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天津市紅橋區(qū)2025年普通高校招生全國統(tǒng)一考試仿真模擬卷(一)數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若,則實數(shù)的大小關(guān)系為()A. B. C. D.2.定義在上的函數(shù)滿足,則()A.-1 B.0 C.1 D.23.已知為銳角,且,則等于()A. B. C. D.4.若雙曲線的離心率,則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離為()A. B.2 C. D.15.在關(guān)于的不等式中,“”是“恒成立”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.若不等式對于一切恒成立,則的最小值是()A.0 B. C. D.7.隨著人民生活水平的提高,對城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大,下圖是某城市月至月的空氣質(zhì)量檢測情況,圖中一、二、三、四級是空氣質(zhì)量等級,一級空氣質(zhì)量最好,一級和二級都是質(zhì)量合格天氣,下面敘述不正確的是()A.1月至8月空氣合格天數(shù)超過天的月份有個B.第二季度與第一季度相比,空氣達標天數(shù)的比重下降了C.8月是空氣質(zhì)量最好的一個月D.6月份的空氣質(zhì)量最差.8.已知△ABC中,.點P為BC邊上的動點,則的最小值為()A.2 B. C. D.9.把函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍,縱坐標不變,再將圖象向右平移個單位,那么所得圖象的一個對稱中心為()A. B. C. D.10.若(是虛數(shù)單位),則的值為()A.3 B.5 C. D.11.已知等差數(shù)列的前項和為,若,,則數(shù)列的公差為()A. B. C. D.12.我國著名數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就,哥德巴赫猜想內(nèi)容是“每個大于的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”(注:如果一個大于的整數(shù)除了和自身外無其他正因數(shù),則稱這個整數(shù)為素數(shù)),在不超過的素數(shù)中,隨機選取個不同的素數(shù)、,則的概率是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標系xOy中,直角三角形ABC的三個頂點都在橢圓上,其中A(0,1)為直角頂點.若該三角形的面積的最大值為,則實數(shù)a的值為_____.14.若關(guān)于的不等式在上恒成立,則的最大值為__________.15.如圖,某地一天從時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù),則這段曲線的函數(shù)解析式為______________.16.已知拋物線的焦點為,過點且斜率為1的直線交拋物線于兩點,,若線段的垂直平分線與軸交點的橫坐標為,則的值為_________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標系中,曲線的標準方程為.以原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.(1)求直線的直角坐標方程;(2)若點在曲線上,點在直線上,求的最小值.18.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為以為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,設點在曲線上,點在曲線上,且為正三角形.(1)求點,的極坐標;(2)若點為曲線上的動點,為線段的中點,求的最大值.19.(12分)如圖,在長方體中,,為的中點,為的中點,為線段上一點,且滿足,為的中點.(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)如圖,直三棱柱中,底面為等腰直角三角形,,,,分別為,的中點,為棱上一點,若平面.(1)求線段的長;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)在平面直角坐標系中,已知拋物線的焦點為,準線為,是拋物線上上一點,且點的橫坐標為,.(1)求拋物線的方程;(2)過點的直線與拋物線交于、兩點,過點且與直線垂直的直線與準線交于點,設的中點為,若、、四點共圓,求直線的方程.22.(10分)已知,,不等式恒成立.(1)求證:(2)求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
