2022屆山東省泰安一中（泰安市）高三下學(xué)期4月二輪檢測（二模）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高三二輪檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)全集U＝R，集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知的展開式中，含項的系數(shù)為4，則實數(shù)a＝（）A．2 B．4 C．－2 D．－44．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的圖象，如圖所示，則（）A．函數(shù)的最小正周期是 B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．曲線關(guān)于直線對稱 D．函數(shù)在上的最小值是－16．已知盒子中裝有形狀，大小完全相同的五張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，現(xiàn)每次從中任意取一張，取出后不再放回，若抽取三次，則在前兩張卡片所標(biāo)數(shù)字之和為偶數(shù)的條件下，第三張為奇數(shù)的概率為（）A． B． C． D．7．已知以F為焦點的拋物線上的兩點A，B（點A的橫坐標(biāo)大于點B的橫坐標(biāo)），滿足（O為坐標(biāo)原點），弦AB的中點M的橫坐標(biāo)為，則實數(shù)（）A． B． C．3 D．48．已知A，B兩點都在以PC為直徑的球O的球面上，AB⊥BC，AB＝BC＝4，若球O的體積為，則異面直線PB與AC所成角的余弦值為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是（）A．經(jīng)驗回歸方程對應(yīng)的經(jīng)驗回歸直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點中的一個點B．在殘差的散點圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，其模型的擬合效果越好C．設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則D．若將一組樣本數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)，則樣本的方差不變10．已知雙曲線C：的離心率為，且其右頂點為，左，右焦點分別為，，點P在雙曲線C上，則下列結(jié)論正確的是（）A．雙曲線C的方程為 B．點A到雙曲線C的漸近線的距離為C．若，則 D．若，則的外接圓半徑為11．已知等邊三角形ABC的邊長為6，M，N分別為AB，AC的中點，如圖所示，將△AMN沿MN折起至，得到四棱錐，則在四棱錐中，下列說法正確的是（）A．當(dāng)四棱錐的體積最大時，二面角為直二面角B．在折起過程中，存在某位置使BN⊥平面C．當(dāng)四棱體積的最大時，直線與平面MNCB所成角的正切值為D．當(dāng)二面角的余弦值為時，的面積最大12．已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A．對任意的，存在，使得B．若是的極值點，則在上單調(diào)遞減C．函數(shù)的最大值為D．若有兩個零點，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知數(shù)列是公差大于0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，則______．14．已知在邊長為4的等邊△ABC中，，則______．15．已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時，．若，則a＝______．16．已知以C為圓心的圓．若直線2ax＋by－2＝0（a，b為正實數(shù)）平分圓C，則的最小值是______；設(shè)點，若在圓C上存在點N，使得∠CMN＝45°，則的取值范圍是______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，A的角平分線交BC于點D．（1）求B；（2）若，，求b．18．（12分）已知數(shù)列單調(diào)遞增，其前n項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和為．19．