Lingo超經(jīng)典案例大全1

/Lingo超經(jīng)典案例大全LINGO是LinearInteractiveandGeneralOptimizer的縮寫，即“交互式的線性和通用優(yōu)化求解器”。Lingo超強(qiáng)的優(yōu)化計(jì)算能力在很多方面（線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、線性整數(shù)規(guī)劃、非線性整數(shù)規(guī)劃、非線性混合規(guī)劃、二次規(guī)劃等）比matlab、maple等強(qiáng)得多，Lingo編程簡潔明了，數(shù)學(xué)模型不用做大的改動(dòng)（或者不用改動(dòng)）便可以直接采用Lingo語言編程，十分直觀。Lingo模型由4個(gè)段構(gòu)成：（1）集合段（sets

endsets）；（2）數(shù)據(jù)段（data

enddata)；

(3)初始段（initendinit）；（4）目標(biāo)與約束段。Lingo的五大優(yōu)點(diǎn)：1.對(duì)大規(guī)模數(shù)學(xué)規(guī)劃，LINGO語言所建模型較簡潔，語句不多；2.模型易于擴(kuò)展，因?yàn)锧FOR、@SUM等語句并沒有指定循環(huán)或求和的上下限，如果在集合定義部分增加集合成員的個(gè)數(shù)，則循環(huán)或求和自然擴(kuò)展，不需要改動(dòng)目標(biāo)函數(shù)和約束條件；3.數(shù)據(jù)初始化部分與其它部分語句分開，對(duì)同一模型用不同數(shù)據(jù)來計(jì)算時(shí)，只需改動(dòng)數(shù)據(jù)部分即可，其它語句不變；4.“集合”是LINGO有特色的概念，它把實(shí)際問題中的事物與數(shù)學(xué)變量與常量聯(lián)系起來，是實(shí)際問題到數(shù)學(xué)量的抽象，它比C語言中的數(shù)組用途更為廣泛。

5.使用了集合以與@FOR、@SUM等集合操作函數(shù)以后可以用簡潔的語句表達(dá)出常見的規(guī)劃模型中的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，即使模型有大量決策變量和大量數(shù)據(jù)，組成模型的語句并不隨之增加．

一、求解線性整數(shù)規(guī)劃、非線性整數(shù)規(guī)劃問題：1.線性整數(shù)規(guī)劃：

model:max=x1+x2;x1+9/14*x2<=51/14;-2*x1+x2<=1/3;@gin(x1);@gin(x2);end求得x1=3，x2=1，最大值為4.運(yùn)用matlab求時(shí)可以發(fā)現(xiàn)有兩組解：x1=3，x2=1和x1=2，x2=2。通過驗(yàn)證也可知這兩組解均滿足。Lingo的一個(gè)缺陷是：每次只能輸出最優(yōu)解中的一個(gè)（有時(shí)不只一個(gè)）。那么，怎樣求得其他解呢？一個(gè)辦法是將求得的解作為約束條件，約束x1不等于3，x2不等于1，再求解。如下：model:max=x1+x2;x1+9/14*x2<=51/14;-2*x1+x2<=1/3;@gin(x1);@gin(x2);@abs(x1-3)>0.001;@abs(x2-1)>0.001;end求得x1=2，x2=2.若再次排除這組解，發(fā)現(xiàn)Lingo解不出第三組解了，這時(shí)我們可以斷定：此優(yōu)化模型有兩組解：x1=3，x2=1和x1=2，x2=2.求解模型時(shí)需注意：Lingo中，默認(rèn)變量均為非負(fù)；輸出的解可能是最優(yōu)解中的一組，要判斷、檢驗(yàn)是否還有其他解（根據(jù)具體問題的解的情況或用排除已知最優(yōu)解的約束條件法）。2、非線性整數(shù)規(guī)劃：

