新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章 第03講 二項式定理 精講（教師版）

第03講二項式定理(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：二項展開式的通項及其應(yīng)用角度1：求二項展開式的特定項（或系數(shù)）角度2：兩個二項式之積中特定項（或系數(shù)）問題角度3：三項展開式中特定項（或系數(shù)）問題題型二：二項式系數(shù)與各項的系數(shù)和問題角度1：二項式系數(shù)和與系數(shù)和角度2：展開式的逆應(yīng)用題型三：項式系數(shù)的性質(zhì)角度1:二項式系數(shù)最大問題角度2：系數(shù)最大問題第四部分：高考真題感悟第一部分：知識點精準記憶第一部分：知識點精準記憶知識點一：二項式定理（1）二項式定理一般地，對于每個SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0個，將它們合并同類項，就可以得到二項展開式：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.這個公式叫做二項式定理.（2）二項展開式公式中：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等號右邊的多項式叫做SKIPIF1<0的二項展開式.（3）二項式系數(shù)與項的系數(shù)二項展開式中各項的二項式系數(shù)為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0),項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分,包含符號等.（4）二項展開式的通項二項展開式中的SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)叫做二項展開式的通項,用SKIPIF1<0表示,即通項為展開式的第SKIPIF1<0項:SKIPIF1<0.通項體現(xiàn)了二項展開式的項數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律,是二項式定理的核心,它在求展開式的某些特定項(如含指定冪的項常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大的項等)及其系數(shù)等方面有著廣泛的應(yīng)用.知識點二：二項式系數(shù)的性質(zhì)①對稱性：二項展開式中與首尾兩端距離相等的兩個二項式系數(shù)相等：SKIPIF1<0②增減性：當SKIPIF1<0時，二項式系數(shù)遞增，當SKIPIF1<0時，二項式系數(shù)遞減；③最大值：當SKIPIF1<0為奇數(shù)時，最中間兩項二項式系數(shù)最大；當SKIPIF1<0為偶數(shù)時，最中間一項的二項式系數(shù)最大.知識點三：各二項式系數(shù)和（1）SKIPIF1<0展開式的各二項式系數(shù)和：SKIPIF1<0；（2）奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等：SKIPIF1<0第二部分：課前自我評估測試第二部分：課前自我評估測試1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若SKIPIF1<0的展開式中各項系數(shù)的和為256，則SKIPIF1<0的值為（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】D【詳解】解：設(shè)SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故選：D2．（2022·云南昆明·高二期中）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．31 B．32 C．15 D．16【答案】A【詳解】逆用二項式定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以n=5，所以SKIPIF1<0．故選:A3．（2022·全國·高二單元測試）SKIPIF1<0的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為________．【答案】512【詳解】SKIPIF1<0的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為SKIPIF1<0．故答案為：512．4．（2022·廣西貴港·高二期末（理））在SKIPIF1<0展開式中，含SKIPIF1<0的項的系數(shù)是__________．【答案】20【詳解】SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0，故在SKIPIF1<0展開式中，含SKIPIF1<0的項的系數(shù)為20．故答案為：205．（2022·廣東·南海中學(xué)高二階段練習(xí)）（1）已知SKIPIF1<0的展開式中第2項與第5項的二項式系數(shù)相等，則SKIPIF1<0__________.（2）SKIPIF1<0__________.【答案】

5

21【詳解】（1）根據(jù)二項式定理可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：5；21第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析題型一：二項展開式的通項及其應(yīng)用角度1：求二項展開式的特定項（或系數(shù)）典型例題例題1．（2022·四川廣安·模擬預(yù)測（理））在SKIPIF1<0的展開式中，常數(shù)項為（

）A．-60 B．60 C．-240 D．240【答案】D【詳解】由題知，展開式中第SKIPIF1<0項SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以展開式中常數(shù)項為SKIPIF1<0.故選：D例題2．（2022·河北·唐山市第五中學(xué)高三開學(xué)考試）SKIPIF1<0的二項展開式中第三項是（