（12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，且∠DAB＝60°，PD＝AD，PD⊥平面ABCD，M為BC中點，．（1）求證：平面DMN⊥平面PAD；（2）當(dāng)取何值時，二面角B－DN－M的余弦值為．20．（12分）為提升教師的命題能力，某學(xué)校將舉辦一次教師命題大賽，大賽分初賽和復(fù)賽，初賽共進行3輪比賽，3輪比賽命制的題目分別適用于高一，高二，高三年級，每輪比賽結(jié)果互不影響．比賽規(guī)則如下：每一輪比賽，限時60分鐘，參賽教師要在指定的知識范圍內(nèi)，命制非解答題，解答題各2道，若有不少于3道題目入選，將獲得“優(yōu)秀獎”，3輪比賽中，至少獲得2次“優(yōu)秀獎”的教師將進入復(fù)賽．為能進入復(fù)賽，教師甲賽前多次進行命題模擬訓(xùn)練，指導(dǎo)老師從教師甲模擬訓(xùn)練命制的題目中，隨機抽取了4道非解答題和4道解答題，其中有3道非解答題和2道解答題符合入選標(biāo)準(zhǔn)．（1）若從模擬訓(xùn)練命制的題目中所抽取的8道題目中，隨機抽取非解答題，解答題各2道，由此來估計教師甲在一輪比賽中的獲獎情況，試預(yù)測教師甲在一輪比賽中獲“優(yōu)秀獎”的概率；（2）若以模擬訓(xùn)練命制的題目中所抽取的8道題目中兩類題目各自入選的頻率作為每道該類題目入選的概率，經(jīng)指導(dǎo)老師對教師甲進行賽前強化訓(xùn)練后，每道非解答題入選的概率不變，每道解答題入選的概率比強化訓(xùn)練前大，以獲得“優(yōu)秀獎”次數(shù)的期望作為判斷依據(jù)，試預(yù)測教師甲能否進入復(fù)賽？21．（12分）已知橢圓C：過點，過其右焦點且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，且．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l：與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，線段EF的中點為Q，在y軸上是否存在定點P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．22．（12分）已知函數(shù)．當(dāng)m＝1時，曲線在點處的切線與直線x－y＋1＝0垂直．（1）若的最小值是1，求m的值；（2）若，是函數(shù)圖象上任意兩點，設(shè)直線AB的斜率為k．證明：方程在上有唯一實數(shù)根．參考答案：1．B【解析】【詳解】分析：由題意首先求得，然后進行交集運算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可得：，結(jié)合交集的定義可得：.本題選擇B選項.點睛：本題主要考查交集的運算法則，補集的運算法則等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.2．C【解析】【分析】先求出，再由共軛復(fù)數(shù)求出，最后由復(fù)數(shù)的幾何意義求出所在象限即可.【詳解】，則，對應(yīng)的點位于第三象限.故選：C.3．A【解析】【分析】首先化簡，然后分析展開式中含有項的系數(shù)是由兩種情況構(gòu)成，依次算出系數(shù)最后列出方程求出的值.【詳解】因為，所以其展開式中含有項的系數(shù)有兩部分：一部分是展開式中的系數(shù)，另一部分是中的系數(shù)與的乘積即，所以解得.故選：A【點睛】(1)二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項．(2)求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解．4．A【解析】利用等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大?。驹斀狻?，，，故，所以．故選A．【點睛】本題考查大小比較問題，關(guān)鍵選擇中間量和函數(shù)的單調(diào)性進行比較．5．D【解析】【分析】根據(jù)圖象求出的解析式，然后逐項判斷即可.【詳解】由圖可知，，，，，，，對于A，，故錯誤；對于B，當(dāng)時，，由函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時單調(diào)遞增，

