新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)06 概率統(tǒng)計(jì)（兩大易錯(cuò)點(diǎn) 六大題型）（原卷版）

通關(guān)秘籍06概率統(tǒng)計(jì)目錄【高考預(yù)測(cè)】概率預(yù)測(cè)+題型預(yù)測(cè)+考向預(yù)測(cè)【應(yīng)試秘籍】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)一：回歸方程易錯(cuò)點(diǎn)二：獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略【題型一】條件概率【題型二】全概率公式與貝葉斯公式【題型三】離散型隨機(jī)變量的分布列和概率性質(zhì)【題型四】二項(xiàng)分布【題型五】超幾何分布【題型六】正態(tài)分布概率預(yù)測(cè)☆☆☆☆☆題型預(yù)測(cè)選擇題、填空題☆☆☆☆☆考向預(yù)測(cè)全概率公式、正態(tài)分布、總體百分位數(shù)的估計(jì)概率屬于解答題必考題，大多考察兩方面，一個(gè)是超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別，還有就是線性回歸方程與獨(dú)立性檢驗(yàn)。小題中新教材新加的全概率公式和條件概率是重點(diǎn)，當(dāng)然古典概型和相互獨(dú)立事件的判斷以及正態(tài)分布也是需要熟練掌握的。今年還需對(duì)冷門的知識(shí)點(diǎn)，比如用樣本方差估計(jì)總體方差、最小二乘法、殘差等知識(shí)點(diǎn)的掌握和理解。均是書本上提到的內(nèi)容，但長(zhǎng)久未考，學(xué)生都容易忽視。易錯(cuò)點(diǎn)一：回歸方程(1)回歸方程為，其中.(2)通過求的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法.例（2023·天津·高考真題）鳶是鷹科的一種鳥，《詩(shī)經(jīng)·大雅·旱麓》曰：“鳶飛戾天，魚躍余淵”.鳶尾花因花瓣形如鳶尾而得名，寓意鵬程萬(wàn)里、前途無(wú)量.通過隨機(jī)抽樣，收集了若干朵某品種鳶尾花的花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度（單位：cm），繪制散點(diǎn)圖如圖所示，計(jì)算得樣本相關(guān)系數(shù)為，利用最小二乘法求得相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，根據(jù)以上信息，如下判斷正確的為（

）A．花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度不存在相關(guān)關(guān)系B．花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度負(fù)相關(guān)C．花萼長(zhǎng)度為7cm的該品種鳶尾花的花瓣長(zhǎng)度的平均值為D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是變式1：（2024·青海海南·一模）近些年來(lái)，促進(jìn)新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展政策頻出，新能源市場(chǎng)得到很大發(fā)展，銷量及滲透率遠(yuǎn)超預(yù)期，新能源幾乎成了各個(gè)汽車領(lǐng)域的熱點(diǎn)．某車企通過市場(chǎng)調(diào)研并進(jìn)行粗略模擬，得到研發(fā)投入（億元）與經(jīng)濟(jì)收益（億元）的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下：研發(fā)投入億元12345經(jīng)濟(jì)收益億元2.546.5910.5(1)計(jì)算的相關(guān)系數(shù)，并判斷是否可以認(rèn)為研發(fā)投入與經(jīng)濟(jì)收益具有較高的線性相關(guān)程度：（若，則線性相關(guān)程度一般，若，則線性相關(guān)程度較高）(2)求出關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)研發(fā)投入10億元時(shí)的經(jīng)濟(jì)收益．參考數(shù)據(jù)：附：相關(guān)系數(shù)，線性回歸方程的斜率，截距．變式2：（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某農(nóng)業(yè)大學(xué)組織部分學(xué)生進(jìn)行作物栽培試驗(yàn)，由于土壤相對(duì)貧瘠，前期作物生長(zhǎng)較為緩慢，為了增加作物的生長(zhǎng)速度，達(dá)到預(yù)期標(biāo)準(zhǔn)，小明對(duì)自己培育的一株作物使用了營(yíng)養(yǎng)液，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了使用營(yíng)養(yǎng)液十天之內(nèi)該作物的高度變化天數(shù)x12345678910作物高度y/cm9101011121313141414(1)觀察散點(diǎn)圖可知，天數(shù)與作物高度之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，用最小二乘法求出作物高度關(guān)于天數(shù)的線性回歸方程（其中用分?jǐn)?shù)表示）；(2)小明測(cè)得使用營(yíng)養(yǎng)液后第22天該作物的高度為，請(qǐng)根據(jù)（1）中的結(jié)果預(yù)測(cè)第22天該作物的高度的殘差.