31-一維波動(dòng)方程初值問(wèn)題省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

Autumn

Instructor:Y.Huang

ylhuang@

Room721,ShangxianBuilding

SchoolofMathematics&Statistics,NUISTPartialDifferentialEquations第1頁(yè)§3.1

一維波動(dòng)方程初值問(wèn)題無(wú)界弦自由振動(dòng)波傳輸無(wú)界弦受迫振動(dòng)和齊次化原理半界弦振動(dòng)和延拓法端點(diǎn)固定有界弦振動(dòng)解先驗(yàn)預(yù)計(jì)第2頁(yè)1.一維波動(dòng)方程初值問(wèn)題基本思緒：無(wú)界弦自由振動(dòng)(

)：經(jīng)非奇異變換化為標(biāo)準(zhǔn)型后直接積分得通解，代入初始條件得特解（達(dá)朗貝爾公式）；無(wú)界弦受迫振動(dòng)(

)：由疊加原理分解為：齊次問(wèn)題+零初值非齊次問(wèn)題（由齊次化原理得解）；半界弦振動(dòng)(

)：以某種方式延拓f

及初始函數(shù)，轉(zhuǎn)成無(wú)界弦振動(dòng)問(wèn)題，求出解后限制在半界區(qū)域上。第3頁(yè)1.1無(wú)界弦自由振動(dòng)在弦微小橫振動(dòng)問(wèn)題中，假如弦未受到任何外力作用，而且只研究其中一小段，那么在不太長(zhǎng)時(shí)間里，兩端影響都來(lái)不及傳到，不妨認(rèn)為兩端都不存在，弦是“無(wú)限長(zhǎng)”，則可提出以下定解問(wèn)題其中分別表示初始位移和初始速度。第4頁(yè)(1)泛定方程通解由泛定方程可得其特征方程為即特征線滿足方程故特征線為作變換則第5頁(yè)代入泛定方程可得標(biāo)準(zhǔn)型兩邊依次關(guān)于積分，得通解其中F,G為兩個(gè)可微任意單變量函數(shù)。代回原變量，得泛定方程通解第6頁(yè)(2)定解問(wèn)題特解——達(dá)朗貝爾公式利用初始條件來(lái)確定通解中任意函數(shù)F和G：則其中為任意一點(diǎn)，c

為常數(shù)。故有第7頁(yè)則得初值問(wèn)題特解稱(chēng)為達(dá)朗貝爾公式(D’Alembert),或無(wú)界弦自由振動(dòng)問(wèn)題達(dá)朗貝爾解.例1.求解初值問(wèn)題第8頁(yè)解.此時(shí)，故由D’Alembert公式有注：有些例子即使不能直接應(yīng)用由D’Alembert公式，但可利用與推導(dǎo)D’Alembert公式相同方法求解。例2.求解初值問(wèn)題第9頁(yè)解.泛定方程特征方程為即特征線滿足方程故特征線為作變換則原方程可化為其通解為第10頁(yè)即故有即所以可得初值問(wèn)題特解為利用初始條件可得第11頁(yè)例3.求解有阻尼波動(dòng)方程初值問(wèn)題解.泛定方程含有阻尼項(xiàng)，不能直接用D’Alembert公式，但可將阻尼作用表示為其解中帶一個(gè)隨時(shí)間成指數(shù)衰減因子。即令為待定常數(shù)，于是有第12頁(yè)代入泛定方程得取原定解問(wèn)題化為由D’Alembert

公式可得第13頁(yè)從而原問(wèn)題解為注：當(dāng)時(shí)，由D’Alembert公式(3.3)定義函數(shù)u(x,t)

稱(chēng)為初值問(wèn)題(3.1)古典解。當(dāng)不滿足該條件時(shí)，由公式(3.3)定義函數(shù)u(x,t)

常稱(chēng)為初值問(wèn)題(3.1)廣義解。第14頁(yè)(3)達(dá)朗貝爾解適定性Th3.1

假設(shè)，則對(duì)任意給定T

>

0，初值問(wèn)題(3.1)D’Alembert解在區(qū)域上是適定。證.從D’Alembert

公式推導(dǎo)可見(jiàn)，只要，

D’Alembert解是滿足初值問(wèn)題(3.1)，即D’Alembert解是存在。唯一性.若有含有相同初始條件，則滿足零初始條件下初值問(wèn)題(3.1)(即取

