河南省鶴壁市淇縣一中2022年高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．M、N是曲線y=πsinx與曲線y=πcosx的兩個(gè)不同的交點(diǎn),則|MN|的最小值為()A．π B．π C．π D．2π2．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（）．A． B． C． D．3．已知三棱錐的外接球半徑為2，且球心為線段的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最大值為（）A． B． C． D．4．如圖是二次函數(shù)的部分圖象，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A． B． C． D．5．已知中，，則（）A．1 B． C． D．6．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，則()A． B． C． D．8．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）A． B． C． D．9．已知復(fù)數(shù)z滿足,則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．已知△ABC中，．點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A．2 B． C． D．11．如圖，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點(diǎn).若則雙曲線的離心率為（）A． B．C． D．12．某人用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)無理數(shù)的值，做法如下：首先在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)作軸的垂線與曲線相交于點(diǎn)，過作軸的垂線與軸相交于點(diǎn)（如圖），然后向矩形內(nèi)投入粒豆子，并統(tǒng)計(jì)出這些豆子在曲線上方的有粒，則無理數(shù)的估計(jì)值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．滿足線性的約束條件的目標(biāo)函數(shù)的最大值為________14．已知為雙曲線：的左焦點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，若點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，則雙曲線的離心率為__________．15．已知函數(shù)是偶函數(shù)，直線與函數(shù)的圖象自左向右依次交于四個(gè)不同點(diǎn)A，B，C，D．若AB＝BC，則實(shí)數(shù)t的值為_________．16．已知橢圓的下頂點(diǎn)為，若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，則當(dāng)_____時(shí)，外心的橫坐標(biāo)最大．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在上恒成立，求的取值范圍．18．（12分）已知是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系，已知曲線，曲線（為參數(shù)），求曲線交點(diǎn)的直角坐標(biāo).20．（12分）某房地產(chǎn)開發(fā)商在其開發(fā)的某小區(qū)前修建了一個(gè)弓形景觀湖．如圖，該弓形所在的圓是以為直徑的圓，且米，景觀湖邊界與平行且它們間的距離為米．開發(fā)商計(jì)劃從點(diǎn)出發(fā)建一座景觀橋（假定建成的景觀橋的橋面與地面和水面均平行），橋面在湖面上的部分記作．設(shè)．（1）用表示線段并確定的范圍；（2）為了使小區(qū)居民可以充分地欣賞湖景，所以要將的長(zhǎng)度設(shè)計(jì)到最長(zhǎng)，求的最大值．21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，.（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.22．（10分）如圖，在中，已知，，，為線段的中點(diǎn)，是由繞直線旋轉(zhuǎn)而成，記二面角的大小為.（1）當(dāng)平面平面時(shí)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

兩函數(shù)的圖象如圖所示,則圖中|MN|最小,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1=,x2=π,|x1-x2|=π,|y1-y2|=|πsinx1-πcosx2|=π+π=π,∴|MN|==π.故選C.2．A【解析】

先化簡(jiǎn)求出，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以所以故選：A【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，注意計(jì)算的準(zhǔn)確度，屬于簡(jiǎn)單題目.3．C【解析】

由題可推斷出和都是直角三角形，設(shè)球心為，要使三棱錐的體積最大，則需滿足，結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解【詳解】先畫出圖形，由球心到各點(diǎn)距離相等可得，，故是直角三角形，設(shè)，則有，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值4，要使三棱錐體積最大，則需使高，此時(shí)，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查由三棱錐外接球半徑，半徑與球心位置求解錐體體積最值問題，屬于基礎(chǔ)題4．B【解析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸得出范圍，軸截距，求出的范圍，判斷在區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù)，即可求出結(jié)論.【詳解】∵，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，，，∵，所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)?，所以函?shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.5．C【解析】

以為基底，將用基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求解.【詳解】,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算以及向量的基本定理，考查向量數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.6．D【解析】

由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出，再寫出其共軛復(fù)數(shù)，得共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．得結(jié)論．【詳解】，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)的幾何意義．掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．7．C【解析】

求得點(diǎn)坐標(biāo)，由此求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得【詳解】拋物線焦點(diǎn)為，令，，解得，不妨設(shè)，則直線的方程為，由，解得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的弦長(zhǎng)的求法，屬于基礎(chǔ)題.8．C【解析】

利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)中函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷，熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9．A【解析】

設(shè)，由得：，由復(fù)數(shù)相等可得的值，進(jìn)而求出，即可得解.【詳解】設(shè)，由得：，即，由復(fù)數(shù)相等可得：，解之得：，則，所以，在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第一象限.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)的求法，考查對(duì)復(fù)數(shù)相等的理解，考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于?？碱}.10．D【解析】

以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，求得點(diǎn)A的軌跡，進(jìn)而得到關(guān)于a的二次函數(shù)，可得最小值．【詳解】以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，由，可得，即，則，當(dāng)時(shí)，的最小值為．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的值域解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．11．A【解析】

易得，過B作x軸的垂線，垂足為T，在中，利用即可得到的方程.【詳解】由已知，得，過B作x軸的垂線，垂足為T，故，又所以，即，所以雙曲線的離心率.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率問題，在作雙曲線離心率問題時(shí)，最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式，本題屬于容易題.12．D【解析】

