專題11 數(shù)列求和方法

專題11數(shù)列求和方法之分組并項求和法一、單選題1.已知數(shù)列b｝滿足Q=1,。=4,Q=10,且"-a)是等比數(shù)列，則寸。=()n123n+lniz=lA.376B.382C.749D.766【答案】C【分析】利用累加法求出通項。，然后利用等比數(shù)列的求和公式，求解丈。.即可nii=l【詳解】由已知得，Q—Q=3,?！猀=6,而｛q-a｝是等比數(shù)列，故Q2,2132,7+1n33x2](a—a)+(?！猘)+(Q—。)=3+6++3x2〃-2==3x2〃-i—3,TOC\o"1-5"\h\znn-1n-1n-22iF2a-an'=3x2〃-1—3,化簡得i=3x2〃-1—2,1n書1—28，q—a+d+q=3x(l+2++27)—2x8=3x—16=3x28—19=749a-ani1281-2z=l故選：C???.??【點睛】關(guān)鍵點睛：解題關(guān)鍵在于利用累加法求出通項，難度屬于中檔題2.若在邊長為1的正三角形A8C的邊BC±有〃(〃22,〃eN*)等分點，沿向量8C的方向依次為2991197P，P，…，P,記T=ABAP+APAP+?+APAC,若給出四個數(shù)值：□二；□—；□—；12〃—1n112n-141018232>;則T的值可能的共有()33〃A.0個bT1節(jié)C.24^D.3個【答案】A【分析】由題意，存在實數(shù)keN使得AP=AB+kBP,則A尸=AB+(k+l)BP，計算數(shù)量積，得到+k1k+l12k1k2k[APAP1—2k1,2,..n,1,k分別判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，存在實數(shù)kN，使得APkABkBP1，所以APkAP^ABkBP1ABk1BP]AB22k1ABBP]kk1BP「1J|-小5-22N,推出Tn頑’結(jié)合題中條件’由賦值法，則APk1ABk1BP1,k1,2,..n,1,kN-2所以TABAP1AP1AP2AP1ACABAP357...2-11212212-n2-1-1~2-12...-11222...-12-2-1-1--11222...-12.22--2￡匚--12-165-22，2--26-ILces120-1-o1-1-1—-12-2-87-7772920N5-226-29T解得-5-2291—解得-273<747296-10505-22197，解得-197<388096-18305-2_2232，解得-464<46426-33110N令令N令4840NTN所以*的值不可能取所給的四個數(shù)值.故選：A.【點睛】思路點睛：向量數(shù)量積的問題，在求解時，可根據(jù)向量向量積的運算法則，由轉(zhuǎn)化法求出數(shù)量積；也可利用建系的方法，建立平面直角坐標(biāo)系，得出所需向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解3.若數(shù)列｛，｝的通項公式是a=(-1)n+1(4n+1)，則a+a+nn1112A.45BA.45B.65C.69D.-105【答案】B由題意可得a【分析】+a=(-1)n+1(4n+1)+(-1)n+2[4(n+1)+1]=(-1)n+1(-4)，從而可得n+1a+a++a=(a+a)++(a+a)+a由題意可得a1112211112192021【詳解】因為a=(-1)n+1(4n+1)，所以a+a1=(-1)n+1(4n+1)+(-1)n+2[4(n+1)+1]=(-1)n+1(-4)，貝ga+a+?…+a=(a+a)+?…+(a+a)+a=—4x5+85=651112211112192021故選：B.【點睛】此題考查由數(shù)列的通項公式求一些項的和，利用了并項求和法，屬于基礎(chǔ)題二、解答題4.設(shè)"｝為等差數(shù)列，%｝是正項等比數(shù)列，且a=b=2，a=2b.在口b—b=12b，口a+2=b，nn113253154這兩個條件中任選一個，回答下列問題：寫出你選擇的條件并求數(shù)列｛a｝和"｝的通項公式；nn在(1)的條件下，若c=a+b。eN*)，求數(shù)列｛c｝的前n項和S.nnnnn3n2+n【答案】⑴條件選擇見解析，偵3〃-1，「2n；(2)Sn=—2—+2n+1-2.【分析】(1)設(shè)即的公差為d，妲的公比為q(q>0)，根據(jù)所選的條件結(jié)合已知條件得出d和q的方程組，解出這兩個量的值，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列｛a｝和｛b｝的通項公式；nn(2)求得c^=3n-1+2n，利用分組求和法可求得S孔.【詳解】(1)選擇口:設(shè)"〃｝的公差為d，"〃｝的公比為q(q＞。).〃2+2d=4q\q=2則根據(jù)題意有＜。。睥，解得Lh2q4-2q2=24[d=3TOC\o"1-5"\h\z所以a=2+3(n—1)=3n—1，b=2-2n-1=2nnn選擇□:設(shè)"J的公差為d，｛b〃｝的公比為q(q＞0).「2+2d=4qq=2則根據(jù)題意有＜。。。，解得仁a，[2+4d+2=2q3[d=3所以a=2+3(n—1)=3n—1，b=2-2n-1=2nnn(2)由(1)可知cn=3n-1+2n，所以S=(2+21)+(5+22)+(8+23)++(3n-1+2n)=[2+5+8++(3n-1)]+G1+22+23++2凡)???n(2+3n-1)2G-2〃)3n2+n=+=+2n+1-2.2…1-22…【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；（2）對于｛ag｝型數(shù)列，其中｛^｝是等差數(shù)列，｛々｝是等比數(shù)列，利用錯位相減法求和；（3）對于｛an+bn｝型數(shù)列，利用分組求和法；（4）對于\-^\型數(shù)列，其中｛a｝是公差為d（d豐°）的等差數(shù)列，利用裂項相消法.IaaInnn+1'5.已知數(shù)列｛?！ǎ?，已知氣=1，a2=a，an+1=k（an+an+2）對任意「N*都成立，數(shù)列｛a〃｝的前n項和為S,（1）若｛an｝是等差數(shù)列，求k的值；（2）若a=1，k=—2，求Sn.71【答案】（1）k=-；（2）f2—n,n=2k—1(),(71【答案】（1）k=-；（2）f2—n,n=2k—1(),(gN*/n,n=2k（1）根據(jù)等差中項可得an+1=L(a+a2nn+2（2）根據(jù)題意可得an+3=an+1+an，討論n是偶數(shù)或n是奇數(shù)，利用分組求和即可求解.【詳解】則對任意ngN*a—a=a—an+1nn+2n+1即2a=a+a，所以a1=2(a+a2)，71故k=2A71(2)當(dāng)k=—時，a=2n+1所以a+a=—(a+a——(a+a))，故a+a=-(a+an+1)=an+1+an所以，當(dāng)n是偶數(shù)時，S=a+a+a+a+

