廣東省2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷（六）

廣東省2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷（六）

（理科）

（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）

一、單項(xiàng)選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共6（）分）

1.已知集合人={（x,y）|x,y為實(shí)數(shù)，且x2+y2=i},B={（x,y）|x,y為實(shí)數(shù),且丫=*},則

AcB的元素個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

2.一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是（I,0,1）,（1,1,0）,

（0,1,1）,（0,0,0）,畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到

3.圓（x+2）2+y2=4與圓（x-2）~+（y-1）2=9的位置關(guān)系為（）

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離

4.下列命題中正確的有（）個(gè).

①若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線互相平行.

②空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

③四面體的四個(gè)面中，最多有四個(gè)直角三角形.

④若兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無(wú)數(shù)條直線.

⑤若兩個(gè)平面垂直，過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面.

A.1B.2C.3D.4

5.直三棱柱ABC-A[B[C]中，若NBAC=90。，AB=AC=AA,,則異面直線BA1與AC]所成的

角等于()

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.已知過(guò)點(diǎn)A(-2,m)和B(m,4)的直線與直線2x+y-1=0平行，則m的值為()

A.0B.-8C.2D.10

x-y〉0

7.已知x,y滿足約束條件，x+y<2，若z=ax+y的最大值為4,則a=()

A.3B.2C.-2D.-3

8.過(guò)點(diǎn)P(1,1)的直線，將圓形區(qū)域｛(x,y)|x2+y2“｝分兩部分，使得這兩部分的面積之

差最大，則該直線的方程為()

A.x+y-2=0B.y-1=0C.x-y=0D.x+3y-4=0

9.過(guò)點(diǎn)A(a,a)可作圓x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的兩條切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.a<-3或B.l<a<-^C.a<-3D.-3<a<l或

222

10.已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，NAOB=90。，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-ABC

體積的最大值為36,則球O的表面積為（）

A.36TlB.64nC.144nD.256n

11.已知矩形ABCD,AB=1,BC=V2.將4ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，

在翻折過(guò)程中（）

A.存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直

B.存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直

C.存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直

D.對(duì)任意位置，三對(duì)直線"AC與BD","AB與CD","AD與BC"均不垂直

12.在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)Pi（xPyi）,P2（X2,y2）間的"L-距離"定義為|P1P2l=|xi-

x2l+lyi-y2l.則平面內(nèi)與x軸上兩個(gè)不同的定點(diǎn)F,,F2的"L-距離"之和等于定值（大于|F]F2l）

的點(diǎn)的軌跡可以是（）

二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知兩直線h：ax-2y+l=0,I2：x-ay-2=0.當(dāng)a=時(shí)，

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(-2,6)關(guān)于直線3x-4y+5=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)

為.

15.已知x?+y2=4x,則x2+y2的取值范圍是.

16.設(shè)mSR,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P(x,

y).則|PA|?|PB|的最大值是.

三、解答題：(本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.在aABC中，已知AB=2,AC=3,A=60°.

(1)求BC的長(zhǎng)；

(2)求sin2c的值.

18.Sn為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，己知an>0,an2+2an=4Sn+3

(I)求｛aj的通項(xiàng)公式：

(II)設(shè)bn=—T—，求數(shù)列｛、｝的前n項(xiàng)和.

anan+l

19.如圖，在三棱柱ABC-A]Bi5中，ZBAC=90°,AB=AC=2,A,A=4,A]在底面ABC的

射影為BC的中點(diǎn)，D是BQi的中點(diǎn).

(1)證明：A]D_L平面A]BC；

(2)求二面角A]-BD-B,的平面角的余弦值.

20.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓C］：(x+3)2+(y-1)2=4和圓C2：(x-4)2+(y-

5)2=4

(1)若直線1過(guò)點(diǎn)A(4,0),且被圓C］截得的弦長(zhǎng)為2愿，求直線1的方程

(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線h和12,它們分別與圓

G和C2相交，且直線h被圓C］截得的弦長(zhǎng)與直線12被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，求所有滿足條

件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

21.已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線1與圓C］：x?+y2-6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A,B.

(1)求圓C］的圓心坐標(biāo)；

(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；

(3)是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線L：y=k(x-4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的

取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題

1.C2.A.3.B,4.C.5.C.6.B.7.B8.A9.A.10.C.

11.B12.A.

二、填空題

13.解：?兩直線h：ax-2y+l=0,12：x-ay-2=0相互垂直，

ax1-(-2)(-a)=0,

解得a=0

故答案為：0

14.解：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線1：3x-4y+5=0對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b),

a-2-4號(hào)5=0

2

6

a+24

即於"O.

l4a+3b=10

解得a=4,b=-2,

所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,-2).

故答案為：(4,-2).

15.解：?.?x2+y2=4x,J(x-2)2+y2=4,

故令x-2=2cos0,y=2sin0,

/.x2+y2=(2+2cos0)2+(2sin0)2

=4+8cos0+4cos20-i-4sin20

=8+8cos0,

Vcos0e[-1,1],

A8+8cos0e[O,16]

故答案為：[0,16]

16.解：有題意可知，動(dòng)直線x+my=O經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0,0),

動(dòng)直線mx-y-m+3=0即m(x-1)-y+3=0,經(jīng)過(guò)點(diǎn)定點(diǎn)B(1,3),

注意到動(dòng)直線x+my=0和動(dòng)直線mx-y-m+3=0始終垂直，P又是兩條直線的交點(diǎn),

則有PA±PB,.,.|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.

