讓思維在操作后的思辨中向更深處漫溯-以“有余數的除法”一課教學為例

讓思維在操作后的思辨中向更深處漫溯——以“有余數的除法”一課教學為例心理學研究表明：小學生思維的基本特點是從具體形象思維為主要形式逐步過渡到抽象邏輯思維。而培養(yǎng)抽象邏輯思維能力，是學生深刻理解和掌握數學知識的必要條件。因此，課堂教學中，教師要合理利用直觀形象的手段，促進學生抽象邏輯思維能力的發(fā)展。

蘇霍姆林斯基說過：“兒童的智慧在他的手指尖上?！眲邮植僮骺梢宰寣W生獲取大量的感性認識，使抽象的數學知識形象化，有利于學生深刻理解和掌握所學的知識。但動手操作了，不表示思維就獲得發(fā)展了，教師需要帶領學生在直觀操作的基礎上根據教學內容進行理性思辨，才能使學生的思維逐步向更深處漫溯。下面，筆者結合“有余數的除法”一課的教學，談談自己的思考。

一、對操作結果據理分類，讓思維更加有序

布魯納的多元表征理論認為：“對于一個數學概念可以有多種表征方式，多種方式之間要建立聯(lián)系，才能深化對概念的理解。”

如“余數一定要比除數小”是“有余數的除法”的核心算理，要讓學生真正理解這一算理的本質，首先要幫助學生建立余數這一概念。“有余數的除法”的教學注重引導學生在表內除法的基礎上理解余數的含義，為此，教師教學時可通過對概念的不同表征方式，引導學生理解余數的含義。

教學片斷：

師：數學中有很多的平面圖形，如果老師送你一些小棒，你想圍哪些我們學過的平面圖形呢？

生：三角形，正方形，五邊形……

師：在這些圖形中，老師最喜歡三角形。圍１個三角形要用３根小棒，那１０根小棒最多可以圍幾個這樣的三角形？想試試嗎？（生動手操作，師巡視）

師：誰來說說你是怎么圍的？

生1：我用１０根小棒圍成３個三角形，還剩１根小棒。

師：10根小棒可以圍３個三角形，那剩下的這１根小棒還能再圍一個這樣的三角形嗎？為什么？

生2：不能。因為圍一個這樣的三角形需要３根小棒，現在只有１根小棒了。

師：你想用這１０根小棒圍正方形、五邊形、六邊形嗎？（想）還是用剛才的這１０根小棒，選擇你最喜歡的一種圖形圍一圍，圍完后把你圍了幾個圖形、還剩下幾根小棒等情況，記錄到你的表格里。（生動手操作）

師：誰來說說你是怎么圍的？

生3：我用１０根小棒圍了２個正方形，還剩下２根小棒。

生4：我圍的是五邊形，圍了２個，沒有剩下小棒。

生5：我圍的是六邊形，圍了１個，還剩下４根小棒。

……

師（指下表）：我們用１０根小棒圍不同的圖形，得到了不同的結果，那你能根據這些剩下小棒的根數，把這四種情況分一分類嗎？

生6：將剩下小棒的為一類，將沒有剩下小棒的為一類。

師：為什么這樣分？

生6：１０根小棒圍三角形、四邊形、六邊形到最后都有剩下小棒，而圍五邊形沒有剩下小棒。

師：圍三角形后還剩１根小棒，剩下的這１根小棒還能再圍一個這樣的三角形嗎？為什么？

生7：因為圍一個這樣的三角形需要３根小棒，現在只有１根小棒了，所以圍不成三角形。

師：圍四邊形后還剩下２根小棒，剩下的這２根小棒還能再圍一個這樣的四邊形嗎？為什么？

生8：因為圍一個這樣的四邊形需要４根小棒，現在只有２根小棒了，所以圍不成四邊形。

師：圍六邊形后還剩下４根小棒，剩下的這４根小棒還能再圍一個這樣的六邊形嗎？為什么？

生9：因為圍一個這樣的六邊形需要６根小棒，現在只有４根小棒了，所以圍不成六邊形。

師：看來，每５根小棒圍一個五邊形，１０根小棒可以圍２個五邊形，正好用完小棒，你能用除法算式來表示嗎？

生：１０÷５＝２（個）。

師：有剩余的情況也能用除法算式表示。

引導學生邊交流邊板書：

１０÷３＝３（個）……１（根）

１０÷４＝２（個）……２（根）

１０÷６＝１（個）……４（根）

師：比較一下，這３個算式和１０÷５＝２（個）有什么不同？

生：有剩下來的數。

師：這些剩下來的或者說多余下來的數叫余數，這就是我們今天要學習的“有余數的除法”。（師板書課題）

……

上述教學，教師先引導學生進行開放性的操作活動，再讓他們根據剩下的小棒根數進行分類，最后交流分類的依據。在交流過程中，教師充分挖掘圖表對學生思維有序引領的作用，順利地把學生的注意力聚焦到余數這一關鍵點上，引導學生清晰地建立起余數這一概念。這樣的思辨過程，給學生的思維以一種明確的方向性，培養(yǎng)了學生思維的有序性。