n1234+a+a=(a+a)+(a+a)+

n—1n1234+(a+a)當(dāng)n是奇數(shù)時，a+a=—(a+a)=—22312S=a+a+a+a++a+a=a+(a+a)+(a+an1234n—1n1234:=1+上x(—2)=2—n2+(a+a)|2—n,n=2k—1()綜上，S=｛,(kgn*).nIn,n=2k【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了分組求和，解題的關(guān)鍵是求出an+3+an+2=an+1+an，考查了計算求解能力.6.在數(shù)列｛a｝中，a1=2，a^=5a〃—4n+1，ngN*.（1）證明：數(shù)列｛氣-n｝是等比數(shù)列；（2）求｛叩的前n項和S〃.1（u1）n（n+1）【答案】（1）證明見解析；（2）/（5n-1^+\.【分析】（1）an+1-5。"4n+1，neN*，變形為an+1一（n+1）=5（?！竛），匕T=L進(jìn)而證明結(jié)論;（2）由（1）可得：a,=5n-1+n，再利用分組求和即可得出Sn.【詳解】（1）證明：a=5a-4n+1，neN*n+1na—（n+1）—5（a—n）.n+1?n又因為a1TT數(shù)列｛an—n｝是首項為1，公比為5的等比數(shù)列，（2）由（1）可得：a’一n=5n-1，a=5n—1+n?'?{a}的前n項和S=1+5+52+...,…+5n—1+(1+2++n)1x'-5^n(n+1)=5n—1n(n+1)=1n(n+1)1—5+25—1+24(n―)+【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的方法（1）倒序相加法：如果一個數(shù)列｛a」的前n項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可以用倒序相加法（2）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可以用錯位相減法來求；（3）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些像可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列:或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；并項求和法：一個數(shù)列的前維項和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和，形如an可采用兩項合并求解.7.已知正項等比數(shù)列｛a｝的前n項和為S，且滿足S+a是2a和a的等差中項，a=2.nn22141求數(shù)列｛an｝的通項公式；令b=loga+a，求數(shù)列｛b｝的前n項和下.n22n2nnn4n+1—4【答案】(1)?？?2n；(2)一^一+n2+n.【分析】直接利用已知條件建立等量關(guān)系求出數(shù)列的公比，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項公式利用(1)的結(jié)論，進(jìn)一步利用分組法求出數(shù)列的和.【詳解】正項等比數(shù)列｛a｝的前n項和為S，且滿足S+a是2a和a的等差中項，nn2214設(shè)公比為q，則2(S2+a2)=2a1+a4，整理得：2(a^+2a2)=2a^+a4，由于a1=2，即2(2+4q)=4+2q3，即q3=4q，因為q>°，所以解得q2，所以an=2n.由于b=loga+a=2n+4n，所以T=2+41+4+42+6+43++2n+4n=(2+4+6++2n)+(41+42++4n)=n(n+1)+%4"—1)?4—14n+1—4+n2+n.3【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問分組后利用等差、等比數(shù)列的前n項和公式求和是解題關(guān)鍵.

8.在口，=35,D3a+a=10,□a=3n+a這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中并作答.513〃+11已知'是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，其前11項和為七，，且。],~a,%成等比數(shù)列?(1)求數(shù)列｛。｝的通項公式；n（2）設(shè)》=（一1>a,求W。.nii=l竺/是偶數(shù)【答案】(1)【答案】(1)a=3n-2.（2）咒bnii=l上竺/是奇數(shù)2【分析】1利用。，~a,。成等比數(shù)列□可得3。2+26"』-9』2=0,TOC\o"1-5"\h\z124911若選口:由S=35得：a+2d=l,即可解出。和刁的值，即可求出"｝的通項公式；511n若選口:由3。+。=10可得d=5-2a,即可解出。和H的值，即可求出"｝的通項公式；1311n1若選口:由1=3n+a,可表示出。=。+9,a=24+。，結(jié)合。a,a成等比數(shù)列□即可解出。n+l1419112491和刁的值，即可求出｛。｝的通項公式；n由(1)可得。=(-l)'(3n-2),分〃為奇數(shù)和偶數(shù)，利用并項求和即可求解.n【詳解】｛。｝是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，，氣成等比數(shù)列.TOC\o"1-5"\h\zn1249]所以一。2=a?q,即(g+3d?=,(a+8<7),4419111整理可得％2+26ad—9d2=0,ii5x4若選口:S=35,貝\\5a+d=35,即a+2d=7,5i2i由％+2d=7可得匕=7—2d代入3。2+26ad-9d^=0可得:涉2—2d—3=0,解得d=3或d=—1（舍）所以匕T,所以。=1+G-l）x3=3〃-2,n