model:sets:row/1..4/:b;col/1..5/:c1,c2,x;link(row,col):a;endsetsdata:c1=1,1,3,4,2;c2=-8,-2,-3,-1,-2;a=11111122162160000115;b=400,800,200,200;enddata

max=@sum(col:c1*x^2+c2*x);@for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)*x(j))<b(i));@for(col:@gin(x));@for(col:@bnd(0,x,99));End求得：x1=50,x2=99,x3=0,x4=99,x5=20.最大值為51568。這里,我們看不出是否還有其他解，需要將已知的最優(yōu)解排除掉。利用1的方法分別可得到其他解：x1=48,x2=98,x3=1,x4=98,x5=19.最大值為50330。x1=45,x2=97,x3=2,x4=97,x5=18.最大值為49037。x1=43,x2=96,x3=3,x4=96,x5=17.最大值為47859。x1=40,x2=95,x3=4,x4=95,x5=16.最大值為46636。發(fā)現(xiàn)x1，x2，x4，x5均單調(diào)減少，x3單調(diào)增加。最大值越來越小。可以簡單判斷第一組為最優(yōu)的。當(dāng)然，能夠一一檢驗(yàn)最好。

二、最優(yōu)選擇問題某鉆井隊(duì)要從10個(gè)可供選擇的井位中確定5個(gè)鉆井探油，使總的鉆探費(fèi)用為最小。若10個(gè)井位的代號(hào)為s1,s2,...,s10,相應(yīng)的鉆探費(fèi)用c1,c2,...,c10為5,8,10,6,9,5,7,6,10,8.并且井位選擇上要滿足下列限制條件：

（1）或選擇s1和s7,或選擇鉆探s9；

（2）選擇了s3或s4就不能選s5，或反過來也一樣；

（3）在s5,s6,s7,s8中最多只能選兩個(gè).試建立這個(gè)問題的整數(shù)規(guī)劃模型,確定選擇的井位。取0-1變量s_i，若s_i=1,則表示選取第i個(gè)井，若s_i=0,則表示不選取第i個(gè)井。建立數(shù)學(xué)模型如下：

model:

sets:

variables/1..10/:s,cost;

endsets

data:

cost=581069576108;

enddata

min=@sum(variables:cost*s);

(s(1)+s(7)-2)*(s(9)-1)=0;

s(3)*s(5)+s(4)*s(5)=0;

@sum(variables(i)|i#ge#5#and#i#le#8:s(i))<=2;

@sum(variables:s)=5;

@for(variables:@bin(s));

end求得:

Totalsolveriterations:

26

Variable

Value

ReducedCost

S(1)

1.000000

-4.000000

S(2)

1.000000

0.000000

S(3)

0.000000

2.000000

S(4)

1.000000

-2.000000

S(5)

0.000000

0.000000

S(6)

1.000000

-1.000000

S(7)

1.000000

0.000000

S(8)

0.000000

0.000000

S(9)

0.000000

2.000000

S(10)

0.000000

0.000000

Objectivevalue:

31.00000即選擇井S1，S2，S4，S6，S7以達(dá)到最小費(fèi)用31.

三、路徑和最短問題：設(shè)平面上有N個(gè)點(diǎn)，求一點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到所有點(diǎn)距離之和最小。這里，取N=8。數(shù)據(jù)點(diǎn)是1~5的隨機(jī)數(shù)。Lingo：model:

sets:

position/1..8/:x,y;

ab/1/:a,b;

endsets

data:

@text('E:\matlab7.0\work\data.txt')=x,y;!讀入到matlab的工作空間中;

@text('E:\matlab7.0\work\data1.txt')=a,b;

enddata

x(1)=1+4*@rand(0.12345);

y(1)=1+4*@rand(0.25);

@for(position(i)|i#ge#2:x(i)=1+4*@rand(x(i-1)));!隨機(jī)產(chǎn)生1~5中的8個(gè)點(diǎn);

@for(position(i)|i#ge#2:y(i)=1+4*@rand(y(i-1)));

