6、正方形的判定和性質(zhì) - 答案

正方形的判定和性質(zhì)探索活動(dòng)1、思考：你能類比矩形、菱形的概念給正方形下個(gè)定義嗎?正方形的概念：____________并且____________的_________是正方形。2、探究：（1）比較平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系（2）探索正方形的性質(zhì)請(qǐng)大家思考正方形有哪些性質(zhì)?正方形是一個(gè)特殊的平行四邊形，正方形形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；正方形還是特殊的矩形，也是特殊的菱形，所以正方形具有矩形、菱形的所有性質(zhì)正方形的性質(zhì)：從對(duì)稱性看：正方形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形從邊看：正方形的四邊相等，對(duì)邊平行從角看：正方形4個(gè)角都是直角從對(duì)角線看：正方形的兩條對(duì)角線相等且互相垂直平分；每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角思考：正方形具有而一般矩形不具備的性質(zhì)：正方形具有而一般菱形不具備的性質(zhì)：探索正方形的判定方法：?jiǎn)栴}：有一個(gè)角是直角的是正方形；有一組鄰邊相等的是正方形；對(duì)角線相等的是正方形；對(duì)角線垂直的是正方形；對(duì)角線的四邊形是正方形。思路：（1）先說(shuō)明這個(gè)平行四邊形是，再說(shuō)明這個(gè)矩形也是；（2）先說(shuō)明這個(gè)平行四邊形是，再說(shuō)明這個(gè)菱形也是。歸納總結(jié)例1.如圖，四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，試探索BG與DE的關(guān)系.例2.在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在各邊上，且AE=BF=CG=DH．四邊形EFGH是正方形嗎?為什么?題型一：正方形的性質(zhì)-求角度1．如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∴，故選：D．2．如圖，在正方形中，E為上一點(diǎn)，連接，交對(duì)角線于點(diǎn)F，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A．80° B．70° C．75° D．45°【答案】A【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，故選：A．3．如圖，在正方形的外側(cè)，作等邊，則．

【答案】【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，∵是等邊三角形，，∴，，∴，，∴，故答案為：．4．如圖，正方形ABCD中，E在BC延長(zhǎng)線上，AE，BD交于點(diǎn)F，連接FC，若，那么的度數(shù)是．【答案】58°【詳解】解：∵在正方形ABCD，AD=CD，∠ADF=∠CDF=45°，DF=DF，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DAF=∠DCF，又∵AD∥BC，∠E=32°，∴∠DAF=32°，∴∠DCF=32°，∴∠BCF=∠DCB－∠DCF=90°－32°=58°．故答案為：58°．5．如圖，在正方形中，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，且．求的度數(shù)．【答案】【詳解】解：在正方形中，，，，，在中，，則是等邊三角形，，，在中，，，則；．6．如圖，BF平行于正方形ADCD的對(duì)角線AC，點(diǎn)E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，求∠BCF.【答案】105°【詳解】作AO⊥FB的延長(zhǎng)線,BQ⊥AC∵BF∥AC,∴AO∥BQ且∠QAB＝∠QBA＝45°∴AO＝BQ＝AQ＝AC∵AE＝AC∴AO＝AE∴∠AEO＝30°∵BF∥AC∴∠CAE∠AEO＝30°∵BF∥AC,CF∥AE∴∠CFE∠CAE＝30°∵BF∥AC∴∠CBF∠BCA＝45°∠BCF＝180°－∠CBF－∠CFE＝180°－45°－30°＝105°題型二：正方形的性質(zhì)-求長(zhǎng)度1．正方形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為8，則正方形的邊長(zhǎng)為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【詳解】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，∵正方形的一條對(duì)角線之長(zhǎng)為8，∴，∴（負(fù)值已舍去），故選C．2．如圖，直線l過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)B，點(diǎn)A、C到直線l的距離分別是1和3，則正方形的邊長(zhǎng)是．【答案】.【詳解】試題分析：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠ABM+∠CBN=90°.∵AM⊥MN，CN⊥BN，∴∠BAM=∠CBN，∠AMB=∠CNB=90°.∴△AMB≌△BCN（AAS）.∴BM=CN.∵點(diǎn)A、C到直線L的距離分別是1和3，即AM=1，CN=3，∴BM=3.∴.3．如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解∶∵四邊形是正方形，∴，中，，∴，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得∶，即，解得∶（負(fù)值舍去），∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故選∶D．4．如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形中，M為對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)P.若，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵邊長(zhǎng)為6的正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵∴，解得，∴，∴，故選C．5．如圖，在正方形中，將邊繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，，若，，則線段的長(zhǎng)度為．