若選口:3a+a=10,即d=5—2a,代入3a2+26ad—9ch=0得:TOC\o"1-5"\h\z1311117g2—62。+45=0,即（q-1）（17。-45）=。iiii45c1a=—\a=1117解得：Jq或<不符合題意;d=\5若選口:a=3n+a,則。=。+9,a=24+。，14191代入—a2=q-a可得。2+26a一27=0441911\aa=—27解得：L1Q或Ja不符合題意；H=3\a=3綜上所述:a=1綜上所述:1d=3'a=3〃一2,n(2)b=(-l>(3n-2),n=(-1)1a+(-1)2a+(-1)3a+(-l)7-1a+(-1)7aTOC\o"1-5"\h\zf123n-ini=l=-1+4-7+10+(-1)〃t(3〃-5)+(-1)，(3〃-2)當(dāng)〃為偶數(shù)時，￡b=3x%=￥，???i22i=l當(dāng)〃為奇數(shù)時，1+(—3)乂生」=上主，'22/=!f3n等，〃是偶數(shù)所以E'上竺/是奇數(shù)I2【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題得關(guān)鍵點是分別由條件□口口結(jié)合。。成等比數(shù)列計算出q和日的值，由b｝是12491n各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，所以4>0,d>Q,第二問中力=(-1>a正負(fù)交錯的數(shù)列求和，需要用奇偶1nn并項求和，注意分〃為奇數(shù)和偶數(shù)討論.9.已知數(shù)列是等差數(shù)列，S〃是其前n項和，且。1=2,S「12.求數(shù)列"｝的通項公式;n(2)設(shè)氣弋+4n，求數(shù)列｛々｝的前n項和7.4n+1—4【答案】(1)an=2n；(2)Tn=n2+n+―^—.【分析】(1)由等差數(shù)列前n項和公式，結(jié)合已知即可求公差d，進(jìn)而寫出通項公式即可.由(1)結(jié)論，有b=2n+4n，首先分組，再結(jié)合等差等比前n項和公式求T.【詳解】(1)□數(shù)列"J是等差數(shù)列，S〃是其前n項和，a1=2,S「12，S3=3x2+3X2d=12，解得d=232a=2+(n-1A2=2nn(2)□b=a+4n=2n+4n，4n+1—4.()n(n+1)4Gt”)□T=2(1+2+3++n>+4+42+43++4n>=2x4n+1—4.n21—4310.已知等差數(shù)列｛a｝的公差為d(d。0)，前n項和為S，且滿足a=15，a，a，a成等比數(shù)列.??-nn8125求數(shù)列｛a｝的通項公式；n若氣=2-，求數(shù)列｛an+bJ的前n項和Tn.【答案】(1)an=2n-1；(2)T”=n2+1-2-.【分析】由a=。+7d和a，a，a成等比數(shù)列，求得a1，d2，即可求得數(shù)列｛a｝的通項公式.TOC\o"1-5"\h\z811251n711==由(1)和b=—，可得a+b=2n-1+丁，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，即可求解.n2nnn2n【詳解】(1)由題意，數(shù)列｛a｝中，因為a=a+7d，可得a+7d=15n811

又由a,a,a成等比數(shù)列，可得a2=aa125215即(a+d)2又由a,a,a成等比數(shù)列，可得a2=aa125215即(a+d)2=a-(a+4d)，可得d=2。]，TOC\o"1-5"\h\z,11\o"CurrentDocument"(2)由(1)和b=—，可得a+b=2n—1+—n2nnn2n(1111A則T=[1+3+5++(2n—1)]+-+-+-++-n1222232n1n(1+2n—1)2V1—-2即T=n2+1—2-.11.已知｛a｝是等比數(shù)列，a=3，a=24.數(shù)列｛b｝滿足b=1，h=—8，且｛a+b｝是等差數(shù)列.n14n14nn求數(shù)列｛aj和｛〃的通項公式；求數(shù)列｛bj的前n項和.【答案】(1)a=3-2n-1(n=L2，)；b=4n—3-2n-1(n=1,2,)；(2)2n2+2n—3-2n+3.【分析】??????首項求出口〃，然后求出an+bn，然后可得bn;分別算出數(shù)列｛4n｝、｛3-2n—1｝的前n項和即可.【詳解】a(1)設(shè)等比數(shù)列｛aj的公比為q，由題意得q3=/=8,解得q2.1所以a=a-qn-1=3-2n-1(n=1,2,).設(shè)等差數(shù)列｛an+b「的公差為d，由題意得???d(a+b)—(a+b)16—4耳=^444-111=所以a+b=(a1+b1)+(n—1)d=4n.從而b=4n—3-2n-1(n=1,2,)(2)由(1)知b=4n-3-2n-i(n=1,2,).數(shù)列｛4n數(shù)列｛4n｝的前n項和為4n+n(n-1)x4=2n(n+1)???數(shù)列｛3-2n-1｝的前n項和為打-2")=3.(2n-1)1-2所以，數(shù)列｛bn｝的前n項和為2n2+2n-3-2〃+3.12.設(shè)數(shù)列｛。｝的前n項和為S昨，且S計+n=2a-2.證明數(shù)列(an+1｝是等比數(shù)列，并求出數(shù)列何｝的通項公式；若數(shù)列"｝中，b=2,b=b—2，求數(shù)列"+b｝的前n項和T.TOC\o"1-5"\h\zn1nn+1nnn【答案】(1)證明見解析；an=2n+1-1；(2)Tn=2n+2+n2-4.【分析】當(dāng)n>2時，由S+n=2a一2，可得S+(n-1)=2a一2，兩式相減，可化為a+1=2(a+1)nnn-1n-1n+1n結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可得到結(jié)論；由題知數(shù)列"｝是等差數(shù)列，則b=2n，再利用分組求和法求數(shù)列｛a+b｝的前n項和t.nnnnn【詳解】(1)證明：當(dāng)n=1時，a1=3，當(dāng)n>2時，S+n=2a-2□S+(n-1)=2a-2TOC\o"1-5"\h\zn-1n-1由□一□得：2a1+1=a2a+2=a+1，即一n-=2由□一□得：2a1+1=a故數(shù)列｛a^+1｝是以2為公比，首項為a1+1=4的等比數(shù)列，a+1=2n+1，得a=2n+1—1(2)由題得：b1b2故｛bn｝是以2為公差，2為首項的等差數(shù)列，二bn=2n

:.T=(2+4:.T=(2+4+…+2n)+(22+23+…+2n+1)-ncn(n—1)c4([—2〃)—2n+x2+—n1—2【點睛】方法點睛：本題考查數(shù)列求通項公式與求和問題，求數(shù)列和常用的方法：（1）等差+等比數(shù)列：分組求和法；（2）倒序相加法；（3）、=兀，（數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列）：裂項相消法；nn+1（4）等差x等比數(shù)列：錯位相減法.13.已知｛a｝是公差不為零的等差數(shù)列，氣—1,且氣，a,a成等比數(shù)列.n1139（1）求數(shù)列｛a｝的通項公式；n（2）求數(shù)列^2an+2aJ的前n項和Sn.【答案】(1)an—n；(2)S=2n+1+n2+n—2.【分析】（1）根據(jù)等比中項的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的通項求出公差，即可得出數(shù)列｛an｝的通項公式；（2）由（1）得出數(shù)列｛2an+2an｝的通項公式，再由分組求和法，結(jié)合等差、等比的求和公式求解即可【詳解】解：（1）由題設(shè)知公差d。0，由a1—1，a13，a9成等比數(shù)列得1+2d11+8d1+2d解得d—1或d—0（舍去）故｛a｝的通項公式為氣—1+（n—1）x1—n（2）由（1）知，2an+2a—2n+2n，由分組求和法得n2n—12+2nS=2x^yy+—^~n—2n+1+n2+n—214.已知數(shù)列｛a｝滿足奇數(shù)項a,a,a…成等比數(shù)列｛a｝解：（1）由題設(shè)知公差d。0，由a1—1，a13，a9成等比數(shù)列得1+2d11+8d1+2d{a}(neN*),且a=2,a?=1（口）（口）當(dāng)a1<a3時，若{a}(neN*),且a=2,a?=1（口）（口）當(dāng)a1<a3時，若2n'b=S2，試求'的最大值.【答案】（口）a=1

n2,n=2k-11,n=2kJ22,n=2k-11m*<'，keN*；n—1,n=2k23（口）衣8【分析】243465n（口）設(shè)等比數(shù)列的公比為q若d=0,q=1，則an2n=2k—11,n=2k（口）設(shè)等比數(shù)列的公比為q若d=0,q=1，則an2n=2k—11,n=2k【詳解】（口）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，等差數(shù)列的公差為d，則a3=2q,a5=2q2，a4=1+d,a6=1+2d，因為a+a=a，J1+1+d=2q

