《復數(shù)的幾何表示》教學課例

《復數(shù)的幾何表示》教學課例魏春華【教學設計】一、教材分析本節(jié)課選自高二《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修2-2》的《復數(shù)的幾何表示》，是在學生學習了復數(shù)的概念和四則運算的基礎上，進一步讓學生感受形與數(shù)之間的和諧與統(tǒng)一。本節(jié)課主要向學生呈現(xiàn)本教材的最大特色之一是以向量為主線，把代數(shù)，幾何聯(lián)系起來，把向量引進復數(shù)體系，通過引進復數(shù)的向量表示，再由向量的加減法的幾何意義順理成章的獲得復數(shù)加減法的幾何意義其中蘊含著豐富的數(shù)學思想。本節(jié)課的教學指導思想是努力挖掘教材的內涵美妙之處，充分發(fā)揮其功能，復數(shù)的概念來自數(shù)學內部對運算與解方程的需要，它的幾何表示則來自數(shù)形結合思想與坐標方法，這使得復數(shù)必然奠基于代數(shù)中運算、方程、直角坐標系、集合等知識之上，而且必然與平面幾何、平面解析幾何之間有著密切的聯(lián)系．這不僅又一次看到了向量這一工具的功能，也把復數(shù)、復數(shù)的坐標表示及其加（減）運算，與向量、向量的坐標表示及其加（減）運算完美地統(tǒng)一了起來．使學生領悟到數(shù)學知識發(fā)生與發(fā)展過程中的思想方法和數(shù)學的和諧美、簡潔美，培養(yǎng)精益求精的治學態(tài)度和勇于探索的精神。二、教學目標（一）知識與能力：1．了解復平面的概念，理解復數(shù)z=a+bi兩種幾何表示：點P(a,b)及向量；2．了解復數(shù)加減法運算的幾何意義；3．了解共軛復數(shù)及復數(shù)模的定義，并會簡單的運用；（二）過程與方法：通過復數(shù)運算的幾何表示，復數(shù)加法與減法運算的幾何意義的學習認識過程，讓學生感受形與數(shù)之間的和諧與統(tǒng)一，體會思考問題的方式和方法，提高實踐動手操作能力。（三）情感、態(tài)度與價值觀：通過對復數(shù)的代數(shù)語言與幾何語言相互轉換的情境學習，體會解決復數(shù)問題的手段，培養(yǎng)學生用于創(chuàng)新的精神。三、教學重點與難點重點：1．復數(shù)的幾何表示點P(a,b)及向量2．復數(shù)加（減）法運算的幾何意義難點：1．復平面概念的建立2．復數(shù)加（減）法運算的幾何意義四、教學方法通過類比啟發(fā)學生的思維，探究復數(shù)的幾何表示，運用轉化的思想解決問題。五、教學過程【創(chuàng)設問題情景】在之前的學習過程中我們對復數(shù)的相關概念已經(jīng)有了一定的了解，知道復數(shù)可以分為實數(shù)與虛數(shù)，而實數(shù)可以由一條數(shù)軸上的點來表示。比如我們取一條規(guī)定了方向的直線，在直線上取定一點o作為原點，取定一個單位長，則這條直線便成為一條數(shù)軸，而每個實數(shù)由數(shù)軸上的唯一一個點P來表示，當記為沿著數(shù)軸的正方向，長度等于單位的向量，則數(shù)軸上的點P與它所表示的實數(shù)的關系為，也就是說：每個實數(shù)都可以用平行于數(shù)軸的向量來表示一一對應實數(shù)點P(a,b)一一對應一一對應平面向量師：我們已經(jīng)學習了復數(shù)的概念．什么是復數(shù)？生：形如a＋bi的數(shù)叫復數(shù)．（學生有不同意見，小聲議論）師：誰有補充？生：形如a＋bi（a，b∈R）的數(shù)叫復數(shù)．