，故B錯誤；對于C，，將帶入上式得，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，∴當(dāng)，即時，取最小值-1，故D正確；故選：D.6．C【解析】【分析】設(shè)前兩張卡片所標(biāo)數(shù)字之和為偶數(shù)為事件，第三張為奇數(shù)為事件，先求出，再由條件概率求解即可.【詳解】設(shè)前兩張卡片所標(biāo)數(shù)字之和為偶數(shù)為事件，第三張為奇數(shù)為事件，則事件包括前兩張都為奇數(shù)或者都為偶數(shù)，故，，故前兩張卡片所標(biāo)數(shù)字之和為偶數(shù)的條件下，第三張為奇數(shù)的概率.故選：C.7．D【解析】【分析】根據(jù)已知及拋物線的幾何性質(zhì)求出，再由已知求出的值.【詳解】由題意可得拋物線的焦點.弦AB的中點M的橫坐標(biāo)為，由已知條件可知直線AB的斜率存在.設(shè)直線AB的方程為，，則聯(lián)立，消去y得，∴，又因為弦AB的中點M的橫坐標(biāo)為，∴，∴，，∴點A到準(zhǔn)線的距離為，點B到準(zhǔn)線的距離為，所以∴，又，故.故選：D8．A【解析】【分析】取中點，先由外接球體積求出半徑，再由為等腰直角三角形，建立空間直角坐標(biāo)系，表示出以及與平行的向量，再按照向量夾角公式求解即可.【詳解】如圖，取中點，連接，由可得是的外心，則平面，又，，由得，即，又，，分別是中點，，，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，與平行的向量，，故異面直線PB與AC所成角的余弦值為.故選：A.9．BCD【解析】【分析】由經(jīng)驗回歸直線、殘差的定義、正態(tài)分布的對稱性以及方差性質(zhì)依次判斷4個選項即可.【詳解】經(jīng)驗回歸直線可以不經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點中的任何一個點，A錯誤；根據(jù)殘差的定義可知，在殘差圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，預(yù)測值與實際值越接近，其模型的擬合效果越好，B正確；隨機變量服從正態(tài)分布，則，則，故，C正確；由方差性質(zhì)知，若將一組樣本數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)，數(shù)據(jù)的離散程度不變，則樣本的方差不變，D正確.故選：BCD.10．ABD【解析】【分析】由離心率為，右頂點為求出雙曲線方程，再利用點到直線的距離，雙曲線的定義及性質(zhì)依次判斷4個選項即可.【詳解】由離心率為，右頂點為可得，，故雙曲線C的方程為，A正確；雙曲線的漸近線為，故點A到雙曲線C的漸近線的距離為，B正確；由雙曲線的定義，，則或10，C錯誤；，則，的外接圓半徑為，D正確.故選：ABD.11．ACD【解析】【分析】由四棱錐的體積最大，即高最大即可判斷A選項；令BN⊥平面，則，推出矛盾即可判斷B選項；由線面角的定義即可判斷C選項；由面面角的定義求得，進而求出為等腰直角三角形即可判斷D選項.【詳解】如圖，取中點，易得，由于四邊形的面積為定值，要使四棱錐的體積最大，即高最大，當(dāng)面時，此時高為最大，二面角為直二面角，A正確；若BN⊥平面，則，又，，則，又，，故不成立，即不存在某位置使BN⊥平面，B錯誤；由上知，當(dāng)四棱錐體積的最大時，即二面角為直二面角，面，此時直線與平面MNCB所成角即為，易得四邊形為等腰梯形，取中點，易得，且，故，又，故，C正確；如圖，取中點，易得，取中點，易得，故即為二面角的平面角，即，故，又，解得，又，故，又，此時為等腰直角三角形，面積最大為，故D正確.故選：ACD.12．BD【解析】【分析】先求導(dǎo)得，分和討論函數(shù)的單調(diào)性及最值，依次判斷4個選項即可.【詳解】由題意知：，，當(dāng)時，，單增，無最大值，故C錯誤；當(dāng)時，在上，單增；在上，單減；故，當(dāng)，即時，無零點，故A錯誤；若是的極值點，則，，故在單減，B正確；若有兩個零點，則，且，解得，又時，，時，，此時有兩個零點，D正確.故選：BD.13．20【解析】【分析】先利用解出公差，再通過等差數(shù)列計算即可.【詳解】設(shè)公差為，則，即，化簡得，解得或，又，故，則.故答案為：20.14．【解析】【分析】將轉(zhuǎn)化為，進而結(jié)合題意及平面向量數(shù)量積數(shù)量積的運算求得答案.【詳解】由題意，.故答案為：10.15．-3【解析】【分析】當(dāng)時，代入條件即可得解.【詳解】因為是奇函數(shù)，且當(dāng)時，．又因為，，所以，兩邊取以為底的對數(shù)得，所以，即．【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性，對數(shù)的計算．滲透了數(shù)學(xué)運算、直觀想象素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案．16．