參考公式：.參考數(shù)據(jù)：.易錯(cuò)點(diǎn)二：獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對(duì)其是否有關(guān)系的判斷.例（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）短視頻已成為當(dāng)下宣傳的重要手段，東北某著名景點(diǎn)利用短視頻宣傳增加旅游熱度，為調(diào)查某天南北方游客來(lái)此景點(diǎn)旅游是否與收看短視頻有關(guān)，該景點(diǎn)對(duì)當(dāng)天前來(lái)旅游的500名游客調(diào)查得知，南方游客有300人，因收看短視頻而來(lái)的280名游客中南方游客有200人.(1)依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析南北方游客來(lái)此景點(diǎn)旅游是否與收看短視潁有關(guān)聯(lián)：?jiǎn)挝唬喝擞慰投桃曨l合計(jì)收看未看南方游客北方游客合計(jì)(2)為了增加游客的旅游樂趣，該景點(diǎn)設(shè)置一款5人傳球游戲，每個(gè)人得到球后都等可能地傳給其余4人之一，現(xiàn)有甲、乙等5人參加此游戲，球首先由甲傳出.（i）求經(jīng)過次傳遞后球回到甲的概率；（ii）記前次傳遞中球傳到乙的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中；附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828變式1：（2024·河北滄州·一模）流感病毒是一種病毒，大致分為甲型、乙型、丙型三種，其中甲流病毒傳染性最強(qiáng)，致死率最高，危害也最大．某藥品科技研發(fā)團(tuán)隊(duì)針對(duì)甲流病毒的特點(diǎn)，研發(fā)出預(yù)防甲流藥品和治療甲流藥品，根據(jù)研發(fā)前期對(duì)動(dòng)物試驗(yàn)所獲得的相關(guān)有效數(shù)據(jù)作出統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)選取其中的100個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到如下2×2列聯(lián)表：預(yù)防藥品甲流病毒合計(jì)感染未感染未使用242145使用163955合計(jì)4060100(1)根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析預(yù)防藥品對(duì)預(yù)防甲流的有效性；(2)用頻率估計(jì)概率，從已經(jīng)感染的動(dòng)物中，采用隨機(jī)抽樣方式每次選出1只，用治療藥品對(duì)該動(dòng)物進(jìn)行治療，已知治療藥品的治愈數(shù)據(jù)如下：對(duì)未使用過預(yù)防藥品的動(dòng)物的治愈率為0.5，對(duì)使用過預(yù)防藥品的動(dòng)物的治愈率為0.75，若共選取3只已感染動(dòng)物，每次選取的結(jié)果相互獨(dú)立，記選取的3只已感染動(dòng)物中被治愈的動(dòng)物只數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.828【題型一】條件概率一般地,當(dāng)事件B發(fā)生的概率大于0時(shí)(即P(B)>0),已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率,稱為條件概率,記作P(A|B),而且P(A|B)=.【例1】（多選）（2024·湖南婁底·一模）對(duì)于事件與事件，若發(fā)生的概率是0.72，事件發(fā)生的概率是事件發(fā)生的概率的2倍，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若事件與事件互斥，則事件發(fā)生的概率為0.36B．C．事件發(fā)生的概率的范圍為D．若事件發(fā)生的概率是0.3，則事件與事件相互獨(dú)立【例2】（2024·北京石景山·一模）一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球．若從中不放回地取球2次，每次任取1個(gè)球，記“第一次取到紅球”為事件，“第二次取到紅球”為事件，則（

）A． B． C． D．【例3】（2024·遼寧沈陽(yáng)·二模）我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，記事件“取出的重卦中至少有1個(gè)陰爻”，事件“取出的重卦中至少有3個(gè)陽(yáng)爻”．則（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·山西·二模）一個(gè)盒子里裝有5個(gè)小球，其中3個(gè)是黑球，2個(gè)是白球，現(xiàn)依次一個(gè)一個(gè)地往外取球（不放回），記事件表示“第次取出的球是黑球”，，則下面不正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)游戲比賽，其規(guī)則如下：每一輪兩人分別投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，比較兩者的點(diǎn)數(shù)大小，其中點(diǎn)數(shù)大的得3分，點(diǎn)數(shù)小的得0分，點(diǎn)數(shù)相同時(shí)各得1分．經(jīng)過三輪比賽，在甲至少有一輪比賽得3分的條件下，乙也至少有一輪比賽得3分的概率為（