將化成以為底的對數(shù),即可判斷的大小關(guān)系;由對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可判斷出與1的大小關(guān)系,從而可判斷三者的大小關(guān)系.【詳解】依題意,由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.又因為,故.故選:A.本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查了對數(shù)的運算性質(zhì).兩個對數(shù)型的數(shù)字比較大小時,底數(shù)相同,則構(gòu)造對數(shù)函數(shù),結(jié)合對數(shù)的單調(diào)性可判斷大??;若真數(shù)相同,則結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像或者換底公式可判斷大小;若真數(shù)和底數(shù)都不相同,則可與中間值如1,0比較大小.2.C【解析】
推導出,由此能求出的值.【詳解】∵定義在上的函數(shù)滿足,∴,故選C.本題主要考查函數(shù)值的求法,解題時要認真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用,屬于中檔題.3.C【解析】
由可得,再利用計算即可.【詳解】因為,,所以,所以.故選:C.本題考查二倍角公式的應用,考查學生對三角函數(shù)式化簡求值公式的靈活運用的能力,屬于基礎題.4.C【解析】
根據(jù)雙曲線的解析式及離心率,可求得的值;得漸近線方程后,由點到直線距離公式即可求解.【詳解】雙曲線的離心率,則,,解得,所以焦點坐標為,所以,則雙曲線漸近線方程為,即,不妨取右焦點,則由點到直線距離公式可得,故選:C.本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及簡單應用,漸近線方程的求法,點到直線距離公式的簡單應用,屬于基礎題.5.C【解析】
討論當時,是否恒成立;討論當恒成立時,是否成立,即可選出正確答案.【詳解】解:當時,,由開口向上,則恒成立;當恒成立時,若,則不恒成立,不符合題意,若時,要使得恒成立,則,即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.本題考查了命題的關(guān)系,考查了不等式恒成立問題.對于探究兩個命題的關(guān)系時,一般分成兩步,若,則推出是的充分條件;若,則推出是的必要條件.6.C【解析】
試題分析:將參數(shù)a與變量x分離,將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題,即可得到結(jié)論.解:不等式x2+ax+1≥0對一切x∈(0,]成立,等價于a≥-x-對于一切成立,∵y=-x-在區(qū)間上是增函數(shù)∴∴a≥-∴a的最小值為-故答案為C.考點:不等式的應用點評:本題綜合考查了不等式的應用、不等式的解法等基礎知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題7.D【解析】由圖表可知月空氣質(zhì)量合格天氣只有天,月份的空氣質(zhì)量最差.故本題答案選.8.D【解析】
以BC的中點為坐標原點,建立直角坐標系,可得,設,運用向量的坐標表示,求得點A的軌跡,進而得到關(guān)于a的二次函數(shù),可得最小值.【詳解】以BC的中點為坐標原點,建立如圖的直角坐標系,可得,設,由,可得,即,則,當時,的最小值為.故選D.本題考查向量數(shù)量積的坐標表示,考查轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的值域解法,考查運算能力,屬于中檔題.9.D【解析】
試題分析:把函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長為原來的倍(縱坐標不變),可得的圖象;再將圖象向右平移個單位,可得的圖象,那么所得圖象的一個對稱中心為,故選D.考點:三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).10.D【解析】
直接利用復數(shù)的模的求法的運算法則求解即可.【詳解】(是虛數(shù)單位)可得解得本題正確選項:本題考查復數(shù)的模的運算法則的應用,復數(shù)的模的求法,考查計算能力.11.D【解析】
根據(jù)等差數(shù)列公式直接計算得到答案.【詳解】依題意,,故,故,故,故選:D.本題考查了等差數(shù)列的計算,意在考查學生的計算能力.12.B【解析】
先列舉出不超過的素數(shù),并列舉出所有的基本事件以及事件“在不超過的素數(shù)中,隨機選取個不同的素數(shù)、,滿足”所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】不超過的素數(shù)有:、、、、、,在不超過的素數(shù)中,隨機選取個不同的素數(shù),所有的基本事件有:、、、、、、、、、、、、、、,共種情況,其中,事件“在不超過的素數(shù)中,隨機選取個不同的素數(shù)、,且”包含的基本事件有:、、、,共種情況,因此,所求事件的概率為.故選:B.本題考查古典概型概率的計算,一般利用列舉法列舉出基本事件,考查計算能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.3【解析】
設直線AB的方程為y=kx+1,則直線AC的方程可設為yx+1,(k≠0),聯(lián)立方程得到B(,),故S,令t,得S,利用均值不等式得到答案.【詳解】設直線AB的方程為y=kx+1,則直線AC的方程可設為yx+1,(k≠0)由消去y,得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,所以x=0或x∵A的坐標(0,1),∴B的坐標為(,k?1),即B(,),因此AB?,同理可得:AC?.∴Rt△ABC的面積為SAB?AC?令t,得S.∵t2,∴S△ABC.當且僅當,即t時,△ABC的面積S有最大值為.解之得a=3或a.∵a時,t2不符合題意,∴a=3.故答案為:3.本題考查了橢圓內(nèi)三角形面積的最值問題,意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.14.【解析】