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【解析】【分析】先由直線經(jīng)過圓心求得，再由結(jié)合基本不等式即可求解；當(dāng)時，設(shè)直線與圓切于點，由解得的取值范圍，當(dāng)時，存在使∠CMN＝45°即可求解.【詳解】由題意知：直線經(jīng)過圓心，又化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，故，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，故的最小值是；易知圓與直線相切，在直線上，當(dāng)時，設(shè)直線與圓切于點，如圖所示，要使圓C上存在點N，使得∠CMN＝45°，則，，則，即，解得，故且；當(dāng)時，即為切點，此時圓上存在使∠CMN＝45°，符合題意；綜上：.故答案為：；.17．(1)(2)【解析】【分析】（1）由降冪公式得，再由正弦定理及輔助角公式得，即可求解；（2）先由正弦定理求得，進而得到，再求即可.(1)因為，所以，由正弦定理得整理得，所以因為，所以，所以，所以；(2)在△ABD中，，所以，所以，所以，所以，所以△ABC是等腰三角形，且a＝c，所以．18．(1)；(2)【解析】【分析】（1）先利用退位相減法得到，再結(jié)合等差數(shù)列的定義及通項求解即可；（2）先得到，再利用錯位相減法求出，即可求解.(1)因為，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，整理得，因為數(shù)列單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，，，所以當(dāng)時，，即所以數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列．所以．(2)，所以設(shè)，則，所以所以所以．19．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）先證DM⊥AD，DM⊥PD，再證DM⊥平面PAD，即可證明平面DMN⊥平面PAD；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，表示出平面DNM和平面DNB的法向量，再由二面角B－DN－M的余弦值以及向量夾角公式求得即可.(1)∵底面ABCD為菱形，∠DCB＝∠DAB＝60°∴△DBC為正三角形∵M為BC中點∴DM⊥BC又BC∥AD∴DM⊥AD∵PD⊥平面ABCD，平面ABCD∴DM⊥PD又，PD，平面PAD∴DM⊥平面PAD又平面DMN，∴平面DMN⊥平面PAD(2)由（1）知，DA，DM，DP兩兩垂直，以D為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz．設(shè)AD＝2a，，則，，，，，．∴，∵，∴∴，設(shè)為平面DNM的一個法向量則，∴取，則，∴連接AC，，故AC⊥平面DNB，∴為平面DNB一個法向量．∴，解得∴當(dāng)時，二面角B－DN－M的余弦值為．20．(1)(2)教師甲能進入復(fù)賽【解析】【分析】（1）分非解答題入選1道，解答題入選2道，非解答題入選2道，解答題入選1道，非解答題，解答題各入選2道計算概率，再相加即可；（2）先計算出甲在一輪比賽中可獲得“優(yōu)秀獎”的概率，判斷出3輪比賽可看作3重伯努利試驗，再由二項分布期望公式計算期望，判斷即可.(1)設(shè)A＝“在一輪比賽中，教師甲獲得優(yōu)秀獎”，則事件A發(fā)生的所有情況有①符合入選標(biāo)準(zhǔn)的非解答題入選1道，解答題入選2道的概率為②符合入選標(biāo)準(zhǔn)的非解答題入選2道，解答題入選1道的概率為③符合入選標(biāo)準(zhǔn)的非解答題，解答題各入選2道的概率為所以；(2)由題知，強化訓(xùn)練后，每道非解答題入選的概率為，每道解答題入選的概率為，則強化訓(xùn)練后，教師甲在一輪比賽中可獲得“優(yōu)秀獎”的概率為，因為每輪比賽結(jié)果互不影響，所以進行3輪比賽可看作3重伯努利試驗．用X表示教師甲在3輪比賽中獲得“優(yōu)秀獎”的次數(shù)，則．∴，∴教師甲能進入復(fù)賽.21．(1)(2)存在定點，【解析】【分析】（1）直接由橢圓C過點和解方程即可；（2）