河北省邯鄲市大名縣第一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第九周周測試題

PAGE24-河北省邯鄲市大名縣第一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第九周周測試題一、單選題1．設(shè)l是直線，，是兩個不同的平面，下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則2．如圖，在正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小是（）A．B．C． D．3．正方形ABCD和矩形BEFC組成圖1，G是EF的中點(diǎn)，BC=2BE.將矩形BEFC沿BC折起，使平面平面ABCD，連接AG，DF，得到圖2，則（）圖1.圖2.A．，且直線是相交直線B．，且直線是相交直線C．，且直線是異面直線D．，且直線是異面直線4．在正方體中，點(diǎn)是四邊形的中心，關(guān)于直線，說法正確的是（）A．B．C．平面 D．平面5．在三棱錐中，側(cè)棱，，兩兩垂直，，，的面積分別為,，，則該三棱錐的體積為（）A． B． C．6 D．6．已知正方體的棱長為2，點(diǎn)在線段上，且，平面經(jīng)過點(diǎn)，則正方體被平面截得的截面面積為（）A． B． C． D．7．如圖，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則下列說法錯誤的是（）A．與垂直 B．與平面垂直C．與平面平行 D．與平面平行8．過所在平面外一點(diǎn)，作，垂足為，連接，，，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．若，，則點(diǎn)是的中點(diǎn)B．若，則點(diǎn)是的外心C．若，，，則點(diǎn)是的垂心D．若，，，則四面體外接球的表面積為9．將正方形ABCD沿BD折成直二面角，M為CD的中點(diǎn)，則∠AMD的大小是()A．45°B．30°C．60° D．90°10．如圖所示，AB是⊙O的直徑，VA垂直于⊙O所在的平面，點(diǎn)C是圓周上不同于A，B的隨意一點(diǎn)，M，N分別為VA，VC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．MN∥AB B．MN與BC所成的角為45°C．OC⊥平面VAC D．平面VAC⊥平面VBC二、多選題11．已知直線?和平面，下列說法中不正確的有（）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．直線平行于平面內(nèi)的多數(shù)條直線，則12．下面四個正方體圖形中，、為正方體的兩個頂點(diǎn)，、、分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面的圖形是（）A．B．C． D．13．已知四棱臺的上下底面均為正方形，其中，，，則下述正確的是（）．A．該四棱臺的高為B．C．該四棱臺的表面積為26D．該四棱臺外接球的表面積為第II卷（非選擇題）三、填空題14．如圖，正方形的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是________15．已知正方體的棱長為2，則三棱錐的體積是_______.16．在三棱錐中，平面，是等腰三角形，其中，，，則三棱錐的外接球的表面積為__.四、解答題17．如圖，將直角邊長為的等腰直角三角形，沿斜邊上的高翻折，使二面角的大小為，翻折后的中點(diǎn)為.（Ⅰ）證明平面；（Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離.18．如圖，在棱柱中，側(cè)棱底面，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正切值.參考答案1．D【解析】【分析】利用空間線線、線面、面面的位置關(guān)系對選項(xiàng)進(jìn)行逐一推斷，即可得到答案.【詳解】A.若，，則與可能平行，也可能相交，所以不正確.B.若，，則與可能的位置關(guān)系有相交、平行或,所以不正確.C.若，，則可能，所以不正確.D.若，，由線面平行的性質(zhì)過的平面與相交于，則，又.

