湖北省荊州市2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則公比的值為（

）A． B． C．或 D．或2．函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是（）A． B． C． D．3．我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想的內(nèi)容是：每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和，例如：，，，那么在不超過18的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于16的概率為（）A． B． C． D．4．一個(gè)圓錐的底面和一個(gè)半球底面完全重合，如果圓錐的表面積與半球的表面積相等，那么這個(gè)圓錐軸截面底角的大小是（）A． B． C． D．5．已知點(diǎn)，是函數(shù)的函數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線與直線AB平行，則()A．，b為任意非零實(shí)數(shù) B．，a為任意非零實(shí)數(shù)C．a(chǎn)、b均為任意實(shí)數(shù) D．不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b6．已知向量與的夾角為，定義為與的“向量積”，且是一個(gè)向量，它的長(zhǎng)度，若，，則（）A． B．C．6 D．7．等腰直角三角形的斜邊AB為正四面體側(cè)棱，直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，有下列說法：（1）四面體EBCD的體積有最大值和最小值；（2）存在某個(gè)位置，使得；（3）設(shè)二面角的平面角為，則；（4）AE的中點(diǎn)M與AB的中點(diǎn)N連線交平面BCD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓.其中，正確說法的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知f(x)，g(x)都是偶函數(shù)，且在[0,+∞)上單調(diào)遞增，設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|，若a>0，則（）A．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)B．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)C．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)D．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)9．一小商販準(zhǔn)備用元錢在一批發(fā)市場(chǎng)購買甲、乙兩種小商品，甲每件進(jìn)價(jià)元，乙每件進(jìn)價(jià)元，甲商品每賣出去件可賺元，乙商品每賣出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益，則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別為（）A．甲件，乙件 B．甲件，乙件 C．甲件，乙件 D．甲件，乙件10．設(shè)是虛數(shù)單位，則“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充分不必要條件11．胡夫金字塔是底面為正方形的錐體，四個(gè)側(cè)面都是相同的等腰三角形．研究發(fā)現(xiàn)，該金字塔底面周長(zhǎng)除以倍的塔高，恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率．設(shè)胡夫金字塔的高為，假如對(duì)胡夫金字塔進(jìn)行亮化，沿其側(cè)棱和底邊布設(shè)單條燈帶，則需要燈帶的總長(zhǎng)度約為A． B．C． D．12．已知集合A，則集合（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè),滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)的最大值為,則的最小值為______．14．已知一組數(shù)據(jù)1.6，1.8，2，2.2，2.4，則該組數(shù)據(jù)的方差是_______．15．的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知，則________.16．我國(guó)古代名著《張丘建算經(jīng)》中記載：“今有方錐下廣二丈，高三丈，欲斬末為方亭；令上方六尺：?jiǎn)柾し綆缀危俊贝笾乱馑际牵河幸粋€(gè)四棱錐下底邊長(zhǎng)為二丈，高三丈；現(xiàn)從上面截取一段，使之成為正四棱臺(tái)狀方亭，且四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為六尺，則該正四棱臺(tái)的高為________尺，體積是_______立方尺（注：1丈=10尺）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，且.（1）證明：；（2）若的面積，，求角.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上且軸，直線交軸于點(diǎn)，，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且滿足，求的面積.19．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）已知在上恒成立，求的值.（Ⅲ）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，證明：.20．（12分）如圖，在正四棱柱中，已知，.（1）求異面直線與直線所成的角的大小；（2）求點(diǎn)到平面的距離.21．（12分）如圖是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，為圓周上不同于的任意一點(diǎn)（1）求證：平面平面；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)（不與重合）求二面角的正切值的最小值22．（10分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）函數(shù)，若對(duì)于，使得成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

由成等差數(shù)列得，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式展開即可得到公比q的方程.【詳解】由題意，∴2aq2=aq+a，∴2q2=q+1，∴q=1或q=故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等差等比數(shù)列的綜合，利用等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程求q是解題的關(guān)鍵，對(duì)于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式也要熟練．2．C【解析】

先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減則恒成立，對(duì)導(dǎo)函數(shù)不等式換元成二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，列不等式組求解可得.【詳解】依題意，，令，則，故在上恒成立；結(jié)合圖象可知，，解得故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法:(1)代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角(或)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解；(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.3．B【解析】

