必修一第一章第4節(jié)4.3一元二次不等式的應(yīng)用學(xué)歷案教師版

§4一元二次函數(shù)與一元二次不等式§4．3一元二次不等式的應(yīng)用【學(xué)習(xí)主題】新授課【課時(shí)安排】1課時(shí)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一元二次函數(shù)及一元二次不等式掌握一元二次不等式在實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的應(yīng)用；初步掌握解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟?！緦W(xué)習(xí)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：能夠從實(shí)際生活和生產(chǎn)中抽象出一元二次不等式的模型．(重點(diǎn))難點(diǎn)：掌握與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問(wèn)題的解法【學(xué)情分析】初中階段學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)一元一次不等式的應(yīng)用，對(duì)不等式的應(yīng)用有一定的了解，一元二次不等式在實(shí)際生活中有著廣泛分應(yīng)用，通過(guò)學(xué)習(xí)本節(jié)的內(nèi)容，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式的過(guò)程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義，初步掌握數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力，為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做好學(xué)習(xí)方法和知識(shí)技能等方面的準(zhǔn)備【學(xué)法建議】1.學(xué)習(xí)本節(jié)時(shí)要了解分式不等式和高次不等式的概念和解法。分式不等式的易錯(cuò)點(diǎn)要注意。做不等式應(yīng)用題時(shí)結(jié)合實(shí)際生活，想想生活中有沒(méi)有用到的地方？總結(jié)做應(yīng)用題的步驟。【學(xué)習(xí)過(guò)程】課前預(yù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題閱讀必修第一冊(cè)教材第3839頁(yè).結(jié)合課本及以上一節(jié)學(xué)習(xí)知識(shí)自主學(xué)習(xí)：?jiǎn)栴}1：什么是高次不等式?問(wèn)題2：怎樣解高次不等式？問(wèn)題3：怎樣解分式不等式？問(wèn)題4：解不等式應(yīng)用題的步驟？2.基礎(chǔ)知識(shí)自測(cè)解有關(guān)不等式應(yīng)用題的步驟(1)設(shè)未知數(shù).用字母表示題中的未知數(shù)．(2)列不等式（組).找出題中的不等量關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組)．(3)解不等式（組）運(yùn)用不等式知識(shí)求解不等式(組)，同時(shí)要注意未知數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的取值范圍．(4)作答．規(guī)范地寫出答案．設(shè)未知數(shù)；列不等式(組)；解不等式(組)(補(bǔ)充內(nèi)容)3．高次不等式的解法含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)高于2的整式不等式叫一元高次不等式．處理或解這類不等式我們常用“穿針引線法，”，具體操作程序是：先將不等式化成標(biāo)準(zhǔn)形式，即一端為0，另一端為一次或二次不可約因式積的形式且使最高次項(xiàng)的系數(shù)為正．令代數(shù)式等于0，求出相應(yīng)方程的根，并把它們依次標(biāo)在數(shù)軸上，然后用同一曲線按照自上而下，由右向左依次穿過(guò)(遇奇次重根一次穿過(guò)，遇偶次重根不穿過(guò))．這樣數(shù)軸上方、下方及數(shù)軸上的點(diǎn)分別表示使代數(shù)式大于0、小于0及等于0的部分，最后依據(jù)不等式的符號(hào)寫出不等式的解集．對(duì)于此類問(wèn)題，只局限于a≠0時(shí)形如a(x－x1)(x－x2)(x－x3)>0(或≥0，<0，≤0)的不等式．4．分式不等式的解法分母里含有未知數(shù)的不等式，叫作分式不等式．解該類不等式的關(guān)鍵是先把不等式的右邊化成0，再把它轉(zhuǎn)化成整式不等式．【預(yù)習(xí)自測(cè)】1、不等式eq\f(x－3,x＋2)<0的解集為()A．{x|－2<x<3} B．{x|x<－2}C．{x|x<－2，或x>3} D．{x|x>3}2、求不等式eq\f(1,x＋1)(x－1)(x－2)2(x－3)<0的解集.1、[解析]不等式eq\f(x－3,x＋2)<0可化為(x＋2)(x－3)<0，∴－2<x<3，故選A．2.[解析]利用“穿針引線法”，如圖所示．∴不等式的解集是{x|x<1或1<x<2或2<x<3}．學(xué)生獨(dú)立完成，組內(nèi)解決。課中學(xué)習(xí)，合作探究【學(xué)習(xí)任務(wù)1】一元二次不等式在生活中的應(yīng)用例1：某農(nóng)家院有客房20間，日常每間客房日租金為80元，每天都客滿。該農(nóng)家院欲提髙檔次，并提高租金。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，每間客房日租金每增加10元，客房出租數(shù)就會(huì)減少1間。每間客房日租金不得超過(guò)130元,要使每天客房的租金總收入不低于1800元，該農(nóng)家院每間客房日租金提高的空間有多大？解：設(shè)每間客房日租金提高x個(gè)10元，即每間客房日租金提高到(80+10x)元，則客房出租數(shù)減少x間，此時(shí)客房的租金總收入為(又因?yàn)槊刻炜头康淖饨鹂偸杖氩坏陀?800元，所以80+10x化簡(jiǎn)：x2?12x+20≤0所以20≤10由題意可知：每間客房日租金不得超過(guò)130元，即80+10x≤130，所以10x≤50。