）A．SKIPIF1<0 B．240 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由題意可得SKIPIF1<0的二項展開式中第三項是SKIPIF1<0，故選：D同類題型歸類練1．（2022·云南紅河·高二期末）SKIPIF1<0的展開式中的常數(shù)項為________（用數(shù)字作答）．【答案】135【詳解】SKIPIF1<0的展開式的通項公式為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以展開式中的常數(shù)項為SKIPIF1<0.故答案為：135.2．（2022·黑龍江·哈爾濱市第三十二中學(xué)校高二期中）求二項式SKIPIF1<0展開式的第7項及含SKIPIF1<0的項的系數(shù)．【答案】SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．【詳解】解：二項式SKIPIF1<0展開式的通項為SKIPIF1<0所以展開式的第SKIPIF1<0項為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以含SKIPIF1<0的項的系數(shù)為SKIPIF1<0．角度2：兩個二項式之積中特定項（或系數(shù)）問題典型例題例題1．（2022·廣東·石門高級中學(xué)高二階段練習(xí)）SKIPIF1<0的展開式中的SKIPIF1<0項系數(shù)為（

）A．30 B．10 C．-30 D．-10【答案】B【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項為：SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0．故選：B.例題2．（2022·江蘇·常州市第一中學(xué)高二期中）若SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】因為SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故選：C.例題3．（2022·安徽·合肥工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二期末）SKIPIF1<0的展開式中，含SKIPIF1<0項的系數(shù)為（

）A．160 B．140 C．120 D．100【答案】A【詳解】SKIPIF1<0的展開式中，含SKIPIF1<0項為SKIPIF1<0，故選：A例題4．（2022·福建福州·高二期末）在SKIPIF1<0的展開式中，記SKIPIF1<0項的系數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____.【答案】75【詳解】SKIPIF1<0的展開式中含SKIPIF1<0的項為SKIPIF1<0，含SKIPIF1<0的項為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：75.同類題型歸類練1．（2022·四川省資陽中學(xué)高二期末（理））SKIPIF1<0展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．20 D．40【答案】A【詳解】解：因為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0展開式的通項為SKIPIF1<0，所以展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0.故選：A2．（2022·浙江舟山·高二期末）SKIPIF1<0的展開式中的常數(shù)項為___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0，對于SKIPIF1<0，通項公式為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得r=3，SKIPIF1<0；對于SKIPIF1<0，通項公式為SKIPIF1<0，不存在常數(shù)項；∴常數(shù)項為-10；故答案為：-10.3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知正整數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的展開式中不含SKIPIF1<0的項，則n=______．【答案】10【詳解】因為SKIPIF1<0的展開式的通項為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以若展開式中不含SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由組合數(shù)的性質(zhì)以及SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<04．（2022·福建省福州第二中學(xué)高二期末）SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0展開式的通項為：SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0當時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0當時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的項為，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.角度3：三項展開式中特定項（或系數(shù)）問題典型例題例題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）SKIPIF1<0的展開式中，SKIPIF1<0的系數(shù)是（

）A．120 B．-120 C．60 D．30【答案】A【詳解】SKIPIF1<0，展開式的第SKIPIF1<0項為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得第3項為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的展開式的第SKIPIF1<0項為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得第3項為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展開式中，SKIPIF1<0的系數(shù)是SKIPIF1<0．故選：A．例題2．（2022·山東濟南·高二期末）SKIPIF1<0的展開式中，所有不含SKIPIF1<0的項的系數(shù)之和為（

）A．16 B．32 C．27 D．81【答案】D【詳解】解：SKIPIF1<0展開式的通項公式為SKIPIF1<0，若展開式中的項不含z，則SKIPIF1<0，此時符合條件的項為SKIPIF1<0展開式中的所有項，令SKIPIF1<0，可得所有不含z的項的系數(shù)之和為SKIPIF1<0，故選：D.例題3．（2022·陜西·寶雞中學(xué)模擬預(yù)測（理））SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)是___________（用數(shù)字作答）【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0展開式通項為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0展開式通項為：SKIPIF1<0；則當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.同類題型歸類練1．（2022·廣東·石門高級中學(xué)高二階段練習(xí)）在SKIPIF1<0的展開式中，含SKIPIF1<0項的系數(shù)為（