（教師給予肯定）師：a，b∈R的條件很重要，實際上我們是用實數(shù)來定義的復數(shù)，雖然我們知道了復數(shù)的定義，但是復數(shù)對于我們來說，總感到摸不著抓不住，不像實數(shù)，任何一個實數(shù)，都可以在數(shù)軸上找到一個點與它對應，那么復數(shù)到底在哪里呢？那我們知道復數(shù)由實數(shù)和虛數(shù)構成，那我們是否可以類比得到復數(shù)的幾何表示呢？（讓學生在復習舊知識的同時引入新的問題，讓學生帶著問題開始新知識的學習。）【導入新課】師：從之前的學習中我們了解到根據(jù)復數(shù)相等的定義可知，任何一個復數(shù)都可以由一個有序的實數(shù)對來唯一確定。一一對應復數(shù)有序數(shù)對而有序數(shù)對，又像我們所學的什么呢？生：像直角坐標系上的點。師：是的，這樣我們有可以把復數(shù)與直角坐標系中的點一一對應起來，一一對應復數(shù)平面直角坐標系中的點P(a,b)一一對應一一對應有序數(shù)對知識點1：復平面的概念，實軸，虛軸。例1：（1）寫出在復平面內的點所對應的復數(shù)。（2）在復平面中畫出所對應的點P1,P2,P3,P4。（通過這兩道題，不僅鞏固了復數(shù)與復平面上的點之間一一對應的關系，而且還為后面的教學打下了一個鋪墊）（二）小試牛刀1.設復數(shù)z=a+bi（a,b∈R）a,b須滿足什么條件，能使復數(shù)z的對應點位于：(1)x軸上(2)y軸上（不含原點）(3)第二象限(4)在直線2x+y-3=0上變式：已知復數(shù)z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復平面內所對應的點位于第三象限，求實數(shù)m允許的取值范圍。（通過這兩題的練習，讓學生會把復數(shù)在復平面內所對應的點所在象限問題轉化成不等式的代數(shù)問題進行解決，在此灌輸給學生轉化的數(shù)學思想。）【類比】由于復數(shù)在復平面的點被唯一的確定，那么由原點出發(fā)的向量也就唯一的確定了，在此我們就可以類似得到了：一一對應復數(shù)點P(a,b)一一對應一一對應平面向量師：那我們回頭看剛才的例1的第二小題，請畫出這四個復數(shù)所對應的向量，并根據(jù)向量模的概念求出向量的模。生：知識點2：復數(shù)的模的定義任意復數(shù)z=a+bi在復平面上對應的向量的模稱為復數(shù)的模，也稱為z的絕對值，記作|z|,即點P(a,b)到原點的距離。 【觀察】師：請同學們再觀察z3，z4，這兩個復數(shù)所對應的向量之間有什么關系？（學生在老師的提醒下很快可以發(fā)現(xiàn)他們關于x軸對稱，兩個復數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)）知識點3：共軛復數(shù)的概念以及一些重要結論對于任意復數(shù)，如果保持實部a不變，虛部b變成相反數(shù)-b，得到復數(shù)稱為原來復數(shù)的共軛復數(shù)。所以重要結論：（1）（2）（3）【自主探究】1.設Z∈C滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？(1)∣Z∣=4(2)2<∣Z∣<4通過圖形讓以及向量的運算法則讓他們認識到復數(shù)加減法的集合意義可以由所對應的向量的加減法來表示。知識點4：復數(shù)的加法，減法的幾何意義1.兩個復數(shù)的加法由對應的向量的加法來表示2.兩個復數(shù)的減法由對應的向量的減法來表示3.