高中數(shù)學(xué)“探索與發(fā)現(xiàn)”欄目的教學(xué)策略探究

摘

要：人教A版高中數(shù)學(xué)“探索與發(fā)現(xiàn)”欄目是教材知識(shí)的拓展與延伸，通過“探索與發(fā)現(xiàn)”欄目的教學(xué)，能夠很好地落實(shí)新課標(biāo)的教育理念，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。文章以“為什么二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像是拋物線”為例，設(shè)計(jì)了“探索與發(fā)現(xiàn)”欄目的教學(xué)活動(dòng)，教師通過設(shè)計(jì)問題鏈，借助網(wǎng)絡(luò)畫板演示，小組合作討論，啟發(fā)學(xué)生設(shè)計(jì)方案解決數(shù)學(xué)問題等一系列活動(dòng)過程，在探究中引導(dǎo)學(xué)生完成從解釋函數(shù)定義和函數(shù)圖像平移兩個(gè)角度的證明，為下一步的學(xué)習(xí)打下了良好基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)課堂的活動(dòng)過程中提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);探索與發(fā)現(xiàn);拋物線;教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)在新課標(biāo)背景下，分?jǐn)?shù)不再是教師教學(xué)追求的唯一目標(biāo)，如何讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中得到思維的鍛煉，獲得解決問題的能力，才是新課標(biāo)的精髓所在。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何將數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)滲透在教學(xué)過程中是每一位數(shù)學(xué)教師要追求的目標(biāo)。人教A版高中數(shù)學(xué)“探索與發(fā)現(xiàn)”欄目是課程內(nèi)容的延伸與拓展，通過開展“探索與發(fā)現(xiàn)”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課程，可以讓學(xué)生在深度思考的過程中更好地理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。本文以普通高中教科書《數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊（A版）》第三章的“探索與發(fā)現(xiàn)”欄目“為什么二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像是拋物線”的教學(xué)為例，設(shè)計(jì)開展教學(xué)活動(dòng)。教學(xué)過程中教師通過設(shè)置問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，形成方案，開展小組活動(dòng)，最終得出結(jié)論，這種環(huán)環(huán)相扣、層層遞推的教學(xué)活動(dòng)，不但能使學(xué)生有極大的參與感，激發(fā)出學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也極大地提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。一、教學(xué)內(nèi)容和解析（一）錨定內(nèi)容本節(jié)課選自普通高中教科書《數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊（A版）》第三章的“探索與發(fā)現(xiàn)”欄目，本節(jié)的主要內(nèi)容是探究二次函數(shù)圖像與拋物線圖像的特征，找出二者的共性和規(guī)律，通過拋物線定義和函數(shù)圖像平移兩個(gè)角度，解釋“為什么二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像是拋物線”。（二）內(nèi)容解析本節(jié)課安排在3.3.1“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”之后，通過上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生理解并掌握了拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，發(fā)現(xiàn)高中教材對(duì)于拋物線的定義與初中所學(xué)到的拋物線有很大的不同，學(xué)生難免產(chǎn)生疑問：為什么初中所學(xué)習(xí)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像也是一條拋物線？從定義的角度如何解釋？從函數(shù)方程的形式上看又和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程之間有哪種聯(lián)系呢？本節(jié)課將會(huì)從兩個(gè)角度幫助學(xué)生理解初中所學(xué)習(xí)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像依然是拋物線，與高中所定義的拋物線并不矛盾。二、課程教學(xué)目標(biāo)及解析（一）教學(xué)目標(biāo)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生能從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和函數(shù)定義兩方面研究拋物線與二次函數(shù)的關(guān)系，并借助網(wǎng)絡(luò)畫板從代數(shù)和幾何的雙重角度對(duì)這一問題進(jìn)行探究，使學(xué)生通過自己的探索與發(fā)現(xiàn)加深對(duì)于這一問題的理解。在探索與發(fā)現(xiàn)的過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。（二）目標(biāo)解析高中數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析，如何在教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)是每一節(jié)數(shù)學(xué)課的使命。本節(jié)課通過教師提出疑問，鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)現(xiàn)，勇于試錯(cuò)，小組討論交流，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)“真理”的這一過程，可以很好地加深學(xué)生對(duì)于問題的理解，不僅深刻理解了圓錐曲線的定義，同時(shí)還使學(xué)生的數(shù)學(xué)能力得到大幅提高。三、教學(xué)問題診斷分析本節(jié)課在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程后，學(xué)生已經(jīng)很好地理解了拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線。高中教材對(duì)于拋物線的定義是“把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線L（L不經(jīng)過點(diǎn)F）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線”。