因此，該農(nóng)家院每間客房日租金提高的空間是20?50元.例2：為鼓勵(lì)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市出臺(tái)了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān)。袁陽(yáng)按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈，已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元，出廠價(jià)為每件12元，每月的銷售量y（單位:件）與銷售單價(jià)x（單位:元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：y=?10x+500（1）設(shè)袁陽(yáng)每月獲得的利潤(rùn)為w(單位:元），寫出每月獲得的利潤(rùn)w與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系.（2）物價(jià)部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于25元，如果袁陽(yáng)想要每月獲得的利潤(rùn)不小于3000元，那么政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)的取值范圍是多少？解：（1）依題意可知每件的銷售利潤(rùn)為(x?10)元，每月的銷售量為(?10x+500)所以每月獲得的利潤(rùn)w與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系w=（2）由每月獲得的利潤(rùn)不小于3000元，得x?10化簡(jiǎn)得x2?60x+800≤0又因?yàn)檫@種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于25元，所以20≤設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)的取值范圍是p元，則p=由20≤x≤25，得500≤故政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)的取值范圍是[500,600].學(xué)生反思注意：利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟如下：（1）選取合適的字母表示題中的未知數(shù)；（2）由題中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式（組）；（3）求解所列出的不等式（組）；（4）結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案?！菊n堂評(píng)價(jià)1】某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量x（件）與單價(jià)P（元）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)x件所需成本為C（元），其中元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷量x的取值范圍是（）A． B． C． D．．對(duì)于一個(gè)平均每月用電量為的家庭，換裝分時(shí)電表后，每月節(jié)省的電費(fèi)不少于原來(lái)電費(fèi)的，則這個(gè)家庭每月在峰時(shí)段的平均用電量至多為()A． B． C． D．1．B【解析】設(shè)該廠每天獲得的利潤(rùn)為元，則，，根據(jù)題意知，，解得：，所以當(dāng)時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)不少于元，故選．點(diǎn)睛：考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題分析和解決問(wèn)題的能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力，對(duì)于函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題：2．C【解析】設(shè)每月峰時(shí)段的平均用電量為，則谷時(shí)段的用電量為；根據(jù)題意，得：，解得．所以這個(gè)家庭每月峰時(shí)段的平均用電量至多為，故選C．【課堂展示】由學(xué)生快問(wèn)快答學(xué)生反思【學(xué)習(xí)任務(wù)2】分式不等式和高次不等式的解法例1、解下列不等式：(1)eq\f(x＋3,1－x)<0；(2)(x＋1)(1－x)(x－2)>0；例1[解析](1)由eq\f(x＋3,1－x)<0，得eq\f(x＋3,x－1)>0，此不等式等價(jià)于(x＋3)(x－1)>0，∴原不等式的解集為{x|x<－3或x>1}．(2)原不等式等價(jià)于(x－1)(x－2)(x＋1)<0，令y＝(x－1)(x－2)(x＋1)，當(dāng)y＝0時(shí)，各因式的根分別為1,2，－1，如圖所示可得不等式的解集為{x|x<－1或1<x<2}．【課堂評(píng)價(jià)2】（1)eq\f(x＋1,x－2)≤2；(2)x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0.(2)解法一：移項(xiàng)得eq\f(x＋1,x－2)－2≤0，左邊通分并化簡(jiǎn)，得eq\f(－x＋5,x－2)≤0，即eq\f(x－5,x－2)≥0，此不等式等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2x－5≥0，,x－2≠0，))∴x<2或x≥5.∴原不等式的解集為{x|x<2或x≥5}．解法二：原不等式可化為eq\f(x－5,x－2)≥0，此不等式等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5≥0，,x－2>0))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5≤0，,x－2<0.))②解①得x≥5，解②得x<2，∴原不等式的解集為{x|x<2或x≥5}．