）A． B． C． D．【變式3】（23-24高二下·遼寧大連·階段練習(xí)）小明爬樓梯每一步走1級(jí)臺(tái)階或2級(jí)臺(tái)階是隨機(jī)的，且走1級(jí)臺(tái)階的概率為，走2級(jí)臺(tái)階的概率為.小明從樓梯底部開始往上爬，在小明爬到第4級(jí)臺(tái)階的條件下，他走了3步的概率是（

）A． B． C． D．【題型二】全概率公式與貝葉斯公式全概率公式一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P(B)=P(Ai)P(B|Ai)我們稱上面的公式為全概率公式．*貝葉斯公式：一般地，設(shè)是一組兩兩互斥的事件，，且，則對(duì)任意的事件，有【例1】（2024·江西南昌·一模）假設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和2個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球和2個(gè)紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，混勻后再?gòu)囊掖腥稳?個(gè)球.已知從乙袋中取出的是2個(gè)白球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)白球的概率為（）A． B． C． D．【例2】（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·一模）英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事件，存在如下關(guān)系：.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗(yàn)被檢者是否患病.已知該試劑的準(zhǔn)確率為，即在被檢驗(yàn)者患病的前提下用該試劑檢測(cè)，有的可能呈現(xiàn)陽(yáng)性；該試劑的誤報(bào)率為，即在被檢驗(yàn)者未患病的情況下用該試劑檢測(cè)，有的可能會(huì)誤報(bào)陽(yáng)性.現(xiàn)隨機(jī)抽取該地區(qū)的一個(gè)被檢驗(yàn)者，已知檢驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)陽(yáng)性，則此人患病的概率為（

）A． B． C． D．【例3】（2024·全國(guó)·二模）某單位選派一支代表隊(duì)參加市里的辯論比賽，現(xiàn)有“初心”“使命”兩支預(yù)備隊(duì).選哪支隊(duì)是隨機(jī)的，其中選“初心”隊(duì)獲勝的概率為0.8，選“使命”隊(duì)獲勝的概率為0.7，單位在比賽中獲勝的條件下，選“使命”隊(duì)參加比賽的概率為（

）A． B． C． D．【變式1】（多選）（2024·山西朔州·一模）在信道內(nèi)傳輸信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立，發(fā)送某一信號(hào)時(shí)，收到的信號(hào)字母不變的概率為，收到其他兩個(gè)信號(hào)的概率均為．若輸入四個(gè)相同的信號(hào)的概率分別為，且．記事件分別表示“輸入”“輸入”“輸入”，事件表示“依次輸出”，則（

）A．若輸入信號(hào)，則輸出的信號(hào)只有兩個(gè)的概率為B．C．D．【變式2】（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為，第2，3臺(tái)加工的次品率均為，加工出來(lái)的零件混放在一起.已知第臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的.任取一個(gè)零件，如果取到的零件是次品，則它是第2臺(tái)車床加工的概率為.【變式3】（2024·浙江麗水·二模）為保護(hù)森林公園中的珍稀動(dòng)物，采用某型號(hào)紅外相機(jī)監(jiān)測(cè)器對(duì)指定區(qū)域進(jìn)行監(jiān)測(cè)識(shí)別.若該區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)，該型號(hào)監(jiān)測(cè)器能正確識(shí)別的概率（即檢出概率）為；若該區(qū)域沒有珍稀動(dòng)物活動(dòng)，但監(jiān)測(cè)器認(rèn)為有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率（即虛警概率）為.已知該指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率為0.2.現(xiàn)用2臺(tái)該型號(hào)的監(jiān)測(cè)器組成監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，每臺(tái)監(jiān)測(cè)器（功能一致）進(jìn)行獨(dú)立監(jiān)測(cè)識(shí)別，若任意一臺(tái)監(jiān)測(cè)器識(shí)別到珍稀動(dòng)物活動(dòng)，則該監(jiān)測(cè)系統(tǒng)就判定指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng).(1)若.（i）在該區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的條件下，求該監(jiān)測(cè)系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率；（ii）在判定指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的條件下，求指定區(qū)域?qū)嶋H沒有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率（精確到0.001）；(2)若監(jiān)測(cè)系統(tǒng)在監(jiān)測(cè)識(shí)別中，當(dāng)時(shí)，恒滿足以下兩個(gè)條件：①若判定有珍稀動(dòng)物活動(dòng)時(shí)，該區(qū)域確有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率至少為0.9；②若判定沒有珍稀動(dòng)物活動(dòng)時(shí)，該區(qū)域確實(shí)沒有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率至少為0.9.求的范圍（精確到0.001）.（參考數(shù)據(jù)：）【題型三】離散型隨機(jī)變量的分布列和概率性質(zhì)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1；(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn；(4)D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差(1)如果E(η)和E(ξ)都存在，則E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)．(2)若η＝aξ＋b，則E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ)．(3)期望與方差的轉(zhuǎn)化：D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2.【例1】（2024·山西臨汾·二模）已知質(zhì)量均勻的正面體，個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到．(1)拋擲一個(gè)這樣的正面體，隨機(jī)變量表示它與地面接觸的面上的數(shù)字．若求n；(2)在(1)的情況下，拋擲兩個(gè)這樣的正n面體，隨機(jī)變量表示這兩個(gè)正面體與地面接觸的面上的數(shù)字和的情況，我們規(guī)定：數(shù)字和小于7，等于7，大于7，分別取值0，1，2，求的分布列及期望．【例2】（2024·浙江寧波·二模）三個(gè)人利用手機(jī)軟件依次進(jìn)行拼手氣搶紅包活動(dòng)，紅包的總金額數(shù)為個(gè)單位.第一個(gè)人搶到的金額數(shù)為1到個(gè)單位且等可能（記第一個(gè)人搶完后剩余的金額數(shù)為），第二個(gè)人在剩余的個(gè)金額數(shù)中搶到1到個(gè)單位且等可能，第三個(gè)人搶到剩余的所有金額數(shù)，并且每個(gè)人搶到的金額數(shù)均為整數(shù)個(gè)單位.三個(gè)人都搶完后，獲得金額數(shù)最高的人稱為手氣王（若有多人金額數(shù)相同且最高，則先搶到最高金額數(shù)的人稱為手氣王）.(1)若，則第一個(gè)人搶到的金額數(shù)可能為個(gè)單位且等可能.（i）求第一個(gè)人搶到金額數(shù)的分布列與期望；（ii）求第一個(gè)人獲得手氣王的概率；(2)在三個(gè)人搶到的金額數(shù)為的一個(gè)排列的條件下，求第一個(gè)人獲得手氣王的概率.【例3】（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）有一枚質(zhì)地均勻點(diǎn)數(shù)為1到4的特制骰子，投擲時(shí)得到每種點(diǎn)數(shù)的概率均等，現(xiàn)在進(jìn)行三次獨(dú)立投擲，記X為得到最大點(diǎn)數(shù)與最小點(diǎn)數(shù)之差，則X的數(shù)學(xué)期望（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在2002年美國(guó)安然公司（在2000年名列世界財(cái)富500強(qiáng)第16位，擁有數(shù)千億資產(chǎn)的巨頭公司，曾經(jīng)是全球最大電力、天然氣及電訊服務(wù)提供商之一）宣布破產(chǎn)，原因是持續(xù)多年的財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)造假．但是據(jù)說(shuō)這場(chǎng)造假丑聞的揭露并非源于常規(guī)的審計(jì)程序，而是由于公司公布的每股盈利數(shù)據(jù)與一個(gè)神秘的數(shù)學(xué)定理——本福特定律——嚴(yán)重偏離．本福特定律指出，一個(gè)沒有人為編造的自然生成的數(shù)據(jù)（為正實(shí)數(shù)）中，首位非零的數(shù)字是這九個(gè)事件并不是等可能的，而是大約遵循這樣一個(gè)公式：隨機(jī)變量是一個(gè)沒有人為編造的首位非零數(shù)字，則，則根據(jù)本福特定律，在一個(gè)沒有人為編造的數(shù)據(jù)中，首位非零數(shù)字是8的概率約是（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．