【答案】【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

四邊形是正方形，，，，，，又，在和中，，，，將邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，，又，，，，（負(fù)值舍去），故答案為：．6．如圖，正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，連接，若于點(diǎn)，是的角平分線，，則的長(zhǎng)為．【答案】【詳解】解：四邊形是正方形，，，在中，，正方形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，，于點(diǎn)，，是的角平分線，，在和中，，∴，，，故答案為：．題型三：正方形的性質(zhì)-求周長(zhǎng)和面積1．正方形一條對(duì)角線為2，則正方形的面積為．【答案】2【詳解】解：正方形的一條對(duì)角線的長(zhǎng)為2，這個(gè)正方形的面積．故答案為：2．2．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交、于E、F，則陰影部分的面積是．

【答案】1【詳解】解：在正方形中，，，∴，又，∴，，陰影面積．故答案為：1．3．如圖，正方形ABCD中，AB=1，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，分別以AP、PC為對(duì)角線作正方形，則兩個(gè)小正方形的周長(zhǎng)的和是．【答案】4cm．【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，則較大的正方形的邊長(zhǎng)為1-x，故兩個(gè)小正方形的周長(zhǎng)和=4x+4（1-x）=4cm．4．如圖，正方形和正方形的邊長(zhǎng)都是2，正方形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】解：如圖，設(shè)與交點(diǎn)N，與交點(diǎn)M，∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，∴．在與中，，，，．故選：A．5．正方形的邊長(zhǎng)為2，將該正方形繞頂點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形重疊部分的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：設(shè)交于點(diǎn)，連，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，由旋轉(zhuǎn)得，，，，，，在和中，，，，在上截取，連接，則，，，，，，，，故選：A．

6．如圖，已知正方形為邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），以為一邊作正方形，連接，若，則的面積為．

【答案】【詳解】解：連接，

∵四邊形和四邊形是正方形，∴，∴，∴，故答案為：．7．如圖，邊長(zhǎng)為的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為、，則的值為．

【答案】【詳解】解：如圖所示，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵四邊形，四邊形，四邊形是正方形，是對(duì)角線，是對(duì)角線，∴，，∴是等腰直角三角形，且，同理，是等腰直角三角形，且，∴，，，∴，故答案為：．題型四：正方形的性質(zhì)運(yùn)用1．菱形、矩形、正方形都具有的特點(diǎn)是（

）A．對(duì)角線互相垂直B．對(duì)角線相等 C．對(duì)角線互相平分D．對(duì)角線平分對(duì)角【答案】C【詳解】解：A.矩形的對(duì)角線不一定互相垂直，故不符合題意；B.菱形的對(duì)角線不一定相等，故不符合題意；C.菱形、矩形、正方形的對(duì)角線互相平分，故符合題意；D.矩形的對(duì)角線不一定平分對(duì)角，故不符合題意；故選：C．2．下列性質(zhì)中，平行四邊形，矩形，菱形，正方形共有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線互相垂直 C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角線平分內(nèi)角【答案】C【詳解】解：∵平行四邊形的對(duì)角線互相平分，∴矩形，菱形，正方形的對(duì)角線也必然互相平分．故選：C．3．在學(xué)習(xí)了“中心對(duì)稱圖形——平行四邊形”之后，平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系可以用下面的關(guān)系圖表示，則②處所填圖形的名稱應(yīng)為．

【答案】正方形【詳解】解：由題意可知，④是平行四邊形，①和③分別是矩形和菱形，②是正方形．故答案為：正方形．4．如圖，以的邊、為邊分別向外作正方形、，連接、相交于，、相交于．

(1)從旋轉(zhuǎn)的角度看，是繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，可以得到；(2)與有何關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)，，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）解：由題意知，從旋轉(zhuǎn)的角度看，是繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，可以得到；故答案為：，；（2）解：，，理由如下：∵四邊形、四邊形均為正方形，∴，∴，即，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴．題型五：最值問(wèn)題1．如圖，四邊形為正方形，，分別是，邊的中點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趯?duì)角線上找一點(diǎn)，使的值最?。ú粚?xiě)作法，保留作圖痕跡）．