)，進(jìn)而由D’Alembert

公式可得第15頁(yè)穩(wěn)定性.設(shè)有兩組初始條件且它們相差很小實(shí)際上，由D’Alembert公式，有只要記表示對(duì)應(yīng)于這兩組初始條件解，要證：在有限時(shí)間內(nèi)，當(dāng)初始條件有了微小改變時(shí)，其解也只有微小改變。第16頁(yè)例4.求解初值問(wèn)題其中解.此時(shí)下求廣義解。由D’Alembert公式，有計(jì)算可得其解詳細(xì)情況以下：第17頁(yè)(1)當(dāng)時(shí)，有第18頁(yè)(2)當(dāng)時(shí)，有第19頁(yè)(3)當(dāng)時(shí)，有注：例4中所以D’Alembert解u(x,t)不是一個(gè)古典解，僅是形式解。第20頁(yè)1.2波傳輸(1)達(dá)朗貝爾解物理意義為方便起見(jiàn)，記顯然都是方程解，且首先考查給定t

不一樣值，就得到弦在各時(shí)刻振動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)t=0

時(shí)，對(duì)應(yīng)是初始狀態(tài)；第21頁(yè)因時(shí)間段內(nèi)波形右移了距離了故a為波移動(dòng)速度。這種形如解所描述弦振動(dòng)規(guī)律稱(chēng)為右傳輸波或右行波。經(jīng)時(shí)間之后，表明在(x,u)平面上時(shí)刻波形相對(duì)于初始時(shí)刻波形向右平移了距離伴隨時(shí)間推移，波形繼續(xù)向右移動(dòng)，而形狀保持不變。第22頁(yè)所以，D’Alembert解(3.3)表明初值問(wèn)題(3.1)解是由和確定左、右行波疊加(其中是一個(gè)原函數(shù))。這就是D’Alembert解(3.3)物理意義。這種結(jié)構(gòu)解方法稱(chēng)為行波法。類(lèi)似地，保持波形F(x)以速度a向左移動(dòng)，稱(chēng)為左傳輸波或左行波。注：行波法基于波動(dòng)特點(diǎn)，引入了坐標(biāo)變換簡(jiǎn)化方程；優(yōu)點(diǎn)：求解方式易于了解，求解波動(dòng)方程十分方便；缺點(diǎn)：通解不易求，有不足。第23頁(yè)由D’Alembert

公式得例5.（初始位移引發(fā)波動(dòng)）一根無(wú)限長(zhǎng)弦初始位移為從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求其在任意時(shí)刻位移。解.定解問(wèn)題為第24頁(yè)例6.（初始速度引發(fā)波動(dòng)）一根無(wú)限長(zhǎng)弦初始位移為0,以初始速度開(kāi)始振動(dòng)，求其在任意時(shí)刻位移。解.定解問(wèn)題為其中由D’Alembert

公式得第25頁(yè)其中第26頁(yè)(2)依賴(lài)區(qū)域、決定區(qū)域、影響區(qū)域由D’Alembert

公式可知，初值問(wèn)題解u在點(diǎn)值由函數(shù)在點(diǎn)和值以及函數(shù)在區(qū)間上值唯一確定。區(qū)間稱(chēng)為點(diǎn)依賴(lài)區(qū)間。第27頁(yè)在x

軸上任取一區(qū)間[c,d],過(guò)點(diǎn)(c,0)和(d,0)分別作直線x=c+at

和x=d-at,組成一個(gè)三角形區(qū)域K。K內(nèi)任一點(diǎn)(x,t)依賴(lài)區(qū)間都落在[c,d]內(nèi)，故u(x,t)在K內(nèi)任一點(diǎn)(x,t)值都完全由初值函數(shù)和在區(qū)間[c,d]上值來(lái)確定，而與此區(qū)間外數(shù)據(jù)無(wú)關(guān)。這個(gè)區(qū)域K稱(chēng)為區(qū)間[c,d]決定區(qū)域。即在區(qū)間[c,d]上給定初值和，就能夠確定解在決定區(qū)域K內(nèi)值。第28頁(yè)過(guò)點(diǎn)(c,0)和(d,0)分別作直線x=c-at