0.046 B．0.051 C．0.058 D．0.067【變式2】（2024·貴州黔西·一模）高一（1）班每周舉行歷史擂臺(tái)比賽，排名前2名的同學(xué)組成守擂者組，下周由3位同學(xué)組成攻擂者組挑戰(zhàn)，共答20題，若每位守擂者答出每道題的概率為，每位攻擂者答出每道題的概率為.為提高攻擂者的積極性，第一題由攻擂者先答，若未答對(duì)，再由守擂者答；剩下的題搶答，搶到的組回答，只要有一人答出，即為答對(duì)，記為1分，否則為0分.(1)求攻擂者組每道題答對(duì)的概率及守擂者組第1題后得分為0分的概率；(2)設(shè)為3題后守擂者的得分，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【變式3】（2024·湖南益陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）新鮮是水果品質(zhì)的一個(gè)重要指標(biāo).某品牌水果銷售店，為保障所銷售的某種水果的新鮮度，當(dāng)天所進(jìn)的水果如果當(dāng)天沒有銷售完畢，則第二天打折銷售直至售罄．水果銷售店以每箱進(jìn)貨價(jià)50元、售價(jià)100元銷售該種水果，如果當(dāng)天賣不完，則剩下的水果第二天將在原售價(jià)的基礎(chǔ)上打五折特價(jià)銷售，而且要整體支付包裝更換與特別處理等費(fèi)用30元．這樣才能保障第二天特價(jià)水果售罄，并且不影響正價(jià)水果銷售，水果銷售店經(jīng)理記錄了在連續(xù)50天中該水果的日銷售量x（單位：箱）和天數(shù)y（單位：天）如下表所示：日銷售量x（單位：箱）2223242526天數(shù)y（單位：天）10101596(1)為能減少打折銷售份額，決定地滿足顧客需求（即在100天中，大約有70天可以滿足顧客需求）．請(qǐng)根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)，確定每天此種水果的進(jìn)貨量的值.（以箱為單位，結(jié)果保留一位小數(shù)）(2)以這50天記錄的日需求量的頻率作為日需求量的概率，設(shè)（1）中所求的值滿足，請(qǐng)以期望作為決策依據(jù)，幫銷售店經(jīng)理判斷每天購(gòu)進(jìn)此種水果是箱劃算還是箱劃算？【題型四】二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布：一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率.二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與方差：若X～B(n，p)，則E(X)＝np.D(X)=np（1-p）【例1】（2024·河北邢臺(tái)·一模）小張參加某知識(shí)競(jìng)賽，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張回答A類題正確的概率為0.9，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為0.45．已知題庫(kù)中B類題的數(shù)量是A類題的兩倍．(1)求小張?jiān)陬}庫(kù)中任選一題，回答正確的概率；(2)已知題庫(kù)中的題目數(shù)量足夠多，該知識(shí)競(jìng)賽需要小張從題庫(kù)中連續(xù)回答10個(gè)題目，若小張?jiān)谶@10個(gè)題目中恰好回答正確k個(gè)（，1，2，，10）的概率為，則當(dāng)k為何值時(shí)，最大？【例2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某市物理教研員在一次高二全市統(tǒng)考后為了了解本市物理考試情況，從全市高二參加考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生對(duì)其物理成績(jī)（單位：分，成績(jī)都在內(nèi)）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，制成頻率分布直方圖如圖所示：(1)求的值，并以樣本估計(jì)總體，求本次高二全市統(tǒng)考物理成績(jī)的中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)從該市高二參加考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記這3人中物理考試成績(jī)?cè)趦?nèi)的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【例3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每次向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為．