié)EF、AF，則EF∥BC，從而∠AEF（或其補(bǔ)角）是異面直線BC與AE所成的角．在△AEF中，由，，連結(jié)AC，因?yàn)镻C=4，在Rt△PAC中，AE=PC=2，所以EF2+AF2=AE2，所以△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF=45°．因此，異面直線AE與BC所成的角的大小是45°．點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線及其所成的角和直線與平面垂直的性質(zhì)等知識(shí)，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．11．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A′．（1）求證：A′D⊥EF．（2）求三棱錐D﹣A′EF的體積．考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）可得A′D⊥A′F，A′D⊥A′E，可判A′D⊥平面A′EF，可得結(jié)論；（2）可得A′F=A′E=1，EF=，由勾股定理可得A′E⊥A′F，易得△A′EF的面積，又A′D是三棱錐D﹣A′EF的底面A′EF上的高線，代入體積公式可得．解答：解：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，∴A′D⊥A′F，A′D⊥A′E，∵A′E∩A′F=A′，A′E、A′F?平面A′EF．∴A′D⊥平面A′EF．又∵EF?平面A′EF，∴A′D⊥EF．（2）∵A′F=A′E=1，EF=∴A′F2+A′E2=2=EF2，可得A′E⊥A′F，∴△A′EF的面積為=，∵A′D⊥平面A′EF．∴A′D是三棱錐D﹣A′EF的底面A′EF上的高線，故三棱錐A1﹣DEF的體積為：V=××2=點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定，涉及棱錐的體積的求解和三角形的面積公式，屬中檔題．12．如圖，在三棱錐A﹣BCD中，平行于BC的平面MNPQ分別交AB、AC、CD、BD于M、N、P、Q四點(diǎn)，且MN=PQ．（1）求證：四邊形MNPQ為平行四邊形；（2）試在直線AC上找一點(diǎn)F，使得MF⊥AD．考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）由線面平行的性質(zhì)得線線平行，進(jìn)一步利用平行公理得線線平行，再由已知MN=PQ證得結(jié)論；（2）先找一個(gè)過M且與AD垂直的面，面與AC的交點(diǎn)即為要找的F點(diǎn)．解答：（1）證明：如圖，由已知BC∥平面MNPQ，BC?面ABC，面MNPQ∩面ABC=MN，由線面平行的性質(zhì)得，BC∥MN，又BC∥平面MNPQ，BC?面BCD，面MNPQ∩面BCD=PQ，由線面平行的性質(zhì)得，BC∥PQ，∴MN∥PQ，又由已知MN=PQ，∴四邊形MNPQ為平行四邊形；（2）在面ABD中，過M作ME⊥AD，交AD于E，在面ACD中過E作EF⊥AD，交AC于F．∵M(jìn)E⊥AD，EF⊥AD，ME∩EF=E，∴AD⊥面MEF，∴MF⊥AD．則AC上的點(diǎn)F為所求．點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了空間直線與直線的位置關(guān)系，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．13．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)．（1）證明：PA∥平面BDE．（2）在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使PB⊥平面DEF？證明你的結(jié)論．考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．專題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）連接AC、AC交BD于O．連接EO，因底面ABCD是正方形則點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，根據(jù)EO是中位線則PA∥EO，而EO?平面EDB且PA?平面EDB，根據(jù)線面平行的判定定理可知PA∥平面EDB；（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在點(diǎn)F，則直線PB所在的向量與平面DEF的法向量平行，根據(jù)這個(gè)條件可得到一個(gè)方程，再根據(jù)有關(guān)知識(shí)判斷方程的解的情況．解答：（1）證明：連接AC，AC交BD于O，連接EO∵底面ABCD是正方形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO而EO?平面EDB且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB．（2）解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PD=CD=2，則P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），∵=（2，2，﹣2），=（0，1，1），∴=0+2﹣2=0，∴PB⊥DE．假設(shè)棱PB上存在點(diǎn)F，使PB⊥平面DEF，設(shè)=λ（0＜λ＜1），則=（2λ，2λ，﹣2λ），=+=（2λ，2λ，2﹣2λ），由=0得4λ2+4λ2﹣2λ（2﹣2λ）=0，∴λ=∈（0，1），此時(shí)PF=PB，即在棱PB上存在點(diǎn)F，PF=PB，使得PB⊥平面DEF．