[obj]min=@sum(position(i):@sqrt((x(i)-a(1))^2+(y(i)-b(1))^2));!目標(biāo)函數(shù);

@bnd(1,a(1),5);

@bnd(1,b(1),5);

endmatlab：clear;

clc;

closeall;

load('data.txt');

load('data1.txt');

holdon;

plot(data1(1),data1(2),'o','MarkerSize',15,'MarkerFaceColor','r');

plot(data(:,1),data(:,2),'or','MarkerSize',15,'MarkerFaceColor','b');

set(gcf,'Color','w');

set(gca,'FontSize',16)

gridoff;

data1=repmat(data1,8,1);

P=[data1(:,1)';data(:,1)'];

Q=[data1(:,2)';data(:,2)'];

plot(P,Q,'g','LineWidth',2);

xlabel('x');

ylabel('y');

title('Solvingtheproblemoftheminimundistanceoftnesumofallthebluepointstowardsthebeingknownredpoint.');

gtext(['Theminimundistanceis',num2str(10.2685),'.'],'FontSize',16,'Color','r');

三、運(yùn)輸+選址問題：

某公司有6個(gè)建筑工地，位置坐標(biāo)為(ai,bi)(單位：公里),水泥日用量di(單位：噸）i

1

2

3

4

5

6a

1.25

8.75

0.5

5.75

3

7.25b

1.25

0.75

4.75

5

6.5

7.75d

3

5

4

7

6

11(1)現(xiàn)有2料場(chǎng)，位于A

(5,

1),

B

(2,

7),記(xj,yj),j=1,2,

日儲(chǔ)量ej各有20噸。假設(shè)料場(chǎng)和工地之間有直線道路，制定每天的供應(yīng)計(jì)劃，即從A,B兩料場(chǎng)分別向各工地運(yùn)送多少噸水泥，使總的噸公里數(shù)最小。取決策變量c_ij表示i工地從j料場(chǎng)運(yùn)來的水泥量。模型（線性模型）為：

model:

sets:

demand/1..6/:a,b,d;

supply/1..2/:x,y,e;

link(demand,supply):c;

endsets

data:

a=1.258.750.55.7537.25;

b=1.250.754.7556.57.75;

d=3547611;

x=52;

y=17;

e=2020;

enddata

[obj]min=@sum(link(i,j):c(i,j)*@sqrt((a(i)-x(j))^2+(b(i)-y(j))^2));!目標(biāo)函數(shù);

@for(demand(i):@sum(supply(j):c(i,j))=d(i));

@for(supply(j):@sum(demand(i):c(i,j))<=e(j));

end求得：C(1,1)

3.000000

C(1,2)

0.000000

C(2,1)

5.000000

C(2,2)

0.000000

C(3,1)

0.000000

C(3,2)

4.000000

C(4,1)

7.000000

C(4,2)

0.000000

C(5,1)

0.000000

C(5,2)

6.000000

C(6,1)

1.000000

C(6,2)

10.00000

Objectivevalue:

136.2275（2）

改建兩個(gè)新料場(chǎng)，需要確定新料場(chǎng)位置(xj,yj)和運(yùn)量cij

，在其它條件不變下使總噸公里數(shù)最小。模型一樣，未知量變?yōu)榱蠄?chǎng)位置(xj,yj)和運(yùn)量cij，變?yōu)榉蔷€性優(yōu)化問題。model:

sets:

demand/1..6/:a,b,d;

supply/1..2/:x,y,e;

link(demand,supply):c;

endsets

data:

a=1.258.750.55.7537.25;

b=1.250.754.7556.57.75;

d=3547611;

e=2020;

enddata

init:

x=52;

y=17;

endinit

[obj]min=@sum(link(i,j):c(i,j)*@sqrt((a(i)-x(j))^2+(b(i)-y(j))^2));!目標(biāo)函數(shù);

@for(demand(i):@sum(supply(j):c(i,j))=d(i));