而學(xué)生在初中學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖像是一條拋物線時(shí)，則并沒有給出這樣的定義，這就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生疑問，認(rèn)為二者并不相同，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，教師要帶領(lǐng)學(xué)生深入挖掘教材定義，找出二者本質(zhì)上的一致性，使學(xué)生對(duì)拋物線的理解更為深刻。在探究過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生形成探究思路，即形成從平移變換和函數(shù)定義兩個(gè)角度入手的探究思路，并協(xié)助小組成員形成探究步驟。在進(jìn)行代數(shù)法證明時(shí)，化簡的難度較大，教師可以協(xié)助學(xué)生完成化簡。此外，本節(jié)課可以利用網(wǎng)絡(luò)畫板做出二次函數(shù)的圖像，通過平移變換，讓學(xué)生直觀感受并總結(jié)規(guī)律，得出結(jié)論。四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）提出問題，課堂引入師：上一節(jié)課同學(xué)們學(xué)習(xí)了拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，大家來回顧一下，拋物線是如何定義的？生：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線L（L不經(jīng)過點(diǎn)F）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線。師：在初中，同學(xué)們學(xué)過二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像也是一條拋物線，二次函數(shù)的圖像和現(xiàn)在所學(xué)習(xí)的拋物線是不同的嗎？如果不同，如何解釋？如果相同，又如何證明？本節(jié)課讓我們帶著這個(gè)問題一起來探索與發(fā)現(xiàn)吧！設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生對(duì)于圓錐曲線這部分的學(xué)習(xí)往往會(huì)忽視定義的理解，通過提出這個(gè)問題，引發(fā)學(xué)生對(duì)于拋物線定義的思考，便于在以后的學(xué)習(xí)中更好地利用圓錐曲線的定義解決數(shù)學(xué)問題。（二）小組討論，確定研究方案分小組進(jìn)行討論，引導(dǎo)學(xué)生確定研究方案，形成研究步驟。一組學(xué)生從圖像平移的角度進(jìn)行探究，另一組學(xué)生從拋物線定義的角度進(jìn)行探究，探討二次函數(shù)y=ax2+bx+c是否也滿足拋物線的定義。1.從圖像平移的角度看拋物線師：在直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)同學(xué)們將拋物線x2=2y的圖像向右平移兩個(gè)單位，再向上平移兩個(gè)單位，大家可以借助網(wǎng)絡(luò)畫板演示平移這一過程，如圖1和圖2所示，同學(xué)們有什么發(fā)現(xiàn)？圖像的形狀是否發(fā)生了變化？生：只改變了圖像的位置，圖像的形狀沒有發(fā)生變化。師：同學(xué)們能從平移變換的角度給出證明嗎？生：拋物線方程x2=2y平移后得到的方程為（x-2）2=2（y-2），整理后可以化為y=x2-2x+4，與二次函數(shù)y=ax2+bx+c形式一致，因此可以得出結(jié)論，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像可以由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的圖像通過平移達(dá)到，即二次函數(shù)的圖像也是拋物線。師：同學(xué)們能否給出一般性的證明，如何把y=ax2+bx+c進(jìn)行平移，說明其圖像是拋物線？生：可以把方程整理成二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax++，利用函數(shù)平移的性質(zhì)可知，如果將圖像沿著向量=，-進(jìn)行平移，平移后對(duì)應(yīng)的解析式為y=ax2，即x2=y，這個(gè)方程表示的曲線是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為0，的拋物線，則得到了一般性方程的證明。設(shè)計(jì)意圖：由特殊方程引入，通過平移變換發(fā)現(xiàn)拋物線的形狀不變，再引入一般方程，通過由特殊方程到一般方程的證明，可以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的能力。2.從定義的角度看拋物線師：同學(xué)們知道拋物線x2=2y圖像上的點(diǎn)滿足拋物線的定義，即任意一點(diǎn)到定點(diǎn)0，的距離與到定直線y=-的距離相等，能否從定義的角度看平移后（x-2）2=2（y-2）的圖像上的點(diǎn)也滿足到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等呢？如果滿足，定點(diǎn)與定直線又分別是什么呢？生：將方程通過配湊的方式，可表示成（x-2）2+y-=y-，即=y-，其表示的幾何意義為：圖像上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)2，與到定直線y=的距離相等。通過這種方程形式的變換，會(huì)發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)y=ax2+bx+c也滿足拋物線的定義。師：同學(xué)們能否用一般方程給出證明呢？一般方程的角度化簡難度較大，教師可以指導(dǎo)并協(xié)助學(xué)生完成，首先，由二次函數(shù)方程的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a，即=y-，從而得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c也同樣滿足拋物線的定義，即圖像上的點(diǎn)到定點(diǎn)-，的距離與到定直線y=的距離相等。（三）歸納小結(jié)1.拋物線的定義是本節(jié)課探索與發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)。2.數(shù)形結(jié)合是本節(jié)課小組討論的基本方法。3.代數(shù)法的難點(diǎn)在于配方，配方法的難點(diǎn)在于待定系數(shù)。4.二次函數(shù)的圖像是拋物線，符合拋物線的定義，但并不是所有的拋物線都是二次函數(shù)。二次函數(shù)通過平移變換可以化簡為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，但是如果把拋物線圖像進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，則圖像依然是拋物線，但是曲線方程則不一定是二次函數(shù)形式。五、教學(xué)總結(jié)本節(jié)課從圖像平移和拋物線的定義兩個(gè)角度去研究了為什么二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像也是拋物線，體現(xiàn)了知識(shí)的一致性，引發(fā)了學(xué)生對(duì)于圓錐曲線定義的深度思考。從教學(xué)活動(dòng)實(shí)施的效果來看，“探索與發(fā)現(xiàn)”欄目通過數(shù)學(xué)活動(dòng)課的形式進(jìn)行教學(xué)，能夠讓每一位學(xué)生積極參與進(jìn)來，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，通過小組討論，總結(jié)問題，探究方法，在思維的碰撞中落實(shí)教學(xué)目標(biāo)，讓“學(xué)數(shù)學(xué)”變?yōu)椤坝脭?shù)學(xué)”，使學(xué)生獲得了思考和解決問題的能力。六、結(jié)語綜上所述，高中