(2)∵方程x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)＝0的根依次為0,1，－1，－2，其中1為雙重根，－1為三重根，(即1為偶次根，－1為奇次根)，如圖所示，由“穿針引線法”可得∴不等式的解集為{x|－2≤x≤－1，或x≥0}．【課堂展示】由學(xué)生快問(wèn)快答學(xué)生反思:分式不等式和高次不等式的解法的過(guò)程？三、課后評(píng)價(jià)，解決問(wèn)題（1）本節(jié)對(duì)應(yīng)的鞏固訓(xùn)練（明天課代表收齊后上交）.【學(xué)后反思】1.你喜歡這節(jié)課嗎?課堂上你認(rèn)真思考了嗎？2.在課堂上你積極嗎?3.在這節(jié)課上你的學(xué)習(xí)目標(biāo)完成了嗎?4.你對(duì)本堂課重難點(diǎn)掌握了嗎?5.在本節(jié)課上你掌握了哪些知識(shí)點(diǎn)和題型？A組1．已知一元二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，且有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，則等于（）A． B． C． D．不能確定【解析】【分析】利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程可求得的值，然后利用韋達(dá)定理可求得的值.【詳解】由于二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，可得，又因?yàn)榉匠痰膬筛謩e為、，由韋達(dá)定理得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．不等式的解集非空的一個(gè)必要而不充分條件是（）A． B． C． D．【解析】因?yàn)榈慕饧强?顯然成立，由,綜上，的解集非空的充要條件為.，所以選B．3．若不等式的解集為，則等于（）A．18 B．8 C．13 D．1【解析】【分析】由題可得為方程的兩根，代入列方程解出即可.【詳解】不等式的解集為，為方程的兩根，則根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可得，，則.故選：C已知不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_________.【解析】【分析】由一元二次不等式的解集為空集，轉(zhuǎn)化為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】不等式的解集是空集，，解得：.故答案為：不等式的解集為________.【詳解】解：原不等式等價(jià)于不等式組解得，所以所求不等式的解集為.故答案為:.若命題“任意實(shí)數(shù)，使”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【解析】分析：開口向上的二次函數(shù)恒大于等于零，只需即可.詳解：由題可得：任意實(shí)數(shù)，使為真命題，故即：，故答案為解不等式：（1）（2）【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即得；（2）移項(xiàng)通分，再兩邊同時(shí)乘以，計(jì)算求解即得.【詳解】（1）解得：.（2）且解得：或.8．甲廠以千克/時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時(shí)可獲得利潤(rùn)小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于元，求的取值范圍.【解析】【分析】根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系列出式子，可得，然后解不等式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知：化簡(jiǎn)可得：所以或又，所以9．已知函數(shù)為二次函數(shù),x=0時(shí)，y=3,且關(guān)于的不等式y(tǒng)<4解集為.（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;（2）當(dāng)時(shí),y<a恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)函數(shù),根據(jù),解集為,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出函數(shù)的解析式.（2）根據(jù),求出的值域,即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解:（1）設(shè)函數(shù),那么,則,又因?yàn)榻饧癁?的兩根為,故,解得,所以.（2）由（1）得,又因?yàn)?則,當(dāng)時(shí),恒成立則實(shí)數(shù)的取值范圍為:.某地有一座水庫(kù)，設(shè)計(jì)最大容量為128000m3．根據(jù)預(yù)測(cè)，汛期時(shí)水庫(kù)的進(jìn)水量（單位：）與天數(shù)的關(guān)系是.水庫(kù)原有水量為80000，水閘泄水量每天4000.當(dāng)汛期來(lái)臨第一天，水庫(kù)就開始泄洪，估計(jì)汛期將持續(xù)10天，問(wèn)：此期間堤壩會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由（水庫(kù)水量超過(guò)最大容量，堤壩就會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)）.【解析】【分析】根據(jù)進(jìn)水量與出水量，以及最多總增加水量列不等式，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，解不等式求得第天會(huì)有危險(xiǎn).【詳解】，即，得.所以汛期的第9天會(huì)有危險(xiǎn).【點(diǎn)睛】注意對(duì)于數(shù)學(xué)應(yīng)用性問(wèn)題，首先要認(rèn)真審題，理解題意；其次是建立合理的數(shù)學(xué)模型；最后用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去求解.