）A．21 B．15 C．9 D．-6【答案】C【詳解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可知含SKIPIF1<0項的系數(shù)是SKIPIF1<0．故選：C．2．（2022·廣東·中山一中高三階段練習(xí)）SKIPIF1<0的展開式中，含SKIPIF1<0項的系數(shù)為___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0相乘的5項中，含SKIPIF1<0的項只能由4個2與1個SKIPIF1<0相乘所得，故含SKIPIF1<0項的系數(shù)為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<03．（2022·全國·高二課時練習(xí)）SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)是______（用數(shù)字作答）．【答案】-4480【詳解】解：SKIPIF1<0，其展開式的通項為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)是SKIPIF1<0.故答案為：-44804．（2022·上?！?fù)旦附中高二期末）在SKIPIF1<0的展開式中，SKIPIF1<0項的系數(shù)為___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題設(shè)，展開式通項可寫為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0項中SKIPIF1<0的指數(shù)為0，故SKIPIF1<0項包含于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0有SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0題型二：二項式系數(shù)與各項的系數(shù)和問題角度1：二項式系數(shù)和與系數(shù)和典型例題例題1．（2022·河南河南·高二期末（理））SKIPIF1<0的展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為（

）．A．128 B．256 C．512 D．1024【答案】C【詳解】解：SKIPIF1<0的展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為SKIPIF1<0，故選：C．例題2．（2022·重慶·四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校高二階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為256，則展開式中的常數(shù)項為（