復數(shù)與任一實數(shù)K的乘法由對應向量與K的乘法表示復數(shù)的運算轉化為對應向量的運算例2、已知OPSQ為平行四邊形，若P,Q分別表示復數(shù)1+4i，4+i，M是OS,PQ的交點，PQ平行且等于于OD分別求S,D,M表示的復數(shù)。變式1：已知復平面上正方形的三個頂點A，B，C所對應的復數(shù)為求第四個點D的復數(shù)變式2：已知復平面上梯形的三個頂點A，B，C所對應的復數(shù)為，且CD平行且等于2AB求第四個點D的復數(shù)課時小結：一、數(shù)學知識：(1)復數(shù)的兩種幾何表示(2)復數(shù)的模、共軛復數(shù)(3)復數(shù)運算的幾何意義二、數(shù)學思想：(1)類比的思想(2)轉化的思想(3)數(shù)形結合的思想【教學片段實錄】類比學習同學們在之前的學習過程中我們對復數(shù)的相關概念已經(jīng)有了一定的了解，知道復數(shù)可以分為實數(shù)與虛數(shù)，而實數(shù)可以由一條數(shù)軸上的點來表示。比如我們取一條規(guī)定了方向的直線，在直線上取定一點o作為原點，取定一個單位長，則這條直線便成為一條數(shù)軸，而每個實數(shù)由數(shù)軸上的唯一一個點P來表示，當記為沿著數(shù)軸的正方向，長度等于單位的向量，則數(shù)軸上的點P與它所表示的實數(shù)的關系為，也就是說：每個實數(shù)都可以用平行于數(shù)軸的向量來表示一一對應實數(shù)點P(a,b)一一對應一一對應平面向量師：我們已經(jīng)學習了復數(shù)的概念．什么是復數(shù)？生：形如a＋bi的數(shù)叫復數(shù)．（學生有不同意見，小聲議論）師：誰有補充？生：形如a＋bi（a，b∈R）的數(shù)叫復數(shù)．（教師給予肯定）師：a，b∈R的條件很重要，實際上我們是用實數(shù)來定義的復數(shù)，雖然我們知道了復數(shù)的定義，但是復數(shù)對于我們來說，總感到摸不著抓不住，不像實數(shù)，任何一個實數(shù)，都可以在數(shù)軸上找到一個點與它對應，那么復數(shù)到底在哪里呢？(生好奇)那我們知道復數(shù)由實數(shù)和虛數(shù)構成，那我們是否可以類比得到復數(shù)的幾何表示呢？（生好奇）【導入新課】師：從之前的學習中我們了解到根據(jù)復數(shù)相等的定義可知，任何一個復數(shù)都可以由一個有序的實數(shù)對來唯一確定。一一對應復數(shù)有序數(shù)對而有序數(shù)對，又像我們所學的什么呢？生：像直角坐標系上的點。師：是的，這樣我們有可以把復數(shù)與直角坐標系中的點一一對應起來，一一對應復數(shù)平面直角坐標系中的點P(a,b)一一對應一一對應有序數(shù)對（師演繹課件）知識點1：復平面的概念，實軸，虛軸。師：我們把這個用直角坐標系來表示復數(shù)的這個平面叫做復平面，x軸叫實軸，y軸叫虛軸例1：（1）寫出在復平面內的點所對應的復數(shù)。（2）在復平面中畫出所對應的點P1,P2,P3,P4。（通過這兩道題，不僅鞏固了復數(shù)與復平面上的點之間一一對應的關系，而且還為后面的教學打下了一個鋪墊）(學生動手練習，老師巡視)師：由于復數(shù)在復平面的點被唯一的確定，那么由原點出發(fā)的向量也就唯一的確定了，在此我們就可以類似實數(shù)得到了：(師演繹課件)一一對應復數(shù)點P(a,b)一一對應一一對應平面向量【教學反思】本節(jié)課的教學指導思想是努力挖掘教材的內涵美妙之處，充分發(fā)揮其功能，復數(shù)的概念來自數(shù)學內部對運算與解方程的需要，它的幾何表示則來自數(shù)形結合思想與坐標方法，這使得復數(shù)必然奠基于代數(shù)中運算、方程、直角坐標系、集合等知識之上，而且必然與平面幾何、平面解析幾何之間有著密切的聯(lián)系．