點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行、考查空間想象能力和推理論證能力，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．14．如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1（1）求證：AB1⊥平面A1BD；（2）求三棱錐B﹣A1B1D的體積．考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）取BC中點(diǎn)E，連接B1E，證明BD⊥平面AEB1，得BD⊥AB1，由直線與平面垂直的判定定理，可得所證結(jié)論．（2）連接B1D，則三棱錐B﹣A1B1D的體積可以通過求三棱錐A1﹣B1DB的體積得到．解答：（1）證明：由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等可知：AB1⊥A1如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接B1E，則Rt△BCD≌Rt△B1BE∴∠BB1E=∠CBD∴∠CBD+∠BEB1=∠BB1E+∠BEB1=90°∴BD⊥B1E由平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，且AE⊥BC得，AE⊥平面BCC1B1∴AE⊥BD∵B1E?平面AEB1，AE?平面AEB1，AE∩B1E=E∴BD⊥平面AEB1∴BD⊥AB1∵A1B?平面A1BD，BD?平面A1BD，A1B∩BD=B∴AB1⊥平面A1BD（2）解：連接B1D，由AA1∥平面BCC1B1所以點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離，等于AE==2∴==故三棱錐B﹣A1B1D的體積為．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的判定定理、幾何體體積的求法，解題過程中要注意各種位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化以及數(shù)量關(guān)系的求解．15．如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，D是CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是A1（1）求證：DF∥平面ABC；（2）求證：AF⊥平面BDF．考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）取AB中點(diǎn)E，連接CE，證明EFDC是平行四邊形，可得DF∥CE，利用線面平行的判定可得結(jié)論；（2）根據(jù)CE⊥平面A1AB和直線與平面垂直度的性質(zhì)可知CE⊥AF，進(jìn)而根據(jù)DF∥CE，判斷出AF⊥DF，同時(shí)AF⊥A1B根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知AF⊥平面A1BD．解答：證明：（1）取AB的中點(diǎn)E，連接EF，CE，因?yàn)镕是A1B的中點(diǎn)，所以EF是△A1AB的中位線，所以，且EF∥AA1，又因?yàn)镈是CC1的中點(diǎn)，所以EF∥CD，且EF=CD，所以四邊形CDFE是平行四邊形，所以DF∥CE，又CE?平面ABC，DF?平面ABC所以DF∥平面ABC（2）因?yàn)锳B=AA1且F是A1B的中點(diǎn)，所以AF⊥A1B，又因?yàn)镃E⊥平面A1AB，且DF∥CE，所以DF⊥平面A1AB，∵AF?平面A1AB，所以AF⊥DF，又A1B∩DF=F，所以AF⊥平面BDF．點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行的判定，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．16．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AB=AA1=2，∠BAC=90°，點(diǎn)D是棱B1C（Ⅰ）求證：A1D⊥平面BB1C（Ⅱ）求三棱錐B1﹣ADC的體積．考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理即可證明；（Ⅱ）利用等積變形即可求出．解答：證明：（Ⅰ）∵A1B1=A1C1，點(diǎn)D是棱B1C∴A1D⊥B1C1由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，可得BB1⊥B1∵BB1∩B1C1=B1∴A1D⊥平面BB1C（Ⅱ）∵A1B1=A1C1=2，∠B1A∴．∵點(diǎn)D是棱B1C1的中點(diǎn)，∴．∵A1A∥平面BB1C1C，∴點(diǎn)A與A∴===．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面垂直的判定定理和三棱錐的體積計(jì)算公式及等積變形是解題的關(guān)鍵．17．如圖所示，PA⊥平面ABC，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，，點(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)M在AB弧上，且OM∥AC．（1）求證：平面MOE∥平面PAC；（2）求證：BC⊥平面PAC；（3）求直線PB與平面PAC所成的角的正弦值．考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定；直線與平面所成的角．