和x=d+at。經(jīng)過(guò)t

時(shí)刻后，受到區(qū)間[c,d]上初值擾動(dòng)影響區(qū)域是此區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)(x,t)依賴(lài)區(qū)域都全部或有一部分落在[c,d]內(nèi)，故解在這種點(diǎn)值與初始函數(shù)在區(qū)間[c,d]上值相關(guān)。此區(qū)域外任一點(diǎn)依賴(lài)區(qū)間都不會(huì)和區(qū)間[c,d]相交，故解在這種點(diǎn)值與初始函數(shù)在區(qū)間[c,d]上值無(wú)關(guān)。第29頁(yè)注：兩條直線(常數(shù))對(duì)一維波動(dòng)方程解起著主要作用，這兩條直線稱(chēng)為波動(dòng)方程特征線，所以行波法又稱(chēng)為特征線法。這個(gè)區(qū)域D

稱(chēng)為區(qū)間[c,d]上影響區(qū)域。簡(jiǎn)言之，影響區(qū)域是那些使得解值受到區(qū)間[c,d]上初始函數(shù)值影響點(diǎn)所組成集合。第30頁(yè)1.3無(wú)界弦受迫振動(dòng)和齊次化原理當(dāng)弦受到外力f(x,t)

作用而產(chǎn)生振動(dòng)時(shí)，有以下非齊次方程初值問(wèn)題由線性疊加原理可知，若v(x,t),

w(x,t)

分別為初值問(wèn)題第31頁(yè)解，則u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)

是初值問(wèn)題(3.4)解。初值問(wèn)題(3.5)解可由D’Alembert

公式(3.3)直接給出，所以，為求解(3.4)

,只需求解(3.6)。對(duì)問(wèn)題(3.6),若能設(shè)法將非齊次項(xiàng)消除，即將方程變?yōu)辇R次方程，便可一樣由D’Alembert

公式(3.3)得到解。第32頁(yè)1.3.1沖量原理(齊次化原理)對(duì)問(wèn)題(3.6)中是單位質(zhì)量弦上所受外力，這是從初始時(shí)刻t

=0一直延續(xù)到時(shí)刻t

連續(xù)作用力。由線性疊加原理，可將連續(xù)作用力f(x,t)

所引發(fā)振動(dòng)(即初值問(wèn)題(3.6)解)，視為一系列前后相繼瞬時(shí)作用力所引發(fā)振動(dòng)疊加，即第33頁(yè)我們先來(lái)分析瞬時(shí)作用力所引發(fā)振動(dòng)。從物理角度考慮，力對(duì)系統(tǒng)作用對(duì)于時(shí)間累積是給系統(tǒng)一定沖量。所以在短時(shí)間間隔內(nèi)對(duì)系統(tǒng)作用可表示為沖量，這個(gè)沖量使得系統(tǒng)動(dòng)量有一改變量(因是單位質(zhì)量弦所受外力，故動(dòng)量改變量在數(shù)值上等于速度改變量)。若將時(shí)間內(nèi)得到速度改變量看成是在時(shí)刻一瞬間集中得到，而在其余時(shí)間則認(rèn)為沒(méi)有沖量作用(即沒(méi)有外力作用)，則在時(shí)間內(nèi)，瞬時(shí)力所引發(fā)振動(dòng)定解問(wèn)題可表示為第34頁(yè)為便于求解，設(shè)則有由上述分析可看出，欲求解問(wèn)題(3.6),只需求解(3.7)，而即第35頁(yè)這種用瞬時(shí)沖量疊加代替連續(xù)作用力來(lái)處理定解問(wèn)題(3.6)方法，稱(chēng)為沖量原理，可歸結(jié)為以下定理。定理1.(齊次化原理)設(shè)若是初值問(wèn)題(3.7)解，則由積分(3.8)所定義函數(shù)w(x,t)是初值問(wèn)題(3.6)解，其中是參數(shù)。證.由(3.8)和含參變量積分求導(dǎo)公式，有

第36頁(yè)代入(3.6)中泛定方程和定解條件均滿足。注：變限積分求導(dǎo)公式若f

(x,y)及其偏導(dǎo)數(shù)都在上連續(xù)，為定義在[a,b]上其值域含于[c,d]中可微函數(shù)，則函數(shù)在[a,b]上可微，且第37頁(yè)1.3.2純受迫振動(dòng)解對(duì)于問(wèn)題(3.7),令則有由D’Alembert

公式(3.3)有第38頁(yè)注:(3.10)被積函數(shù)區(qū)域?yàn)槠矫嫔线^(guò)點(diǎn)(x,t)向下兩特征線與s

軸所圍三角形區(qū)域。代入(3.8)有——純受迫振動(dòng)(3.6)解第39頁(yè)例1.求解初值問(wèn)題解.此處a

=2,f(x,t)=2x,由(3.10)有第40頁(yè)1.3.3普通受迫振動(dòng)解定理2.