所以［1+d+1+2因為a+a=a，若d=2,q=2，則a=2n，a=1+2(n—1)=2n—1，n+122,n=2k—1，neN*n—1,nn+122,n=2k—1，neN*n—1,n=2k(口)因為a1<a3，所以a,=<TOC\o"1-5"\h\zc,、，、2(1—2n)n(n—1)。。S=(a+a++a)+(a+a++a)=+n+=2n+1+n2—22n132n—1242n1—222n+1+n2—2I72n+2+(n+1)2—22n+1+n2—2(n+1)(n—3)由2n-kS2n，b“=—-匕七—2；+—―—"2n+1所以當(dāng)1<n<3時，bn1-bn〉0，bn1〉bn，當(dāng)n>4時，bb0，b<b，23所以｛bn｝的最大項為b4=耳【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，考查分組求和法，數(shù)列的增減性.求通項公式的方法是等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量法，即求出公比和公差后直接寫出通項公式，只是注意兩解，要寫成統(tǒng)一形式.數(shù)列求和用的分組求和法，數(shù)列求和還有其他一些特殊方法：錯位相減法，裂項相消法，倒序求和法等.他們都是對應(yīng)的著特殊數(shù)列的求和.數(shù)列的單調(diào)性一般用作差法確定，即確定》-b的正負(fù)，得數(shù)列的增減性，從而得最大項或最小項.對于n+1n以幕的形式給出的通項公式不等增數(shù)列還可能用作商法確定增減性.15.在口a=2,a+a—14，口a+a—7,a—9，口a+a—11,a—5，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充123123132在下面橫線上，并解答問題.已知等比數(shù)列的公比是q(q>1)，bn=氣+1-2n，且有(neN*).(注：如果選擇多個條件分別解答，那么按照第一個解答計分)求證：b—2n-1；求數(shù)列｛%｝的前n項和為S孔.【答案】(1)證明見解析；(2)S.=2n+n2-1.【分析】不管選哪一個條件，方法都一樣：由基本量法求出0，得通項公式；用分組求和法求Sn.【詳解】若選擇①a1—2,a2+。3—14，(1)設(shè)數(shù)列｛〃公比為q，bn=%+1-2n則b=a+1—2—1，b+b=a—3+a—5—6112323b2+b3=q+q2—6，又q>1，解得q2，b—2n-1n

(2)由(1)得a=b+2n-1=2〃-1+2n-1S=(1+2+22++2n-1)+[1+3+5++(2n-1)]=1-2-+n(1+2-1)=2+n2-2若選擇□%+a2=7,a3=9,(1)設(shè)數(shù)列｛b｝公比為q,bnn=a+1-(1)設(shè)數(shù)列｛b｝公比為q,bnn=a+1-2n貝gb+b=a—1+a—3=3,□b=2n-1n(2)由(1)得a=b+2n—1=2n-1+2n—1S=(1+2+22++2n-1)+[1+3+5+1—2nn(1+2n—1)+(2n—1)]=+=2n+n2—21-2若選擇□a1+"La2=5(1)設(shè)數(shù)列｛bn｝公比為q,氣=a"1-2nb=a-3=2,b+b=a-1+b-5=52213132八L，□-+2q=5，又q>L故解得q2qn(2)由(1)得a=b+2n—1=2n-1+2n—1S=(1+2+22++2n-1)+[1+3+5++(2n-1)]=[-；+n(1+2n-1)=2n+n2-2【點睛】??????方法點睛：本題考查求等比數(shù)列的通項公式，考查分組求和法.數(shù)列求和的常用方法:設(shè)數(shù)列｛aj是等差數(shù)列，｛bn｝是等比數(shù)列，公式法：等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和直接應(yīng)用公式求和；(錯位相減法：數(shù)列｛。,〃｝的前n項和應(yīng)用錯位相減法；