所以，所以有，所以正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查面面平行、垂直的推斷，線面平行和垂直的推斷,屬于基礎(chǔ)題.2．D【解析】【分析】連結(jié)，可得，由面得，可得平面，則，有，可得，即與所成的角的大小是，故選D項(xiàng).【詳解】連結(jié)正方體，面面，所以正方形中，面，所以面，而面所以又為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，可得所以，即異面直線與所成的角的大小是.故選D項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查正方體內(nèi)異面直線所成的角，通過線線垂直證明線面垂直，屬于中檔題.3．B【解析】【分析】依據(jù)平面圖形翻折前后，相關(guān)線段或直線的位置變更可知，，并未變更，所以可知在一個平面內(nèi)，又因?yàn)?所以是相交直線．再依據(jù)條件可得平面，所以，即．【詳解】如圖，連接，因?yàn)椋?，同理，?所以,且，故為平行四邊形，所以在一個平面內(nèi)．又因?yàn)?所以是相交直線．由題知，所以平面．故平面，所以，所以，即．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面圖形翻折前后相關(guān)線段或直線位置變更，意在考查學(xué)生的直觀想象實(shí)力和邏輯推理實(shí)力，屬于中檔題．4．C【解析】【分析】設(shè)，證明出，可推斷出選項(xiàng)A、C的正誤；由為等腰三角形結(jié)合可推斷出B選項(xiàng)的正誤；證明平面可推斷出D選項(xiàng)的正誤.【詳解】如下圖所示，設(shè)，則為的中點(diǎn)，在正方體中，，則四邊形為平行四邊形，.易知點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，，則四邊形為平行四邊形，則，由于過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，則A選項(xiàng)中的命題錯誤；，平面，平面，平面，C選項(xiàng)中的命題正確；易知，則為等腰三角形，且為底，所以，與不垂直，由于，則與不垂直，B選項(xiàng)中的命題錯誤；四邊形為正方形，則，在正方體中，平面，平面，，，平面，平面，，同理可證，且，平面，則與平面不垂直，D選項(xiàng)中的命題錯誤.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查線線、線面關(guān)系的推斷，解題時應(yīng)充分利用線面平行與垂直等判定定理證明線面平行、線面垂直，考查推理實(shí)力，屬于中等題.5．B【解析】分析：將三個面積的表達(dá)式列出，相乘可得，同時，從而得解.詳解：由，，的面積分別為,，，且，，兩兩垂直，可得：三個式子相乘可得：∴．

故選B.點(diǎn)睛：，，兩兩垂直，此位置關(guān)系可以將幾何體放入長方體內(nèi)，點(diǎn)A即為長方體的一個頂點(diǎn).6．B【解析】【分析】先依據(jù)平面的基本性質(zhì)確定平面，然后利用面面平行的性質(zhì)定理，得到截面的形態(tài)再求解.【詳解】如圖所示：確定一個平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，同理，所以四邊形是平行四邊?即正方體被平面截的截面.因?yàn)?，所以，即所以由余弦定理得：所以所以四邊形故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面的基本性質(zhì)，面面平行的性質(zhì)定理及截面面積的求法，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.7．C【解析】【分析】對于選項(xiàng)A、B、D，利用線線垂直的判定定理及線面垂直的判定定理、線面平行的判定定理證明即可，對于選項(xiàng)C，由及平面，即可推斷C選項(xiàng)錯誤.【詳解】對于選項(xiàng)A，連接，，由三角形中位線學(xué)問即可證得，由選項(xiàng)B可得平面，所以與垂直對于選項(xiàng)B，由三角形中位線學(xué)問即可證得，正方體中，易得及平面，所以，又所以平面，所以與平面垂直對于選項(xiàng)C，因?yàn)?，平面，所以與平面至少有一個公共點(diǎn)，與平面不行能平行.對于選項(xiàng)D，由B選項(xiàng)的證明可得，又，所以，又平面所以與平面平行故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)、線、面關(guān)系的推斷及線線垂直、線面垂直、線面平行的證明，還考查了推理論證實(shí)力，屬于中檔題.8．D【解析】【分析】應(yīng)用直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，平面幾何中三角形的重心、垂心和外心以及外接球半徑的的學(xué)問，即可解決．【詳解】解：過三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)P，作PO⊥平面α，垂足為O，連PA、PB、PC，對于A、B選項(xiàng)，若PA=PB=PC，連接OA，OB，OC，則OA=OB=OC，則O為三角形ABC的外心；又∠C=90°，則O為AB的中點(diǎn)．故A、B正確．

對于C選項(xiàng)，若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則PA⊥平面PBC，從而PA⊥BC，