@for(supply(j):@sum(demand(i):c(i,j))<=e(j));

@for(supply:@free(x);@free(y));

end求得：C(1,1)

3.000000

C(1,2)

0.000000

C(2,1)

0.000000

C(2,2)

5.000000

C(3,1)

4.000000

C(3,2)

0.000000

C(4,1)

7.000000

C(4,2)

0.000000

C(5,1)

6.000000

C(5,2)

0.000000

C(6,1)

0.000000

C(6,2)

11.00000

（x1，y1）=（3.254884，5.652331）

（x2，y2）=（7.250000，7.750000）Objectivevalue:

85.26604

四、路徑最短問題：

如上圖，求從S到T的最短路徑。設(shè)d(x,y):城市x與城市y之間的直線距離;L(x):城市S到城市x的最優(yōu)行駛路線的路長。模型為：min{L(x)+d(x,y)}L(S)=0

model:

sets:

city/S,A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2,T/:L;

road(city,city)/S,A1S,A2S,A3A1,B1A1,B2A2,B1A2,B2A3,B1A3,B2B1,C1B1,C2B2,C1B2,C2C1,TC2,T/:d;

endsets

data:

d=633

658674

6789

56;

L=0,6,3,3,,,,,;

enddata

@for(city(j)|j#gt#@index(city,S):L(j)=@min(road(i,j):L(i)+d(i,j)));

end求得最短路徑為20.

五、指派問題(0-1規(guī)劃問題）：四個(gè)人完成4項(xiàng)任務(wù)所用的時(shí)間如下，問如何指派任務(wù)使得完成所有任務(wù)的時(shí)間最短？

任務(wù)

t1

t2

t3

t4人員m1

2

15

13

4

m2

10

4

14

15

m3

9

14

16

13

m4

7

8

11

9

c_ij:表示第i個(gè)人完成第j項(xiàng)任務(wù)所用的時(shí)間；決策變量x_ij:若第i個(gè)人選擇第j項(xiàng)任務(wù)則x_ij=1;否則，x_ij=0；模型為：model:

sets:

task/1..4/:t;

man/1..4/:m;

link(man,task):c,x;

endsets

data:

c=215134

1041415

9141613

78119;

enddata

[obj]min=@sum(link:c*x);

@for(task(j):@sum(man(i):x(i,j))=1);

@for(man(i):@sum(task(j):x(i,j))=1);

@for(link:@bin(x));

end

求得：最優(yōu)指派為：m1--t4,m2--t2,m3--t1,m4--t3最優(yōu)值為:28。

六、裝配線平衡模型（0-1規(guī)劃問題）11件任務(wù)（A—K）分配到4個(gè)工作站（1—4），任務(wù)的優(yōu)先次序如下圖，每件任務(wù)所花費(fèi)的時(shí)間如下表。目標(biāo)是為每個(gè)工作站分配加工任務(wù)，盡可能使每個(gè)工作站執(zhí)行相同的任務(wù)量，其最終裝配線周期最短。任務(wù)A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K時(shí)間

45

11

9

5015121212

12

8

9

T(i):為完成第i項(xiàng)任務(wù)需要的時(shí)間。

SETS:TASK/

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K/:

T;

!任務(wù)集合，有一個(gè)完成時(shí)間屬性

T;PRED(

TASK,

TASK)/

A,B

B,C

C,F

C,G

F,J

G,JJ,K

D,E

E,H

E,I

H,J

I,J

/;

!任務(wù)之間的優(yōu)先關(guān)系集合（A

必須完成才能開始

B，等等）;STATION/1..4/;

!

工作站集合;TXS(

TASK,

STATION):

X;!