）A．-70 B．70 C．-40 D．30【答案】B【詳解】解：依題意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0展開式的通項為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以展開式中常數(shù)項為SKIPIF1<0；故選：B例題3．（2022·河北唐山·高二期中）已知SKIPIF1<0的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是SKIPIF1<0．(1)求展開式中各項系數(shù)的和與二項式系數(shù)的和；(2)求展開式中含SKIPIF1<0的項．【答案】(1)二項式系數(shù)之和為SKIPIF1<0，展開式中各項系數(shù)的和為1(2)SKIPIF1<0(1)解：因為SKIPIF1<0的展開式的通項為SKIPIF1<0，所以第五項系數(shù)為SKIPIF1<0，第三項系數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），所以令SKIPIF1<0可得展開式中各項系數(shù)的和為1，二項式系數(shù)和為SKIPIF1<0；(2)解：二項式的通項公式為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以展開式中含SKIPIF1<0的項為SKIPIF1<0．例題4．（2022·廣東茂名·高二期中）已知SKIPIF1<0.求下列各式的值：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0.【答案】(1)-1(2)2187(3)-1094(1)令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0(2)令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0由SKIPIF1<0的展開式的通項為SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為負數(shù)所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0(3)由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0例題5．（2022·江蘇宿遷·高二階段練習(xí)）在①只有第5項的二項式系數(shù)最大，②第4項與第6項的二項式系數(shù)相等，③奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128，這三個條件中任選一個，補充在下面（橫線處）問題中，解決下面兩個問題.已知，SKIPIF1<0的展開式中，_________.(1)展開式中的第6項；(2)若SKIPIF1<0.①求SKIPIF1<0的值；②求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)選①②③答案一樣：SKIPIF1<0(2)①0；②0(1)選①：只有第5項的二項式系數(shù)最大，即只有SKIPIF1<0最大則SKIPIF1<0，則展開式通項公式為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；選②：第4項與第6項的二項式系數(shù)相等，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則展開式通項公式為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；選③：奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0則展開式通項公式為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；(2)①由第一問可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0②SKIPIF1<0，求導(dǎo)得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0同類題型歸類練1．（2022·上海中學(xué)東校高二期末）（1）設(shè)SKIPIF1<0，求①展開式中各二項式系數(shù)的和；②SKIPIF1<0的值．【答案】（1）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；（2）13或14【詳解】（1）①展開式中各二項式系數(shù)的和為SKIPIF1<0；②令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，2．（2022·重慶市永川北山中學(xué)校高二期中）已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為16．(1)求SKIPIF1<0的值及展開式中各項的系數(shù)之和；(2)求展開式中的常數(shù)項．【答案】(1)SKIPIF1<0；展開式中各項的系數(shù)之和為81.(2)24(1)由題意知，SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0展開式中，令x＝1，得展開式中各項的系數(shù)之和為SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0展開式的通項為SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即展開式中的常數(shù)項為24．3．（2022·廣東·新會陳經(jīng)綸中學(xué)高二期中）設(shè)(2－SKIPIF1<0x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10·x10，求下列各式的值.(1)求a0；(2)求(a0+a2+…+a10)2－(a1+a3+…+a9)2；(3)求二項式系數(shù)的和.【答案】(1)1024(2)1(3)1024(1)令x=0，得a0=210=1024.(2)令x=1，可得a0+a1+a2+…+a10=(2－SKIPIF1<0)10，①令x=－1，可得a0－a1+a2－a3+…+a10=(2+SKIPIF1<0)10.②結(jié)合①②可得，(a0+a2+…+a10)2－(a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a10)(a0－a1+a2－…+a10)=(2－SKIPIF1<0)10×(2+SKIPIF1<0)10=1.(3)二項式系數(shù)的和為SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+…+SKIPIF1<0=210=1024.4．（2022·廣東·南海中學(xué)高二階段練習(xí)）SKIPIF1<0.求：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)展開式中二項式系數(shù)和以及偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；(5)SKIPIF1<0.【答案】(1)1(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(5)第1012項.(6)4044（1）令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0①.（2）令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0②.由①-②得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（3）相當于求展開式SKIPIF1<0的系數(shù)和，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.（4）展開式中二項式系數(shù)和是SKIPIF1<0.展開式中偶數(shù)項的二項系數(shù)和是SKIPIF1<0.（5）SKIPIF1<0兩邊分別求導(dǎo)得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.5．（2022·重慶長壽·高二期末）二項式的展開式SKIPIF1<0中，中間項的系數(shù)為-160.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0.【答案】(1)-2；(2)729.(1)依題意，SKIPIF1<0展開式的中間項為SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的值是-2.(2)由（1）知SKIPIF1<0，顯然，SKIPIF1<0均為負數(shù)，另4項的系數(shù)為正數(shù)，取SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.6．（2022·河北邯鄲·高二階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0.【答案】(1)255(2)32895(1)令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，①故SKIPIF1<0.(2)令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，②①+②可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.7．（2022·北京石景山·高二期末）在SKIPIF1<0的展開式中，二項式系數(shù)之和為_________；各項系數(shù)之和為_________．（用數(shù)字作答）【答案】

16

256【詳解】在SKIPIF1<0的展開式中，二項式系數(shù)之和為SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即各項系數(shù)和為SKIPIF1<0.故答案為：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.8．（2022·浙江·湖州市菱湖中學(xué)模擬預(yù)測）二項式SKIPIF1<0的展開式中所有的二項式系數(shù)之和為64，則SKIPIF1<0______，則展開式中含SKIPIF1<0的項的系數(shù)為____________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【詳解】解：由已知可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的展開式的通項公式為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則展開式中含SKIPIF1<0項的系數(shù)為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．角度2：展開式的逆應(yīng)用典型例題例題1．（2022·云南昆明·高二期中）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．31 B．32 C．15 D．16【答案】A【詳解】逆用二項式定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以n=5，所以SKIPIF1<0．故選:A例題2．（2022·遼寧·建平縣實驗中學(xué)高二期中）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0除以10所得的余數(shù)是（