【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)即為所求．連接交于O，連接并延長(zhǎng)交于T，由正方形的對(duì)稱性可知關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合．

2．如圖所示，正方形的面積為9，是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形內(nèi)，在對(duì)角線上有一點(diǎn)P，使的和最小，則這個(gè)最小值為（

）A．4.5 B．9 C．2.5 D．3【答案】D【詳解】解：設(shè)BE與交于點(diǎn)，連接，，∵點(diǎn)B與D關(guān)于對(duì)稱，∴，∴最?。哒叫蔚拿娣e為9，∴，又∵是等邊三角形，∴．故選：D3．正方形中，點(diǎn)在上，，，點(diǎn)在上，的最小值．

【答案】【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)P，連接，

∵四邊形是正方形，∴，且，∴，則，此時(shí)最短，∵，，∴根據(jù)勾股定理得，∴，即的最小值為：，故答案為：．4．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，E是的中點(diǎn)，在對(duì)角線上有一點(diǎn)P，則的最小值是．

【答案】【詳解】連接，，

因?yàn)檎叫侮P(guān)于對(duì)角線對(duì)稱，點(diǎn)B與點(diǎn)D是對(duì)稱點(diǎn)，∴，當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，，為最小值．∵正方形的邊長(zhǎng)為2，∴，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∵在正方形中，，∴在中，，∴的最小值是．故答案為：5．如圖，在正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（與，不重合），則的最小值是．

【答案】【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，∴，，∴，即的最小值為，∵四邊形是正方形，∴，，∵，，∴，，在中，，∴的最小值是．故答案為：．

題型六：正方形的判定定理1．如圖，四邊形的對(duì)角線，交于點(diǎn)O，且，，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）

A．若，則是菱形 B．若，則是矩形C．若且，則是正方形 D．若，則是正方形【答案】D【詳解】解：∵，，∴四邊形是平行四邊形，若，則四邊形是菱形，故A選項(xiàng)不符合題意；若，則四邊形是矩形，故B選項(xiàng)不符合題意；若且，則四邊形是正方形，故C選項(xiàng)不符合題意；若，則四邊形是矩形，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．2．如圖所示，在中，在，平分，于E，于F，求證：四邊形是正方形．

【答案】∵平分，，∴，，又∵，∴四邊形是矩形，∵，∴矩形是正方形．3．矩形四個(gè)內(nèi)角平分線組成四邊形，求證：四邊形是正方形．

【答案】四邊形是矩形，，，，，，分別是四個(gè)內(nèi)角平分線，，，，四邊形是矩形，在和中，，，，，，矩形是正方形．4．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，先把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△EDC后，再把△ABC沿射線BC平移至△GFE，DE、FG相交于點(diǎn)H．

