人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊學(xué)案：5 2 3 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊PAGEPAGE15．2.3簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.了解復(fù)合函數(shù)的概念，掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則．導(dǎo)語同學(xué)們，大家有沒有過網(wǎng)購的經(jīng)歷？大家一定有過這樣的感受，即便你知道你買的什么東西，但當(dāng)你拆開包裝袋的時(shí)候，一樣能給你帶來無限的期盼與喜悅，猶如“撥開云霧見天日，守得云開見月明”，在我們數(shù)學(xué)上，也有一樣讓我們期盼的例子，那就是我們今天要學(xué)習(xí)的復(fù)合函數(shù)．一、復(fù)合函數(shù)概念的理解問題1函數(shù)y＝ln(2x－1)是如何構(gòu)成的？〖提示〗y(tǒng)＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占據(jù)”了對數(shù)函數(shù)y＝lnx中x的位置，f(x)＝lnx，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，這里有代入、代換的思想，則函數(shù)y＝ln(2x－1)是由內(nèi)層函數(shù)為冪函數(shù)的線性組合和外層函數(shù)為對數(shù)函數(shù)復(fù)合而成，是復(fù)合函數(shù)，而函數(shù)y＝(2x－1)lnx不是復(fù)合函數(shù)，它只是兩個(gè)函數(shù)相乘的關(guān)系，沒有代入、代換的意思．知識梳理復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x))．注意點(diǎn)：內(nèi)、外層函數(shù)通常為基本初等函數(shù)．例1(多選)下列哪些函數(shù)是復(fù)合函數(shù)()A．y＝xlnx B．y＝(3x＋6)2C．y＝esinx D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))〖答案〗BCD〖解析〗A不是復(fù)合函數(shù)；BCD都是復(fù)合函數(shù)．反思感悟若f(x)與g(x)均為基本初等函數(shù)，則函數(shù)y＝f(g(x))或函數(shù)y＝g(f(x))均為復(fù)合函數(shù)．跟蹤訓(xùn)練1(多選)下列哪些函數(shù)是復(fù)合函數(shù)()A．y＝log2(2x＋1) B．y＝2x2－eq\f(1,x)C．y＝2lnx D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))〖答案〗ACD二、求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題2如何求函數(shù)y＝sin2x的導(dǎo)數(shù)？〖提示〗y(tǒng)＝2sinxcosx，由兩個(gè)函數(shù)相乘的求導(dǎo)法則可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x；從整體上來看，外層函數(shù)是基本初等函數(shù)y＝sinu，它的導(dǎo)數(shù)y′＝cosu，內(nèi)層函數(shù)是冪函數(shù)的線性組合u＝2x，它的導(dǎo)數(shù)是u′＝2，發(fā)現(xiàn)y′x＝y(tǒng)′u·u′x.知識梳理復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一般地，對于由函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y＝f(g(x))，它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積．注意點(diǎn)：(1)中間變量的選擇應(yīng)是基本初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)；(2)求導(dǎo)由外向內(nèi)，并保持對外層函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，內(nèi)層不變的原則；(3)求每層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，注意分清是對哪個(gè)變量求導(dǎo)．例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝eq\f(1,1－3x4)；(2)y＝cos(x2)；(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝e3x＋2.解(1)令u＝1－3x，則y＝eq\f(1,u4)＝u－4，所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝12u－5＝eq\f(12,1－3x5).(2)令u＝x2，則y＝cosu，所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝－sinu·2x＝－2xsin(x2).(3)設(shè)y＝log2u，u＝2x＋1，則y′x＝y(tǒng)′uu′x＝eq\f(2,uln2)＝eq\f(2,2x＋1ln2).(4)設(shè)y＝eu，u＝3x＋2，則y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.反思感悟(1)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟(2)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的注意點(diǎn)：①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；②求導(dǎo)時(shí)分清是對哪個(gè)變量求導(dǎo)；③計(jì)算結(jié)果盡量簡潔．跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝eq\f(1,\r(1－2x))；(2)y＝5log2(1－x)；(3)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).解(1)y＝，設(shè)y＝，u＝1－2x，則y′x＝＝·(－2)＝.(2)函數(shù)y＝5log2(1－x)可看作函數(shù)y＝5log2u和u＝1－x的復(fù)合函數(shù)，所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′＝eq\f(－5,uln2)＝eq\f(5,x－1ln2).(3)設(shè)y＝sinu，u＝2x＋eq\f(π,3)，則y′x＝(sinu)′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))′＝cosu·2＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例3某港口在一天24小時(shí)內(nèi)潮水的高度近似滿足關(guān)系式s(t)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))(0≤t≤24)，其中s的單位是m，t的單位是h，求函數(shù)在t＝18時(shí)的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實(shí)際意義．解設(shè)f(x)＝3sinx，x＝φ(t)＝eq\f(π,12)t＋eq\f(5π,6)，所以s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cosx·eq\f(π,12)＝eq\f(π,4)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))，將t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝eq\f(π,4)coseq\f(7π,3)＝eq\f(π,8)(m/h)．s′(18)表示當(dāng)t＝18h時(shí)，潮水的高度上升的速度為eq\f(π,8)m/h.反思感悟?qū)?fù)合函數(shù)的求導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義結(jié)合，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在該點(diǎn)的瞬時(shí)變化率，體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)揭示物體在某時(shí)刻的變化狀況．跟蹤訓(xùn)練3已知某質(zhì)點(diǎn)的位移s與位移時(shí)間t滿足s＝tet－1，則質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度為________．〖答案〗2〖解析〗s′＝(t＋1)et－1，當(dāng)t＝1時(shí)，s′(1)＝2.1.知識清單：(1)復(fù)合函數(shù)的概念．(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則．(3)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．2.方法歸納：轉(zhuǎn)化法．3.常見誤區(qū)：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)不能正確分解函數(shù)；求導(dǎo)時(shí)不能分清是對哪個(gè)變量求導(dǎo)；計(jì)算結(jié)果復(fù)雜化．1．(多選)函數(shù)y＝(x2－1)n的復(fù)合過程正確的是()A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝tn，t＝(x2－1)n D.t＝x2－1,y＝tn〖答案〗AD2．函數(shù)y＝(2021－8x)3的導(dǎo)數(shù)y′等于()A．3(2021－8x)2 B．－24xC．－24(2021－8x)2 D．24(2021－8x)2〖答案〗C〖解析〗y(tǒng)′＝3(2021－8x)2×(2021－8x)′＝3(2021－8x)2×(－8)＝－24(2021－8x)2.3．設(shè)f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，則f′(0)等于()A．1B.eq\f(3,2)C．－1D．－2〖答案〗B〖解析〗f′(x)＝eq\f(3,3x＋2)－6x，故f′(0