裂項相消法；數(shù)列｛—L｝(k為常數(shù)，a?！?的前n項和用裂項相消法；aan分組(并項)求和法：數(shù)列｛pan+qbn｝用分組求和法，如果數(shù)列中的項出現(xiàn)正負(fù)相間等特征時可能用用并項求和法；倒序相加法：滿足。皿+an籟=A(a為常數(shù))的數(shù)列，需用倒序相加法求和.16.設(shè)%是數(shù)列坷｝的前n項和，已知a1=l，Sn=2-2an+1求數(shù)列"｝的通項公式；n設(shè)「Cl'lOg±an，求數(shù)列"〃｝的前n項和％21］豎,n為奇數(shù)【答案】(1)a=—；(2)T=｛.n2n-1|§n為偶數(shù)【分析】利用當(dāng)n>2時，a”=s〃-sn-i，可推出數(shù)列為等比數(shù)列，即可求出通項公式;化簡b=(->(n-1)分n為奇數(shù)，偶數(shù)，求和即可.【詳解】a1=1，則a2=2所以數(shù)列^an^(1)因為sn=2-2a“］，所以當(dāng)n>2時，七］=2-2a〃兩式相減得a=-2a+2a，所以f1=5，當(dāng)n=1時，S=2-2ann+1na2121為首項為1，公比為-的等比數(shù)列，故a=—n2n-1(2)由⑴可得bn=(T>log1an=(-1>(n-1)2所以T=°+1-2+3—…+a1=1，則a2=2所以數(shù)列^an^n1-n故當(dāng)n為奇數(shù)時，T=°+(1-2)+(3-4)—+(n-2+1-n)=—2—當(dāng)n為偶數(shù)時，T=(°+1)+(-2+3)+(—4+5)++(2-n+n-1)=2￥，n為奇數(shù)-,n為偶數(shù)且lga+lga=lg(a+a).I217.已知等差數(shù)列"J中，lg(ai+a)=1求數(shù)列｛a｝的通項公式；求k的值及數(shù)列｛氣+?。那皀項和S〃=3n2—n+—jn一1)3'n若a,a,a是等比數(shù)列｛b｝的前3項，1k6n【答案】(1)an=6n—4；(2)k=2,S【分析】(1)利用且lga+lga=lg(a+a).求k的值及數(shù)列｛氣+?。那皀項和S〃=3n2—n+—jn一1)3'(2)利用(1)的結(jié)論，可得an+"=6n—4+2x4n-1，利用分組法求，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式可求出數(shù)列的和.【詳解】(1)數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d.n=2a3，且a3>0，故a1=2由lga+lga=lg(a+a)=2a3，且a3>0，故a1=213241324再由lg(a】+a2)=1，得。］+a2=10，故d=6所以：a=2+(n—1)x6=6n—4(2)若a,a,a，是等比數(shù)列｛b｝的前3項1k6n則a2=a「a6，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式得到：ak=6k-4，代入上式解得：：k=2而等數(shù)列中，cb1=a1=2,b2=a2=8，所以：等比數(shù)列｛b｝的公比為q=4.n于是：bn貝ga+b=6n一4+2x4n-1cn(2+6n-4)°4n-12匕\故S=+2x=3n2—n+—\4n—17n24—13【點睛】利用“分組求和法”求數(shù)列前n項和常見類型有兩種：一是通項為兩個公比不相等的等比數(shù)列的和或差，可以分別用等比數(shù)列求和后再相加減；二是通項為一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的和或差，可以分別用等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和后再相加減.18.已知數(shù)列"｝的前n項和為S=n2+n.(1)求數(shù)列｛。｝的通項公式;n(1\a(2)若b=-\27【答案】(1)a=2n;n求數(shù)列蝦的前n項和匚.n(n+1)

2【分析】'S-S,n>2(1)根據(jù)a=\nn-1，由題中條件，即可求出通項;na,n=11一r1\n(2)先由(1)得到bn=^^J+n，再由分組求和的方法，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)果.【詳解】(1)因為S=n+n，當(dāng)n>2時，a=S—S=n2+n-(n—1)2-(n一1)=2n，當(dāng)n=1時，a1=2；也滿足上式；□a=2nn(2)由(1)可得:r1\n4i47+n+(1+2++n)=4+n(n+1)n(n+1)19.已知數(shù)列｛。｝中，％=。，a。=2,S為數(shù)列億｝的前n項和，若對任意的正整數(shù)n都有S=n(a匚氣).n12nnn2求a的值；試確定數(shù)列｛an｝是不是等差數(shù)列；若是，求出其通項公式，若不是，說明理由；記Pn=St+2+S^，求數(shù)列｛pn｝的前n項和T.n+1n+2記Cn=Tn-2n是否存在正整數(shù)"使得不等式匕＜M恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，說明理由.22【答案】(1)a=0；(2)數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，通項公式為a”=2n—2；(3)T=2n+3-左-扁(4)3.【分析】令n=1，即得結(jié)果；將a=0代入，作差5〃+1—S.整理得(n—Da?=na^，再結(jié)合na^=(n+1)a〃+1作差整理，即得TOC\o"1-5"\h\za+a=2a，即證數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，再計算通項公式即可；n+2nn+1n先利用(2)求Sn，再化簡得到｛Pn｝通項公式，最后累加相消即得T；先化簡Cn，利用單調(diào)性判斷其取值范圍，再解決恒成立問題得到M范圍，即可得到最小值.【詳解】解：(1)對任意的正整數(shù)n都有S=n(an—a1)，令n=1則S=1x(a「a「=0，即a=0故a=0n2121(2)a=0，故S=冬，則S=(n+1)an+1，作差得2(s—S)=(n+1)a—na，化簡整理得n2n+12n+1nn+1n(n—1)a=na，則na=(n+1)a卜］，作差得nan+,2—(n—1)a=(n+1)a卜］—nan，化簡整理得a+a=2a，故數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，首項為a=0，公差為d=a—a=2，故通項公式為n+2nn+1n121

a=2n-2,n(3)由(2)知數(shù)列｛a｝的前n項和S=2=n(n+1)，故nn2SS―nI2+n+1SSn+1n+2(n+2)(n+1)(n+1)n_n+2工_2相―)(n+1)n(n+2)(nSS―nI2+n+1SSn+1n+2故Tn八1111+一一4=2n+21-—+—-I321+...+5(111\22=2n+21+———————=2n+3——————I2n+1n+2)n+1n+2(4)C(4)Cn=T-2n=3—-+j易見｛*是遞減數(shù)列，故Cne[C「3)即Cne4\孑3J-一一22一一…一依題意不等式C=3—一—一<M恒成立，即有M>3，故正整數(shù)M的最小值為3.nn+1n+2【點睛】證明等差數(shù)列的方法：定義法；2.等差通項法；3.觀察法，利用公式特征觀察判斷，只用于小題中.數(shù)列求和的常用方法：1.公式法；2.裂項相消法；3.倒序相加法4.錯位相減法；5.并項求和法.320320.已知數(shù)列｛叮的首項a1=5,a=—，neN〃+12a+1+'n_…J1求證：數(shù)列｛一—1｝為等比數(shù)列；an記S=—+—+???+—，若S<100，求最大正整數(shù)n.naaan【答案】(1)證明見解析；(2)99.【分析】1「1/1(1)對遞推關(guān)系兩邊取倒數(shù)，再進(jìn)行構(gòu)造廠—1=3(丁—1)，即可得答案;^a^an+1n1c,1、[(2)求出打=2.(秋+1再利用分組求和法，即等比數(shù)列和等差數(shù)列的前〃項和，再解不等式，即可得答案；【詳解】1112111(1)證明：□=石.一+T,□一1=三(一一1),a3a3a3a〃+ln〃+1n11又口一一1。0,口一—1。0(〃亦),