若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)經(jīng)過5次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于的位置，則（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）一質(zhì)子從原點(diǎn)處出發(fā)，每次等可能地向左、向右、向上或向下移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，則移動(dòng)6次后質(zhì)子回到原點(diǎn)處的概率是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量，其中，隨機(jī)變量的分布列為012表中，則的最大值為．我們可以用來(lái)刻畫與的相似程度，則當(dāng)，且取最大值時(shí)，．【變式3】（2024·北京西城·一模）10米氣步槍是國(guó)際射擊聯(lián)合會(huì)的比賽項(xiàng)目之一，資格賽比賽規(guī)則如下：每位選手采用立姿射擊60發(fā)子彈，總環(huán)數(shù)排名前8的選手進(jìn)入決賽．三位選手甲?乙?丙的資格賽成績(jī)?nèi)缦拢涵h(huán)數(shù)6環(huán)7環(huán)8環(huán)9環(huán)10環(huán)甲的射出頻數(shù)11102424乙的射出頻數(shù)32103015丙的射出頻數(shù)24101826假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲?乙?丙的射擊成績(jī)相互獨(dú)立．(1)若丙進(jìn)入決賽，試判斷甲是否進(jìn)入決賽，說(shuō)明理由；(2)若甲?乙各射擊2次，估計(jì)這4次射擊中出現(xiàn)2個(gè)“9環(huán)”和2個(gè)“10環(huán)”的概率；(3)甲?乙?丙各射擊10次，用分別表示甲?乙?丙的10次射擊中大于環(huán)的次數(shù)，其中．寫出一個(gè)的值，使．（結(jié)論不要求證明）【題型五】超幾何分布超幾何分布列在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*?.X01…mP…若隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱X服從超幾何分布超幾何分布列的數(shù)學(xué)期望與方差若X～H(n，M，N)，則E(X)＝.D(X)=【例1】（23-24高三上·北京西城·期末）生活中人們喜愛用跑步軟件記錄分享自己的運(yùn)動(dòng)軌跡.為了解某地中學(xué)生和大學(xué)生對(duì)跑步軟件的使用情況，從該地隨機(jī)抽取了200名中學(xué)生和80名大學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們最喜愛使用的一款跑步軟件，結(jié)果如下：跑步軟件一跑步軟件二跑步軟件三跑步軟件四中學(xué)生80604020大學(xué)生30202010假設(shè)大學(xué)生和中學(xué)生對(duì)跑步軟件的喜愛互不影響.(1)從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)這2人都最喜愛使用跑步軟件一的概率；(2)采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學(xué)生中隨機(jī)抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人.記為這人中最喜愛使用跑步軟件二的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)記樣本中的中學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；樣本中的大學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；，，，，，，，的方差為.寫出，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【例2】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）某校舉行知識(shí)競(jìng)賽，最后一個(gè)名額要在A，B兩名同學(xué)中產(chǎn)生，測(cè)試方案如下：A，B兩名學(xué)生各自從給定的4個(gè)問題中隨機(jī)抽取3個(gè)問題作答，在這4個(gè)問題中，已知A能正確作答其中的3個(gè)，B能正確作答每個(gè)問題的概率都是，A，B兩名同學(xué)作答問題相互獨(dú)立．(1)求A，B兩名同學(xué)恰好共答對(duì)2個(gè)問題的概率；(2)若讓你投票決定參賽選手，你會(huì)選擇哪名學(xué)生，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．【例3】（2023·江西鷹潭·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)隨機(jī)變量（且），當(dāng)最大時(shí)，.