二、對操作結果分析比對，讓思維更加靈敏

數學教學中，教師應找到教學的切入點，適時地利用操作結果的比對辨析，提升學生的思維水平，讓操作與思維共融，培養(yǎng)學生思維的靈敏性。

“有余數的除法”一課的教學難點在于讓學生理解“余數一定要比除數小”，所以在實際教學中，教師應抓住除數和余數這兩個量的關系，組織學生進行如下操作。

教學片斷：

師：１２根小棒，每４根一份，可以分成這樣的幾份？（在黑板上畫圖，如下）

列算式：１２÷４＝３（份）

師：如果有１３根小棒，每４根一份，會有什么結果？你能畫一畫，再列出算式嗎？（生畫后列式，如下）

列算式：１３÷４＝３（份）……１（根）

師：如果是１４根、１５根小棒，你會分嗎？先畫一畫，再列式。（生進行操作活動）誰來匯報？

生１：１４÷４＝３（份）……２（根）。

生２：１５÷４＝３（份）……３（根）。

師：比較一下，你有什么發(fā)現？

生３：除數都是４，余數不相同。

師：如果是１６根小棒，每４根一份，可以分成幾份？

生4：可以分成４份。

師：如果是１７根小棒呢？

生5：可以分成４份，余１根。

師：如果是１８根、１９根小棒呢？

生6：18根小棒分成４份余２根，19根小棒分成４份余３根。

板書如下：

除數余數

１２÷４＝３（份）

１３÷４＝３（份）……１（根）

１４÷４＝３（份）……２（根）

１５÷４＝３（份）……３（根）

１６÷４＝４（份）

１７÷４＝４（份）……１（根）

１８÷４＝４（份）……２（根）

１9÷４＝４（份）……３（根）

師：這些算式中的除數都是幾？余數呢？

生7：除數都是4，余數分別是1、2、3。

師：余４根可以嗎？

生8：不行，因為４根又可以分成一份。

師：余５根行嗎？

生9：不行，因為５根還可以再分。

師：余６根、７根行嗎？

生１0：都不行，只有余３根、２根、１根可以。

師：這些數有什么共同點？

生：都比４小。

師：看來，在有余數的除法中，余數一定要比除數小。

……

上述教學，學生通過操作得出一組除數不變、被除數遞增而引起余數遞增的算式，教師將不變的除數和變化的余數進行比較，引導學生把思考的重點放在除數和余數上。在這一過程中，學生的思維被激活了，順利地分析、歸納出余數的變化規(guī)律，教學的難點也就不攻自破。

三、對操作結果追溯反思，讓思維更加深刻

受年齡特征的影響，小學生的思維容易停留在直觀表象上，遇到問題不愿深入思考。因此，課堂教學中，教師要組織具有一定挑戰(zhàn)性的操作活動，引導學生展開有效的討論，幫助學生系統(tǒng)地理解和掌握算理，培養(yǎng)思維的深刻性。

本課教學中，在學生初步理解“余數一定要比除數小”的基礎上，教師設計如下活動。

教學片斷：

師：有一堆小棒，每幾根分成一份，分成了５份，還剩４根，這堆小棒可能有幾根？把結果填在下面的算式里。（生動手操作）

（）÷（）＝５……４

生１：這堆小棒可能有２９根。

師：你是怎么分的？

生１：我是每５根一份，分成５份是２５根，再加上剩下的４根，一共是２９根小棒。

師：可以每４根小棒一份去分嗎？為什么？

生２：不可以。每４根小棒為一份，就不會有剩下的小棒了，因為剩下的４根小棒又可以分成一份。

師：可以每３根小棒為一份嗎？

生３：也不可以。這樣就不會剩下４根小棒了，因為４根里又可以再分出一份，余１根小棒了。

師：也就是說，至少每幾根一份，才能保證這個算式成立？

生４：至少要滿５根一份。

師：這就說明在有余數的除法里，除數一定要比余數大。

……

上述教學，教師打破原有的操作活動形式，直接給出操作的結果，讓學生從結果出發(fā)進行推理，去追溯操作的過程。此時的操作，不再是教師指令下的動手活動，而是學生邊推理邊操作。這樣的反例操作，既能幫助學生克服思維定式的影響，又能把操