同時(shí)，所得結(jié)果注意與事實(shí)相符，如本題是天數(shù)，需滿足.B組1．在上定義運(yùn)算，若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．1．C【解析】【分析】由已知定義可把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，然后結(jié)合二次不等式的恒成立問(wèn)題對(duì)進(jìn)行分類討論可求．【詳解】解：由的解集為可得恒成立，即恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，有，解可得，綜上可得，．故選：．【點(diǎn)睛】本題以新定義為載體，主要考查了不等式的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．對(duì)任意實(shí)數(shù)x,若函數(shù)y＝都有意義，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，] B．（0，） C．[0，] D．[0，）2．D【解析】【分析】根據(jù)題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次型不等式恒成立問(wèn)題，結(jié)合對(duì)參數(shù)的討論，根據(jù)即可求得結(jié)果.【詳解】要滿足題意，只需在上恒成立即可.當(dāng)時(shí)，顯然滿足題意.當(dāng)時(shí)，只需，解得.綜上所述，故選：.3．不等式的解集為()A． B．C． D．或3．A【解析】【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)分母恒正可得到，從而求得結(jié)果.【詳解】由得：恒成立又不等式的解集為故選【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的求解，關(guān)鍵是能夠通過(guò)分母恒正得到分子的正負(fù)，從而根據(jù)一元二次不等式的求解方法求得結(jié)果.4．若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,函數(shù)y＝都有意義，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．[0，4) B．(0，4) C．[4，＋∞) D．4．D【解析】【分析】由函數(shù)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】由函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，即在上恒成立，當(dāng)m=0時(shí)，1≥0恒成立；當(dāng)m≠0時(shí)，則，解得.綜上可得，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，意在考查推理與運(yùn)算能力.5．下列各組不等式中解集相同的是（）A．與B．與C．與D．與5．B【解析】【分析】對(duì)各組不等式中的不等式求解可知答案.【詳解】對(duì)于,根據(jù)分母不為0,可知的解集中沒(méi)有元素1,而的解集中有元素1,故不正確;對(duì)于,由得且,即,由得,故選項(xiàng)正確;對(duì)于,由整理得且,即且且,故選項(xiàng)不正確;對(duì)于,由得且,即且,故不正確.故選:B若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.；【解析】【分析】分三種情況討論：（1）當(dāng)?shù)扔?時(shí)，原不等式變?yōu)椋@然成立；（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知解集為不可能；（3）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向下，且與軸沒(méi)有交點(diǎn)即△小于0時(shí)，由此可得結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，得到，顯然不等式的解集為；（2）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向上，函數(shù)值不恒小于0，故解集為不可能．（3）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向下，由不等式的解集為，得到二次函數(shù)與軸沒(méi)有交點(diǎn)，即△，即，解得；綜上，的取值范圍為．故答案為：．7．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.請(qǐng)將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式__________．．【解析】【分析】糖水變甜，表示糖的濃度變大，代入數(shù)據(jù)得到答案.【詳解】糖水變甜，表示糖的濃度變大，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.8．已知，．（1）若y>0的解集是，求實(shí)數(shù)和的值；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于一切實(shí)數(shù)，y<0恒成立，求的取值范圍．【解析】【分析】（1）由是方程的兩根可求得；（2）恒成立，分類討論，時(shí)不成立，時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得．【詳解】（1）由題得1和2是方程的兩個(gè)根，所以，解得，；（2）因?yàn)楹愠闪ⅱ佼?dāng)時(shí)，不滿足恒成立；②當(dāng)時(shí)，則，即解得；綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是：9．某水果批發(fā)商銷售進(jìn)價(jià)為每箱40元的蘋果，假設(shè)每箱售價(jià)不低于50元且不得高于55元，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價(jià)格銷售，平均每天銷售90箱，價(jià)格每提高1元，平均每天少銷售3箱.