103三重積分(2)104應用省公開課一等獎全國示范課微課金獎課件

三重積分計算1.利用直角坐標計算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)(最終都化為三次積分)方法3.利用對稱性.性質略:§10.3內容回顧定義:若Ω關于yoz面(或xoz面,xoy面)對稱,且f(x,y,z)為關于x(或y,z)連續(xù)奇函數,則=0第1頁方法1.投影法(“先一后二”)(頂部)(底部)(在xoy面上投影域)第2頁方法2.截面法(“先二后一”)=方法２尤其適合用于，當被積函數為ｚ一元函數時，而截面圖形非常清楚且面積易知(記為S(z))情況,不然普通不用方法2．第3頁在柱面坐標系中體積元素為所以適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標表示時方程簡單;2)被積函數用柱面坐標表示也簡單.2.利用柱坐標計算三重積分實際上是先一(直角坐標)后二(二重積分化為極坐標下二次積分)復合結果第4頁例7.計算三重積分解:Ω如圖所圍成.與平面其中

由拋物面原式=第5頁3.利用球坐標計算三重積分就稱為點M球坐標.直角坐標與球面坐標關系坐標面分別為球面半平面錐面第6頁如圖所表示,在球面坐標系中體積元素為所以有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標表示時方程簡單;2)被積函數用球面坐標表示時也簡單.第7頁例8.計算三重積分解:Ω如圖所圍立體.其中

與球面第8頁例9.設由錐面和球面所圍成,計算解:利用對稱性(同例8)第9頁作業(yè)P16410

(2)；11

(1),(4)；12(1),(4)

第10頁●將三次積分⑴先對y三次積分：⑵柱面坐標下三次積分：⑶球面坐標下三次積分：

化為Ω如圖…則(1)則(2)則(3)-1第11頁一、立體體積二、曲面面積三、物體質心與形心四、物體轉動慣量五、物體間引力§10.4重積分應用第十章第12頁

二重積分應用：計算一小片dσ上部分量近似值

用微元法(或元素法)建立被積表示式用重積分處理問題方法

三重積分應用：計算一小塊dv上部分量近似值以后講到線積分、面積分應用也是這個思想(微元法

)微元第13頁一、立體體積曲頂柱體頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

立體體積為第14頁例1.求半徑為a

球面與半頂角為

內接錐面所圍成立體(上部)體積.P163例4解:建坐標系如圖:則立體體積為P16512第15頁二、曲面面積設光滑曲面則面積A可看成曲面上各點處小切平面面積dA無限積累而成.設它在D上投影為d

,(面積微元或面積元素)則第16頁故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即若光滑曲面方程為則有第17頁例2.計算雙曲拋物面被柱面所截解:曲面在xoy面上投影為則出面積A.第18頁例3.計算半徑為a

球表面積.解:設球面方程為曲面在xoy面上投影為(P167例1)由對稱性,所求面積為上半球面面積二倍第19頁(為瑕積分)a為瑕點第20頁三、物體質心設空間有n個質點,其質量分別由力學知,該質點系質心坐標設物體占有平面域D,并有連續(xù)密度函數則分別位于為為其質心公式.推導以下:第21頁將D分割,對于y軸靜力矩Dxy另首先,設物體質心為則所以同理當μ為常數時,得形心坐標：

(其中A為D面積)第22頁若物體為占有空間區(qū)域Ω,則它質心坐標為其密度為則得形心坐標：第23頁例4.求位于兩圓和質心.(P171例3)解:利用對稱性可知而之間均勻薄片總之,薄片質心(形心)坐標為:第24頁四、物體轉動慣量設物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布密度函數該物體位于(x,y,z)處微元dv所以物體對z軸轉動慣量:對z軸轉動慣量為因質點系轉動慣量等于各質點轉動慣量之和,故連續(xù)體轉動慣量可用積分計算.第25頁類似可得:對x軸轉動慣量對y軸轉動慣量對原點轉動慣量第26頁假如物體是平面薄片,面密度為則轉動慣量表示式是二重積分.第27頁例5.求半徑為a

均勻半圓薄片對其直徑解:建立坐標系如圖,轉動慣量.(P172例5)第28頁解:取球心為原點,z軸為l軸,則例6.求均勻球體對于過球心一條軸

l轉動慣量.(P173)設球所占域為(用球坐標)看教材上是怎么計算第29頁五、物體引力設物體占有空間區(qū)域,物體對位于P0(x0,y0,z0)質量為m質點引力利用元素法,在上積分即得各引力分量:其密度函數引力元素在三坐標軸上投影分別為其中P0第30頁G

為引力常數設尤其地,當質點位于原點時在上積分即得各引力分量:引力元素在三坐標軸上投影分別為第31頁對xoy面上平面薄片D,它對原點處單位質量質點引力分量為第32頁例7.設面密度為μ,半徑為R圓形薄片求它對位于點解:由對稱性知引力處質量為m質點引力.。第33頁作業(yè)P154

7，10,17P175

1，3，6,11,