專題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）先證明OE∥平面PAC、OM∥平面PAC，再利用面面平行的判定，可得平面MOE∥平面PAC；（2）利用線線垂直證明線面垂直；（3）由（2）知BC⊥面PAC，可得∠BPC為直線PB與平面PAC所成的角，求出BC、PB的值可得結(jié)論．解答：（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PA…（1分）因?yàn)镻A?平面PAC，OE?平面PAC，所以O(shè)E∥平面PAC．…（2分）因?yàn)镺M∥AC，因?yàn)锳C?平面PAC，OM?平面PAC，所以O(shè)M∥平面PAC．…（3分）因?yàn)镺E∩OM=O，所以平面MOE∥平面PAC…（5分）（2）證明：因?yàn)辄c(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，所以∠ACB=90°，即BC⊥AC，因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC．…（7分）因?yàn)镻A∩AC=A，所以BC⊥平面PAC；…（9分）（3）解：由（2）知BC⊥面PAC，∴∠BPC為直線PB與平面PAC所成的角．…（10分）在Rt△PAC中，，在Rt△ABC中，，在Rt△PBC中，…（12分）∴．∴直線PB與平面PAC所成的角的正弦值為…（14分）點(diǎn)評(píng)：本題考查面面平行，考查線面垂直，考查線面角，解題的關(guān)鍵是掌握面面平行、線面垂直的判定方法，屬于中檔題．18．已知四棱錐P﹣ABCD如圖1所示，其三視圖如圖2所示，其中正視圖和側(cè)視圖都是直角三角形，俯視圖是矩形．（1）求此四棱錐的體積；（2）若E是PD的中點(diǎn)，求證：AE⊥平面PCD；（3）在（2）的條件下，若F是PC的中點(diǎn)，求四邊形ABFE的面積．考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）由三視圖可得四棱錐的底面為邊長(zhǎng)等于2的正方形，且PA垂直于底面ABCD，PA=2．由此求得四棱錐的體積?SABCD?PA的值．（2）先證明CD⊥平面PAD，故有CD⊥AE．再由AE是等腰直角三角形PAD的底邊的中線可得AE⊥PD，再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可得AE⊥平面PCD．（3）在（2）的條件下，EF平行且等于CD，ABEF為直角梯形，AE=PD=，由此求得四邊形ABFE的面積的值．解答：解：（1）由三視圖可得四棱錐的底面為邊長(zhǎng)等于2的正方形，且PA垂直于底面ABCD，PA=2．故此四棱錐的體積為?SABCD?PA=×（2×2）×2=．（2）由于PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD．在正方形ABCD中，由于AD⊥CD，而且PA∩AD=A，可得CD⊥平面PAD，再由AE在平面PAD內(nèi)，故有CD⊥AE．由于AE是等腰直角三角形PAD的底邊的中線，故有AE⊥PD．而CD和PD是平面PCD內(nèi)的兩條相交直線，故有AE⊥平面PCD．（3）在（2）的條件下，由AE⊥平面PCD，EF?平面PCD，可得AE⊥EF．由于EF為三角形PCD的中位線，可得EF平行且等于CD，故ABEF為直角梯形，AE=PD=，故四邊形ABFE的面積為==．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三視圖、直線和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，求椎體的體積，屬于中檔題．19．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F(xiàn)分別為線段AC1，A1C（1）求證：EF∥面BCC1B1；（2）求證：BE⊥平面AB1C1考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）根據(jù)線面平行的判定定理，證明EF∥BB1；從而證明EF∥面BCC1B1；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理證明BE⊥平面AB1C1解答：解：（1）∵E，F(xiàn)分別為線段AC1，A1C1∴EF是三角形AA1C1∴EF∥AA1，又AA1∥BB1，∴EF∥BB1，∵EF?面BCC1B1，BB1?面BCC1B1，∴EF∥面BCC1B1．（2）∵AB⊥BC，BC⊥BC1，∴BC⊥面ABC1，∴BC⊥BE，同時(shí)BC⊥B1C1∵AB=BC1，E是線段AC1的中點(diǎn)．∴BC⊥AC1，∵AC1∩B1C1=C1∴BE⊥平面AB1C點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線和平面平行和垂直的判定，要求熟練掌握線面平行和垂直的判定定理．并能靈活應(yīng)用．20．如圖：四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB=AC=2PA=2，，AD∥BC，∠BAD=150°．（1）證明：PA⊥平面ABCD；（2）求VP﹣ABC．考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明．（2）利用錐體的體積公式求體積．解答：解：（1）證明：因?yàn)镻A=1，AC=2，所以PC2=PA2+AC2．所以PA⊥AC又因?yàn)镻A⊥AD，且AD∩AC=A所以PA⊥平面ABCD…（6分）（2）取BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE．由（1）PA⊥平面ABCD所以．因?yàn)椤螧AD=150°，AD∥BC，所以∠ABC=30°．又因?yàn)锳B=AC=2，所以．所以…（12分）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理．熟練掌握錐體的體積公式．21．如圖，在四棱錐M﹣ABCD中，AB=AD．平面MAD⊥平面ABCD，∠BAD=，G、H分別是AM、AD的中點(diǎn)求證：（1）直線GH∥平面MCD；（2）平面BGH⊥平面MAD．考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可證明；（2）利用面面垂直的判定定理即可證明．解答：證明：（1）∵G、H分別是AM、AD的中點(diǎn)，∴GH∥MD，又∵GH?平面MCD，MD?平面MCD，∴GH∥平面MCD．（2）不妨設(shè)AB=2．在三角形ABH中，由余弦定理可得=3，∴，∴AH2+BH2=AB2=4，∴，∴BH⊥AD．∵平面MAD⊥平面ABCD，∴BH⊥平面MAD，∵BH?平面BGH，∴平面BGH⊥平面MAD．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面平行的判定定理和面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．22．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，E是PD的中點(diǎn)，且PA=BC=AD．（1）求證：CE∥平面PAB（2）求證：CD⊥平面PAC（3）若PA=1，求三棱錐C﹣PAD的體積．考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定．專題：計(jì)算題；證明題．分析：（1）取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，證明，說明四邊形EFBC是平行四邊形，利用CE∥FB，證明CE∥平面PAB．（2）設(shè)PA=1．求出AD=2．推出PB與面ABCD所成的角為∠PBA=45°．然后證明CD⊥面PAC．（3）若PA=1，求三棱錐C﹣PAD的體積．解答：解：（1）取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，=∵PF=FA，PE=ED，∴∴，∴四邊形EFBC是平行四邊形∴CE∥FB∵CE?平面PAB，F(xiàn)B?平面PAB∴CE∥平面PAB（2）設(shè)PA=1．由題意PA=BC=1，AD=2．…（2分）∵PA⊥面ABCD，∴PB與面ABCD所成的角為∠PBA=45°．∴AB=1，由∠ABC=∠BAD=90°，易得CD=AC=．由勾股定理逆定理得AC⊥CD．…（3分）又∵PA⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，…（5分）（3）由（2）可知，PA⊥面ABCD，∴三棱錐C﹣PAD的體積就是P﹣ACD的體積，PA=1．由題意PA=BC=1，AD=2，PB與面ABCD所成的角為∠PBA=45°．∴AB=1S△ACD==1，VC﹣PAD==．點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行，直線與平面垂直的判定與證明，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力．23．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面PDC⊥底面ABCD，O為底面正方形ABCD的中心，M為PA的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：OM∥平面PCD；（Ⅱ）當(dāng)PD=PC=1時(shí)，證明：CP⊥平面PAD．考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．專題：計(jì)算題；證明題．分析：（Ⅰ）連接AC，則OM是三角形ACP的中位線，故有MO∥PC，從而證得OM∥平面PCD．（Ⅱ）由面面垂直的性質(zhì)可得AD⊥PC，由勾股定理可得PD⊥PC，CP⊥平面PAD．解答：解：（Ⅰ）連接AC，∵四邊形ABCD為正方形，∴O為AC中點(diǎn)．又∵M(jìn)為PA的中點(diǎn)，∴MO∥PC，又∵PC?平面PCD，OM?平面PCD，∴OM∥平面PCD．（Ⅱ）∵側(cè)面PDC⊥底面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC．又∵，∴PD⊥PC，且AD∩PD=D，∴CP⊥平面PAD．點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，證明PD⊥PC是解題的關(guān)鍵．24．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為平行四邊形，PD⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)．（1）求證：AP∥平面MBD；（2）若AD⊥PB，求證：BD⊥平面PAD．考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．專題：證明題；空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）設(shè)AC∩BD=H，連接EH，由平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合題意證出MH為△PAC中位線，從而得到MH∥PA，利用線面平行的判定定理，即可證出PA∥平面MBD．