所以學習這部分知識，將是對代數(shù)、平面幾何、平面向量、平面解析幾何中有關內容的一次復習、鞏固和應用．復數(shù)的加法、減法運算還可以通過向量加法、減法的平行四邊形成三角形法則來進行，這不僅又一次看到了向量這一工具的功能，也把復數(shù)、復數(shù)的坐標表示及其加（減）運算，與向量、向量的坐標表示及其加（減）運算完美地統(tǒng)一了起來．使學生領悟到數(shù)學知識發(fā)生與發(fā)展過程中的思想方法和數(shù)學的和諧美、簡潔美，培養(yǎng)精益求精的治學態(tài)度和勇于探索的精神。這節(jié)課的課題是：類比探究，自主學習，想讓學生在學習了類比推理的情況下從已有的舊知識類比得到今天的新知識。通過類比實數(shù)的幾何性質來得到復數(shù)的幾何性質。本節(jié)課設計的亮點：1．新的課改理念倡導學生的“合作探究”意識與教師的“開放式”教學意識，在這兩種基本理念下，在教師引導下由學生自己去添加條件或改變條件演變成新的題情，環(huán)環(huán)相扣，步步為營。2．通過PPT的演示，同學們對問題有一個較為直觀的視覺感受，從而掃清了在這一知識形成過程中的思維障礙，整個思維和知識形成過程構成了一個完美的統(tǒng)一體。這種教學氛圍的營造，使學生在舊知識溫故中，發(fā)現(xiàn)了打開新知識寶庫大門的鑰匙。3．想達到的目的：通過師生共同探索復數(shù)的代數(shù)形式、坐標表示、向量表示及其應用，既能體現(xiàn)數(shù)形結合這一重要思想，同時也能體會數(shù)系發(fā)展的必要性。在此過程中還滲透了類比和轉化的數(shù)學思想。4．不僅又一次看到了向量這一工具的功能，也把復數(shù)、向量、解析幾何完美地統(tǒng)一了起來.本節(jié)課通過教學讓學生進一步了解了復數(shù)數(shù)系擴充的意義，知道了復數(shù)的兩種幾何表示，以及復數(shù)模和共軛復數(shù)的幾何表示，還有復數(shù)加減法的幾何表示。在整堂課的教學中我一直以類比實數(shù)的幾何表示為主線，讓學生探究得到今天所要學習的知識。實現(xiàn)了我在課題中所提到了類比探究的這部分亮點，使得學生在學習新知識時比較容易接受。教學中的不足：1．我們總是在講要突出重點分散難點，可是如果不知道重點和難點具體是什么，如何采取行之有效的方法來突出重點和分散難點？最后進行課堂總結的學生對復數(shù)的幾何意義，不能夠一針見血地指出來，我問自己，這個問題有沒有復雜到學生當堂不能夠理解記憶呢？是不是有什么方法讓學生對復數(shù)的幾何意義一目了然呢？后來我試驗了一下，z=a+bi(a,b為實數(shù))注明代數(shù)形式，而Z(a,b)和向量OZ用同色的彩筆注明幾何意義，再小結的時候學生就可以很容易得到答案了。2.課堂節(jié)奏。在這次公開課的點評中，有老師提到我的上課節(jié)奏太快，顯得很緊湊，但是顯得課容量偏大了，所以一開始也是自己怕上不完，有點趕，節(jié)奏上偏快。3．在文字語言的敘述特別是連接詞上要加強，數(shù)學語言，尤其要注重準確嚴密，一針見血，要么不說，要么就說在點子上，這需要斟酌課堂上的每一句教學語言，需要長期堅持不懈的努力！【同行點評】1．本節(jié)課借助ppt課件，將原來令人難以理解的抽象的數(shù)學理論變得形象，生動且通熟易懂，同時，運用“多媒體課件