【變式1】（2024·陜西西安·三模）每個(gè)國(guó)家對(duì)退休年齡都有不一樣的規(guī)定，2018年開始，我國(guó)關(guān)于延遲退休的話題一直在網(wǎng)上熱議，為了了解市民對(duì)“延遲退休”的態(tài)度，現(xiàn)從某地市民中隨機(jī)選取100人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查情況如下表：年齡段（單位：歲）被調(diào)查的人數(shù)101520255贊成的人數(shù)61220122(1)從贊成“延遲退休”的人中任選1人，此年齡在的概率為，求出表格中，的值；(2)若從年齡在的參與調(diào)查的市民中按照是否贊成“延遲退休”進(jìn)行分層抽樣，從中抽取10人參與某項(xiàng)調(diào)查，然后再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取4人參加座談會(huì)，記這4人中贊成“延遲退休”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【變式2】（2024·新疆·二模）水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果?優(yōu)質(zhì)果?精品果?禮品果.某采購(gòu)商從采購(gòu)的一批水果中隨機(jī)抽取100個(gè)，利用水果的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果個(gè)數(shù)個(gè)10254025(1)若將頻率視為概率，從這100個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取4個(gè)，求恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率；(2)用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取20個(gè)，再?gòu)某槿〉?0個(gè)水果中隨機(jī)地抽取2個(gè)，用表示抽取的是精品果的數(shù)量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【變式3】（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校為了解本學(xué)期學(xué)生參加公益勞動(dòng)的情況，從學(xué)校內(nèi)隨機(jī)抽取了500名高中學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，收集了他們參加公益勞動(dòng)時(shí)間（單位：小時(shí)）分配情況等數(shù)據(jù)，并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求a的值；(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生參加公益勞動(dòng)時(shí)間的分配情況，從參加公益勞動(dòng)時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人.記參加公益勞動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和期望；(3)以調(diào)查結(jié)果的頻率估計(jì)概率，從該學(xué)校所有高中學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生，用“”表示這20名學(xué)生中恰有k名學(xué)生參加公益勞動(dòng)時(shí)間在（單位：小時(shí)）內(nèi)的概率，其中，1，2，，20.當(dāng)最大時(shí)，寫出k的值.（只需寫出結(jié)論）.【題型六】正態(tài)分布正態(tài)分布的定義對(duì)任意的x∈R,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方.可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線,如上圖所示.若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布(normaldis-tribution),記為X~N(u,σ2).特別地,當(dāng)u=0,σ=1時(shí),稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.正態(tài)分布的期望和方差參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機(jī)變量的分布相對(duì)于均值μ的離散程度。正態(tài)分布的3σ原則【例1】（2024·山西·二模）某高校對(duì)參加軍訓(xùn)的4000名學(xué)生進(jìn)行射擊、體能、傷病自救等項(xiàng)目的綜合測(cè)試，現(xiàn)隨機(jī)抽取200名軍訓(xùn)學(xué)生，對(duì)其測(cè)試成績(jī)（滿分：100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本頻率分布直方圖，如圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求出的值并估計(jì)這200名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)（單位：分）.(2)現(xiàn)該高校為了激勵(lì)學(xué)生，舉行了一場(chǎng)軍訓(xùn)比賽，共有三個(gè)比賽項(xiàng)目，依次為“10千米拉練”“實(shí)彈射擊”“傷病救援”，規(guī)則如下：三個(gè)環(huán)節(jié)均參與，三個(gè)項(xiàng)目通過各獎(jiǎng)勵(lì)200元、300元、500元，不通過則不獎(jiǎng)勵(lì).學(xué)生甲在每個(gè)環(huán)節(jié)中通過的概率依次為，，，假設(shè)學(xué)生甲在各環(huán)