故|PA|?|PB|/PA」*D」,=5(當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB1=5^時(shí)取"=")

故答案為：5

三、解答題

17.解：(1)由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2-2AB?ACcosA=4+9-2x2x3x-=7,

2

所以BC47

(2)由正弦定理可得：-4^=-^,則sinC二暮sinA=2s曙。=厚,

sinCsinABCV77

VAB<BC,???C為銳角，

2

則cosC=71-sinc=^1-

因止匕sin2C=2sinCcosC=2x2ZZl.

777

18.解：(I)由aj+ZanFSn+B,可知an+J+2an+]=4Sn+]+3

兩式相減得an+J-aj+2(an+i-an)=4an+i,

22

即2(an+i+an)=an+1-an=(an+1+an)(an+i-an)，

Van>0,Aan+i-an=2,

Vai2+2ai=4a]+3,

.*.ai=-1(舍)或ai=3,

則｛a0｝是首項(xiàng)為3,公差d=2的等差數(shù)列,

,｛a"的通項(xiàng)公式如=3+2(n-1)=2n+l：

(II)Van=2n+l,

***bn=anan+l~（2n+l）（2n+3）=2（初一薪），

數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和《-飄-%湍-表）46一六）=3（2^3）-

19.（1）證明：如圖，以BC中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B、OA、0A]所在直線分別為x、y、z

軸建系.

貝ijBC=V2AC=2V2-A]O=｛AA]2_A02=g

易知A]（0,0,V14），B（5/2-0，0），C（-近，0,0）,

A（0,近，0）,D（0,-A/2，A/14），B]（心V14）?

A^D=（0,-M，0），而=（-我，-V2>VH），

BfD=（-&,0,0）,BC=（-2V2,0,0）,西=（0,0,V14）-

VA7D?0A7=0,，AID，OAI，

又：不i?正=0,...AIDLBC,

又,.?OA]CBC=O,.,.A]D，平面A]BC；

(2)解：設(shè)平面A]BD的法向量為：=(x,y,z),

wA<D=0-V2y=0

由____\得

五

,m-BD=0-&x-ay+Jz=0'

取z=l,得涓（V7,0,I）,

設(shè)平面B]BD的法向量為；=（x,y,z）,

fii-B[D=0[-V2x-V2y+V14z=0

由彳，行4L

。?麗二0"V2x=0

取z=i,得:=（0，1），

—?—?

?一--*、_m?n1_1

1rnGlG|2,2X2j2m

又?.?該二面角為鈍角，

，二面角A,-BD-Bi的平面角的余弦值為-

20.解：(1)由于直線x=4與圓Ci不相交；

，直線1的斜率存在，設(shè)1方程為：y=k(x-4)

圓C］的圓心到直線1的距離為d,???1被。Ci截得的弦長(zhǎng)為2M

22=1

.-.d=^2-(V3)

I-1-7k|7

d=--10從而k(24k+7)=0即k=0或k.----

Vl+k224

直線1的方程為:y=0或7x+24y-28=0

(2)設(shè)點(diǎn)P(a,b)滿足條件，

由題意分析可得直線h、b的斜率均存在且不為0，

不妨設(shè)直線1］的方程為y-b=k(x-a),kxO

則直線12方程為：y-b=-g(x-a)

k

V0C］和。C2的半徑相等，及直線h被圓C］截得的弦長(zhǎng)與直線12被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等,

/.OC］的圓心到直線1］的距離和圓C2的圓心到直線12的距離相等

整理得|l+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|

1+3k+ak-b=±(5k+4-a-bk)即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5

fa+b-2=0a-b+8=0

因k的取值有無(wú)窮多個(gè)，所以或，

b-a+3=0a+b-5=0

4a=T

92

解得^'2或l日c

這樣的點(diǎn)只可能是點(diǎn)P|-=）或點(diǎn)P2（

21.解:（1）VHC1：x2+y2-6x+5=0,

整理，得其標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-3）2+y2=4,

...圓Ci的圓心坐標(biāo)為（3,0）；

（2）設(shè)當(dāng)直線1的方程為丫=1?、A（xi，yi）、B（X2,y2）1

聯(lián)立方程組[（x-3）之+了?：4

尸kx

消去y可得：（1+k2）x2-6x+5=0,

由4=36-4(1+k2)x5>0,可得k2Vg

5

6

由韋達(dá)定理，可得X]+X2=2，

1+k2

線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的參數(shù)方程為其中

55

線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程為：（X-/2+y2*,其中

乙SJ

（3）結(jié)論：當(dāng)ke[-2符，2當(dāng)U{-旨3}時(shí)，直線L：y=k（x-4）與曲線C只有一個(gè)交

點(diǎn).

理由如下：

((3、2,29

(X—