微積分上學(xué)期復(fù)習(xí)資料

-.理解無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的概念和關(guān)系；掌握無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)；會(huì)比較無(wú)窮小的階，熟練掌握求無(wú)窮小之比的極限時(shí)，利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限，常用的等價(jià)無(wú)窮小代換是：當(dāng)0時(shí),有：～;～～;～;～.…….3.掌握兩個(gè)重要極限:(Ⅰ).(Ⅱ).記住它們的形式、特點(diǎn)、自變量的變化趨勢(shì)及擴(kuò)展形式(變形式).并能熟練應(yīng)用其求極限，特別是應(yīng)用重要極限(Ⅱ)的如下擴(kuò)展形式求型未定式極限：4.掌握函數(shù)連續(xù)的概念，知道結(jié)論：初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的，分段函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的不連續(xù)點(diǎn)只可能是分段點(diǎn)。函數(shù)f(x)在分段點(diǎn)x0處連續(xù)的充要條是：函數(shù)在x0點(diǎn)極限存在且等于，即：當(dāng)分段函數(shù)在分段點(diǎn)的左右兩邊表達(dá)式不相同時(shí)，函數(shù)f(x)在分段點(diǎn)x0處連續(xù)的充要條件則是：.5.掌握函數(shù)間斷點(diǎn)及類型的判定。函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)稱為間斷點(diǎn)，函數(shù)在點(diǎn)間斷，必有下列三種情況之一發(fā)生：⑴、在點(diǎn)無(wú)定義；⑵、不存在；⑶、存在，但若為的間斷點(diǎn)，當(dāng)及都存在時(shí)，稱為的第一類間斷點(diǎn)，特別＝時(shí)（即存在時(shí)），稱為的可去間斷點(diǎn)。不是第一類間斷點(diǎn)的都稱為第二類間斷點(diǎn)。6.能夠熟練地利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)；無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的關(guān)系與性質(zhì)；等價(jià)無(wú)窮小代換；教材P69公式（2.6）；兩個(gè)重要極限；初等函數(shù)的連續(xù)性及羅必塔法則(第四章)求函數(shù)的極限。三.例題選解例1.求極限：(1)(2)解:(1)此極限為型，可用重要極限。＝=（2）此極限為型,仍可用重要極限==例2．判斷函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型。解：由于∴是函數(shù)y無(wú)定義的點(diǎn)，因而是函數(shù)y的間斷點(diǎn)。∵∴為函數(shù)y的第二類（無(wú)窮型）間斷?！酁楹瘮?shù)y的可去間斷點(diǎn)；例3．設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，求常數(shù)k.分析與解：由于分段函數(shù)在分段點(diǎn)的左右兩邊表達(dá)式不相同，因此在連續(xù)的充要條件是==，=3∴例4、補(bǔ)充定義，可以使得在點(diǎn)連續(xù)。分析：要使得在點(diǎn)連續(xù)。根據(jù)連續(xù)的定義，必須使得補(bǔ)充的滿足。解：因?yàn)樗匝a(bǔ)充定義2，可以使得在點(diǎn)連續(xù)。例5、若存在，求常數(shù)分析：若存在，且，那么。解：∵∴可得四.練習(xí)題及參考答案1.填空=1\*GB2⑴設(shè)=當(dāng)=時(shí),在處連續(xù)=2\*GB2⑵設(shè)=,則=2.求極限=1\*GB2⑴．=2\*GB2⑵．3.求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判斷間斷點(diǎn)的類型。4、補(bǔ)充定義，可以使得在點(diǎn)連續(xù)。5、若存在，求常數(shù)答案:1.=1\*GB2⑴.3=2\*GB2⑵.1;2.=1\*GB2⑴.;=2\*GB2⑵..3.間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn)，間斷點(diǎn)和為第二類（無(wú)窮型）。4、5、自我復(fù)習(xí).習(xí)題二(A)11.⑾,⑿,⒀.24.(2),⑶，(4),⑺.25.⑴.28.⑴.30.⑴,⑵,⑶.37．⑴,⑷.第三章導(dǎo)數(shù)與微分一.本章重點(diǎn).導(dǎo)數(shù)概念及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算.二.復(fù)習(xí)要求1.掌握函數(shù)在處可導(dǎo)的定義，并能熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義式求分段函數(shù)在分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)是一個(gè)逐點(diǎn)概念，在處的導(dǎo)數(shù)的定義式常用的有如下三種形式：.2.知道導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求在處的切線方程和法線方程。3.熟記基本求導(dǎo)公式及求導(dǎo)的運(yùn)算法則，熟練掌握下列求導(dǎo)方法,并能熟練應(yīng)用它們求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：=1\*GB2⑴運(yùn)用基本求導(dǎo)公式及求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo)；=2\*GB2⑵復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法；⑶隱函數(shù)求導(dǎo)法；⑷取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。