又PO⊥平面ABC，則PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，從而BC⊥AO，

同理AB⊥CO，AC⊥BO，故O為三角形的垂心，故C正確．對于D選項(xiàng)，由，，，知四面體對棱相等，故如圖,要求四面體外接球的表面積，即求以該四面體的棱作為面對角線的長方體的外接球的表面積，設(shè)長方體的棱長為，則,所以長方體的體對角線為，故，∴四面體外接球的表面積為，故D錯.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間的線面位置關(guān)系--垂直,以及外接球表面積的求法，解題時要結(jié)合平面幾何的基礎(chǔ)學(xué)問，同時考查邏輯推理實(shí)力，是一道中檔題．9．D【解析】如圖，設(shè)正方形邊長為a，作AO⊥BD，則AM＝又AD＝a，DM＝，∴AD2＝DM2＋AM2，∴∠AMD＝90°.選D.10．D【解析】分析：利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系進(jìn)行推斷.詳解：對于A項(xiàng)，MN與AB異面，故A項(xiàng)錯；對于B項(xiàng)，可證BC⊥平面VAC，故BC⊥MN，所以所成的角為90°，因此B項(xiàng)錯；對于C項(xiàng)，OC與AC不垂直，所以O(shè)C不行能垂直平面VAC，故C項(xiàng)錯；對于D項(xiàng)，由于BC⊥AC，VA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以VA⊥BC，因?yàn)锳C∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC，BC?平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC，故D項(xiàng)正確．點(diǎn)睛：本題考查命題的真假推斷，解題時要仔細(xì)審題，留意空間思維實(shí)力的合理運(yùn)用.11．ABCD【解析】【分析】依據(jù)線線、線面、面面關(guān)系的判定定理及性質(zhì)定理推斷可得；【詳解】解：由直線?和平面，得：在中，若，，則與相交?平行或異面，故錯誤；在中，若，，則或，故錯誤；在中，若，，則與平行或異面，故錯誤；在中，直線平行于平面內(nèi)的多數(shù)條直線，則或，故錯誤．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的推斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題．12．AD【解析】【分析】對每個圖形進(jìn)行分析，依據(jù)面面平行的性質(zhì)定理對A推斷．由線面平行判定定理對D推斷，由線面相交的定義對B，C推斷．【詳解】（下面說明只寫主要條件，其他略）A如圖連接，可得，從而得平面，平面，于是有平面平面，∴平面，B．如圖連接交于點(diǎn)，連接，易知在底面正方形中不是中點(diǎn)（事實(shí)上是四等分點(diǎn)中靠近的一個），而是中點(diǎn)，因此與不平行，在平面內(nèi)，與必相交，此交點(diǎn)也是直線與平面的公共點(diǎn)，直線與平面相交而不平行，C.如圖，連接，正方體中有，因此在平面內(nèi)，直線與平面相交而不平行，D.如圖，連接，可得，，即，直線與平面平行，故選：AD【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理和面面平行的性質(zhì)定理，駕馭證明線面平行的方法是解題基礎(chǔ)．13．AD【解析】【分析】依據(jù)棱臺的性質(zhì)，補(bǔ)全為四棱錐，依據(jù)題中所給的性質(zhì)，進(jìn)行推斷．【詳解】解：由棱臺性質(zhì)，畫出切割前的四棱錐，由于，，可知△與相像比為；則，，則，則，該四棱臺的高為，對；因?yàn)?，則與夾角為，不垂直，錯；該四棱臺的表面積為，錯；由于上下底面都是正方形，則外接球的球心在上，在平面上中，由于，，則，即點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離相等，則，該四棱臺外接球的表面積為，對，故選：AD．【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中垂直，表面積，外接球的問題，屬于難題．14．8【解析】【分析】由斜二測畫法還原得到原圖形為平行四邊形，其中，求得各邊長后即可得到原圖形的周長.【詳解】由斜二測畫法還原可得正方形的原圖形為下圖中的其中，原圖形周長為：故答案為【點(diǎn)睛】本題考查斜二測畫法的基本原則，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】【分析】依據(jù)題意，得出三棱錐全部棱長都為，求出三棱錐的底面積和高，再利用棱錐的體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】解：已知正方體的棱長為2，則三棱錐全部棱長都為，則的面積為：，的外接圓半徑為：，三棱錐的高為：，則三棱錐的體積是：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的體積，涉及正方體的性質(zhì)和三棱錐的性質(zhì)，考查計算實(shí)力.16．【解析】【分析】首先找到三棱錐的外接球的球心，再依據(jù)勾股定理計算外接球的半徑，以及外接球的表面積.【詳解】設(shè)是外接圓的圓心，平面，平面，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，即四邊形是矩形，連結(jié)，此時點(diǎn)到的距離相等，即點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，中依據(jù)余弦定理可知,即,依據(jù)正弦定理可知，即，且，則，即三棱錐的外接球的半徑為，所以外接球的表面積.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的外接球的表面積，中點(diǎn)考查空間想象實(shí)力，計算實(shí)力，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是確定外接球的球心.17．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）證出，，然后利用線面垂直的判定定理即可證出.（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用等體法，由三棱錐的體積公式即可求解.【詳解】（Ⅰ）∵折疊前，是斜邊上的高，∴是的中點(diǎn)，∴，又因?yàn)檎郫B后是的中點(diǎn)，∴，折疊后，∴，，∴平面；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由題意得，∵，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理、等體法求點(diǎn)到面的距離、三棱錐的體積公式，考查了邏輯推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.18．（1）詳見解析；（2）.【解析】