先求出從不超過18的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)的所有可能結(jié)果，然后再求出其和等于16的結(jié)果，根據(jù)等可能事件的概率公式可求.【詳解】解：不超過18的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17共7個(gè)，從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)共有，其和等于16的結(jié)果，共2種等可能的結(jié)果，故概率.故選：B.【點(diǎn)睛】古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，本題不可以列舉出所有事件但可以用分步計(jì)數(shù)得到，屬于基礎(chǔ)題.4．D【解析】

設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為R,再表達(dá)圓錐表面積與球的表面積公式,進(jìn)而求得即可得圓錐軸截面底角的大小.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為R,則有,解得,所以圓錐軸截面底角的余弦值是,底角大小為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎(chǔ)題.5．A【解析】

求得的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式和兩直線平行的條件：斜率相等，化簡(jiǎn)可得，為任意非零實(shí)數(shù).【詳解】依題意，在點(diǎn)處的切線與直線AB平行，即有，所以，由于對(duì)任意上式都成立，可得，為非零實(shí)數(shù).故選：A【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求切線的斜率，考查兩點(diǎn)的斜率公式，以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．6．D【解析】

先根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出和，進(jìn)而求出，代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意，則，，得，由定義知，故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，引入新定義，屬于簡(jiǎn)單題目.7．C【解析】

解：對(duì)于（1），當(dāng)CD⊥平面ABE，且E在AB的右上方時(shí)，E到平面BCD的距離最大，當(dāng)CD⊥平面ABE，且E在AB的左下方時(shí)，E到平面BCD的距離最小，∴四面體E﹣BCD的體積有最大值和最小值，故（1）正確；對(duì)于（2），連接DE，若存在某個(gè)位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，則AE⊥平面BDE，可得AE⊥DE，進(jìn)一步可得AE＝DE，此時(shí)E﹣ABD為正三棱錐，故（2）正確；對(duì)于（3），取AB中點(diǎn)O，連接DO，EO，則∠DOE為二面角D﹣AB﹣E的平面角，為θ，直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，θ∈[0，π），∠DAE∈[，π），所以θ≥∠DAE不成立．（3）不正確；對(duì)于（4）AE的中點(diǎn)M與AB的中點(diǎn)N連線交平面BCD于點(diǎn)P，P到BC的距離為：dP﹣BC，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)P的軌跡為橢圓．（4）正確．故選：C．點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)多面體和旋轉(zhuǎn)體對(duì)應(yīng)的特征，以幾何體為載體，考查相關(guān)的空間關(guān)系，在解題的過程中，需要認(rèn)真分析，得到結(jié)果，注意對(duì)知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用.8．A【解析】試題分析：由題意得，F(xiàn)(x)=2g(1-x),f(x)≥g(1-x)∴F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)≥g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)<g(1+a)，∵a>0，∴(a+1)2-(a-1)∴若f(a)>g(1+a)：F(-a)=2g(1+a)，F(xiàn)(a)=2g(1-a)，∴F(-a)>F(a)，若g(1-a)≤f(a)≤g(1+a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(xiàn)(a)=2g(1-a)，∴F(-a)≥F(a)，若f(a)<g(1-a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(xiàn)(a)=2f(a)，∴F(-a)=F(a)，綜上可知F(-a)≥F(a)，同理可知F(1+a)≥F(1-a)，故選A.考點(diǎn)：1.函數(shù)的性質(zhì)；2.分類討論的數(shù)學(xué)思想.【思路點(diǎn)睛】本題在在解題過程中抓住偶函數(shù)的性質(zhì)，避免了由于單調(diào)性不同導(dǎo)致1-a與1+a大小不明確的討論，從而使解題過程得以優(yōu)化，另外，不要忘記定義域，如果要研究奇函數(shù)或者偶函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性等問題，通常先在原點(diǎn)一側(cè)的區(qū)間(對(duì)奇(偶)函數(shù)而言)或某一周期內(nèi)(對(duì)周期函數(shù)而言)考慮，然后推廣到整個(gè)定義域上.9．D【解析】

由題意列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】設(shè)購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別，利潤(rùn)為元，由題意，畫出可行域如圖所示，顯然當(dāng)經(jīng)過時(shí)，最大.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題，解決此類問題要注意判斷，是否是整數(shù)，是否是非負(fù)數(shù)，并準(zhǔn)確的畫出可行域，本題是一道基礎(chǔ)題.10．D【解析】

結(jié)合純虛數(shù)的概念，可得，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可判定選項(xiàng).【詳解】若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，所以，若，不妨設(shè)，此時(shí)復(fù)數(shù)，不是純虛數(shù)，所以“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件，考查了純虛數(shù)的概念，理解充分必要條件的邏輯關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11．D【解析】