(1)判斷線段DE、FG的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)連接AG，求證：四邊形ACEG是正方形．【答案】(1)DE⊥FG，理由見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【詳解】（1）解：DE⊥FG，理由如下：∵把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△EDC，∴∠BAC＝∠CED，∵把△ABC沿射線BC平移至△GFE，∴∠ABC＝∠GFE，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠CED+∠GFE＝90°，∴∠FHE＝90°，∴DE⊥GF；（2）解：∵把△ABC沿射線BC平移至△GFE，∴AC＝GE，AC∥GE，∴四邊形ACEG是平行四邊形，∵把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△EDC，∴AC＝CE，∠ACE＝90°，∴四邊形ACEG是正方形．5．如圖：已知：是的角平分線，交于，交于．(1)求證：四邊形是菱形；(2)當(dāng)滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）解：證明：，，，，四邊形是平行四邊形（有兩組對(duì)邊相互平行的四邊形是平行四邊形），（平行四邊形的對(duì)角相等）；又是的角平分線，∴∠EAD=∠FAD，∵DE∥AC，∴∠EDA=∠FAD，，（等角對(duì)等邊），四邊形是菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；（2）解：由（1）知，四邊形是菱形，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，，即，的時(shí)，四邊形是正方形．課后練習(xí)1．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且OA＝OC，OB＝OD，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若AC⊥BD，四邊形ABCD是菱形B．若AB＝BC，AC＝BD，四邊形ABCD是正方形C．若AC＝BD，四邊形ABCD是矩形D．若∠ABC＝90°，四邊形ABCD是正方形【答案】D【詳解】解：∵四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且OA=OC，OB=OD，∴四邊形ABCD為平行四邊形．A．∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形，故該選項(xiàng)不符合題意；B.∵AB=BC，∴平行四邊形ABCD是菱形，∵AC=BD，∴菱形ABCD是正方形；故該選項(xiàng)不符合題意；C.∵AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故該選項(xiàng)不符合題意；D．∵∠ABC=90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．2．如圖，在正方形外作等邊，則．【答案】【詳解】解：四邊形是正方形，，，又是等邊三角形，，，，，．，故答案為．3．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的點(diǎn)，且，求的度數(shù)．【答案】【詳解】解：在正方形ABCD中，，，．又∵，∴，，∴，，∴．4．如圖，在正方形中，延長(zhǎng)至，使．求的度數(shù)．【答案】【詳解】解：在正方形中，，對(duì)角線平分，，，，是等腰三角形，是的一個(gè)外角，，即，解得，故答案為：．5.在正方形ABCD中，兩條對(duì)角線相交于O，∠ACD的平分線交BD于P，若正方形ABCD的周長(zhǎng)是16cm，則PB＝___________cm.【答案】46．如圖，正方形的面積為2，菱形的面積為1，則兩點(diǎn)間的距離為（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】A【詳解】解：如圖，連接，

∵正方形的面積為，∴，解得：，∵菱形的面積為，∴，即，解得：．故選：A．7．如圖，已知正方形，是上一點(diǎn)，過(guò)上一點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．，則．

【答案】6【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作的平行線，交于點(diǎn)F，如圖所示：

∵是正方形，∴，，，∴，∵，，∴，四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：6．8．如圖，直線，，分別過(guò)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，，，且相互平行，若，的距離為，，的距離為2，則正方形的邊長(zhǎng)為．【答案】【詳解】解∶如圖，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，∵，∴，∴，，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，，即正方形的邊長(zhǎng)為．故答案為：9．如圖，有三個(gè)正方形，，，點(diǎn)，，，，都在同一直線上，若正方形，的面積分別為和，則正方形的面積為（

）A．4 B．5 C．6 D．11【答案】B【詳解】解：∵四邊形，，都是正方形，∴，；∴，∴，∴（），∴，，∵正方形，的面積分別為和，∴，∴正方形的面積故選∶B．10．若正方形的邊長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是多少？

【答案】【詳解】解：設(shè)，是中點(diǎn)，又因?yàn)楹屯?，∴，，則，陰影部分的面積．11．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，H在CD的延長(zhǎng)線上，四邊形CEFH也為正方形，則△DBF的面積為(

)A．4 B． C． D．2【答案】D【詳解】解：設(shè)正方形CEFH的邊長(zhǎng)為a，根據(jù)題意得：=2．故選：D．12．如圖，在矩形中，平分，平分，．求證：四邊形是正方形．【答案】∵，∴四邊形是平行四邊形．∵四邊形是矩形，∴，．又∵平分，平分，∴．∴．∴．∴是菱形（菱形的定義）．在中，∵，∴．∴菱形是正方形（有一個(gè)角是直角的菱形是正方形）．13．如圖，中，，是的角平分線，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使．連接，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)當(dāng)時(shí)，猜想四邊形是什么圖形？說(shuō)明理由．【答案】（1）證明：∵點(diǎn)O為的中點(diǎn)，，∴四邊形是平行四邊形，，是的角平分線，，，∴平行四邊形是矩形；（2）解：當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形，理由如下：，是的角平分線，，，，由（1）可知，四邊形是矩形，∴矩形是正方形．14．已知：如圖，在正方形ABCD中，G是CD上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到E，使CE=CG，連接BG并延長(zhǎng)交DE于F．（1）求證：△BCG≌△DCE；（2）將△DCE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DAE′，判斷四邊形E′BGD是什么特殊四邊形，并說(shuō)明理由．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCD=90°．∵∠BCD