aa+1nr1"□數(shù)列｛一-1｝為等比數(shù)列;n(2)由(1),1□—an〃+13=—+

na

i1(1-1)1,111、C礦京)——HF—=2(一+—H1-—)+〃=2X—2_+〃=〃一aa3i323〃n若S<100,貝Jn-—+l<100,n3n口最大正整數(shù)〃的值為99.【點睛】形如"頊=Pa+0的遞推關(guān)系求通項公式，?？梢杂脴?gòu)造法進(jìn)行求解；數(shù)列不等式的解，要充分利用〃〃+1n為整數(shù)進(jìn)行代入求解.21.已知數(shù)列｛。｝滿足。=1,。=a+2,數(shù)列｛力｝的前〃項和為S,且S=2-b.n1〃+1nnTlnn求數(shù)列｛。｝,"｝的通項公式；nn設(shè)c=。+b,求數(shù)列｝的前〃項和T.nnnnTl(1An-1【答案】(1)a=2〃—1,b=-"”⑵'1\n-l(2)T=〃2+2—-n⑵【分析】(1)由已知條件得。"=2,利用等差數(shù)列的通項公式即可得出1；n+1nn且S=2-b,當(dāng)"=1時，b=1.當(dāng)n>2時，b=S-S,nn1nnn-1利用等比數(shù)列的通項公式即可得出人；n(1AnT(2)由(1)得c=a+b=2n-1+UI，利用分組求和即可.nnnV2J【詳解】(1)因為a=1,a-a=2，所以"｝為首項是1,公差為2的等差數(shù)列，1n+1nn所以a=1+(n—1)x2=2n—1.又當(dāng)n=1時，b1=§=2—b1，所以b1=1,當(dāng)n>2時，S=2—b口由□—①得bn=~bn+bn—1，即\=2(n>2)，n—1公比為1公比為1的等比數(shù)列，故b=2nn—1.(1An-1TOC\o"1-5"\h\z(2)由(1)得c=a+b=2n—1+—nnnV2J1(1An(1An-1V2/n(1+2n—1)I2/所以t=+V2J(1An-1V2/n2111——2【點睛】方法點睛：求數(shù)列通項公式的方法:1.定義法：利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義;2.利用%*,n=1s—s,n>2nn—1累加法：an—an1=f(n)；累乘法：土=f(n)an—15.構(gòu)造法：a=ka+b；a=ka+bn；6.取倒數(shù)或者取對數(shù).2.利用%22.已知數(shù)列"｝的前以項和為S,且2S=3a-3.nTlnn求數(shù)列｛。｝的通項公式；n設(shè)人=21oga+(-1)?-w,求數(shù)列"｝的前〃項和T.n3nHnn2+一，〃為偶數(shù),？2【答案】(1)a=3”；(2)T”+一，〃為奇數(shù).？I2【分析】由。=S-SG>2)?可得數(shù)列｛。｝是等比數(shù)列，求出通項公式即可；nnn—1Tl由(1)得到人,按〃為偶數(shù)和〃為奇數(shù)分類，利用等差數(shù)列的求和公式和并向求和法得出數(shù)列｛方｝的nn前〃項和T.n【詳解】(1)當(dāng)〃=1時，2S-2a-3a-3,所以。-3.1111當(dāng)n>2時，因為2S=3。-3,所以2S=3。-3,TOC\o"1-5"\h\znnn-1n-\兩式作差得。=3。，即土=3,nn-1。n-1因為1=3,所以數(shù)列｛。｝是首項為3,公比為3的等比數(shù)列,1n故1=3〃.n(2)b=21og3〃+(—1)〃?〃=2〃+(―1)〃?〃，n3(1+fi}?n當(dāng)"為偶數(shù)時，前〃項和了=2?+(-1)+2+(-3)++(-1)?-n=M2+—.〃22_否(1+n)?nn—\n—1當(dāng)〃為奇數(shù)時，前■項和T=2.、，+一一二一2+,”222〃2+?,〃為偶數(shù),？乃2+-―-,〃為奇數(shù).?【點睛】方法點睛：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的求和，數(shù)列求和的方法總結(jié)如下：公式法，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行計算即可；裂項相消法，通過把數(shù)列的通項公式拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求出數(shù)列的和；錯位相減法，當(dāng)數(shù)列的通項公式由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積構(gòu)成時使用此方法；倒序相加法，如果一個數(shù)列滿足首末兩項等距離的兩項之和相等，可以使用此方法求和.23.如圖，在直角坐標(biāo)系中有邊長為2的正方形，取其對角線的一半，構(gòu)成新的正方形，再取新正方形對角線的一半，構(gòu)成正方形......如此形成一個邊長不斷縮小的正方形系列.設(shè)這一系列正方形中心的縱坐標(biāo)為七（neN），其中七為最大正方形中心的縱坐標(biāo).（1）求數(shù)列｛y（1）求數(shù)列｛y｝的通項公式;（1）求數(shù)列｛y｝的通項公式;n（2）若數(shù)列｛yn）的奇數(shù)項構(gòu)成新數(shù)列｛以，求｛以的前n項和Sn.【答案】（1）y【答案】（1）y2-^―,n為偶數(shù)；(2)S=2n-2+n2n-1【分析】131（1）由題意可知yi=y2=1，y3=^，y2n-1=y2n，再由第2n-1個正萬形到直線x=2的距離為—和第2n個正方形到直線x=2的距離為土，得出數(shù)列｛yj的通項公式；（2）由（1）知氣=y^廣2-上,neN+，利用分組求和法得出坷｝的前n項和Sn.【詳解】（1）由題意可知y1=y2=1，y32^2n廣^2n第2n-1個正方形到直線x=2（1）由題意可知y1=y2=1，y32^2n廣^2n第2n-1個正方形到直線x=2的距離為1c1，即y=2-一2n-12n-11即y=2—2n2n-1第2n個正方形到直線x=2的距離為土2n-1(2)2--^,n為奇數(shù)n-1222--^,n為偶數(shù)n一222c1⑴知。廣y2n-1=2一2一1=a+a++a=(2—1)+2——.匕1—2xn—1+—+._+X22n-1y1——=2n—半1—12++=2n—2+—2n-1【點睛】方法點睛:本題考查數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列的求和，數(shù)列求和的方法總結(jié)如下:1.公式法，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行計算即可;2.裂項相消法，通過把數(shù)列的通項公式拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求出數(shù)列的和;3.錯位相減法，當(dāng)數(shù)列的通項公式由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積構(gòu)成時使用此方法;4.倒序相加法，如果一個數(shù)列滿足首末兩項等距離的兩項之和相等，可以使用此方法求和.且S=2S+2（n>2,ngN*），數(shù)列｛b｝中，％=2b^=224.已知數(shù)列｛aj的前n項和為Sn，nn-1（1）求｛a｝的通項公式;n（2（2）若廣b2n-1+1，匕廣匕*。求數(shù)列｛b｝的前10項和.n【答案】（1）1=2〃；（2）139.n【分析】a-