設(shè)胡夫金字塔的底面邊長(zhǎng)為，由題可得，所以，該金字塔的側(cè)棱長(zhǎng)為，所以需要燈帶的總長(zhǎng)度約為，故選D．12．A【解析】

化簡(jiǎn)集合,，按交集定義，即可求解.【詳解】集合，，則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先根據(jù)條件畫出可行域,設(shè),再利用幾何意義求最值,將最大值轉(zhuǎn)化為軸上的截距,只需求出直線,過可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)取得最大值,從而得到一個(gè)關(guān)于,的等式,最后利用基本不等式求最小值即可．【詳解】解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線過直線與直線的交點(diǎn)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大,即,即,而．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,以及利用幾何意義求最值,屬于基礎(chǔ)題．14．0.08【解析】

先求解這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后利用方差的公式可得結(jié)果.【詳解】首先求得，．故答案為：0.08.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)據(jù)的方差，明確方差的計(jì)算公式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).15．【解析】

利用正弦定理邊化角可得，從而可得，進(jìn)而求解.【詳解】由，由正弦定理可得，即，整理可得，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.16．213892【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，利用棱錐與棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求出正四棱臺(tái)的高，再計(jì)算它的體積.【詳解】如圖所示：正四棱錐P-ABCD的下底邊長(zhǎng)為二丈，即AB=20尺，高三丈，即PO=30尺，截去一段后，得正四棱臺(tái)ABCD-A'B'C'D'，且上底邊長(zhǎng)為A'B'=6尺，所以，解得，所以該正四棱臺(tái)的體積是，故答案為：21；3892.【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐與棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問題，也考查了棱臺(tái)的體積計(jì)算問題，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）【解析】

（1）利用余弦定理化簡(jiǎn)已知條件，由此證得（2）利用正弦定理化簡(jiǎn)（1）的結(jié)論，得到，利用三角形的面積公式列方程，由此求得，進(jìn)而求得的值，從而求得角.【詳解】（1）由已知得，由余弦定理得，∴.（2）由（1）及正弦定理得，即，∴，∴，∴.，∴，，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.18．（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)離心率以及，即可列方程求得，則問題得解；（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，根據(jù)題意中轉(zhuǎn)化出的，即可求得參數(shù)，則三角形面積得解.【詳解】（1）設(shè)，由題意可得.因?yàn)槭堑闹形痪€，且，所以，即，因?yàn)檫M(jìn)而得，所以橢圓方程為（2）由已知得兩邊平方整理可得.當(dāng)直線斜率為時(shí)，顯然不成立.直線斜率不為時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去，得，所以，由得將代入整理得，展開得，整理得，所以.即為所求.【點(diǎn)睛】本題考查由離心率求橢圓的方程，以及橢圓三角形面積的求解，屬綜合中檔題.19．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.（Ⅱ）求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性,并構(gòu)造函數(shù)根據(jù)單調(diào)性分析可得只能在處取得最小值求解即可.（Ⅲ）根據(jù)（Ⅰ）（Ⅱ）的結(jié)論可知,在上恒成立,再分別設(shè)的解為、.再根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可.【詳解】（Ⅰ）由題,故.且.故在點(diǎn)處的切線方程為.（Ⅱ）設(shè)恒成立,故.設(shè)函數(shù)則,故在上單調(diào)遞減且,又在上單調(diào)遞增.又,即且,故只能在處取得最小值,當(dāng)時(shí)，此時(shí),且在上,單調(diào)遞減.在上,單調(diào)遞增.故,滿足題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)有解,且在上單調(diào)遞減,與矛盾；當(dāng)時(shí)，此時(shí)有解,且在上單調(diào)遞減,與矛盾；故（Ⅲ）.由（Ⅰ）,在上單調(diào)遞減且,又在上單調(diào)遞增,故最多一根.又因?yàn)?,故設(shè)的解為,因?yàn)?故.所以在遞減,在遞增.因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根,故.結(jié)合（Ⅰ）（Ⅱ）有,在上恒成立.設(shè)的解為,則；設(shè)的解為,則.故,.故,得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值求解參數(shù)值的問題.同時(shí)也考查了構(gòu)造函數(shù)結(jié)合前問的結(jié)論證明不等式的方法.屬于難題.20．（1）；（2）.【解析】

（1）建立空間坐標(biāo)系，通過求向量與向量的夾角，轉(zhuǎn)化為異面直線與直線所成的角的大??；（2）先求出面的一個(gè)法向量，再用點(diǎn)到面的距離公式算出即可．【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線