4.理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，能熟練求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。5.理解微分的概念，能應(yīng)用微分基本公式及運(yùn)算法則求函數(shù)的微分。6.掌握函數(shù)可微,可導(dǎo)及連續(xù)的關(guān)系。三.例題選解例1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：=1\*GB2⑴．，求⑵．=,求.⑶．設(shè)=由方程所確定，求⑷.，求（5）若求解：⑴、本題為抽象函數(shù)求導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，得：.⑵本題為冪指函數(shù)求導(dǎo)，必須用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。原方程兩邊取對(duì)數(shù)：上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，視y為中間變量:=⑶．本題為隱函數(shù)求導(dǎo)，將原方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，視為中間變量：解上面關(guān)于的方程，得：.⑷.（5）例2．求曲線在點(diǎn)的切線方程和法線方程。解：由已知條件，，所以，切線方程為即切線方程為，類似可得法線方程為例3、設(shè)試討論在處的連續(xù)性及可導(dǎo)性。分析與解：由已知，；（1）討論在處的連續(xù)性。∵==，∴在處連續(xù)。（2）討論在處的可導(dǎo)性。分段函數(shù)在分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)必須用定義求：因?yàn)樗栽谔幉豢蓪?dǎo)四.練習(xí)題及參考答案1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：=1\*GB2⑴,求⑵,求2.設(shè)試討論在處的連續(xù)性及可導(dǎo)性。3.設(shè)確定是的函數(shù)，求.4、，求答案：1（1）；(2).；2.在處連續(xù)，3.4、自我復(fù)習(xí):習(xí)題三(A)5；13；18；19；18；21,⑵，⑼，⒇；24.(2)(4)；25；26⑶，⑺，⑻;27.⑸；29.⑵，⑹，⑺；47.⑴，⑵，⑷．第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一.本章重點(diǎn)求未定式極限的羅彼塔法則；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值和最值；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)確定曲線的凹向與拐點(diǎn)；對(duì)經(jīng)濟(jì)問題作邊際分析與彈性分析；求曲線的漸近線。二.復(fù)習(xí)要求熟練掌握用羅彼塔法則求未定式極限的方法。注意:⑴羅彼塔法則只能直接用于求“”型或“”型未定式的極限，對(duì)于其他類型的未定式極限，必須將其轉(zhuǎn)化為“”型或“”型未定式才能使用法則。⑵羅彼塔法則可以連續(xù)使用,當(dāng)再次使用法則時(shí),一定要檢驗(yàn)法則的條件是否成立,當(dāng)條件不滿足時(shí)必須停止使用,改用其他求極限的方法計(jì)算.⑶．在求未定式極限時(shí)，將羅彼塔法則和等價(jià)無(wú)窮小代換等其它方法結(jié)合使用，可使運(yùn)算更簡(jiǎn)便。掌握用一階導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性的方法,并能利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式。掌握函數(shù)極值的概念及求函數(shù)極值方法.掌握最值的概念及其與極值的關(guān)系,熟練掌握求經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題最值的方法.如求最大總收入,最大總利潤(rùn)等.掌握用函數(shù)的最值證明不等式。掌握函數(shù)的凹向,拐點(diǎn)的概念及求曲線凹向,拐點(diǎn)的方法.熟練掌握求曲線漸近線的方法。曲線的漸近線有如下三類：⑴水平漸近線：若，則就是曲線的水平漸近線。⑵鉛直漸近線：若，則就是曲線的鉛直漸近線。⑶斜漸近線：若，且，則就是曲線的斜漸近線。（注：上面⑴、⑵、⑶中極限若是單側(cè)的，結(jié)論亦成立。）三.例題選解例1.求下列極限(1).(2).解：(1)型)=（羅必達(dá)）=（整理，用羅）（不是未定式）＝0.(2)原式為冪指型不定式（型），利用代數(shù)變換：，得：∵（代換）（羅必達(dá)）（代換）＝0∴原式＝例2.證明：分析：證明不等式的方法很多，利用函數(shù)的單調(diào)性或最值證明不等式是常用的方法之一。證明：設(shè)F(x)=,，當(dāng)時(shí)，有，所以單調(diào)增加，由于可得此說(shuō)明也單增。由于可得綜上所述，例3.求函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。解：函數(shù)的定義域?yàn)橛?，得，令解出的兩點(diǎn)分定義域?yàn)槿齻€(gè)子區(qū)間，列表討論如下：x0拐點(diǎn)拐點(diǎn)可見曲線的上凹區(qū)間為及；下凹（凸）區(qū)間是；分別是拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將其分別代人原方程求得拐點(diǎn)縱坐標(biāo)，得拐點(diǎn)為：。例4.求曲線的漸近線。解：函數(shù)為有理分式，其定義域?yàn)椋弧?；∴為曲線的鉛直漸近線；又∴曲線的斜漸近線為：.四.練習(xí)題與參考答案1.求極限(1)2.證明