（1）令〃=2可求得氣的值，令n>3,由S=2S+2可得出S=2S+2,兩式作差可得出—二2,

Znn-1n-\n-2Qn-1且有％=2,可知數(shù)列｛q｝為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，利用等比數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列an1｛。｝的通項公式；n（2）利用累加法可求得8=In+n-2（n>2）,b-2?+n-lG>2）,可得TOC\o"1-5"\h\z2?-l2nb+b=2〃+i+2〃-3（心1）,進(jìn)而可求得數(shù)列"｝的前10項的和.2n2/1-1n【詳解】（1）當(dāng)n=2時，S=2S+2=6,/.a=S—S=4.21221當(dāng)n>3時，由S=2S+2可得出S=2S+2,nn-1n-1n-2兩式作差得s—s=2（S—SJ,即1=2a,則f=2,且t=2,nn-1n-1n-2nn-1dQn-11所以，數(shù)列b｝是等比數(shù)列，且首項為2,公比也為2,二。=2x2〃-i=2〃；nn(2)由題意得力—b=1,b-b=2〃，所以b-b=1+2“，且8=8+1=2,2n2n—l2n+l2n2〃+l2n—121則。-b=1+2〃-1,b-b=1+2〃-2,…，b-b=1+22,b-b=1+2i,(\2虹—2乃-1所以Z?-b=n-l+\2i+22++2n-i/-n-l+2h-112n-12n-32〃-32n-553311-2-=2〃+〃-3(〃Z2),所以8=2〃+〃一2(〃(\2虹—2乃-1所以Z?-b=n-l+\2i+22++2n-i/-n-l+2h-111-22/1-1...In所以b+b=2〃+i+2〃—3(〃Z2),易得b+b=3也適合上式，2n2/t-l12所以｛》｝的前1。項和為n(\(、22(1-25)5x(7-l)b+b++b+b=如+23++26^+(—1+1++7)=+=139.129101-22【點睛】

本題考查利用七與氣之間的關(guān)系求通項，同時也考查了并項求和法，考查計算能力，屬于中等題25.已知有限數(shù)列揚(yáng)｝，從數(shù)列｛i｝中選取第A項、第時項、、第i項（z?<tV...〈i），順次排列構(gòu)nn12^m12^m成數(shù)列｛ak｝，其中bk=ak，1<k<m，則稱新數(shù)列｛b>為｛aj的長度為m的子列.規(guī)定：數(shù)列｛an｝的任意一項都是｛%｝的長度為1的子列.若數(shù)列｛an｝的每一子列的所有項的和都不相同，則稱數(shù)列｛an｝為完全數(shù)列.設(shè)數(shù)列｛an｝滿足an=n，1<n<25，nQN*.（口）判斷下面數(shù)列｛an｝的兩個子列是否為完全數(shù)列，并說明由；數(shù)列（1）：3，5，7，9，11；數(shù)列（2）：2，4，8，16.（□）數(shù)列｛an｝的子列｛ak｝長度為m，且｛bk｝為完全數(shù)列，證明：m的最大值為6；11111（口）數(shù)列｛an｝的子列｛ak｝長度m=5，且｛bk｝為完全數(shù)列，求y+廠+虧+廠+虧的最大值.12345【答案】（口）數(shù)列（1）不是｛an｝的完全數(shù)列；數(shù)列（2）是｛an｝的完全數(shù)列；理由見解析（口）證明見解析;(□)3116【分析】(□)3116（口）根據(jù)定義的應(yīng)用求出子列的長度.假設(shè)長度為m>7,不妨設(shè)m=7，得出矛盾，再說明長度為6時滿足條件.（口）利用信息的應(yīng)用和關(guān)系式的恒等變換的應(yīng)用求出最大值.【詳解】（□）數(shù)列（1）不是｛an｝的完全數(shù)列；數(shù)列（2）是｛an｝的完全數(shù)列.理由如下：數(shù)列（1）：3,5,7,9，11中，因為3+9=5+7=12，所以數(shù)列（1）不是｛an｝的完全數(shù)列;數(shù)列（2）：2,4,8，16中，所有項的和都不相等，數(shù)列（2）是｛an｝的完全數(shù)列.（口）假設(shè)數(shù)列｛bk｝長度為m>7，不妨設(shè)m=7,各項為b<b<b<.<br考慮數(shù)列｛bk｝的長度為2,3,...7的所有子列，一共有27-1-7=120個.記數(shù)列｛bk｝的長度為2,3,...7的所有子列中，各個子列的所有項之和的最小值為a,最大值為A.所以a=b+b,A=b+b+25+24+23+22+21=b+b+115.，.所以其中必有兩個子列的所有項之和相同.所以假設(shè)不成立.

再考慮長度為6的子列：12,18,21,23,24,25,滿足題意.所以子列｛垢的最大長度為6.(口)數(shù)列｛an｝的子列｛編長度m=5，且｛bk｝為完全數(shù)列，且各項為b]Vb2Vb3V...Vb5.所以，由題意得，這5項中任意i(1<z<5)項之和不小于2，-1.即對于任意的WW5,有，+b>1+2+4++2i-1.對于任意的1<i<5,(b-1)+(b2-2+—2i-1(i=1,2,31111:—+—+—+—.bbbb1234114,5),則數(shù)列｛R｝的前7項和F面證明1,111+V1+—+—+b5設(shè)c.=b.II2416(7=1,2,3,4,5).1111對于任意的1<i<5,(b-1)+(b2-2+—2i-1(i=1,2,31111:—+—+—+—.bbbb1234114,5),則數(shù)列｛R｝的前7項和F面證明1,111+V1+—+—+b5設(shè)c.=b.II2416(7=1,2,3,4,5).1111因為(1+—+—+—)241611111—+——+—+——+—b1b2b3(1]r11)r11:r11)f11)1-—+—-一+—-一+—--—+—IbJ；2bJ〔4bJ8b〔16bJ11)2V3J4V5Jb-1b-2b—4-b-8b-16-4——+—□2—+^--+——+--5b2b4b8b16b12345D-DD-D45D

