第八章　§8.5　橢　圓-2025屆高中數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)練習(xí)

一、單項選擇題1．“1<k<5”是方程“eq\f(x2,k－1)＋eq\f(y2,5－k)＝1表示橢圓”的()A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．(2024·濟南模擬)若橢圓C：eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的離心率為eq\f(\r(6),3)，則橢圓C的長軸長為()A．2eq\r(2) B.eq\f(2\r(6),3)或2eq\r(6)C．2eq\r(6) D．2eq\r(2)或2eq\r(6)3．(2022·全國甲卷)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,3)，A1，A2分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(BA2,\s\up6(→))＝－1，則C的方程為()A.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,2)＋y2＝14．(2024·昆明模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線y＝kx與橢圓C交于A，B兩點，若|AB|＝|F1F2|，則△ABF1的面積等于()A．18B．10C．9D．65．(2023·沈陽模擬)魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽(圖(1))為研究球體的體積公式，創(chuàng)造了一個獨特的立體圖形“牟合方蓋”，它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一圓柱的側(cè)面上．將兩個底面半徑為1的圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入棱長為2的正方體時(如圖(2))，兩圓柱公共部分形成的幾何體(如圖(3))即得一個“牟合方蓋”，圖(4)是該“牟合方蓋”的直觀圖(圖中標出的各點A，B，C，D，P，Q均在原正方體的表面上)．由“牟合方蓋”產(chǎn)生的過程可知，圖(4)中的曲線PBQD為一個橢圓，則此橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(1,4)6．(2023·陜西省安康中學(xué)模擬)已知P為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點，若C的右焦點F的坐標為(3,0)，點M滿足|eq\o(FM,\s\up6(→))|＝1，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(FM,\s\up6(→))＝0，若|eq\o(PM,\s\up6(→))|的最小值為2eq\r(2)，則橢圓C的方程為()A.eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,40)＝1 B.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1 D.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1二、多項選擇題7．(2023·長沙模擬)人造地球衛(wèi)星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律：衛(wèi)星在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒定律，即衛(wèi)星的向徑(衛(wèi)星與地球的連線)在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等．設(shè)橢圓的長軸長、焦距分別為2a,2c，下列結(jié)論正確的是()A．衛(wèi)星向徑的取值范圍是[a－c，a＋c]B．衛(wèi)星運行速度在近地點時最小，在遠地點時最大C．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越圓D．衛(wèi)星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間8．已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，且不與橢圓的左、右頂點重合，則下列關(guān)于△PF1F2的說法正確的有()A．△PF1F2的周長為4＋2eq\r(2)B．當∠PF1F2＝90°時，|PF1|＝2C．當∠F1PF2＝60°時，△PF1F2的面積為eq\f(4\r(3),3)D．橢圓上有且僅有6個點P，使得△PF1F2為直角三角形三、填空題9．已知F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)是橢圓C的焦點，過F2且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，且|AB|＝6，則橢圓C的方程為________________．10．橢圓eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，與y軸的一個交點為A，若∠F1AF2＝eq\f(π,3)，則m＝________.11．已知一個離心率為eq\f(1,2)，長軸長為4的橢圓，其兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，在橢圓上存在一點P，使得∠F1PF2＝60°，設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r，則r的值為________．12．(2023·濰坊模擬)如圖，菱形架ABCD是一種作圖工具，由四根長度均為4的直桿用鉸鏈首尾連接而成．已知A，C可在帶滑槽的直桿l上滑動；另一根帶滑槽的直桿DH長度為4，且一端記為H，另一端用鉸鏈連接在D處，上述兩根帶滑槽直桿的交點P處有一栓子(可在帶滑槽的直桿上滑動)．若將H，B固定在桌面上，且兩點之間距離為2，轉(zhuǎn)動桿HD，則點P到點B距離的最大值為________．四、解答題13．(2024·西安模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，過F2作垂直于x軸的直線l交橢圓于A，B兩點，且滿足|AF2|＝eq\f(\r(3),6)c.(1)求橢圓C的離心率；(2)M，N是橢圓C短軸的兩個端點，設(shè)點P是橢圓C上一點(異于橢圓C的頂點)，直線MP，NP分別與x軸相交于R，Q兩點，O為坐標原點，若|OR|·|OQ|＝4，求橢圓C的方程．14．在平面直角坐標系中，點B與點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))關(guān)于原點對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于－eq\f(3,4).(1)求動點P的軌跡方程，并注明x的取值范圍；(2)設(shè)直線AP與BP分別與直線x＝3交于M，N，問是否存在點P使得△PAB與△PMN面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．15．(2023·衡陽聯(lián)考)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1作直線l與橢圓C相交于M，N兩點，∠MF2N＝90°，且4|F2N|＝3|F2M|，則橢圓的離心率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(5),5)16．(2024·呼和浩特模擬)已知點P是橢圓eq\f(x