人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)學(xué)案2：4 3 1 第1課時(shí) 等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)PAGEPAGE14.3.1第1課時(shí)等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式〖學(xué)習(xí)目標(biāo)〗1.通過實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念并學(xué)會(huì)簡單應(yīng)用.2.掌握等比中項(xiàng)的概念并會(huì)應(yīng)用.3.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式并了解其推導(dǎo)過程〖自主學(xué)習(xí)〗知識(shí)點(diǎn)1等比數(shù)列的概念一般地，如果一個(gè)數(shù)列從起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的，公比通常用字母表示．知識(shí)點(diǎn)2等比中項(xiàng)的概念（1）如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，這三個(gè)數(shù)滿足關(guān)系式.（2）等比中項(xiàng)與等比中項(xiàng)的異同，對(duì)比如下表：對(duì)比項(xiàng)等差中項(xiàng)等比中項(xiàng)定義若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)若a，G，b成數(shù)列，則G叫做a與b的等比中項(xiàng)定義式A－a＝b－Aeq\f(G,a)＝eq\f(b,G)公式A＝eq\f(a＋b,2)G＝±eq\r(ab)個(gè)數(shù)a與b的等差中項(xiàng)唯一a與b的等比中項(xiàng)有個(gè)，且互為備注任意兩個(gè)數(shù)a與b都有等差中項(xiàng)只有當(dāng)時(shí)，a與b才有等比中項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)3等比數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是．等比數(shù)列通項(xiàng)公式的變形：．〖合作探究〗探究一等比數(shù)列的判定與證明〖例1〗已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，設(shè)f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．〖練習(xí)1〗已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝eq\f(1,3)(an－1)(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．探究二等比中項(xiàng)〖例2〗若1，a,3成等差數(shù)列，1，b,4成等比數(shù)列，則eq\f(a,b)的值為()A．±eq\f(1,2) B.eq\f(1,2) C．1 D．±1〖練習(xí)2〗eq\r(2)＋1與eq\r(2)－1的等比中項(xiàng)是()A．1 B．－1 C．±1 D.eq\f(1,2)探究三等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用〖例3〗一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18，求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)．〖練習(xí)3〗在等比數(shù)列{an}中．(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.探究四等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用〖例4〗某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩余的這種物質(zhì)是原來的84%，這種物質(zhì)的半衰期為多長(精確到1年，放射性物質(zhì)衰變到原來的一半所需時(shí)間稱為這種物質(zhì)的半衰期)〖練習(xí)4〗某制糖廠2011年制糖5萬噸，如果從2011年起，平均每年的產(chǎn)量比上一年增加20%，那么到哪一年，該糖廠的年制糖量開始超過30萬噸？(保留到個(gè)位，lg6≈0.778，lg1.2≈0.079)〖課堂達(dá)標(biāo)〗1．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于()A．64 B．81 C．128 D．2432．在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，則m等于()A．9 B．10 C．11 D．123．已知6，a，b,48成等差數(shù)列，6，c，d,48成等比數(shù)列，則a＋b＋c＋d＝________.4．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q＝________.5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)求證：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；(2)求{an}的通項(xiàng)公式．

▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁〖自主學(xué)習(xí)〗知識(shí)點(diǎn)1等比數(shù)列的概念第2項(xiàng) 同一常數(shù) 公比 q(q≠0)知識(shí)點(diǎn)2等比中項(xiàng)的概念（1）等比數(shù)列 ab＝G2（2）等比 兩 相反數(shù) ab＞0〖合作探究〗探究一等比數(shù)列的判定與證明〖例1〗證明由題意知f(an)＝4＋2(n－1)＝2n＋2＝logman，∴an＝m2n＋2，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(m2n＋1＋2,m2n＋2)＝m2，∵m＞0且m≠1，∴m2為非零常數(shù)，∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列．〖練習(xí)1〗(1)解∵a1＝S1＝eq\f(1,3)(a1－1)，∴a1＝－eq\f(1,2).又a1＋a2＝S2＝eq\f(1,3)(a2－1)，∴a2＝eq\f(1,4).(2)證明∵Sn＝eq\f(1,3)(an－1)，∴Sn＋1＝eq\f(1,3)(an＋1－1)，兩式相減得an＋1＝eq\f(1,3)an＋1－eq\f(1,3)an，即an＋1＝－eq\f(1,2)an，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為－eq\f(1,2)，公比為－eq\f(1,2)的等比數(shù)列．探究二等比中項(xiàng)〖例2〗〖答案〗D〖解析〗∵1，a,3成等差數(shù)列，∴a＝eq\f(1＋3,2)＝2，∵1，b,4成等比數(shù)列，∴b2＝1×4，b＝±2，∴eq\f(a,b)＝eq\f(2,±2)＝±1.〖練習(xí)2〗〖答案〗C〖解析〗設(shè)x為eq\r(2)＋1與eq\r(2)－1的等比中項(xiàng)，則x2＝(eq\r(2)＋1)(eq\r(2)－1)＝1，∴x＝±1.探究三等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用〖例3〗解設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)是a1，公比是q，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝12，①,a1q3＝18，②))②÷①，得q＝eq\f(3,2)，將q＝eq\f(3,2)代入①，得a1＝eq\f(16,3).因此，a2＝a1q＝eq\f(16,3)×eq\f(3,2)＝8.綜上，這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)分別是eq\f(16,3)與8.〖練習(xí)3〗解(1)由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得，a6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝20，,a1q5＝160，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝2，,a1＝5.))所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.探究四等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用〖例4〗解設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，經(jīng)過n年，剩余量是an，由條件可得，數(shù)列{an}是一個(gè)等比數(shù)列．其中a1＝0.84，q＝0.84，設(shè)an＝0.5，則0.84n＝0.5.兩邊取對(duì)數(shù)，得nlg0.84＝lg0.5，用計(jì)算器算得n≈4.答這種物質(zhì)的半衰期大約為4年．〖練習(xí)4〗解記該糖廠每年制糖產(chǎn)量依次為a1，a2，a3，…，an，….則依題意可得a1＝5，eq\f(an,an－1)＝1.2(n≥2且n∈N*)，從而an＝5×1.2n－1，這里an＝30，故1.2n－1＝6，即n－1＝log1.26＝eq\f(lg6,lg1.2)＝eq\f(0.778,0.079)≈9.85，故n＝11.答從2021年開始，該糖廠年制糖量開始超過30萬噸．〖課堂達(dá)標(biāo)〗1．〖答案〗A〖解析〗∵{an}為等比數(shù)列，∴eq\f(a2＋a3,a1＋a2)＝q＝2.又a1＋a2＝3，∴a1＝1，故a7＝1·26＝64.2．〖答案〗C〖解析〗在等比數(shù)列{an}中，∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝aeq\o\al(5,1)q10＝q10.∵am＝a1qm－1＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11.3．〖答案〗90〖解析〗6，a，b,48成等差數(shù)列，則a＋b＝6＋48＝54；6，c，d,48成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則q3＝eq\f(48,6)＝8，q＝2，故c＝12，d＝24，從而a＋b＋c＋d＝90.4．〖答案〗1〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1，∴q＝eq\f(a3＋3,a1＋1)＝eq\f(a1－2＋3,a1＋1)＝1.5．(1)證明方法一∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∴eq\f(an＋1＋1,