X

是派生集合

TXS

的一個(gè)屬性。如果

X（I，K）＝1，則表示第

I

個(gè)任務(wù)指派給第

K

個(gè)工作站完成;ENDSETSDATA:T

=

45

11

9

50

15

12

12

12

12

8

9;

!任務(wù)

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

的完成時(shí)間;ENDDATA@FOR(

TASK(

I):

@SUM(

STATION(

K):

X(

I,

K))

=

1);

!每一個(gè)作業(yè)必須指派到一個(gè)工作站;@FOR(

PRED(

I,

J):

@SUM(

STATION(

K):

X(I,

K))-@SUM(

STATION(

K):

X(J,

K)

)>=0)

;

!對(duì)于每一個(gè)存在優(yōu)先關(guān)系的作業(yè)對(duì)(I,J)來說，I先J后安排;@FOR(

STATION(

K):@SUM(

TXS(

I,

K):

T(

I)

*

X(

I,

K))

<=

CYCTIME);

!對(duì)于每一個(gè)工作站來說，其花費(fèi)時(shí)間必須不大于裝配線周期;MIN

=

CYCTIME;

!目標(biāo)函數(shù)是最小化轉(zhuǎn)配線周期;@FOR(

TXS:

@BIN(

X));

!指定

X(I,J)

為

0/1

變量;END

解得最短周期為50.分配情況為：A-1，B-3，C-4，D-2，E-3，F(xiàn)-4，G-4，H-3，I-3，J-4，K-4.七、選址問題某海島上有12個(gè)主要的居民點(diǎn)，每個(gè)居民點(diǎn)的位置（用平面坐標(biāo)x,y表示，距離單位：km）和居住的人數(shù)（r）如下表所示?，F(xiàn)在準(zhǔn)備在海島上建一個(gè)服務(wù)中心為居民提供各種服務(wù)，那么服務(wù)中心應(yīng)該建在何處？

x08.200.505.700.772.874.432.580.729.763.195.55y00.504.905.006.498.763.269.329.963.167.207.88r6001000800140012007006008001000120010001100設(shè)建在（a，b）處最合理。建立模型：MODEL:

SETS:

VAR/1..12/:X,Y,R;

ENDSETS

DATA:

X=08.200.505.700.772.874.432.580.729.763.195.55;

Y=00.504.905.006.498.763.269.329.963.167.207.88;

R=6001000800140012007006008001000120010001100;

ENDDATA

MIN=@SUM(VAR:@SQRT((X-A)^2+(Y-B)^2)*R);

END求得:(a,b)=(3.601028,6.514223),最小值為：44236.04。

八、婚配問題：10對(duì)年齡相當(dāng)?shù)那嗄?，任意一?duì)男女青年配對(duì)的概率pij見下表。試給出一個(gè)配對(duì)方案，使總的配對(duì)概率最大。

w1

w2

w3

w4

w5

w6

w7

w8

w9

w10

m10.5828

0.2091

0.4154

0.2140

0.6833

0.4514

0.6085

0.0841

0.1210

0.2319

m20.4235

0.3798

0.3050

0.6435

0.2126

0.0439

0.0158

0.4544

0.4508

0.2393

m3

0.5155

0.7833

0.8744

0.3200

0.8392

0.0272

0.0164

0.4418

0.7159

0.0498

m4

0.3340

0.6808

0.0150

0.9601

0.6288

0.3127

0.1901

0.3533

0.8928

0.0784

m5

0.4329

0.4611

0.7680

0.7266

0.1338

0.0129

0.5869

0.1536

0.2731

0.6408

m6

0.2259

0.5678

0.9708

0.4120

0.2071

0.3840

0.0576

0.6756

0.2548

0.1909

m7

0.5798

0.7942

0.9901

0.7446

0.6072

0.6831

0.3676

0.6992

0.8656

0.8439

m8

0.7604

0.0592

0.7889

0.2679

0.6299

0.0928

0.6315

0.7275

0.2324

0.1739

m9

0.5298

0.6029

0.4387

0.4399

0.3705

0.0353

0.7176

0.4784

0.8049

0.1708m100.6405

0.0503

0.4983

0.9334

0.5751

0.6124

0.6927

0.5548

0.9084

0.9943取xx_ij為0-1型決策變量。模型為：

model:

sets:

man/m1..m10/;

woman/w1..w10/;

link(man,woman):p,x;

endsets

data:

p=0.5828

0.2091

0.4154

0.2140

0.6833

0.4514

0.6085

0.0841

0.1210

0.2319

0.4235

0.3798

0.3050

0.6435

0.2126

0.0439

0.0158

0.4544

0.4508

0.2393

0.5155

0.7833

0.8744

0.3200

0.8392

0.0272

0.0164

0.4418

0.7159

0.0498

0.3340

0.6808

0.0150

0.9601

0.6288

0.3127

0.1901

0.3533

0.8928

0.0784

0.4329

0.4611

0.7680

0.7266

0.1338

0.0129

0.5869

0.1536

0.2731

0.6408

0.2259

0.5678

0.9708

0.4120

0.2071

0.3840

0.0576

0.6756

0.2548

0.1909

0.5798

0.7942

0.9901

0.7446

0.6072

0.6831

0.3676

0.6992

0.8656

0.8439

0.7604

0.0592

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0.2679

0.6299

0.0928

0.6315

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0.2324

0.1739

0.5298

0.6029

0.4387

0.4399

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0.7176

0.4784

0.8049

0.1708

0.6405

0.0503

0.4983

0.9334

0.5751

0.6124

0.6927

0.5548

0.9084

0.9943;

enddata

max=@prod(man(i):@sum(woman(j):p(i,j)*x(i,j)));

@for(woman(j):@sum(link(i,j):x(i,j))=1);

@for(man(i):@sum(link(i,j):x(i,j))=1);

@for(link:@bin(x));

end求解結(jié)果：m1-w5,m2-w8,m3-w2,m4-w4,m5-w7,m6-w3,m7-w6,m8-w1,m9-w9,m10-w10.最大值為0.055.

九、護(hù)士值班安排問題

某醫(yī)院，從周一到周日都要有人值班，每天至少需要的護(hù)士如表。要求每個(gè)護(hù)士每周連續(xù)上班5天，試問該醫(yī)院至少需要多少護(hù)士？并給出上班安排計(jì)劃。周

1

2

3

4

5

6

7人

20

16

13

16

19

14

12

取決策變量star（i）:周i開始值班的人數(shù)；目標(biāo)函數(shù):min

sum[star(i)]（i=1,2,3，...,7)約束條件：連續(xù)工作五天，周j值班的人數(shù)>=required（j）（j=1,2,3,...,7)

model:sets:days/mon..sun/:required,start;endsetsdata:!每天所需的最少職員數(shù);required=20161316191412;enddata!最小化每周所需職員數(shù);min=@sum(days:start);@for(days(J):@sum(days(I)|I#le#5:start(@wrap(J+2+I,7)))>=required(J));end解得：

總共需要22人，周一8人開始值班，周二2人，周三0人，周四6人，周五3人，周六3人，周日0人。十、填數(shù)問題

分別把1,2,…,16填到圖示的16個(gè)圈內(nèi)，使得每個(gè)三角形上的所有圈內(nèi)的數(shù)的和為81（共4個(gè)三角形）。

決策變量:e_ij=1,第i個(gè)圈填數(shù)a_j;e_ij=0,第i個(gè)圈不填數(shù)a_j。a_j=j,j=1,2,3,...,16。模型：model:sets:number/1..16/:a;link(number,number):e;tri1(number)/123456789/;tri2(number)/12341615121110/;tri3(number)/45671413121516/;tri4(number)/78911011121314/;endsetsdata:a=12345678910111213141516;enddata[obj]max=@sum(link(i,j):e(i,j)*a(j));@for(number(i):@sum(link(i,j):e(i,j))=1);@for(number(j):@sum(link(i,j):e(i,j))=1);@for(link(i,j):@bin(e(i,j)));@sum(number(j):@sum(tri1(i