）A．2 B．3 C．6 D．8【答案】D【詳解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0除以10的余數(shù)為8．故選：D．同類題型歸類練1．（2022·山東·臨沭縣教育和體育局高二期中）SKIPIF1<0除以78的余數(shù)是（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．87【答案】B【詳解】因為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，除了第一項之外，其余每一項都含有SKIPIF1<0的倍數(shù)，所以原式除以SKIPIF1<0的余數(shù)為1.故選:B．2．（2022·北京大興·高二期末）化簡SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B3．（2022·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測）數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值為（

）A．761 B．697 C．518 D．454【答案】D【詳解】解：因為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為首項，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：D題型三：項式系數(shù)的性質(zhì)角度1:二項式系數(shù)最大問題典型例題例題1．（2022·山西·祁縣中學(xué)高二階段練習(xí)）SKIPIF1<0展開式中二項式系數(shù)最大的項是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【答案】C【詳解】SKIPIF1<0展開式的通項公式為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0展開式共有8項，所以第4項和第5項的二項式系數(shù)最大，所以SKIPIF1<0展開式中二項式系數(shù)最大的項為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，即為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，故選：C例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0的展開式中，第3項的系數(shù)與倒數(shù)第3項的系數(shù)之比為SKIPIF1<0，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為第（

）項.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】SKIPIF1<0的展開式通項為SKIPIF1<0，第3項為SKIPIF1<0，其系數(shù)為SKIPIF1<0，倒數(shù)第3項為SKIPIF1<0，其系數(shù)為SKIPIF1<0，由題意，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為SKIPIF1<0，即為展開式的第4項.故選：B.例題3．（2022·山西師范大學(xué)實驗中學(xué)高二階段練習(xí)）在SKIPIF1<0的展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128，則展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為（

）A．-960 B．960 C．1120 D．1680【答案】C【詳解】因SKIPIF1<0的展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128，則有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的展開式共有9項，于是得展開式的第5項的二項式系數(shù)最大，SKIPIF1<0，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為1120.故選：C例題4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則展開式中二項式系數(shù)最大的項是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由題可知，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的展開式中，通項為：SKIPIF1<0，則常數(shù)項對應(yīng)的系數(shù)為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0展開式中二項式系數(shù)最大為：SKIPIF1<0，則二項式系數(shù)最大的項為：SKIPIF1<0故選：C．同類題型歸類練1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在SKIPIF1<0的展開式中，只有第SKIPIF1<0項的二項式系數(shù)最大，則SKIPIF1<0（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【詳解】在SKIPIF1<0的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，即中間項SKIPIF1<0項的二項式系數(shù)最大，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0故選：C．2．（2022·廣東·廣州市禺山高級中學(xué)高二期中）設(shè)SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則展開式中二項式系數(shù)最大的項是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】解：由題可知，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的展開式中，通項公式為：SKIPIF1<0，則常數(shù)項對應(yīng)的系數(shù)為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0展開式中二項式系數(shù)最大為：SKIPIF1<0，則二項式系數(shù)最大的項為：SKIPIF1<0.故選：A.3．（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)三模）SKIPIF1<0的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：因為SKIPIF1<0的展開式有SKIPIF1<0項，所以第SKIPIF1<0項的二項式系數(shù)最大，所以SKIPIF1<0的展開式中的二項式系數(shù)最大的項為SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<04．（2022·河北·高碑店市崇德實驗中學(xué)高二階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0的展開式中，第4項的系數(shù)與倒數(shù)第4項的系數(shù)之比為SKIPIF1<0，則展開式中最大的二項式系數(shù)值為______．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題意，SKIPIF1<0的展開式的通項為SKIPIF1<0，所以展開式中第4項的系數(shù)為SKIPIF1<0，倒數(shù)第4項的系數(shù)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以展開式中最大的二項式系數(shù)值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0角度2：系數(shù)最大問題典型例題例題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則展開式中系數(shù)最大的項是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】因為SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展開式中系數(shù)最大的項為第4項，即SKIPIF1<0,故選：B例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若SKIPIF1<0的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為512，且第6項的系數(shù)最大，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0