利用定積分計(jì)算出矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積，進(jìn)而利用幾何概型的概率公式得出關(guān)于的等式，解出的表達(dá)式即可.【詳解】在函數(shù)的解析式中，令，可得，則點(diǎn)，直線的方程為，矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積為，矩形的面積為，由幾何概型的概率公式得，所以，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用隨機(jī)模擬的思想估算的值，考查了幾何概型概率公式的應(yīng)用，同時(shí)也考查了利用定積分計(jì)算平面區(qū)域的面積，考查計(jì)算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1【解析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域，將直線進(jìn)行平移，利用的幾何意義，可求出目標(biāo)函數(shù)的最大值?！驹斀狻坑?，得，作出可行域，如圖所示：平移直線，由圖像知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，截距最小，此時(shí)取得最大值。由，解得，代入直線，得。【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題的解法——平移法。14．【解析】

由點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，得到直線的斜率，再根據(jù)直線過點(diǎn)，可求出直線方程，又，中點(diǎn)在直線上，代入直線的方程，化簡(jiǎn)整理，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉殡p曲線：的左焦點(diǎn)，所以，又點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，，所以可得直線的方程為，又，中點(diǎn)在直線上，所以，整理得，又，所以，故，解得，因?yàn)?，所?故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，先由兩點(diǎn)對(duì)稱，求出直線斜率，再由焦點(diǎn)坐標(biāo)求出直線方程，根據(jù)中點(diǎn)在直線上，即可求出結(jié)果，屬于常考題型.15．【解析】

由是偶函數(shù)可得時(shí)恒有，根據(jù)該恒等式即可求得，，的值，從而得到，令，可解得，，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)可列關(guān)于的方程，解出即可．【詳解】解：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以時(shí)恒有，即，所以，所以，解得，，；所以；由，即，解得；故，．由，即，解得．故，．因?yàn)?，所以，即，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬中檔題．16．【解析】

由已知可得、的坐標(biāo)，求得的垂直平分線方程，聯(lián)立已知直線方程與橢圓方程，求得的垂直平分線方程，兩垂直平分線方程聯(lián)立求得外心的橫坐標(biāo)，再由導(dǎo)數(shù)求最值．【詳解】如圖，由已知條件可知，不妨設(shè)，則外心在的垂直平分線上，即在直線，也就是在直線上，聯(lián)立，得或，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的垂直平分線方程為，把代入上式，得，令，則，由，得（舍）或．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，亦為最大值．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，是中等題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）【解析】

（1）,對(duì)函數(shù)求導(dǎo),分別求出和,即可求出在點(diǎn)處的切線方程;（2）對(duì)求導(dǎo),分、和三種情況討論的單調(diào)性,再結(jié)合在上恒成立,可求得的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?所以,所以,則,故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）因?yàn)?所以,①當(dāng)時(shí),在上恒成立,則在上單調(diào)遞增,從而成立,故符合題意;②當(dāng)時(shí),令,解得,即在上單調(diào)遞減,則,故不符合題意;③當(dāng)時(shí),在上恒成立,即在上單調(diào)遞減,則,故不符合題意.綜上,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了曲線的切線方程的求法,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了不等式恒成立問題,利用分類討論是解決本題的較好方法,屬于中檔題.18．（1）;（2）.【解析】

（1）方程的兩根為，由題意得，在利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（2）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求出．【詳解】方程x2－5x＋6＝0的兩根為2，3.由題意得a2＝2，a4＝3.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a4－a2＝2d，故d＝，從而得a1＝.所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝n＋1.（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為Sn，由（1）知＝，則Sn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，兩式相減得Sn＝＋－＝＋－，所以Sn＝2－.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列的求和．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、一元二次方程的解法等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，解答中方程的兩根為，由題意得，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生的推理能力與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．19．【解析】

利用極坐標(biāo)方程與普通方程、參數(shù)方程間的互化公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.由，得，所以曲線的普通方程為.由，得，所以（舍），所以，所以曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程，參數(shù)方程與普通方程間的互化，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道容易題.20．（1），；（2）米.【解析】

(1)過點(diǎn)作于點(diǎn)再在中利用正弦定理求解,再根據(jù)求解,進(jìn)而求得.再根據(jù)確定的范圍即可.(2)根據(jù)(1)有,再設(shè),求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)則,在中,,,由正弦定理得：,,,,,因?yàn)?化簡(jiǎn)得,令,,且,因?yàn)?故令即,記,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,又,當(dāng)時(shí),取最大值,此時(shí),的最大值為米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用,需要根據(jù)題意建立角度與長(zhǎng)度間的關(guān)系,進(jìn)而求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)三角函數(shù)值求解對(duì)應(yīng)的最值即可.屬于難題.21．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由底面為菱形，得，再由底面，可得，結(jié)合線面垂直的判定可得平面；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線及過點(diǎn)且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：底面為菱形，，底面，平面，又，平面，平面；（2）解：，，為等邊三角形，.底面，是直線與平面所成的角為，在中，由，解得.如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線及過點(diǎn)且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，.，，，.設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，.由，取，得；由，取，得..平面與平面所成銳二