分類討論,時不合題意;時求導,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,得到在上的最小值,利用不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)最小值,化簡得,構(gòu)造放縮函數(shù)對自變量再研究,可解,【詳解】令;當時,,不合題意;當時,,令,得或,所以在區(qū)間和上單調(diào)遞減.因為,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以在處取極小值,即最小值為.若,,則,即.當時,,當時,則.設,則.當時,;當時,,所以在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減,所以,即,所以的最大值為.故答案為:本題考查不等式恒成立問題.不等式恒成立問題的求解思路:已知不等式(為實參數(shù))對任意的恒成立,求參數(shù)的取值范圍.利用導數(shù)解決此類問題可以運用分離參數(shù)法;如果無法分離參數(shù),可以考慮對參數(shù)或自變量進行分類討論求解,如果是二次不等式恒成立的問題,可以考慮二次項系數(shù)與判別式的方法(,或,)求解.15.,【解析】
根據(jù)圖象得出該函數(shù)的最大值和最小值,可得,,結(jié)合圖象求得該函數(shù)的最小正周期,可得出,再將點代入函數(shù)解析式,求出的值,即可求得該函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可知,,,,,從題圖中可以看出,從時是函數(shù)的半個周期,則,.又,,得,取,所以,.故答案為:,.本題考查由圖象求函數(shù)解析式,考查計算能力,屬于中等題.16.1【解析】
設,寫出直線方程代入拋物線方程后應用韋達定理求得,由拋物線定義得焦點弦長,求得,再寫出的垂直平分線方程,得,從而可得結(jié)論.【詳解】拋物線的焦點坐標為,直線的方程為,據(jù)得.設,則.線段垂直平分線方程為,令,則,所以,所以.故答案為:1.本題考查拋物線的焦點弦問題,根據(jù)拋物線的定義表示出焦點弦長是解題關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】
(1)直接利用極坐標公式計算得到答案(2)設,,根據(jù)三角函數(shù)的有界性得到答案.【詳解】(1)因為,所以,因為所以直線的直角坐標方程為.(2)由題意可設,則點到直線的距離.因為,所以,因為,故的最小值為.本題考查了極坐標方程,參數(shù)方程,意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.18.(1),;(2).【解析】
(1)利用極坐標和直角坐標的互化公式,即得解;(2)設點的直角坐標為,則點的直角坐標為.將此代入曲線的方程,可得點在以為圓心,為半徑的圓上,所以的最大值為,即得解.【詳解】(1)因為點在曲線上,為正三角形,所以點在曲線上.又因為點在曲線上,所以點的極坐標是,從而,點的極坐標是.(2)由(1)可知,點的直角坐標為,B的直角坐標為設點的直角坐標為,則點的直角坐標為.將此代入曲線的方程,有即點在以為圓心,為半徑的圓上.,所以的最大值為.本題考查了極坐標和參數(shù)方程綜合,考查了極坐標和直角坐標互化,參數(shù)方程的應用,考查了學生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.19.(1)證明見解析(2)【解析】
(1)解法一:作的中點,連接,.利用三角形的中位線證得,利用梯形中位線證得,由此證得平面平面,進而證得平面.解法二:建立空間直角坐標系,通過證明直線的方向向量和平面的法向量垂直,證得平面.(2)利用平面和平面法向量,計算出二面角的余弦值.【詳解】(1)法一:作的中點,連接,.又為的中點,∴為的中位線,∴,又為的中點,∴為梯形的中位線,∴,在平面中,,在平面中,,∴平面平面,又平面,∴平面.另解:(法二)∵在長方體中,,,兩兩互相垂直,建立空間直角坐標系如圖所示,則,,,,,,,,,,,.(1)設平面的一個法向量為,則,令,則,.∴,又,∵,,又平面,平面.(2)設平面的一個法向量為,則,令,則,.∴.同理可算得平面的一個法向量為∴,又由圖可知二面角的平面角為一個鈍角,故二面角的余弦值為.本小題考查線面的位置關(guān)系,空間向量與線面角,二面角等基礎知識,考查空間想象能力,推理論證能力,運算求解能力,數(shù)形結(jié)合思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.20.(1)(2)【解析】
(1)先證得,設與交于點,在中解直角三角形求得,由此求得的值.(2)建立空間直角坐標系,利用平面和平面的法向量,計算出二面角的余弦值.【詳解】(1)由題意,,設與交于點,在中,可求得,則,可求得,則
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