假設(shè)函數(shù)則初值問(wèn)題(3.4)存在唯一解——一維非齊次波動(dòng)方程初值問(wèn)題解Kirchhoff

公式深入地，對(duì)于任意T>0,(3.4)解在區(qū)域上是穩(wěn)定。第41頁(yè)例2.求解初值問(wèn)題解.第42頁(yè)命題1.

假設(shè)函數(shù)且關(guān)于變量x

是偶/奇/周期為T(mén)

函數(shù)，則初值問(wèn)題(3.4)解u(x,t)關(guān)于x

也是偶/奇/周期為T(mén)

函數(shù)。證.只對(duì)奇函數(shù)給出證實(shí)，其它情形類(lèi)似可證。設(shè)u(x,t)是初值問(wèn)題(3.4)解，定義w(x,t)=-u(-x,t),則有從而有第43頁(yè)即w(x,t)滿足初值問(wèn)題(3.4)中泛定方程。又即w(x,t)滿足初值問(wèn)題(3.4)中初始條件。再由定理2關(guān)于解唯一性，得w(x,t)=u(x,t)，即-u(-x,t)=u(x,t)，u(x,t)為奇函數(shù)。第44頁(yè)例3.求解初值問(wèn)題解.由Kirchhoff

公式得第45頁(yè)1.4半界弦振動(dòng)和延拓法1.4.1端點(diǎn)固定情況(1)齊次端點(diǎn)條件考慮定解問(wèn)題為了利用D’Alembert

公式求解，把初始條件和f

延拓到第46頁(yè)設(shè)此時(shí)定解問(wèn)題為則在上，有其中，對(duì)有第47頁(yè)問(wèn)題是，對(duì)x<0,怎樣定義或者說(shuō)，怎樣把延拓到x<0,使得u(0,t)=0?由微積分知，若一個(gè)連續(xù)函數(shù)g(x)在上是奇函數(shù)，則必有g(shù)(0)=0。故要使得解u(x,t)滿足u(0,t)=0，只要u(x,t)是

x

奇函數(shù)即可。而由命題1知，只要是x

奇函數(shù)。為此，只需要對(duì)關(guān)于x

作奇延拓。第48頁(yè)經(jīng)過(guò)奇延拓，得到定解問(wèn)題(3.13)解U(x,t)。問(wèn)題(3.12)解u(x,t)就是U(x,t)在上限制，即第49頁(yè)當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有第50頁(yè)(2)非齊次端點(diǎn)條件考慮定解問(wèn)題可令則滿足此時(shí)端點(diǎn)條件已化為齊次形式,利用前述方法可得解,從而第51頁(yè)例4.求解初值問(wèn)題解.把關(guān)于x

奇延拓到第52頁(yè)得到新定解問(wèn)題解限制在上，得到：當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有第53頁(yè)例5.求解初值問(wèn)題解.當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有注意到此時(shí)滿足第54頁(yè)1.4.2端點(diǎn)自由情況(1)齊次端點(diǎn)條件考慮定解問(wèn)題類(lèi)似地，因?yàn)榭砂雅佳油兀戳畹?5頁(yè)則在上是偶函數(shù)。由命題1可知，初值問(wèn)題(3.13)解關(guān)于x

是偶函數(shù)。問(wèn)題(3.14)解u(x,t)就是U(x,t)在上限制，即當(dāng)時(shí)，有第56頁(yè)當(dāng)時(shí)，有第57頁(yè)(2)非齊次端點(diǎn)條件考慮定解問(wèn)題可令化為齊次端點(diǎn)問(wèn)題。第58頁(yè)例6.求解初值問(wèn)題解.當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有第59頁(yè)1.5端點(diǎn)固定有界弦振動(dòng)因?yàn)椴ㄔ谶吔缣幉煌７瓷?，有界弦振?dòng)問(wèn)題相比于無(wú)界弦負(fù)責(zé)得多?？疾殚L(zhǎng)為l

端點(diǎn)固定弦振動(dòng)問(wèn)題：由前面討論可知，泛定方程通解為第60頁(yè)代入初始條件，得解得所