（2）由線面垂直的定義證出PD⊥AD，結(jié)合AD⊥PB得到AD⊥平面PDB，得AD⊥BD，再根據(jù)PD⊥BD且PD、AD是平面PAD內(nèi)的相交直線，可得BD⊥平面PAD．解答：解：（1）設(shè)AC∩BD=H，連接EH，∵H為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，∴H為AC中點(diǎn)，又∵M(jìn)為PC中點(diǎn)，∴MH為△PAC中位線，可得MH∥PA，MH?平面MBD，PA?平面MBD，所以PA∥平面MBD．（2）∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PD⊥AD，又∵AD⊥PB，PD∩PB=D，∴AD⊥平面PDB，結(jié)合BD?平面PDB，得AD⊥BD∵PD⊥BD，且PD、AD是平面PAD內(nèi)的相交直線∴BD⊥平面PAD．點(diǎn)評(píng)：本題在特殊的四棱錐中證明線面平行和線面垂直，著重考查了空間的平行、垂直位置關(guān)系的判定與證明的知識(shí)，屬于中檔題．25．如圖：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°．E為BB1的中點(diǎn)，D點(diǎn)在AB上且DE=．（Ⅰ）求證：CD⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求三棱錐A1﹣CDE的體積．考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（Ⅰ）根據(jù)DE=，可得D為AB的中點(diǎn)，然后利用線面垂直的判定定理，證明CD⊥AB，即可證明CD⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）根據(jù)錐體的條件公式確定三棱錐的底面積和高即可以求出錐體的體積．解答：解：（Ⅰ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1∴△ACB為等腰直角三角形，∴AB=2，∵E為BB1的中點(diǎn)，∴BE=1，又DE=，∴BD=，即D為AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB．又AA1⊥CD，AA1∩AB=A，∴CD⊥平面A1ABB1．（Ⅱ）∵CD⊥平面A1ABB1，∴CD是三棱錐C﹣A1DE的高，且CD=．，，∴=4=．又=．∴三棱錐A1﹣CDE的體積為．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面垂直的判斷，以及三棱錐的體積的計(jì)算，利用等積法將三棱錐轉(zhuǎn)化為規(guī)則的三棱錐是解決本題關(guān)鍵．26．P為正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥面ABCD，AE⊥PB，求證：AE⊥PC．考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)．專題：證明題．分析：由已知中P為正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥面ABCD，結(jié)合正方形的幾何特征，我們易得到BC⊥平面PAB，由線面垂直的性質(zhì)得到BC⊥AE，結(jié)合已知中AE⊥PB，及線面垂直的判定定理，得到AE⊥平面PBC，最后再由線面垂直的判定定理，即可得到AE⊥PC．解答：證明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD又∵BC∥AD∴PA⊥BC又由AB⊥BC，PA∩AB=A∴BC⊥平面PAB又AE?平面PAB∴BC⊥AE又由AE⊥PB，BC∩PB=B∴AE⊥平面PBC又∵PC?平面PBC∴PC⊥AE點(diǎn)評(píng)：本題考查知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的判定及直線與平面垂直的性質(zhì)，其中熟練掌握正方形的幾何特征及線面垂直的判定定理和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．27．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為DD1（1）求證：AC⊥平面D1DB；（2）BD1∥平面ABC．考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．專題：證明題；空間位置關(guān)系與距離．分析：（I）正方形ABCD中，可得BD⊥AC，由D1D⊥平面ABCD證出D1D⊥AC，再利用線面垂直的判定定理，即可證出AC⊥平面D1DB．（II）設(shè)O為底面ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，連結(jié)OE，可得OE是△D1DB的中位線，得OE∥BD1．利用線面平行的判定定理即可證出BD1∥平面AEC．解答：解：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．又∵D1D⊥平面ABCD，AC?面ABCD，∴D1D⊥AC，∵BD∩D1D=D，∴AC⊥平面D1DB．（Ⅱ）設(shè)O為底面ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，連結(jié)OE∵O、E分別是BD、DD1的中點(diǎn)，∴OE是△D1DB的中位線，∴OE∥BD1．∵BD1?平面AEC，DE?平面AEC，∴BD1∥平面AEC．點(diǎn)評(píng)：本題在正方體中證明線面垂直和線面平行，著重考查了正方體的性質(zhì)和空間線面垂直、平行位置關(guān)系的判定與證明等知