=T+

b12b24b3+D4-D3+D5-D44——8b4516b5所以2b2J111—+—+—+——+b1111—<1+—b51+—+——+——1234+D34b8bJ431當(dāng)且僅當(dāng)b=2/-1(i=1,2,3,4,5)時，等號成立.i的最大值為必b16【點睛】本題考查數(shù)列的新定義，考查反證法的應(yīng)用，考查關(guān)系式的恒等變換的應(yīng)用，屬于難題三、填空題〃丸26.數(shù)列｛叩的通項公式。廣2ncos-4-n，其刖n項和為七，則52021【答案】1010.【分析】n冗

由于a-2ncos2——-n-n(1+

n42020m

所有偶數(shù)項共有乙一二101。項，

An冗、n冗c。、)-n=nc。"，可得數(shù)列風(fēng)｝的所有奇數(shù)項為。，刖2021從而可求得其結(jié)果項的n兀、n兀cos——)-n-ncos——222021246820182020=—2+4—6+82018+2020=(-2+4)+(-6+8)+—+(-2018+2020)=2x=10102故答案為：101027.已知數(shù)列b｝的前n項和為S,a=1，a=2a+2，則Sq的值為nn2n+1n5【答案】73T【分析】由已知構(gòu)造等比數(shù)列，求出通項得解【答案】73T【詳解】a=2a+2，「.a+2=2(a+2)，故數(shù)列｛?！?2｝是以2為公比，以a2+2=3為第二項的等比數(shù)列，故a+2=3-2n—2，故a—3-2n-2—23(1-25).??氣二-2x5=7373故答案為：—【點睛】an+1=pan+q(p"1，q，0的常數(shù))遞推關(guān)系求通項，構(gòu)造等比數(shù)列是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.28.在數(shù)列｛。｝中，若a=1,a+(-1)na=2，記S是數(shù)列｛a｝的前n項和，則Sn1n+2nnn100

【答案】2550【分析】當(dāng)乃為奇數(shù)時，可得數(shù)列"｝的奇數(shù)項為公差為2的等差數(shù)列，當(dāng)乃為偶數(shù)時，可得偶數(shù)項的特征，將所n求問題轉(zhuǎn)化為奇數(shù)項和偶數(shù)項求和即可.【詳解】□a—1,a+(—1)na=2，□當(dāng)n為奇數(shù)時，anfan=2，即數(shù)列｛a｝的奇數(shù)項為公差為2的等差數(shù)列，當(dāng)n為偶數(shù)時，氣+2+氣=2，一、50x49-—□a+a+a++a=50x1+x2—2500135992(a+a)+(a+a)+(a+a)++(a+a)=2x25—50246810124850□*00—2500+50—2550，???故答案為：2550.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）得到數(shù)列｛a｝的奇數(shù)項為公差是2的等差數(shù)列;n（2）得到數(shù)列｛a^^｝的偶數(shù)項滿足?！?產(chǎn)〃=2.29.已知等差數(shù)列｛a｝中a—d—1,b—tana-tana(neN*)，則數(shù)列｛b｝的前n項和S=n1nnn+1nn【答案】頃"+—n—1(neN*)tan1【分析】利用兩角差的正切公式可得到tan口.tanB利用兩角差的正切公式可得到tan口.tanB=tan（a—時-L從而可得到數(shù)列｛bn｝的通項公式tanatana—tana】

tan1，再代入求和化簡即可得到結(jié)果?！驹斀狻縯ana—tanBtana—tanP1tan(a—B)=4-二tana-tanp=r———11+tana-tanBtan(a—p)

=tana-tana1=tana一tanaa1-aJTOC\o"1-5"\h\z又等差數(shù)列｛a｝中a=d=1,a-a=1,a=n+1n1=tana-tana1=tana一tanaa1-aJntan1ctana一tana.tana一tana.tana一tana..?S=21—1+32—1++n+n—1ntan1tan1tan1tana—tana+tana—tana++tana—tanatan1tana—tanatana—tan1tan(n+1)n+1—n=n+————n=—n—1tan1tan1tan1故答案為：頃"「)—n—1(ngN*)tan1【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查數(shù)列求和，解題的關(guān)鍵是會逆利用兩角差的正切公式，得到數(shù)列｛bn｝的通項公式，在求和的過程中巧用相消法得到數(shù)列的和，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與運算求解能力，屬于中檔題30.已知數(shù)列｛a｝的前n項和S=2n2，ngN*.求數(shù)列｛a｝的通項公式為.設(shè)b=2a+(—1)〃a，nnnnnn求數(shù)列｛bJ的前2n項和T=.【答案】a=4n—216n2+4nn【分析】根據(jù)S=2n2(ngN*)寫式子S=2(n+1?，兩式子相減整理得a=4n—2，再驗證n=1時是否成立，nn+1運用分組求和即可得到答案.即可寫出通項公式.由已知可得?=2x(4n—2)+(—1)〃(4n—2)，【詳解】=4n+2，即a=4n—2n□S=2n2(ngN*)口，口S1=2(n+1)2□，由□-□可得：a又當(dāng)n=1時，有S1=2x12=1na1=1滿足a=4n一2，□a=4n一2；由已知可得：氣=2x(4n—2)+(—1)n(4n—2)，①T=b+b+b+—+b=a運用分組求和即可得到答案.=4n+2，即a=4n—2nn1232n12342n—12n=(a+a++a)+3(a+a++a132n—1242n

n（8n-4）n（8n+4）=+3x=16n2+4n22所以T=16n2+4nn故答案為：%=4n-2；T=16n2+4n.【點睛】本題考查已知數(shù)列前n項和為s〃與an的關(guān)系求通項，注意驗證n=1是否滿足，考查分組求和，屬于中檔題.31.已知數(shù)列｛31.已知數(shù)列｛a｝滿足a=2n-1，S孔為｛i｝的前n項和，記b=S-cosn兀n+1-C°S。，數(shù)列"的前n項和為Tn，則T50=【答案】-104【分析】由等差數(shù)列的求和公式，求得Sn由等差數(shù)列的求和公式，求得Sn=n2，得到b=n2-cosn_/an兀一一、，一?兀+(n+1)2?cos?-，利用分組求和，即72可求解.【詳解】由題意，數(shù)列｛%｝滿足"〃由題意，數(shù)列｛%｝滿足"〃=2n-1cn（1+2n-1）則S==n2n則b=n2-cos\?兀+（n+1）2-7n兀cos——2492-512（492-262）貝ijT0=12-32-32+52+52-72-72+92+=（12-32）-（32-52）+（52-72）-（72-92）+=-2x4+2x8-2x12+2x16492-512（492-262）故答案為：-104…【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式和前n項和公